Primer Congreso sobre Los métodos numéricos en la enseñanza, la ingeniería y las ciencias – EMNUS 2010 Facultad Regional Haedo – UTN – 18, 19 y 20 de Agosto de 2010

PROPUESTA DE ESTUDIO INDEPENDIENTE: EL MÉTODO DE NEWTON-RHAPSON USANDO HIPERTEXTO

Betina Williner(1) Adriana Favieri(1) Roxana Scorzo(1)

(1) Departamento de Materias Básicas- Facultad Regional Haedo -Universidad Tecnológica Nacional.

París 532. (1706) Haedo. Buenos Aires-Argentina bwilliner@yahoo.com.ar - adriana.favieri@gmail.com - rscorzo@yahoo.com.ar

RESUMEN En el presente artículo se presenta una propuesta didáctica para llevarse a cabo en cursos de Análisis Matemático I de las carreras de Ingeniería. El objetivo de la misma es guiar al alumno, mediante un hipertexto y con uso de software específico, en el estudio de un método aproximado para la búsqueda de raíces (en este caso el método de Newton-Raphson). De esta manera puede combinarse estudio autónomo e independiente por parte del alumno, la introducción en los primeros años de la carrera de alguna herramienta del análisis numérico y la utilización de software, tres elementos claves en la formación de un ingeniero. Palabras claves: aprendizaje autónomo-hipertexto-métodos numéricos- Mathematica 1. INTRODUCCIÓN En las últimas décadas la evolución de las computadoras y la posibilidad de acceso a las mismas, han provocado un crecimiento en cuanto al uso y desarrollo de métodos numéricos. En la formación de un ingeniero y en su futura vida profesional, el conocimiento de las herramientas que le proporciona el Análisis Numérico cobra gran importancia. Por un lado le permite resolver problemas que por métodos analíticos sería imposible encontrar una solución, y por otro, conocer la teoría en la que se basan dichos métodos, le da la posibilidad de utilizar software específico o de crear sus propios programas. Se piensa que la introducción de algunos métodos numéricos sencillos, desde los primeros años de la carrera de Ingeniería, motiva al alumno a iniciarse en problemas de aplicación y refuerza su comprensión de la matemática. Se elabora una propuesta didáctica sobre el método de Newton Raphson de búsqueda de raíces de ecuaciones para ser implementada en la asignatura Análisis Matemático I de carreras de Ingeniería. La misma está pensada para que el alumno realice un estudio independiente y autónomo (individual o grupal), utilizando software Mathematica® e hipertextualidad. El objetivo es que, mediante el hipertexto creado, el alumno pueda comprender la deducción de la fórmula de Newton-Raphson, aplicarla a diferentes ejercicios, analizar el error cometido, y explorar las ventajas y desventajas del método. Se considera que sobre una base teórica sólida de Cálculo Diferencial el alumno es capaz por sí solo de indagar, por ejemplo, sobre este método numérico. De esta manera se combinan conocimientos teóricos previos con aplicaciones y software, tres elementos claves en la formación del ingeniero.

2. OBJETIVO Proponer una actividad didáctica de la asignatura Análisis Matemático I sobre el método de Newton de aproximación de raíces, con el fin de encaminar al alumno hacia un estudio autónomo e independiente, haciendo uso de hipertexto y software específico 3. MARCO TEÓRICO

3.1. APRENDIZAJE AUTÓNOMO Una propuesta didáctica de tipo hipertextual propicia el aprendizaje autónomo e independiente, ya que es el propio alumno el que elige los caminos a seguir, interactúa con la información, saca conclusiones y accede así al conocimiento. Ahora bien: ¿por qué es importante, más a nivel universitario, “aprender a aprender”? ¿Qué quiere decir aprendizaje autónomo?

Aebli (2001) considera que es deseable un aprendizaje autónomo para: - Aprender más. El docente en cada clase no puede, por razones de tiempo, orientar todo el

aprendizaje que se necesita. El alumno puede aprender algo por sí mismo: si continúa trabajando independientemente, refuerza sus conocimientos y experimenta más allá de lo trasmitido en clase.

- Preparación para el siguiente nivel escolar. Uno de los objetivos de cada nivel escolar es preparar al alumno en ciertas actividades de aprendizaje que tendrá que hacer por sí solo en el nivel siguiente.

- Preparación al trabajo. Las exigencias laborales actuales exigen una adaptación permanente por parte de los trabajadores.

Monereo y Castelló (1997, citado en Martínez Villavicencio 2004:3) definen a la autonomía en el aprendizaje como aquella facultad que le permite al estudiante tomar decisiones que lo conduzcan a regular su propio aprendizaje en función a una determinada meta y a un contexto o condiciones específicas. Esta autora agrega que en la base de la definición de autonomía se halla la posibilidad del estudiante de aprender a aprender, que resulta de ser más consciente de su proceso de cognición, es decir, la metacognición. Para lograr una autonomía en el aprendizaje, se debe enseñar a los alumnos a asimilar e integrar progresivamente estrategias de aprendizaje, enseñarles a ser más consciente sobre la forma de cómo aprenden, y así poder enfrentar satisfactoriamente diversas situaciones.

3.2. HIPERTEXTO Actualmente los avances tecnológicos ponen a nuestra disposición diferentes herramientas que nos posibilitan cambiar el estilo de profesor trasmisor de conocimiento, a un docente que anima a la exploración, elaboración de conjeturas y experimentación. Una de esas herramientas a las que hacemos referencia es el hipertexto. Salinas Ibáñez (1994) lo define como una tecnología software para organizar y almacenar información en una base de conocimientos cuyo acceso es no secuencial, tanto para los autores como para los usuarios. Esta se realiza en base a variadas conexiones punto a punto en el entramado de la base de conocimiento. Cuando las conexiones llevan gráficos, cuadros, secuencias de vídeo o música, el proceso se transforma en hipermedia. Tanto en el hipertexto como en la hipermedia, el conocimiento se presenta en forma no lineal, el estudiante interactúa con el material en el orden que a él le resulte conveniente de acuerdo a su propio interés y a sus conocimientos previos. De esta manera, al moverse por rutas o itinerarios no secuenciales, aprende explorando, por descubrimiento y experiencia personal, cambiando el rol de receptor pasivo de información. Existen diferentes nomenclaturas para describir los elementos de los multimedia interactivos. Jonassen y Wang (1990, citados en Salinas Ibáñez 1994) se refieren a cuatro elementos básicos de la base hipermedia:

- Nodos: son pequeños fragmentos de información (texto, gráficos, vídeo, etc.) que se presentan como unidad básica de esta información.

- Enlaces: son las interconexiones entre nodos. Los enlaces pueden ser de índole diversa según la forma de navegación, es decir, dónde nos lleva el botón que activemos. Podemos diferenciar entre enlaces de organización (ida, vuelta, de navegación, que permiten desenvolverse entre una red de nodos interconectados), de referencia (un valor, un texto) y de ejecución.

- Red de ideas: proporciona la estructura organizativa del programa y las interacciones posibles. - Itinerarios: Los itinerarios o caminos que puede seguir el usuario entre la información.

Uno de los ámbitos más propicios para diseñar materiales didácticos usando hipertexto o hipermedia es la Universidad. Es allí donde se necesita que nuestros alumnos tomen cada vez más autonomía, que desarrollen habilidades para planificar el logro de sus propios objetivos y para evaluar la eficacia de las actividades de aprendizaje. Las características principales de estos entornos de aprendizaje son:

- La inmaterialidad: mediante el lenguaje hipertextual es posible procesar grandes masas de información en forma rápida, ya sea a través del uso de CD, internet, y/o accesos a base de datos.

- La conectividad: acceder a la información a través de diferentes representaciones de la misma, obliga a los usuarios a desarrollar habilidades de análisis y síntesis.

- La interactividad: el lenguaje hipertextual posibilita una interacción sujeto – computadora, permitiendo elegir la secuencia de la información a seguir, establecer el ritmo y cantidad de información a procesar, y la profundización con la que quiere adquirir o manejar dicha información.

- La instantaneidad: a través del lenguaje hipertextual el usuario accede a bases de datos dentro y fuera del país en forma instantánea; como así también a poderosos motores de búsqueda.

- La calidad técnica: a través del hipertexto no sólo puede manejarse una gran cantidad de información de manera ágil, sino también elevar los niveles de calidad de la misma.

Para desarrollar actividades usando hipertexto es necesario contar con: - Una nueva estructura organizativa de los establecimientos educativos. Más allá del aula, es preciso

que los establecimientos educativos estén abiertos a flexibilizar los espacios y los tiempos en todas las áreas educativas.

- Uno nuevo tipo de alumno. El alumno deberá estar más preocupado por el proceso que por el producto, ser más activo y autónomo, capaz de tomar decisiones sobre el camino a seguir y la forma de acceder al mismo.

- Un nuevo modelo de docente. El docente deberá estar preparado para orientar, mediar y guiar al alumno. Deberá ofrecer al alumno herramienta válidas para acceder críticamente a la información. Por otro lado, ya no será necesaria la obligatoria presencia del docente en el aula, ya que puede mediar entre él y sus alumnos una computadora

3.3 USO DE SOFTWARE EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA Ya no hay dudas de que las TIC se convierten en un proceso muy valioso que puede y debe incorporarse a la actividad académica de docentes, investigadores y estudiantes. Paredes Labra y Minguell (2005) señalan que, por un lado, pueden ser de apoyo a la tarea docente (elaboración de páginas web, gestión de asignaturas, diseño de materiales didácticos), y por otro lado, se pueden convertir en herramientas favorecedoras de procesos de aprendizajes autónomos y significativos (desarrollo de actividades complementarias no presenciales, realización de pequeños trabajos de investigación, etc.) Estos autores señalan que la incorporación de los ordenadores a la enseñanza no tiene que suponer cambios significativos ni en la docencia ni en la calidad del aprendizaje. Más que los ordenadores, son las ideas sobre su uso y utilidad las que promueven los cambios. En la actualidad se tiende a orientar estas herramientas hacia el apoyo de la enseñanza y al desarrollo del aprendizaje autónomo. En el caso particular de la matemática, las herramientas clásicas del profesor son la tiza y el pizarrón, y del alumno, lápiz y papel. A pesar de ser herramientas válidas y auténticas, con el uso de software específico como Maple, Mathematica o Matlab, se puede aprovechar la riqueza geométrica de las representaciones gráficas de funciones, realizar con mayor rapidez cálculos o resolver ecuaciones, acciones que favorecen la comprensión y la visualización de los conceptos. En particular, en el mundo profesional del ingeniero, el requerimiento del uso de estas herramientas es cada vez más frecuente, son cada vez más las empresas que usan software específicos relacionados con la ingeniería. Por su parte, el Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas de Estados Unidos (NCTM, 2003) declara que el currículo de matemáticas de todos los niveles, debe incorporar la tecnología educativa en pro de un aprendizaje más efectivo y el desarrollo de habilidades por parte del estudiante. Agrega que es función de los docentes prepararse para efectuar decisiones sobre cómo y cuándo los alumnos pueden usar estas herramientas de un modo más efectivo. Según Hospital, Jiménez, Regiro y Villalba (2000), una herramienta de entrenamiento matemático para alumnos es principalmente una herramienta de aprendizaje y evaluación, tanto por parte del alumno como del profesor, que debe:

- Incentivar el aprendizaje a través de una interfaz adecuada - Suministrar conocimientos teóricos relacionados con el tema tratado, y una base de datos de dudas

frecuentes. - Proponer ejercicios variados - Evaluar los conocimientos adquiridos por los alumnos Mediante el uso del software matemático, los alumnos se involucran en actividades que les permiten razonar, resolver problemas, realizar conexiones con otros temas y comunicarse efectivamente en matemática. El aprendizaje de las propiedades y principios matemáticos puede verse mejorado a través de la visualización utilizando software específico. Cálculos complicados que suelen llevar mucho tiempo de resolución, se realizan en forma instantánea usando Mathematica u otros programas. Específicamente en la enseñanza-aprendizaje de la Matemática, Ortega Carpio y Contreras de la Fuente (2003), indican que la utilización de tutoriales hipermediales completa el entorno de software específico, potenciando las

herramientas visuales, aportando una estrategia pedagógica y la teoría relacionada, mientras que la inclusión de la navegación, permite individualizar el proceso.

4. MATERIAL DIDÁCTICO La actividad didáctica propuesta es de tipo hipertextual y, como se ha expresado en el marco teórico, puede concebirse como una serie de textos simples a través de los cuales es posible explorar la información sin hacer un recorrido “lineal” de la misma. El hipertexto ofrece una interesante manera de ordenar los datos, a través de un sistema de selección personal que multiplica las posibilidades de la lectura y convierte al alumno en un importante factor activo. El tema elegido es el Método de Newton – Rasphson para hallar raíces de ecuaciones. Se pretende que, una vez que en clase se haya tratado el tema “Derivada”, y/o “Polinomios de Taylor”, como una aplicación de la recta tangente a la curva en un punto y/o aplicación de los polinomios mencionados, el alumno sea capaz, por sí mismo, de comprender cómo se aplica el mencionado método, su base teórica, analizar errores y emplearlo en diversos ejercicios. De esta manera puede introducirse ya en los primeros años de la carrera de Ingeniería, una herramienta de cálculo numérico. Se ha diseñado la actividad teniendo en cuenta:

- El software y los equipos disponibles en la Universidad en la que se desarrolla la labor docente. - La combinación de textos, gráficos, uso del software Mathematica y la posibilidad de navegar por

internet. - La opción de fundamentar la fórmula a la que conduce el método mencionado desde dos opciones

diferentes, las que pueden ser elegidas de acuerdo al interés o a los conocimientos previos del alumno.

- La no inclusión del desarrollo de la convergencia cuadrática del método debido a que está dirigido a alumnos de primer año de Ingeniería. Si se desea presentar el hipertexto en un curso de Análisis numérico, se recomienda incluir esta deducción.

- Variedad en los ejemplos resueltos y en los ejercicios propuestos. - Los posibles itinerarios que puede recorrer el estudiante. Si bien existe libertad de navegación, se

elige los enlaces de manera tal que el recorrido no sea totalmente abierto, contando con cierta guía implícita que facilite la tarea.

La actividad está compuesta por los siguientes nodos:

- Menú principal: se brinda todos los nodos a partir de los cuales se puede empezar a recorrer el hipertexto.

- Introducción: se presenta el problema a resolver (solución de ecuaciones) y se explica en forma muy breve en qué consisten los diferentes métodos de resolución.

- Conocimientos previos: definición de ecuaciones algebraicas y trascendentes, ecuación de recta tangente a una curva en un punto, polinomio de Taylor y término complementario de una función en un punto dado.

- Ejemplo introductorio: búsqueda de la raíz de una ecuación determinada, usando software Mathematica y explicando en qué consiste el método de una manera intuitiva.

- Obtención del algoritmo. Deducción a través de la recta tangente: desarrollo del método a través del gráfico de la función y la recta tangente a la curva en un punto cercano a la raíz. Deducción de la fórmula y sistematización del algoritmo.

- Obtención del algoritmo. Deducción a través de polinomios de Taylor. Derivación del método mediante polinomios de Taylor y término complementario.

- Ejercicios resueltos: ejercicios resueltos usando software Mathematica. - Análisis del error. - Ventajas y desventajas: cuándo es conveniente aplicarlo y en qué casos falla. - Ejercicios para resolver: para que el alumno pueda practicar lo estudiado. Estos ejercicios pueden

servir luego para el docente como feedback o evaluación de la tarea efectuada. - Otros métodos para hallar raíces de ecuaciones: se brinda direcciones de internet donde el alumno

puede explorar otros métodos de búsqueda de raíces como el método de la secante, método de bisección, entre otros.

Se presenta en una matriz de doble entrada los enlaces entre los nodos. El 1 representa que existe conexión y el 0 que no se puede acceder de un nodo al otro. Para poder armar la matriz con facilidad, asignamos códigos a cada uno de los nodos: Menú principal: M Introducción: I Conocimientos previos: CP Ejemplo introductorio: EI Obtención del algoritmo. Deducción a través de la recta tangente: DR Obtención del algoritmo. Deducción a través de Polinomios de Taylor: DP Ejercicios resueltos: E Análisis del error: AE Ventajas y desventajas: VD Ejercicios para resolver: ER Otros métodos: OM

Tabla 1. Matriz de enlace entre nodos M I CP EI DR DP E AE VD ER OM

M 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 I 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1

CP 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 EI 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 DR 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 DP 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 E 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0

AE 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 VD 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 ER 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 OM 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Con respecto a la evaluación, se sugiere la presentación en formato impreso de los ejercicios propuestos en el hipertexto resueltos por parte de los alumnos con el software Mathematica (la cual puede ser grupal o individual). Se considera conveniente completar este instrumento con algunas de las siguientes alternativas:

- Instancia de evaluación individual usando la computadora. En esta oportunidad el docente dará al alumno ejercicios y/o preguntas referidas al tema tratado, las cuales deberá resolver de acuerdo a lo comprendido y estudiado.

- Incluir un ejercicio sobre el método de Newton-Raphson en el temario de una de las evaluaciones parciales correspondiente a la asignatura. En este caso el alumno lo resolverá sin utilizar la herramienta informática.

- Realizar algunas preguntas en forma oral a cada alumno para que defienda su trabajo en forma individual.

5. REFLEXIONES: Si bien todavía no se ha puesto en práctica esta propuesta, se espera que:

- Haciendo uso de la misma, el alumno pueda estudiar uno de los métodos para obtener raíces de ecuaciones sin “recibirlo” en forma acabada y expositiva, por parte del profesor. Esto favorece el aprendizaje independiente, convirtiendo al estudiante en un sujeto activo en la adquisición del conocimiento.

- Al ser su diseño hipertextual, el alumno lo recorre en la forma que considera más conveniente de acuerdo a sus conocimientos y habilidades, lo que favorece la independencia y la autonomía.

- El contenido y el modo de presentación de la actividad sean relevantes para los estudiantes, que la oportunidad de elegir, de controlar sus acciones, influya positivamente en la motivación intrínseca de cada uno.

- Estimule el manejo de estrategias cognitivas y metacognitivas que permitan al alumno desempeñarse de manera productiva.

- Beneficie el manejo de recursos de aprendizaje como: el tiempo (planificación de la tarea), el ambiente (procurar un ambiente propicio para la realización) y búsqueda de ayuda del docente de ser necesario.

- Permita introducir temas de cálculo numérico desde los primeros años de la carrera de Ingeniería, sobre la base de conocimientos del Análisis Matemático.

- El uso del software como herramienta de apoyo en los cálculos y en la graficación, favorezca la concentración en el concepto a estudiar.

6. BIBLIOGRAFÍA Aebli, Hans. (2001). “Factores de la enseñanza que favorecen el aprendizaje autónomo”. España: Editorial

Narcea. Burden, Richard; Faires, Douglas. (1985) Análisis numérico.México: Grupo Editorial Iberoamérica. Chapra, Steven; Canale, Raymond. (1992) Métodos numéricos para ingenieros. México: Mc Graw Hill Hospital, F., Jiménez, F., Regiro A. y Villalba, A. (2000). Esbozo para el diseño y desarrollo de software de

entrenamiento matemático. Actas del Encuentro de matemáticos andaluces, 577-584. Martínez Villavicencio, Lileya. (2004). El aprendizaje autónomo en la educación a distancia. Comunicación

en el Primer Congreso Virtual Latinoamericano de Educación a Distancia. Recuperado de http://www.ateneonline.net/datos/55_03_Manrique_Lileya.pdf el 2 de mayo de 2010.

National Council of Teachers of Mathematics. (2003). The Use of Technology in the Learning and Teaching of Mathematics. Recuperado el 4 de agosto de 2009 de http://www.nctm.org/about/content.aspx?id=6360&itemid=6360&linkidentifie=id

Ortega Carpio, M; Contreras de la Fuente, A. (2003). El objeto tecnológico Mathematica en la enseñanza del Análisis, ¿es sólo un amplificador cognitivo? Jornadas XIX SI-IDM en http://www.ugr.es/~jgodino/siidm/cordoba_2003/acontrerasdoc.doc

Paredes Labra J. y Meritxell Estebanell Minguell. (2005). “Actitudes y necesidades de formación de los profesores antes las TIC y la introducción del crédito europeo. Un nuevo desafío para la educación superior”. Revista de educación, número 337, pág.125-148.

Salina Ibáñez Jesús. (1994). Hipertexto e Hipermedia en la enseñanza universitaria. Pixel-Bit: Revista de medios y educación, número 1.