Clase 6

06/Febrero/2015

La fuerza eléctrica que ejercen dos cargas esta dirigida a lo largo de la línea queune a las dos cargas y depende de la inversa del cuadrado de su separación, lomismo que la fuerza gravitatoria que ejercen dos masas. Al igual que la fuerzagravitatoria, la fuerza eléctrica es conservativa. Existe por lo tanto, una funciónenergía potencial 𝑈 asociada con la fuerza eléctrica. Si situamos una carga deprueba 𝑞𝑜 en un campo eléctrico, su energía potencial es proporcional a 𝑞0. Laenergía potencial por unidad de carga es una función de la posición en el espaciode la carga y se denomina potencial eléctrico.

Como es un campo escalar, en muchos casos su obtención y manejo puede ser másfácil que el campo eléctrico.

Si una carga de prueba positiva, 𝑞0, pasa de un punto 𝐴 a un punto 𝐵 en presenciadel campo de una carga puntual 𝑞, el cambio de energía potencial en dicho campose calcula por

Puesto que la fuerza 𝑞0𝐸 es conservativa, esta integral de línea no depende de latrayectoria positiva seguida entre 𝐴 y 𝐵.

∆𝑈 = −𝑞0 𝐴

𝐵

𝐸 ∙ 𝑑𝑠

La diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos 𝐴 𝑦 𝐵 , en un campoelectrostático 𝐸, se define como el cambio de la energía potencial ∆𝑈 dividida entrela carga de prueba positiva 𝑞0. Se expresa por:

La diferencia de potencial eléctrico ∆𝑉 entre los puntos 𝐴 𝑦 𝐵, también se puededefinir como el trabajo por unidad de carga que un agente externo debe efectuarpara mover una carga de prueba de 𝐴 𝑎 𝐵 sin un cambio en la energía cinética dela carga de prueba, es decir:

∆𝑉 = 𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 =∆𝑈

𝑞0= −

𝐴

𝐵

𝐸 ∙ 𝑑𝑆

Es importante señalar que el cambio de energía potencial de la carga es elnegativo del trabajo realizado por la fuerza eléctrica.

Puesto que la diferencia de potencial es una medida de la energía por unidad decarga, la unidad de la diferencia de potencial es joule por coulomb en el S.I. Estaunidad se conoce como volts (V), es decir:

∆𝑉 =𝑊

𝑞

1𝑉 =1𝐽

1𝐶

La diferencia de potencial entre los puntos 𝐴 𝑦 𝐵 en un campo eléctrico uniforme 𝐸es:

Donde 𝑑 es la distancia entre los puntos 𝐴 𝑦 𝐵 (si el desplazamiento es de direcciónopuesta a la del campo eléctrico). De esta manera la intensidad del campo eléctricopuede expresarse en volts/metro en el S.I., o sea que:

𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 = 𝐸𝑑

1𝑁

𝐶= 1𝑉

𝑚

La diferencia de potencial entre dos puntos 𝐴 𝑦 𝐵 debida a una carga puntual seobtienen a partir de la expresión:

𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 = 𝑘𝑞1

𝑟𝑏−1

𝑟𝑎

Es la unidad de energía que define como al energía que un electrón ( o protón)gana o pierde al moverse a través de una diferencia de potencial de 1V. Serelaciona con el joule de la manera siguiente:

1𝑒𝑉 = 1.60 × 10−19𝐽

Si el potencial eléctrico o simplemente potencial se considera nulo en 𝑟𝐴 = ∞, elpotencial de una carga puntual es:

Donde

𝑞 = 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜

𝑟 = 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑦 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑒𝑟 𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙

Se puede afirmar que el potencial eléctrico en un punto arbitrario es igual altrabajo requerido por unidad de carga para llevar una carga de prueba positivadesde el infinito hasta ese punto. El potencial eléctrico es una magnitud escalar.

𝑉 = 𝑘𝑞

𝑟

El potencial en un punto debido a una de las cargas no se afecta por la presenciade las otras cargas. Para determinar el potencial, se suman los potenciales debidosa cada una de las cargas como si fuese la única presente (principio desuperposición). En forma matemática:

El potencial en un punto debido a una distribución continua de carga se calculapor medio de:

𝑉 = 𝑉1 + 𝑉2 + 𝑉3 +⋯+ 𝑉𝑖 =

𝑖=1

𝑛

𝑉𝑖 = 𝑘

𝑖

𝑞𝑖𝑟𝑖

𝑉 = 𝑘 𝑑𝑞

𝑟

Son superficies sobre las cuales el potencial eléctrico permanece constante. Laslíneas de campo eléctrico son perpendiculares a las superficies equipotenciales.

La energía potencial entre un par de cargas puntuales separadas por unadistancia 𝑟12 es:

𝑈 es positiva si las cargas son del mismo signo, si las cargas son de signo opuesto,𝑈 es negativa.

Si hay mas de dos cargas la energía potencial total puede obtenerse calculando 𝑈para cada par de cargas y sumando los términos algebraicamente.

𝑈 = 𝑘𝑞1𝑞2𝑟12

La intensidad del campo eléctrico 𝐸 y el potencial eléctrico 𝑉 son descripcionesequivalentes en electrostática. Si se conoce el potencial eléctrico en un ciertaregión, la intensidad del campo eléctrico se puede calcular por:

𝐸𝑥 = −𝑑𝑉

𝑑𝑥

𝐸𝑥 es la componente de 𝐸 en la dirección de 𝑑𝑥. El signo menos implica que 𝐸𝑥apunta en la dirección decreciente de 𝑉, o sea que el negativo de la rapidez decambio del potencial con la posición en cualquier dirección es la componente de 𝐸en esa dirección.

En general el potencial eléctrico es una función de las tres coordenadas espacialessi 𝑉(𝑟) esta dada en términos de coordenadas rectangulares, las componentes de laintensidad del campo eléctrico 𝐸𝑥, 𝐸𝑦 y 𝐸𝑧 puede calcularse por

𝐸𝑥 = −𝜕𝑉

𝜕𝑥𝐸𝑦 = −

𝜕𝑉

𝜕𝑦𝐸𝑧= −

𝜕𝑉

𝜕𝑧

Todo punto sobre la superficie de un conductor cargado eléctricamente enequilibrio electrostático se encuentra al mismo potencial.

En todos los puntos dentro del conductor el potencial eléctrico es igual a su valoren la superficie.

Problema 1

¿Cuánto trabajo se realiza (por una batería, generador u otra fuente de energíaeléctrica) al mover un número de Avogadro de electrones a partir de un puntoinicial donde el potencial eléctrico es 9V hasta un punto donde el potencial es -5V?(El potencial en cada caso se mide en relación con un punto de referencia común).

Solución

Datos

𝑁𝑒− = 𝑁𝐴 = 6.023 × 1023𝑒− , 𝑞𝑒 = −1.6 × 10

−19𝐶, tenemos que ∆𝑉 = 𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 =− 14𝑉

Se nos pide calcular 𝑊 =?

Sabemos que: ∆𝑉 =∆𝑈

𝑞0=𝑊

𝑞0⟹ 𝑞𝑒− ∙ ∆𝑉 = 𝑊(𝑏𝑎𝑡𝑒𝑟í𝑎)

Por lo tanto tenemos que: −14𝐽

𝐶× −1.6 × 10−19𝐶 × 6.023 × 1023𝑒

∴ 𝑊(𝑏𝑎𝑡𝑒𝑟í𝑎) = 1.35𝑀𝐽

Problema 2

Un ion acelerado mediante una diferencia de potencial de 115V experimenta aumento en su energía cinética de 7.37 × 10−17𝐽. Calcule la carga en el ion.

Solución

Datos

∆𝑉 = 115𝑉, ∆𝐸𝑘 = 7.37 × 10−17𝐽, 𝑞𝑖𝑜𝑛 =?

Sabemos que: ∆𝑉 =∆𝑈

𝑞

Pero por la conservación de la energía: ∆𝑈 = ∆𝐸𝑘

∴ ∆𝑉 =∆𝐸𝑘

𝑞⟹ 𝑞𝑖𝑜𝑛 =

∆𝐸𝑘

∆𝑉=7.37×10−17

115= 6.4 × 10−19𝐶

Problema 3

a) Calcule la rapidez de un protón que es acelerado desde el reposo de unadiferencia de potencial de 120V. b) Calcule la rapidez de un electrón que se aceleraa través de la misma diferencia de potencial.

Solución Inciso a

Datos

∆𝑉 = 120𝑉, 𝑞𝑝+ = 1.6 × 10−19𝐶, 𝑚𝑝+ = 1.67 × 10

−27𝑘𝑔

Por la conservación de la energía: −∆𝑈 = ∆𝐸𝑘

∴ ∆𝑉 =∆𝑈

𝑞𝑝+=∆𝐸𝑘

𝑞𝑝+⟹ ∆𝑉 × 𝑞𝑝+ =

1

2𝑚𝑝+ ∙ 𝑣𝑝+

2

⟹ 𝑉𝑝+ =2∙∆𝑉∙𝑞𝑝+

𝑚𝑝+=2 120 1.6×1019

1.67×10−27= 152𝑘𝑚/𝑠

Solución Inciso b

Sabemos que:

𝑞𝑒− = 1.6 × 10−19𝐶, 𝑚𝑒− = 9.1 × 10

−31𝑘𝑔

Por la conservación de la energía: −∆𝑈 = ∆𝐸𝑘

∴ ∆𝑉 =∆𝑈

𝑞𝑒−=∆𝐸𝑘

𝑞𝑒−⟹ ∆𝑉 × 𝑞𝑒− =

1

2𝑚𝑒− ∙ 𝑣𝑒−

2

⟹ 𝑉𝑒− =2∙∆𝑉∙𝑞𝑒−

𝑚𝑒−=2 120 1.6×1019

9.1×10−31= 6.49𝑀 𝑚/𝑠

Problema 4

¿Qué diferencia de potencial se necesita para frenar un electrón que tiene unarapidez inicial de 4.20 × 105𝑚/𝑠?

Solución

Sabemos que:

𝑣𝑓 = 0 𝑣𝑖 = 4.2 ×105𝑚

𝑠𝑚𝑒− = 9.1 × 10

−31𝑘𝑔 𝑞𝑒− = −1.6 ×

10−19𝐶 ∆𝑉 = ?

Por la conservación de la energía: ∆𝑉 =∆𝑈

𝑞𝑒−=−∆𝐸𝑘

𝑞𝑒−

⟹ ∆𝑉 =− 0−

1

2𝑚𝑒− ∙ 𝑣𝑒−

2

𝑞𝑒−⇒ ∆𝑉 =

9.1×10−31 4.2×1052

2 −1.6×10−19

⟹ ∆𝑉 = −0.502𝑉

Problema 5

Una carga de 34𝜇𝐶 se mueve entre dos puntos para los cuales hay una diferenciade potencial de 48V. ¿Cual es el cambio en la energía potencial?

Solución

Sabemos que:

𝑞 = 34𝜇𝐶 ∆𝑉 = 48𝑉

La diferencia de potencial entre dos puntos, está dada por: ∆𝑉 =∆𝑈

𝑞

Despejando el cambio de energía potencial se tiene

⟹ ∆𝑈 = 𝑞∆𝑉

Sustituyendo valores

∆𝑈 = 34 × 10−6𝐶 48𝑉 = 1.63 × 10−3𝐽