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Unidad 1
Números
Racionales
NIVELACIÓNNIVELACIÓNMATEMÁTICAMATEMÁTICA20142014
OPERATORIA DE LOS NÚMEROS RACIONALES
MAPA CONCEPTUAL:
Conjunto de los Números
Racionales
Definición
Operatoria Básica: Adición , Sustracción, Multiplicación y División
Ejercicios combinados en fracciones y decimales
OBJETIVOS• Resolver problemas que involucren operatoria básica con los números racionales.
•Reconocer y caracterizar los desarrollos en números racionales.
• Representar intuitivamente números en la recta real.
• Reconocer las propiedades de las operaciones en el conjunto de los números racionales
•Comprender que la ampliación del conjunto de los números racionales obedece siempre a la necesidad de dar solución a otro tipo de problemáticas.
Conjunto de los Números Racionales
El conjunto de los Números Racionales
se ha construido a partir del conjunto de los
Números Enteros. Se expresa por
comprensión como: Q letra lacon denota Se
≠∈= 0;,/Q bZbab
a
Representación en la recta numérica
Cada fracción es un número racional y cada
número racional consta de infinitas
fracciones equivalentes, además cada
fracción puede ser denotada a la vez por un
número decimal.
OPERATORIA
El conjunto aparentemente permite
realizar todas las operaciones aritméticas.
Sin embargo, esto no es del todo efectivo,
ya que existen inconvenientes para realizar
algunas operaciones que ya conocerás. Se
hace necesario, entonces, seguir
construyendo otros conjuntos numéricos
Q
DESTAQUEMOS1)
2) La división por 0 no existe
3) El conjunto es denso. Esto significa que dados dos números racionales, y por muy pequeñas que sea su diferencia, entre ellos hay infinitos números racionales.
(numerador)
(denominador)
a
b
Q
CONJUNTOS
Números Racionales Expresados en forma Decimal
• Para expresar un número racional, del tipo
en forma decimal, basta dividir el
numerador por el denominador. Así
obtenemos tres tipos de números
Decimales: decimales finitos, decimales
infinitos periódicos y decimales infinitos
semiperiódicos.
0, ≠bb
a
TRANFORMACIÓNDECIMALES FINITOS
Se caracterizan por tener una cantidad finita de dígitos después de la coma decimal, hacia la derecha.
45 : 5 90,
1 : 5045
0 00 00 2= =
12 : 22
0
61,
1 : 2 5= =
TRANSFORMACIÓN DECIMALES INFINITOS PERIÓDICOS
Se caracterizan por tener uno o más dígitos que se repiten
infinitamente en el mismo orden, inmediatamente después de la
coma decimal hacia la derecha. La cifra que se repite se
denomina período.
5718 5661: 9 62957,18
99 :
57
9 9 119
−= = =
TRANSFORMACIÓN DECIMALES INFINITOS SEMIPERIÓDICOS
Se caracterizan por tener una o más cifras antes del período, que
forman lo que denomina el anteperíodo.
246 24 222 : 62,466... 2,
90 : 637
15
7
4690
215
−= = =
=
=
Actividad 1
a) b)
c) d)
e) f)
Transformar cada fracción en el decimal correspondiente y cada decimal en su fracción correspondiente
32
15=
12
99=33,56
0,45
13,7 78
45=
Adición y sustracción en los números racionales
a) Suma y resta de fracciones de igual denominador: Para sumar o restar fracciones de igual denominador se debe conservar el denominador y sumar o restar los numeradores, dependiendo del operador, es decir,
a c a c
b b b
++ = a c a c
b b b
−− =
• b) Adición y sustracción de números racionales de distinto denominador.
• 1° encontrar el mínimo común múltiplo entre los denominadores, que sería el denominador de la fracción
• 2° para calcular el numerador divides el m.c.m. con el denominador de la primera fracción y lo multiplicas por el numerador de la misma.
• 3° Sumas o restas según el operador• 4° repites el paso 2 para la segunda fracción• 5° simplificar si es posible
EjemploCalculamos el m.c.m. entre 4 y 3 que es 12
3 1
4 3+ =
3 1 3 3 4 1
4 3 12
× + ×+ =
3 1 9 4 13
4 3 12 12
++ = =
Adición y sustracción en los números racionales
c) Suma y resta de decimales: Para sumar o restar decimales debemos alinear las comas, así sumaremos y restaremos las partes decimales del número y las partes enteras , es decir:
7,37
12,003
19,373
+ 27,009
17,994
10,015
−
Actividad 2
• Resuelva las siguientes adiciones y sustracciones de fracciones.
a) b)
c) d)
e) f)
5 4
4 4+ = 2 4
3 3+ =
3 1
5 5− = 3 1
6 2+ =
5 3
5 2+ = 3 1
6 2− =
Actividad 3
• Resuelva las siguientes adiciones y sustracciones de decimales.
a) b)
c) d)
e) f)
12,75 0,778+ = 33,99 0,345+ =
56,004 7,98− = 6, 43 40,78+ =
6,7 12,78+ = 0,98 12,345− =
Multiplicación de fracciones
• Para multiplicar facciones se deben multiplicar los numeradores y el resultado será el nuevo numerador y luego los denominadores se multiplicarán para tener el nuevo denominador. Se debe simplificar si es posible.
a c a c
b d b d
×× =×
Ejemplo
3 5 3 5 15
4 7 4 7 28
×× = =×
8 3 8 3 24
7 5 7 5 35
×× = =×
Multiplicación de decimales
• Para multiplicar decimales se debe multiplicar sin considerar las comas y luego en el resultado obtenido debemos considerar como decimales una cantidad igual a la suma de decimales entre los factores que multiplicamos.
• En el caso de multiplicar decimales infinitos, ya sean periódicos o semiperiódicos debemos tranformarlos en su fracción correspondiente y luego efectuar la operatoria
Ejemplo
0,74 12,3 074 123 9102 9,102× = × = =
112 11 3 101 1 1011,12 0,3 0,3740
90 9 90 3 270
−× = × = × = =
División de fracciones
• Para dividir fracciones se debe multiplicar por el inverso multiplicativo de la segunda fracción (invertir la segunda fracción).
:a c a d
b d b c
×=×
Ejemplo
3 5 3 7 21:4 7 4 5 45
×= =×
8 3 8 5 40:7 5 7 3 21
×= =×
División de decimales
• Para dividir decimales tenemos tres casos:
2,3 :5 23:50 0,46= =
a) ENTERO:DECIMALO
DECIMAL:ENTERO
b) DECIMAL:DECIMAL(IGUAL CANTIDAD DE
DECIMALES)
c) DECIMAL:DECIMAL
(DISTINTA CANTIDAD DE DECIMALES)
2,3 :5,6 23:56 0,4107= = 2,31:5,2 231:520 0,44423= =
Debemos amplificar dividendo y divisor según el número que tenga mayor cantidadde decimales, de tal forma que los números que dividamos sean enteros.
En cada caso anterior transformamos la división de decimales en una división denúmeros enteros amplificando por el factor (potencia de 10) correspondiente destacado.
10 10 100
Actividad 4• Resuelva los siguientes ejercicios y simplifique
si es necesario.
a) b)
c) d)
e) f)
5 6
4 5× = 7 5
:6 9
=
37,56
2× = 7,89 :1,2 =
4,3 : 0,01= 945,2
3× =
Operaciones combinadas
• Para resolver ejercicios con operatorias combinadas se debe respetar el siguiente orden:
1º Desarrollar los Paréntesis 2º Desarrollar potencias y Raíces 3º Desarrollar multiplicación y División de
izquierda a derecha 4º Desarrollar Adición y sustracción de
izquierda a derecha
a) b)
c) d)
e) f)
Actividad 5
19 3 7
16 4 8 − − = ÷
7 5 1
6 6 6 − − = ÷
10 1 71,34 :
7 3 4 − × = ÷
( ) 632,7 3,01 :
11− =
1 1 1 1 1 1
2 3 3 4 4 5 + + + = ÷ ÷ ÷
( ) 53,24 : 2 0,21
9
− − × =
Resumen
• Transformación de decimal a fracción y viceversa• Adición y sustracción de fracciones con igual
denominador, y decimales• Adición y sustracción de fracciones con distinto
denominador.• Multiplicación de fracciones y decimales• División de fracciones y decimales• Operaciones combinadas con fracciones y
decimales