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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA
CÁLCULO III
Coordenadas en el espacio
Un punto O y una base B = {i ,
j ,
k } de los vectores libres del
espacio constituyen un sistema de referencia en el espacio.
Se escribe S = {O;i ,
j ,
k }.
En lo que sigue, por comodidad, trabajaremos en la base ortonormal.
[OP] = x .
i + y .
j + z .
k
(x, y, z) son las coordenadas de P respecto del sistema de referencia S.
Vector de posición de P
Origen de coordenadas
Ejes coordenados. Planos coordenados
• Los tres vectores de la base B determinan con el origen O tres ejes de coordenadas OX, OY, y OZ.
• Los planos OXY, OYZ y OZX se denominan planos coordenados del sistema de referencia.
Coordenadas de un vector libre cualquiera
PQ =
OQ –
OP
[
PQ] =
OQ –
OP =
= (b – a, b' – a' , b" – a")
Los puntos P y Q determinan el
vector fijo PQ
OP +
PQ =
OQ
Las coordenadas de un vector libre u = [
PQ] respecto de la base B =
{i ,
j ,
k } se obtienen restando las coordenadas del punto P de las
correspondientes de Q en el sistema de referencia S = {O;i ,
j ,
k }.
m =
a +
AM =
a +
12
AB =
= a +
12 (
b –
a ) =
12 (
a +
b )
Coordenadas del punto medio de un segmento
Elementos geométricos
Los objetos o elementos geométricos elementales del espacio tridimensional son los puntos, las rectas, los planos, las curvas y las superficies.
Estos elementos geométricos pueden determinarse mediante ecuaciones paramétrica. La dimensión del elemento coincide con el número de parámetros.
Dimensión
Rectas y curvas(dimensión 1)
Planos y superficies(dimensión 2)
Rectas en el espacio: ecuación vectorial
Una recta viene determinada por un punto y una dirección. La dirección está
marcada por un vector libre u llamado
vector director.
Un punto X está en la recta si y sólo si PX
y u son proporcionales: [
PX] = t ·
u
Si p es el vector de posición de P,
x es
el vector de posición de X, quedará: x –
p = t ·
u es decir:
x =
p + t ·
u
La expresión x =
p + t ·
u con t R es la ecuación vectorial de la recta que
pasa por P y tal que u es un vector director de la misma.
Rectas en el espacio: ecuaciones paramétricas
La recta que pasa por P de vector directorv (v1, v2, v3) se puede poner así:
(x, y, z) = (xo, yo, zo) + t (v1, v2, v3) Al igualar coordenadas obtenemos:
Las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por P(xo, yo, zo) y que tiene
por vector director v (v1, v2, v3) son
x = xo + t.v1
y = yo + t.v2
z = zo + t.v3
x = xo + t.v1
y = yo + t.v2
z = zo + t.v3
Rectas en el espacio: ecuación en forma continua
Las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto P (x0,y0,z0) y tienen por vector director (v1,v2,v3) son:
30
20
10
tvzz
tvyy
tvxx
Las ecuaciones simétricas de la recta r que pasa por P(xo, yo, zo) y que tiene por
vector director (v1, v2, v3) son:
Despejando t en cada una de ellas e igualando, obtenemos las ecuaciones de la recta que no dependen de ningún parámetro
1. Encuentre las ecuaciones vectoriales, paramétricas y simétricas de la recta r que pasa por los puntos P (2, -1, 6) y Q(3, 1, -2).
2. Encuentre las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por el punto (1, -2, 4) y es paralela al vector v=i + j - k
Rectas en el espacio: ecuación implícita
Las ecuaciones simétricas de la recta r que pasa por P(xo, yo, zo) y que tiene por
vector director v (v1, v2, v3) son
x – xo
v1 =
y – yo
v2 =
z – zo
v3
1 1
1 2
x x y y
v v
1 1
3 1
z z x x
v v
1 1
2 3
y y z z
v v
De aquí obtenemos tres ecuaciones:
Como la tercera ecuación es combinación lineal de la otras dos, suprimiendo una ellas, la tercera por ejemplo, y operando obtenemos:
2 1 1 1 1 2
3 2 1 2 1 3
0
0
v x v y y v x v
v y v z z v y v
Este par de ecuaciones es la ecuación de la recta en forma implícita. En general :
0D'zC'yB'xA'
0D Cz By Ax
Ecuaciones de los ejes coordenados
Vectorial Paramétrica Continua
Eje OXx = t
i
x = t
y = 0z = 0
x1 =
y0 =
z0
Eje OYx = t
j
x = 0
y = tz = 0
x0 =
y1 =
z0
Eje OZx = t
k
x = 0
y = 0z = t
x0 =
y0 =
z1
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
(a1, a2, a3)
(b1, b2, b3)
Por tanto la ecuación de la recta será:(x, y, z) = (a1, a2, a3) + t (b1–a1, b2–a2, b3–a3 )
La recta r queda determinada por la siguiente
determinación lineal: r(A, ) o por(B, )AB
AB
Planos: ecuación vectorial
Un plano queda determinado por un punto y dos vectores linealmente independientes. Se dice que a (A, v, w ) es una determinación lineal del plano alfa.
X está en si y solo si AX es
combinación lineal de v y w. Por tanto
existirán dos números reales s y t tales
que: AX = s v + t w
Por tanto x – a = s v + t w
Y de aquí se obtiene la ecuación vectorial del plano:
x = a + s v + t w, con s R y t R
Se observa además que X rango (AX, v, w) = 2 det (AX, v, w) = 0
Planos: ecuaciones paramétricas
Partiendo de la ecuación vectorial del plano: (x, y, z) = (x1, y1, x1) + t (a, b, c) + s (a', b', c')
obtenemos las ecuaciones paramétricas utilizando las operaciones con ternas de números de R3 e igualando después. Por tanto las ecuaciones paramétricas del plano son las siguientes:
Notación: por lo general un plano se denota por
Ecuación cartesiana de un plano
El plano que contiene a el punto A(x1, y1, z1) y tiene un vector normal n= (a, b, c) , este plano consta de todos los puntos B (x2, y2, z2 ) para los cuales , puede representarse en forma canónica a(x2 – x1) + b(y2 – y1) + c(z2 – z1) = 0
ax +by +cz + d=0 forma general
a(x – x1) + b(y – y1) + c(z – z1) = 0Si B (x, y, z )
n . [
AB] =0
Vector normal a un plano
Observamos que: AB = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1)
Como A (x1,y1,z1) y B (x2,y2,z2) tenemos que:
ax1 + by1 + cz1 + d = 0 ax2 + by2 + cz2 + d = 0
Restando término a término obtenemos: a(x2 – x1) + b(y2 – y1) + c(z2 – z1) = 0
(a, b, c) . (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) = 0n . [
AB] = 0
El vector n es perpendicular a cualquier vector contenido en el plano, es
decir está en una dirección perpendicular al plano. Recibe el nombre de vector normal al plano. Sus coordenadas son (a,b,c)
Ejercicio
1. Encuentre un plano que pase por el punto (2. -5, 1) y que tiene un vector normal n= i-2j+3k
a(x – x1) + b(y – y1) + c(z – z1) = 0
2. Hallar la ecuación general del plano que contiene a los puntos (2, 1, 1), (0, 4, 1) y (-2, 1, 4)
