Relaciones binarias

Relaciones Binarias

Alvaro M. Naupay Gusukuma

Escuela Talentos

23 de Julio 2014

Alvaro M. Naupay Gusukuma Relaciones Binarias

Par Ordenado

Concepto matematico que consta de dos elementos denotadopor (a; b)

que se define formalmente como:

Definicion

(a; b) = {{a}; {a; b}}

donde a se llama primera componente y b segunda compo-nenteEjemplo:

(2;√

3) = {{2}; {2;√

3}}


Par Ordenado

Concepto matematico que consta de dos elementos denotadopor (a; b) que se define formalmente como:

Definicion

(a; b) = {{a}; {a; b}}


(2;√

3) = {{2}; {2;√

3}}


Par Ordenado


Definicion

(a; b) = {{a}; {a; b}}

donde a se llama primera componente y b segunda compo-nente

Ejemplo:

(2;√

3) = {{2}; {2;√

3}}


Par Ordenado


Definicion

(a; b) = {{a}; {a; b}}


(2;√

3) = {{2}; {2;√

3}}


Par Ordenado


Definicion

(a; b) = {{a}; {a; b}}


(2;√

3) = {{2}; {2;√

3}}


Igualdad de pares ordenados

Teorema

Se cumple (a; b) = (c; d) si y solo si a = c y b = d

Ejemplo: Si se cumple que (2x+ 3, x+ y) = (5; 7) entonceshallar el valor de x e y.


Igualdad de pares ordenados

Teorema

Se cumple (a; b) = (c; d) si y solo si a = c y b = d

Ejemplo: Si se cumple que (2x+ 3, x+ y) = (5; 7) entonceshallar el valor de x e y.


Producto Cartesiano

Dados los conjuntos no vacıos A y B el producto cartesianode ambos se denota por A× B y se lee producto cartesianode A por B.

Definicion formal

Definicion

A×B = {(a; b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}

Ejemplo: Sean A = {1; 2} y B = {3; 4; 5} entonces


Producto Cartesiano

Dados los conjuntos no vacıos A y B el producto cartesianode ambos se denota por A× B y se lee producto cartesianode A por B.Definicion formal

Definicion

A×B = {(a; b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}



Producto Cartesiano


Definicion

A×B = {(a; b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}

Ejemplo: Sean A = {1; 2} y B = {3; 4; 5}

entonces


Producto Cartesiano


Definicion

A×B = {(a; b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}



Producto Cartesiano

A×B = {(1; 3), (1; 4), (1; 5), (2; 3), (2; 4), (2; 5)}B × A = {(3; 1), (3; 2), (4; 1), (4; 2), (5; 1), (5; 2)}

Representacion grafica

1

2

3

4

5

1

2

3

1 2 3 4 51 2

Figura : Los pares ordenados son representados por puntos.


Producto Cartesiano

A×B = {(1; 3), (1; 4), (1; 5), (2; 3), (2; 4), (2; 5)}B × A = {(3; 1), (3; 2), (4; 1), (4; 2), (5; 1), (5; 2)}


1

2

3

4

5

1

2

3

1 2 3 4 51 2



Producto Cartesiano

A×B = {(1; 3), (1; 4), (1; 5), (2; 3), (2; 4), (2; 5)}B × A = {(3; 1), (3; 2), (4; 1), (4; 2), (5; 1), (5; 2)}


1

2

3

4

5

1

2

3

1 2 3 4 51 2



Ejemplos

1.- Si A = {1; 2}, escriba A× A (que tambien se puedeescribir como A2).

2.- Si A = {x ∈ R | 1 ≤ x < 3} y B = {2}, escriba A×B ysu representacion grafica:

A×B = {(x, 2) | x ∈ A}3.- Si A = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 3} y B = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 5},

escriba A×B y de su representacion grafica:A×B = {(x, y) ∈ R2 | 1 ≤ x ≤ 3 y 1 ≤ y ≤ 5},compare con B × A.


Ejemplos


2.- Si A = {x ∈ R | 1 ≤ x < 3} y B = {2}, escriba A×B ysu representacion grafica: A×B = {(x, 2) | x ∈ A}

3.- Si A = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 3} y B = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 5},escriba A×B y de su representacion grafica:A×B = {(x, y) ∈ R2 | 1 ≤ x ≤ 3 y 1 ≤ y ≤ 5},compare con B × A.


Ejemplos



3.- Si A = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 3} y B = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 5},escriba A×B y de su representacion grafica:

A×B = {(x, y) ∈ R2 | 1 ≤ x ≤ 3 y 1 ≤ y ≤ 5},compare con B × A.


Ejemplos



3.- Si A = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 3} y B = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 5},escriba A×B y de su representacion grafica:A×B = {(x, y) ∈ R2 | 1 ≤ x ≤ 3 y 1 ≤ y ≤ 5},

compare con B × A.


Ejemplos



3.- Si A = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 3} y B = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 5},escriba A×B y de su representacion grafica:A×B = {(x, y) ∈ R2 | 1 ≤ x ≤ 3 y 1 ≤ y ≤ 5},compare con B × A.


Observaciones

1.- Si A 6= B entonces A×B 6= B×A, es decir, el productocartesiano no cumple la propiedad conmutativa.

2.- Si A y B son conjuntos finitos con m y n elementosrespectivamente, entonces A×B es un conjunto finitocon m× n elementos.

3.- Si A o B fuera infinito y ninguno de ellos fuera vacıoentonces A×B es un conjunto infinito.


Observaciones





Observaciones





Ejercicios

1.- Dados los conjuntos

A = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 3}B = {x ∈ R | −2 ≤ x ≤ 2}C = {x ∈ R | −4 < x ≤ 1}

representa graficamente los siguientes productos:

a) A×B b) A× C c) B × C

d) C ×B e) A2 e) C2


Ejercicios

2.- Dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} yB = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 4} representar graficamente losconjuntos:

a) A×B.b) B ×A.c) (A×B) ∪ (B ×A).


Ejercicios

3.- Sean los conjuntos A, B y C tales que A ⊂ B ⊂ C.Establecer las relaciones de inclusion entre losconjuntos: A×A, A×B, A×C, B ×A, B ×B, B ×C,C × A, C ×B y C × C.


Ejercicios

4.- Sabiendo que {(1; 2), (4; 2)} ⊂ A2 y n(A2) = 9,represente todos los elementos del conjunto A2.

Solucion: El numero de elemento de A2 es igual al cuadradodel numero de elementos de A, por lo tanto

n(A2) = [n(A)]2 ⇒ [n(A)]2 = 9 ⇒ n(A) = 3.

Si A es un conjunto de 3 elementos, (1; 2) ∈ A2 y (4; 2) ∈ A2,concluimos que A = {1; 2; 4}. Con lo que ya podemos escribirA× A.


Ejercicios


Solucion: El numero de elemento de A2 es igual al cuadradodel numero de elementos de A,

por lo tanto

n(A2) = [n(A)]2 ⇒ [n(A)]2 = 9 ⇒ n(A) = 3.



Ejercicios



n(A2) = [n(A)]2 ⇒ [n(A)]2 = 9 ⇒ n(A) = 3.



Ejercicios



n(A2) = [n(A)]2 ⇒ [n(A)]2 = 9 ⇒ n(A) = 3.

Si A es un conjunto de 3 elementos,

(1; 2) ∈ A2 y (4; 2) ∈ A2,concluimos que A = {1; 2; 4}. Con lo que ya podemos escribirA× A.


Ejercicios



n(A2) = [n(A)]2 ⇒ [n(A)]2 = 9 ⇒ n(A) = 3.

Si A es un conjunto de 3 elementos, (1; 2) ∈ A2 y (4; 2) ∈ A2,

concluimos que A = {1; 2; 4}. Con lo que ya podemos escribirA× A.


Ejercicios



n(A2) = [n(A)]2 ⇒ [n(A)]2 = 9 ⇒ n(A) = 3.

Si A es un conjunto de 3 elementos, (1; 2) ∈ A2 y (4; 2) ∈ A2,concluimos que A = {1; 2; 4}.

Con lo que ya podemos escribirA× A.


Ejercicios



n(A2) = [n(A)]2 ⇒ [n(A)]2 = 9 ⇒ n(A) = 3.



Ejercicios

5.- Si {(1;−2), (3; 0)} ⊂ A2 y n(A2) = 16 entoncesrepresente A2 con todos sus elementos.

6.- Considere A ⊂ B, {(0; 5), (−1; 2), (2;−1)} ⊂ A×B yn(A×B) = 12, represente A×B con todos suselementos.

7.- Si tenemos dos dados uno rojo y otro blanco y lostiramos sobre una mesa. Hallar las diferentes manerasen que ambos caen. Escribir su respuesta comoproducto cartesiano.


Ejercicios





Ejercicios





Relacion binaria

Definicion

Sean A y B conjuntos diferentes del vacıo, llamamosrelacion (binaria) de A en B y la denotamos por R, a todosubconjunto del producto cartesiano A×B.

Es decir

R ⊂ A×B

Si los conjuntos fueran iguales, todo subconjunto de A × Aes llamado una relacion en A.

R es una relacion en A⇔ R ⊂ A× A


Relacion binaria

Definicion

Sean A y B conjuntos diferentes del vacıo, llamamosrelacion (binaria) de A en B y la denotamos por R, a todosubconjunto del producto cartesiano A×B. Es decir

R ⊂ A×B

Si los conjuntos fueran iguales, todo subconjunto de A × Aes llamado una relacion en A.

R es una relacion en A⇔ R ⊂ A× A


Relacion binaria

Utilizaremos la siguiente nomenclatura:

A = conjunto de partida de la relacion RB = conjunto de llegada o contradominio de la relacion R.

Cuando el par (x, y) pertenece a la relacion R, escribiremosxRy (se lee x relacionado con y)

(x; y) ∈ R ⇔ xRy


Relacion binaria

Utilizaremos la siguiente nomenclatura:

A = conjunto de partida de la relacion RB = conjunto de llegada o contradominio de la relacion R.

Cuando el par (x, y) pertenece a la relacion R, escribiremosxRy (se lee x relacionado con y)

(x; y) ∈ R ⇔ xRy


Relacion binaria

Si el par (x; y) no pertenece a la relacion R escribimos x��Ry(se lee x no esta relacionado con y)

(x; y) /∈ R ⇔ x��Ry


Ejemplos

Ejemplo: Si A = {1; 2; 3; 4; 5} y B = {1; 2; 3; 4}, ¿cuales sonlos elementos de la relacion R = {(x; y) | x < y} de A enB?

R = {(1; 2), (1, 3); (1; 4), (2; 3), (2; 4), (3; 4)}Ejemplo: Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, ¿cualesson los elementos de la relacion binariaR de A en B? definidaası:

xRy ⇔ y = x + 2

dar su representacion graficaEjemplo: Si A = {−1, 0, 1, 2} ¿cuales son los elementos de larelacion R = {(x, y) ∈ A2 | x2 = y2}? , dar su representaciongrafica


Ejemplos

Ejemplo: Si A = {1; 2; 3; 4; 5} y B = {1; 2; 3; 4}, ¿cuales sonlos elementos de la relacion R = {(x; y) | x < y} de A enB?R = {(1; 2), (1, 3); (1; 4), (2; 3), (2; 4), (3; 4)}

Ejemplo: Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, ¿cualesson los elementos de la relacion binariaR de A en B? definidaası:

xRy ⇔ y = x + 2



Ejemplos

Ejemplo: Si A = {1; 2; 3; 4; 5} y B = {1; 2; 3; 4}, ¿cuales sonlos elementos de la relacion R = {(x; y) | x < y} de A enB?R = {(1; 2), (1, 3); (1; 4), (2; 3), (2; 4), (3; 4)}Ejemplo: Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, ¿cualesson los elementos de la relacion binariaR de A en B? definidaası:

xRy ⇔ y = x + 2



Ejemplos


xRy ⇔ y = x + 2

dar su representacion grafica

Ejemplo: Si A = {−1, 0, 1, 2} ¿cuales son los elementos de larelacion R = {(x, y) ∈ A2 | x2 = y2}? , dar su representaciongrafica


Ejemplos


xRy ⇔ y = x + 2

dar su representacion graficaEjemplo: Si A = {−1, 0, 1, 2} ¿cuales son los elementos de larelacion R = {(x, y) ∈ A2 | x2 = y2}?

, dar su representaciongrafica


Ejemplos


xRy ⇔ y = x + 2



Ejemplos

Ejemplo: Si A = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 3} y B = {y ∈ R |1 ≤ y ≤ 2}, se pide la representacion cartesiana de A×B yR = {(x, y) ∈ A×B | y = x}


Ejercicios

1.- Sean los conjuntos A = {−2,−1, 0, 1, 2} yB = {−3,−2,−1, 1, 2, 3, 4}, en cada uno de los casosescribir la relacion y hacer su grafica.

a) xRy ⇔ x + y = 2 b) xSy ⇔ x2 = y

c) xT y ⇔ |x| = |y| d)xVy ⇔ x + y > 2

e) xWy ⇔ (x− y)2 = 1

2.- Dado el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Escribir los paresordenados y hacer el grafico cartesiano de la relacion Ren A dada por:

R = {(x, y) ∈ A2 | mcd(x, y) = 2}


Ejercicios

1.- Sean los conjuntos A = {−2,−1, 0, 1, 2} yB = {−3,−2,−1, 1, 2, 3, 4}, en cada uno de los casosescribir la relacion y hacer su grafica.

a) xRy ⇔ x + y = 2 b) xSy ⇔ x2 = y

c) xT y ⇔ |x| = |y| d)xVy ⇔ x + y > 2

e) xWy ⇔ (x− y)2 = 1

2.- Dado el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Escribir los paresordenados y hacer el grafico cartesiano de la relacion Ren A dada por:

R = {(x, y) ∈ A2 | mcd(x, y) = 2}


Ejercicios

3.- Sea el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Construir el graficocartesiano de la relacion R en A definida por:

xRy ⇔ x e y son primos entre si.

4.- Dado el conjunto A = {m ∈ Z | −7 ≤ m ≤ 7}.Construir el grafico cartesiano de la relacion binaria Ren A definida por:

xRy ⇔ x2 + y2 = 25


Ejercicios

3.- Sea el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Construir el graficocartesiano de la relacion R en A definida por:

xRy ⇔ x e y son primos entre si.

4.- Dado el conjunto A = {m ∈ Z | −7 ≤ m ≤ 7}.Construir el grafico cartesiano de la relacion binaria Ren A definida por:

xRy ⇔ x2 + y2 = 25


Graficas

1.- Representar en R2 la grafica deA = {(x, y) | y ≤ x, y ≥ x− 1}.

2.- Representar en R2 el conjuntoA = {(x, y) | x + y ≤ 1, y ≥ x2}

3.- Representar en el plano el siguiente conjuntoA = {(x, y) | y ≤ x2 ≤ 4}

4.- Representar en el plano R2 el siguiente conjuntoA = {(x, y) | |x− y| ≤ x}.


Graficas






Graficas






Graficas






Dominio e Imagen

Sea R una relacion de A en B

Definicion de dominio

Se llama dominio de R al conjunto D de todos los primeroselementos de los pares ordenados que pertenecen a R.

x ∈ D ⇔ ∃ y, y ∈ B | (x, y) ∈ R

Definicion de imagen

Se llama imagen de R al conjunto I de todos los segundoselementos de los pares ordenados pertenecientes a R.

y ∈ I ⇔ ∃ x, x ∈ A | (x, y) ∈ R

De la definicion se tiene que D ⊂ A y I ⊂ B


Dominio e Imagen




x ∈ D ⇔ ∃ y, y ∈ B | (x, y) ∈ R



y ∈ I ⇔ ∃ x, x ∈ A | (x, y) ∈ R



Dominio e Imagen




x ∈ D ⇔ ∃ y, y ∈ B | (x, y) ∈ R



y ∈ I ⇔ ∃ x, x ∈ A | (x, y) ∈ R



Dominio e Imagen




x ∈ D ⇔ ∃ y, y ∈ B | (x, y) ∈ R



y ∈ I ⇔ ∃ x, x ∈ A | (x, y) ∈ R



Ejemplo

Ejemplo: Si A = {0, 2, 3, 4} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ¿cual esel dominio e imagen de la relacionR = {(x, y) ∈ A×B | y es multiplo de x}?

D = {2, 3, 4}, I = {2, 3, 4, 6}Ejemplo: Si A = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 3} y B = {y ∈ R |1 ≤ y ≤ 4}, ¿cual es el dominio y la imagen de la relacionR = {(x, y) ∈ A×B | y = 2x}?D = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 2} e I = {y ∈ R | 2 ≤ y ≤ 4}


Ejemplo

Ejemplo: Si A = {0, 2, 3, 4} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ¿cual esel dominio e imagen de la relacionR = {(x, y) ∈ A×B | y es multiplo de x}?D = {2, 3, 4}, I = {2, 3, 4, 6}

Ejemplo: Si A = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 3} y B = {y ∈ R |1 ≤ y ≤ 4}, ¿cual es el dominio y la imagen de la relacionR = {(x, y) ∈ A×B | y = 2x}?D = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 2} e I = {y ∈ R | 2 ≤ y ≤ 4}


Ejemplo

Ejemplo: Si A = {0, 2, 3, 4} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ¿cual esel dominio e imagen de la relacionR = {(x, y) ∈ A×B | y es multiplo de x}?D = {2, 3, 4}, I = {2, 3, 4, 6}Ejemplo: Si A = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 3} y B = {y ∈ R |1 ≤ y ≤ 4}, ¿cual es el dominio y la imagen de la relacionR = {(x, y) ∈ A×B | y = 2x}?

D = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 2} e I = {y ∈ R | 2 ≤ y ≤ 4}


Ejemplo

Ejemplo: Si A = {0, 2, 3, 4} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ¿cual esel dominio e imagen de la relacionR = {(x, y) ∈ A×B | y es multiplo de x}?D = {2, 3, 4}, I = {2, 3, 4, 6}Ejemplo: Si A = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 3} y B = {y ∈ R |1 ≤ y ≤ 4}, ¿cual es el dominio y la imagen de la relacionR = {(x, y) ∈ A×B | y = 2x}?D = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 2} e I = {y ∈ R | 2 ≤ y ≤ 4}


Ejercicios

1.- Establecer el dominio e imagen de las siguientesrelaciones

a) {(1, 1), (1, 3), (2, 4)}.b) {(1 +

√2,√

2), (1−√

3, 1)}.

c) {(3, 1

2), (

5

2,−1), (

3

2, 0)}


Ejercicios

2.- Sean los conjuntos A = {−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5},B = {−2,−1, 0, 1, 2} y R la relacion binaria de A en Bdefinida por

xRy ⇔ x = y2

a) Escriba los pares ordenados de R.b) Escriba los elementos del dominio y de la imagen.c) Haga el grafico cartesiano de R.


Ejercicio

3.- Si R es una relacion binaria de A = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 6}en B = {y ∈ R | 1 ≤ y ≤ 4} definida por

xRy ⇔ x = 2y

se pide

a) La representacion cartesiana de A×B.b) La representacion cartesiana de R.c) El dominio y la imagen de R.


Ejercicio

4.- Si R y S son relaciones binarias deA = {x ∈ Z | −2 ≤ x ≤ 5} enB = {y ∈ Z | −2 ≤ y ≤ 3} definidas por

xRy ⇔ 2 divide (x− y)

xSy ⇔ (x− 1)2 = (y − 2)2

Se pide

a) Las representaciones cartesianas de R y S.b) El dominio e imagen de R y S.c) R∩ S.


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