Progressão aritmética

Progressão Aritmética (P.A.) • Uma progressão aritmética (P.A.) é uma sequência de números reais onde cada termo, a partir do segundo, é obtido somando-se uma constante r (razão da P.A.) ao termo anterior. Exemplos: • A sequência 2, 4, 6, ... é uma P.A. de razão r=2 infinita (pois tem infinitos termos)

• A sequência 5, 5, 5, ... é uma P.A. de razão r=0 infinita

• A sequência 6, 4, 2, 0, -2, ... é uma P.A. de razão r=-2 infinita

• A sequência 3, 5, 7, 9, 11 é uma P.A. de razão r=2 finita de 5 termos

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Progressão Aritmética (P.A.)

• Termo geral: •Por exemplo na P.A. : 1, 4, 7, 10, 13, ...

rnaan ).1(1

133).15(1).1(15 rnaa

rmnaa mn ).(

283.5133).510(510 aa


raa nn 1

3437 23 aa

Progressão Aritmética (P.A.) • Numa P.A., a partir do 2º termo, o termo central é a média aritmética do termo antecessor e do sucessor, isto é: •Por exemplo na P.A. : 1, 4, 7, 10, 13, ...

2

11 nn

n

aaa

72

104

2

423

aaa


Progressão Aritmética (P.A.) • A soma dos termos dos extremos é igual à soma dos termos equidistantes: • ac é o termo central •Por exemplo na P.A. : 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19


cknkn aaaaa .211

10.2137164201911 naa

Progressão Aritmética (P.A.) • A soma de n termos consecutivos de uma P.A. é dado por:

Que é a média aritmética entre os termos extremos (1º e último) multiplicado pelos n termos da sequência.

•Exemplo: Seja a P.A. : 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35. A soma dos termos desta sequência é:


2

).( 1 nn

aanS

35;5

7

71

aa

n14020.7

2

)355.(77

S

Progressão Aritmética (P.A.) •Exemplo: Calcular a soma dos 10 primeiros termos da P.A. em que o termo geral da sequência é an=4n-3, n N*.


37310.4

131.4

10

10

1

a

a

n

14020.72

)355.(77

S

Progressão Aritmética (P.A.) •Exemplo: Calcular a soma dos termos da P.A. finita (2, 5, 8, ..., 59):


593).1(2).1(

325

2

1

1

nrnaa

r

a

n

20603

5913593).1(2

nn

nn

Progressão Aritmética (P.A.) • A sequência 1, 3, 7, 13, 21, 31, ... é uma P.A. de 2ª ordem em que as diferenças entre os termos consecutivos segue uma progressão aritmética: 3-1=2, 7-3=4, 13-7=6, ... • A P.A. formada da diferença é: 2, 4, 6, 8, 10, ... Com razão r=2. Isto significa que o próximo termo da P.A. de 2ª ordem é 43 (=31+12); • Podemos resolver este problema também através da fórmula:

Onde an(2) é o enésimo termo da P.A. de 2ª ordem, a1

(2) é o 1º termo da P.A de 2ª ordem e Sn-1

(1) é a soma dos n-1 primeiros termos da P.A. de 1ª ordem obtida pela diferença entre os termos consecutivos.

)1(

1

)2(

1

)2(

nn Saa

Progressão Aritmética (P.A.) • Assim podemos obter o 7º termo (ou qualquer outro): •Podemos definir P.A. de ordem 3, 4, 5, ..., n que são sequências numéricas cuja diferença entre os termos formam uma P.A. de ordem 2, 3, 4, ..., n-1.

)1(

1

)2(

1

)2(

nn Saa

2

)).(17(1

)1(

6

)1(

1)2(

7

aaa

122.522).16(16 aa

432

14.61

2

)122).(17(1)2(

7

a



Uma P.A. possui seu 5º termo igual a 22 e o seu 15º termo igual a 62. Encontre seu 100º termo.



O primeiro termo de uma progressão aritmética é igual a 200, e a razão igual a -10. Encontre o valor do 20º termo.



Encontre a soma dos 50 primeiros números inteiros positivos pares.



Encontre a soma de todos os números inteiros positivos, de 5 a 1555 inclusive, que são divisíveis por 5.



Encontre a soma definida pela seguinte expressão:

10

1

)2/1.2(n

nS



Quantos termos a P.A.: 9, 17, 25, … deve possuir para resultar em uma soma de 636 ?



O primeiro termo de uma P.A. é 5, o último termo é 45 e a soma é 400. Encontre o número de termos e a razão.



O primeiro e o último termo de uma P.A são 17 e 350 respectivamente. Se a razão é 9, quantos termos existem e qual é a soma ?



Se a soma dos primeiros 7 termos de uma P.A. é 49 e, que a soma dos 17 primeiros termos é 289, encontre a soma dos primeiros n termos.



Se a soma dos n primeiros termos de uma P.A. é 4n-n2, qual é o 1o Termo ? Qual é a soma dos dois primeiros termos ? Qual é o segundo termo ? Encontre o 3o, 10o e o último termo.



Encontre a soma dos primeiros 40 inteiros positivos divisíveis por 6.



Um contrato de uma construção especifica uma penalidade pelo atraso de entrega além de uma certa data como segue-se: $200 para o 1º dia, $250 para o 2º dia, $300 para o 3º dia, etc., e a penalidade para cada dia sucessivo é $50 a mais do que o dia precedente. Quanto o construtor terá de pagar de penalidade, se ele atrasou o trabalho em 30 dias ?



Uma soma de $700 será usada para dar sete prêmios em dinheiro para estudantes de uma escola por seu desempenho geral acadêmico. Se cada prêmio é $20 a menos do que seu precedente, encontre o valor de cada um dos prêmios.



Uma espiral é feita de semicírculos sucessivos, com centros alternativamente em A e B, iniciando com o centro A, de raio 0,5 cm; 1 cm; 1,5 cm; 2 cm, .... Como mostrado na figura. Qual é o comprimento total de tal espiral feita de treze semicírculos consecutivos ?



200 registros são empilhados da seguinte maneira: 20 registros na fileira de baixo, 19 na próxima fileira, 18 na próxima, e assim por diante. Em quantas fileiras os 200 registros são colocados e quantos registros estão no topo da fileira ?




RESPOSTA: A











RESPOSTA: D



RESPOSTA: C


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