FORMULARIO - ALGEBRA

Conjuntos Numéricos:

Conjunto de los Naturales Conjunto de los Cardinales { }1,2,3,4,5,...= ∞� { } { }

00,1, 2,3,4,5,6,... 0= ∞ = ∪��

Conjunto de los Enteros Conjunto de los Racionales { }

{ } { }

..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...

0 0− + −

= − − −

= ∪ ∪ = ∪ ∪

�

� � � � � 1 5 6

/ , 0 ..., , , ,...3 6 37

aa b b

b

− = ∧ ∈ ≠ =

� �

Conjunto de los Irracionales Conjunto de los Reales

{ }..., 3, 2, , , 3 7,...π π∗= −� ∗

= ∪� � �

Conjunto de los Imaginarios Conjunto de los Complejos

{ }46II ..., 8, 3, 2,5 ,... 1i i= − − − = − { }6II= ...,1 3 ,2 8,...i= ∪ + − −� �

0

*

*

sec

II

II

Unión Inter ción∪ = ∩ =

⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂

∩ = ∅

∪ =

∩ = ∅

∪ =

� � � � � �

� �

� � �

�

� �

Propiedades que cumplen: (conjunto, operación)

( ,+� ) -Clausura -Conmutativa -Asociativa

( 0 ,+� ) -Clausura -Conmutativa -Asociativa -Elem. neutro aditivo “0”

( ,+� ) -Clausura -Conmutativa -Asociativa -Elem. neutro aditivo “0” -Elem. Inverso aditivo “el opuesto”

( ,+� ) -Clausura -Conmutativa -Asociativa -Elem. neutro aditivo “0”

-Elem. Inverso aditivo “el opuesto”

Números Enteros: Consecutividad Numérica, Paridad e Imparidad:

• Números consecutivos: ..., ( 2), ( 1), , ( 1), ( 2),...n n n n n− − + +

• Números Pares consecutivos: 2n, representa un par con n∈ � • Números Impares consecutivos: 2n-1, representa un impar con n∈� • Números primos: Son números naturales distinto de 1, que son divisibles por “1” y por “si mismos”.

Ejemplo: { }

{ }

(3) 1,3 y 3 1 entonces es primo

(6) 1, ,6 entonces es pri,3 no mo2

D

D

= ≠

=

Obs: El cero no se define como par ni como impar y el 1 no es primo

( ,•� ) -Clausura -Conmutativa -Asociativa -Elemento Neutro multiplicativo “1” -Distributiva de la multiplicación sobre la suma

( 0 ,•� ) -Clausura -Conmutativa -Asociativa -Elemento Neutro multiplicativo “1” -Elemento absorbente “0”

( ,•� ) -Clausura -Conmutativa -Asociativa -Elemento Neutro multiplicativo “1” -Elemento absorbente “0”

( ,•� ) -Clausura -Conmutativa -Asociativa -Elemento Neutro multiplicativo “1” -Elemento absorbente “0” -Elemento Inverso multiplicativo “el recíproco”

..., (2 2), 2 , (2 2), (2 4), (2 6),...n n n n n− + + +

..., (2 3), (2 1), (2 1), (2 3),...n n n n− − + +

• ¿Cómo sacar el número de divisores totales? Ejemplo: { }(72) 1,2,........,36,72 ¿Cuántos son?D =

2 3

2 3 2 1 3 1

72 9·8 3·3·4·2 3·3·2·2·2 3 ·2 (descomponemos en factores primos)

3 ·2 3 ·2 2 1,3 1 3·4 12 (sumamos 1 al los exponentes y luego multiplicamos)

por lo tanto son 12 el número de divisores de 72

+ +

= = = =

→ → + + → =

{ }(72) 1,2,3, 4,6,8,9,12,18,24,36,72D = 12 divisores

• M.C.M (mínimo común múltiplo) entre números primos es siempre la multiplicación entre ellos

• M.C.D.(máximo común divisor) entre números primos es siempre “1” • DIVISIBILIDAD: Un número es divisible…

por condición 2 Si termina en “0” o cifra par 3 Si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3

Ej: 159 = 1+5+9 = 15 es múltiplo de 3 4 Si el número formado por sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4

Ej: 1400, 1544, 165816 5 Si termina en “0” o “5” 6 Si lo es por 2 y por 3 8 Si el número formado por sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 8

Ej: 1000, 1542064 9 Si la suma de sus cifras es un múltiplo de 9 10 Si termina en “0”

Enunciados frecuentes

- El doble de un número: 2x - La mitad de un número: 12x

- El triple de un número: 3x - La tercera parte de x: 1

3x

- El cuádruplo de un número: 4x - La cuarta parte de x: 1

4x

- El quíntuplo de un número: 5x - La quinta parte de x: 1

5x

- La semisuma de dos números: ( )

2

x y+

• Valor absoluto:

, si es positivo o igual a cero

, si es negativo

:

3 3 ; 4 4

x xx

x x

ejemplo

=

−

− = =

Números Racionales: Comparación de fracciones: • Comparación de dos fracciones: 3 5

7 4

3 · 4 5 · 7

12 < 35

3 5 <

7 4

• Igualación de denominadores (2 o más fracciones) 5 11 39, , m.c.m. entre 7,14,56 es 56 luego, al amplificar tenemos

7 14 56

40 44 39, , respectivamente

56 56 56

44 40 39 56 5

11 5 39

1 76 56 4 56⇒ >> > ⇒ >

Transformación de decimal a fracción

• Decimal finito: 125 250,125 ; 2,5

1000 10= =

• Decimal periódico: 12 0 12 25 2 230,121212... 0,12 ; 2,5

99 99 9 9

− −= = = = =

• Decimal Semi-periódico:

2143 21 2122 254 25 2290, 214343... 0,2143 ; 2,54

9900 9900 90 90

− −= = = = =

Potencias y Raíces:

Propiedades Potencias Propiedades Raíces Racionalización

( ) ( )

4 6 10

4 4 4

42

2

33

3

·3

4 12

3

3

ej: 3 · 3 3

ej: 3 · 6 18

3 ej: 3

3

5 5 ej:

7 7

ej: 7 7

1

·

· ( ·

ej:

)

1 8

8

2 ej:

9

n m n m

n n n

nn m

m

nn

n

mn n m

n

n

n n

a a a

a b a b

aa

a

a a

b b

a a

aa

a b

b a

− −

+

−

−

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

( ) ( ) ( )( )

( )

( )

5

0

22

59

2

4·4 4 4

1 con 0

4 4

9

6

par

impar

ya que

resultado posit

a a

ivo

resultado negativo

−

=

=

≠

− ≠

− ≠ − −

− =

=

−

−

7

3 7 3

3 3·42 2·4 812

126

6612 26

5 55

·

3

33

3 3

·

33 3

ej: 6 6

ej: 5 5 5

ej: 5 5 5

ej: 3· 4 12

; 0

6 6ej:

77

·

· ej: 2 5 2 ·5

·

8·5 40

e j: 40

m

n m n

n n km m k

nm

kn m k

n n n

n

nn

n nn

m m m

a a n

a a

a a

a b ab

a a

bb

a b a b

a b a b

=

= =

= =

=

=

= ≠

=

=

=

=

=

=

= = =

( ) ( )

3

·

33 3 3

3 4 12

75 7 5

5 5

8·5 2 ·5 2 5

ej:

5 5

ej: 2 2

ej : 7 7

n m n m

mn m n

n n

a a

a a

a a

= =

==

=

= = =

=

( )

( )

1:

·

2:

3:

n nn m n m

n nm n m

Caso

a b a b

bb b

Caso

a b a b

bb b

Caso

a b ca b c

b cb c b c

a b ca b c

b cb c b c

− −

−

=

=

−−=

−+ −

++=

−− +

i

i

i

Notación Científica:

3 2

-3 -4

3400 3,4 · 10 34 · 10

0,0043 4,3 · 10 43 · 10

= =

= =

“En ambos casos lleva sólo un cifra antes de la coma”

Álgebra:

• Término algebraico: 2 33 ; 2 ; ,

xx b a etc

y Expresión algebraica: 2 3

3 2x

x b ay

+ −

• Clasificación:

Monomio: 2 33 ; 2 ; ,

xx b a etc

y

Polinomio: expresión algebraica con 2 o más términos algebraicos Binomio: 33 , 5 , .a b ab x etc+ − Trinomio: 3 33 4 , 5 ,a b y a ab x etc+ − + −

Productos Notables Cuadrado de Binomio ( )

( )

2 2

2

2

2 2

2

2

a b

a

a ab b

ab ab b

+ =

−−

+

+=

+

Cubo de binomio ( )

( )

3

3

3 2 2 3

3 2 2 3

3 3

3 3

a b

a

a a b ab b

a ab b ab b

+ + +

− +

=

− −

+

=

Binomio por binomio ( )( ) ( )2x a x b a b ax x b++ + ++ =

Suma por diferencia ( )( ) 2 2a b a b a b+ − = −

Cuadrado de trinomio ( ) 2 2 222 2 2a b c ab ac ba cb c + + + + ++ + =

Diferencia de cubos ( )( )3 3 2 2a b aba ab b− + +− =

Suma de cubos ( )( )3 3 2 2a b aba ab b+ − ++ =

• Factorización:

o Sacar factor común: ( )2 3 3 2 2 218 3 3 6x y x y x y y x− = −

o Por agrupación:

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

ax bx ay by

ax bx ay by

x a b y a b

a b x y

+ + +

+ + +

+ + +

+ +

Ecuaciones y Sistema de Ecuaciones • Ecuación lineal: 5 3 12 / 3

5 12 3

5 9

9

5

/:5

x

x

x

x

+ =

=

=

=

−

−

6 2 4 2 8 6

6 2 6 2 / 2

6 6 / 6

las soluciones son INFINITAS,

se eliminan las incógnitas

y queda una i

0 0

gualdad

x x x

x x

x x x

+ = + + −

+ = + −

=

=

−

7 2 4 3 8 4

7 2 7 4 / 2

7 7 2 /

NO EXISTE solución,

se eliminan las incógnitas

y queda una desig

7

u

0

al d

2

da

x x x

x x

x x x

+ = + + −

+ =

≠

+ −

= + −

• Ecuación fraccionaria:

3 8 1 34 /· 8 (multiplicamos por el denominador común)

8 4 2 4

8 8

x xx

x

+ − + = +

+3·8

x 28−8·4

x 48·4 8+ =1

·2

28+3

·4

8 3 16 32 4 6 (luego queda una ecuación lineal)

5 32 10 / 5

32 10 5 / 10

22 5 /: 5

22

5

x x x

x x

x

x

x

+ − + = +

− + = +

= + −

=

=

• Ecuación Literal:

( ) ( ) ( )

( )

( )

2

2

2

2

2

1 1 2 1 cuanto vale

1 2

1 2 2

2 1 2

1 2 1

1 1

1

x m mx m m x x

x m x m m mx m

x m x m m mx

x m x mx m m

x m m m

x m m

mx

+ + = + − −

+ + = + − +

+ + = + −

+ + = + −

+ + = +

+ = +

+=

( )2

1 m+

( )

1

1x

m=

+

• Métodos de resolución de un sistema de ecuaciones:

Por reducción: (1) 4 3 3 /· -5

(2) 5 37 /· 4

(1) 20

x y

x y

x

−

−

=

+ =

15 15

(2) 20

y

x

+ = −

19 133

133

4 148y

y

y

+ =

=

=19

7

5 7 37 /-7

5 30 /: 5

6

y luego reemplazamos

x

x

x

=

+ =

=

=

Por igualación: (1) 4 3 3

(2) 5 37

despejamos en ambas ecuaciones una incógnita

3 3 37(1) ; (2)

4 5

luego igualamos:

/·20

15 15 148 4 / 4

19 15 148 / 15

19 1

3 3 37

3

4 5

3

x y

x y

y y

y y

x x

y y y

y

y

− =

+ =

+ −= =

+ = − +

+ =

=

+ −=

−

/: 19

7 (1) (2) 6y reemplazamos en o x= ⇒ =

Por sustitución:

( )

(1) 4 3 3

(2) 5 37

despejamos en una ecuacion

3 3(1) luego sustituimos en la (2)

4

5 3 3 4 148

15 15 4 148

19 133 /: 19

7

3 3(2) 5 37 /·4

4

y

x y

x y

yx

y y

y y

y

y

reemplazamos

y

− =

+ =

+=

+ + =

+ +

=

=

=

+ + =

(2) 6en x⇒ =

Estas ecuaciones también son “ecuaciones de rectas”, y su representación gráfica es: Cuando las soluciones de un sistema de ecuaciones son

, x a y b= =

Cuando las incógnitas de un sistema de ecuaciones desaparecen, y queda una igualdad 0 0= ,entonces las soluciones SON INFINITAS

Cuando las incógnitas de un sistema de ecuaciones desaparecen, y queda una desigualdad; NO EXISTE solución

( )3 7 / -1

3 7

≤ ⋅

≥− −

Inecuaciones Lineales • Desarrollo de un Inecuación:

Formas de expresar la solución: -Desigualdad -Gráficamente -Intervalos

• Situaciones que CAMBIA el sentido de la desigualdad: • Intervalo abierto: ] [ ( ) { }, , /a b a b x a x b= = ∈ < <�

• Intervalo cerrado: [ ] { }, /a b x a x b= ∈ ≤ ≤�

• Intervalo semi-cerrado o semi-abierto: [ [ [ ) { }

] ] ( ] { }

, , /

, , /

a b a b x a x b

a b a b x a x b

= = ∈ ≤ <

= = ∈ < ≤

�

�

• Intervalos indeterminados: ] [ ( ) { }

[ [ [ ) { }

] [ ( ) { }

] ] ( ] { }

, , /

, , /

, , /

, , /

a a x a x

a a x a x

b b x x b

b b x x b

+∞ = +∞ = ∈ <

+∞ = +∞ = ∈ ≤

−∞ = −∞ = ∈ <

−∞ = −∞ = ∈ ≤

�

�

�

�

3 4 4 / 3

3 3 4 3 4

0 4 / 4

4 4 4

4

x x x

x x x x

x

x

x

≤ + −

− ≤ − +

−

−

− ≤ + −

≤

≤ +

[ [4,x∈ − +∞

( )13 7

/5 3

5 3

3 7

−≤ ⋅

≥

( )

( ) ( )

2

2 2

3 7 /

3 7

9 49

− ≥ − ⋅

−

≤

−≤

] [,−∞ +∞ = �

( )

3 4 17

4 17 3

4 20 / 1

4 20

20

4

5

x

x

x

x

x

x

− − ≤

− ≤ +

− ≤ ⋅ −

−

−≥

≥ −

≥

] ]1 , 3S = −∞ −

[ [2 5,S = − +∞

] ]1 , 3S = −∞ − [ [2 5,S = − +∞

• Situaciones especiales de inecuaciones lineales: 3 8 2 5

3 8 3 5 / 3

8 5

x x x

x x x

− < −

− < + −

− < − −

Cuando se elimina la incógnita y queda una desigualdad VERDADERA, las soluciones son INFINITAS

3 11 2 5

3 11 3 5 / 3

1 1 5

x x x

x x x

≤ −

+ ≤ + −

+ ≤ − −

Cuando se elimina la incógnita y queda una desigualdad FALSA, la solución NO EXISTE

Recuerda:igual8 8 es una desigualdad VERDADERA, ya que es menor o

8 8 es una desigualdad VERDADERA, ya que es mayor o igual

− ≤ −

− ≥ −

• Desarrollo de un Sistema de Inecuaciones: Ejemplo: (1) 2 2 4

(2) 3 4 17

x

x

+ ≤ −

− + ≤

Se desarrolla cada una de las Inecuaciones (1) (2)

Luego, se hace la intersección entre los conjuntos solución

*Los números del conjunto solución cumplen ambas condiciones (1) y (2) *Si los números cumplen la condición (1) ó la (2), se hace la entre

2 2 4

2 4 2

2 6

6

2

3

x

x

x

x

x

+ ≤ −

≤ − −

≤ −

−

≤ −

≤

∩

[ ] 5, 3Solución x= ∈ − −

∪ 21 y S S

Razón y Proporción

• La razón: Comparación de dos cantidades por medio de un cuociente

(constante) ó (se lee a ): esaa

k a b kb

b= =

• Proporción: Igualdad de dos razones

: : (constante) ó (se lee es a como es a )a c

k a b c db

a bd

c d= = =

: : ( y se llaman extremos, y medios)a b c d a d b c=

Ejemplo:

: 2 : 5

2

5

Si a b

a k

b k

=

⇒ =

⇒ =

• Teorema fundamental de las Proporciones: “El producto de los extremos es igual al producto de los medios”

· · a d c b= • Propiedades:

entonces

ó (Composición de proporciones)

ó (Descomposición de proporciones)

(Composición y descomposición de

a cSib d

d c

b a

b d

a c

c a

d b

a b c d a b c d

a c b d

a b c d a b c d

a c b d

a b c d

a b c d

=

• =

• =

• =

+ + + +• = =

− − − −• = =

+ +• =

− −proporciones)

• Proporción Discontinua: Cuando todos los términos de la proporción son distintos

*Cada uno de los términos son llamados Cuarta proporcional geométrica

4 12; 0 ej:

5 15a b c d≠ ≠ ≠ ≠ =

a c

b d=

a

b a

c=

• Proporción Continua: Cuando los medios son distintos y los extremos iguales o los medios son iguales y los extremos distintos

*Cada uno de los términos que son iguales se llaman Media proporcional geométrica y cada uno de los términos que son distintos se llaman tercera proporcional geométrica.

• Serie de proporciones: ...a c e

kb d f

= = = =

Por composición de proporciones, tenemos: ......

...

a c e a c ek

b d f b d f

+ + += = = = =

+ + +

• Proporcionalidad Directa: Sean x e y variables (nº de días, nº de obreros, nº de páginas, etc.).Entonces x es directamente proporcional a y si:

• Proporcionalidad Inversa: Sean x e y variables (nº de días, nº de obreros, nº de páginas, etc.).Entonces x es inversamente proporcional a y si:

• Proporción Compuesta: En este caso, hay 3 variables o más, por lo tanto hay que analizar la proporcionalidad.

Ejemplo: Si 4 pasteleros hacen 6 tortas en 9 horas, ¿cuánto tiempo demorarán 12 pasteleros en fabricar 20 tortas? P pasteleros

H horas

T tortas

=

=

=

Por lo tanto: Resp: Se demoran 5 horas

3 9; 0 ej:

9 27a b≠ ≠ =

xk

y=

o sea, cuando , debe para mantener la constante

ó cuando , d

aumenta aumentar

disminuye disebe para mantener la m cin onu stanteir

x y

x y

x y k⋅ =o sea, cuando , debe para mantener la constante

ó cuando , debe

aumenta disminuir

disminuye aum para mantener la constanteentar

x y

x y

La variable , ya que si

los pasteleros, el número

P es

P es directamente proporcional

inversamente proporcional a H

de tortas.

La variable , ya que si

el número de

a T

aumenta

pasteleros

n aume

es

n

ta

mayor menos tiempo, demoran

en fabicar las tortas.

·por serie de proporciones

P Hk

T= ⇒

2

4·9 12·

6 20

4

H=

·9· 205

3 6 ·12 3

9

H=

·5

9

5

H

H

=

=

a

b d

b=

Porcentaje e Interés

• Porcentaje: Es un proporción directa: El % de es · 10

0

a b ca

b c⇒ =

• El tanto por ciento de un número: · 100

ab x=

ej: El 20% de 40 es: 2 0

10 0·4 0 8=

• Relación porcentual: · 100

xb c=

ej: ¿Qué % es 8 de 40?:

5 10

x

0

2

· 4 0

4

8

28

5

8

x

x

=

=

=·5

220=

• Cálculo del total, conocido el porcentaje: · 100

ax c=

ej: ¿De qué número 8 es el 20%? 20

100 · 8

1· 8

5

40

x

x

x

=

=

=

• Porcentajes Sucesivos: El p % del q % del r % de a · · · 100 100 10

0

p q ra⇒

• Porcentaje de Ganancia y de Pérdida:

Sea : Precio de compra

: Precio de venta

Pc

Pv

Ganancia si

Pérdida si

Pv PcPv Pc

Pv Pc

>⇒ − =

<

% · 100%

% · 100%

GananciaGanancia

Pc

PérdidaPérdida

Pc

=

=

P Pv Pc ganancia= +

• Interés Simple: (1 )C K nr= +

C:capital acumulado

K:capital inicial

n: periodos

r: tasa de interés simple

• Interés Compuesto: (1 )nC K i= +

C:capital acumulado

K:capital inicial

n: periodos

i: tasa de interés compuesto

Función Variable Real Relaciones y Funciones: • Producto Cartesiano:

( ){ } M y N dos conjuntos M N , / y ,en ese ordenSea a b a M b N⇒ × = ∈ ∈

{ } { } { }: 1, 2,3 y 4,5,6 M N (1,4);(1,5);(1,6);(2,4); (2,5); (2,6);(3, 4); (3,5);(3,6)Ej M N= = ⇒ × =

Cada elemento del conjunto MxN se llama par ordenado. Recuerda: MxN≠ NxM • Relación:

{ } { } { } 6,4,3 y 7,1,2 (6,7);(6,1);(6, 2); (4,7);(4,1);(4,2);(3,7);(3,1);(3, 2)Si A B A B= = ⇒ × =

”Todo subconjunto R de AxB se dice relación entre los conjunto A y B” Ej: Relación R: “todos los pares ordenados cuya 2º componente sea divisor de la 1º componente”

{ }

{ }

1

1

1

O sea, (6,1);(6,2);(4,1);(4,2)

( , ) / divide a

R

R A B

R a b A B b a

=

⊂ ×

= ∈ ×

Recuerda - a es preimagen de b - b es imagen de a - A es conjunto de partida - B es conjunto de llegada o codominio - Todos los elementos de A que tienen imagen en B, forman un subconjunto llamado Dominio

• Función: Es una relación R de A sobre B ( :R A B→ ) que cumple dos condiciones:

1.-Cada preimagen tiene una única imagen 2.-Todos los elementos del conjunto de partida son utilizados, o sea, el conjunto de partida es el dominio. Ej:

- Dom f = A - Toda preimagen tiene una única imagen

-Dom f ={a} ≠ A - “a” tiene dos imágenes NO ES FUNCION NO ES FUNCION • Rango o Recorrido (Rec f): El conjunto de imágenes en B

Rec f = {1,2} Obs: Toda función es relación, pero NO toda relación es función • Clasificación de funciones:

-Función Inyectiva (1 a 1): Cada imagen en B tiene una única preimagen en A

-Función Epiyectiva (sobreyectiva): El recorrido de la función es el conjunto de llegada -Función Biyectiva: Función que es inyectiva y epiyectiva a la vez -Función Inversa: Una función f posee función inversa f-1 si y sólo si la función es biyectiva Ej: : ; ( ) 2Sea f f x x→ = +� � esta función es inyectiva y epiyectiva => f es biyectiva, entonces la f-1 es:

1

1

( ) 2

2

2 (cambio variables)

2

2 ( )

f x x

y x

y x

x y

x f x

−

−

= +

= +

− =

− =

− =

-Función Compuesta: Ej: 2 ( ) y ( ) 2 entonces la función compuesta puede ser:Sea f x x g x x= = + ( ) ( ) o ( ) o ( )g f x f g x≠

Tipos de funciones de variable real: • Función Lineal:

-forma general: 0ax by c+ + =

-forma principal: y mx n= + m: pendiente

n: coeficiente de posición (indica el punto donde corta al eje y)

-Análisis de la pendiente y el coeficiente de posición: *Si 0m < , entonces la función es decreciente:

*Si 0m = , entonces la función es constante, f(x)= cte.:

*Si 0m > , entonces la función es creciente:

Obs: La función lineal con dos puntos o también con un punto y una pendiente

Con dos puntos: 4 ( 1) 5Sea (3,4) y (2,-1), entonces m 5

3 2 1

y

x

∆ − −= = = =

∆ −

Luego elijo cualquiera de los dos puntos, por ejemplo (3,4):

4 5 · 3

4 15

4 15

11

y mx n

n

n

n

n

= +

= +

= +

− =

− =

⇒ 5 11y x= −

Con un punto y la pendiente: Sea (2,-1) y pendiente 5, tomamos la forma de la función lineal:

Luego reemplazamos el punto y la pendiente en la función lineal:

1 5 · 2

1 10

1 10

11 11 5

y

y x

mx n

n

n

n

n

= +

− = +

− = +

−

= =

−

⇒ −

=

−

• Función Cuadrática: Es de la forma: 2( )f x ax bx c= + + Siempre

es una parábola. -Concavidad: El signo del coeficiente “a” indica la parabola va hacia arriba o hacia abajo

-Vértice de la parábola: Las coordenadas del vértice son:

24, ,

2 2 2 4

b b b ac bV f

a a a a

− − − − = =

-Intersección con el eje x y el eje de simetría:

1 2

1 2

2

1 2

2

2

2

En estos dos puntos y , la función ( ) 0

Cuando ocurre esto, se llama y

esta ecuación tiene dos soluciones

ecuación de 2º Grado,

4;

y

( )

0

4

2

2

f x

f x ax b

x x

x x

b b acx x

a

x c

ax bx c

b b acx

a

=

= + +

− −

= + +

− ± − −== ⇒ =

2

A estas soluciones se les lla

4

2

raica e sm

b b ac

a

− + −

-Discrimante:2 4b ac∆ = −

*Cuando el discrimante es positivo, 0∆ > :

*Cuando el discrimante es cero, 0∆ = :

*Cuando el discrimante es negativo, 0∆ < :

-Tipos de soluciones de una Ecuación de 2º Grado:

1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

a) Si 0 , 2 soluciones ( )

b) Si 0 , 2 soluciones ( y , con )

c) Si 0 , 2 soluciones

reales iguales

reales distintas

complejas distint ( y as , con )

x x

x x x x

x x x x

∆ = =

∆ > ∈ ≠

∆ < ∈ ≠

�

�

-Propiedades de las raices:

1 2

1 2

2

1 2

a)

b)

4c)

bx x

a

cx x

a

b acx x

a

−+ =

=

−− = ±

i

• Función Parte Entera: Es de la forma [ ]( )f x x=

[ ]Sea ( ) , función parte entera, consiste en que el valor que toma la vari

entero menor ent

able

indepen re los cuales esta comprendidodiente es el

f x x

x

=

Ej: [ ] ya que 2 92 9 3, 2 2,≤ <=

74

7 ya que 3,5 4 3,5 3

2

2

−⇒ = − ⇒ − ≤

− = −

< −

−

ya que 2 1,4142... 1 1, 4142..1 . 22 = ⇒ ≤ <=

• Función Valor Absoluto: ( )f x x=

( )f x x= si 0

si 0

x x

x x

≥=

− <

Ej: 25 25

64 64

5,2 5,2

− =

=

− =

-Propiedades:

a) Si entonces ; con 0

b) Si entonces ó

c)

d) (Desigualdad triangular)

x a a x a a

x a a x x a

xy x y

x y x y

≤ − ≤ ≤ ≥

≤ − ≥ ≥

=

+ ≤ +

i

• Función Raiz Cuadrada: Es de la forma ( )f x x= { }

{ }

: 0

Re : 0

Domf

cf

+

+

∪

∪

�

�

• Función Exponencial: Se define como ( ) xf x a= Si 0 y 1, a a x> ≠ ∈�

-Si 1a > , f(x) es creciente en todo �

-Si 0 1a< < , f(x) es decreciente en todo �

• Función Logarítmica: Se define como ( ) logaf x x= Si yx a= . Es la

inversa de la exponencial -Si 1a > , ( ) logaf x x= es creciente para x > 0:

-Si 0 1a< < , ( ) logaf x x= es decreciente para x > 0:

-Logaritmos:

Def: log n

an b a b= ⇔ = es el logaritmo de de base

0, 0

,

y

1

n b a

con b a a> > ≠

Propiedades Ejemplos

log 1a a =

log 1 0a

=

( )log · log loga a ab c b c= +

( )8 8 8 8log 2 log 4 log 2 · 4 log 8 1+ = = =

log log loga a a

bb c

c

= −

3 3 3 3 3 3

7 1log 7 log 21 log log log 1 log 3

21 3

0 1

1

− = = = −

= −

= −

( )log ·logn

a ab n b= ( ) ( )3

5 5 5 5log 125 log 25 · 5 log 5 3 ·log 5 3·1 3= = = = =

1log ·logn

a ab bn

= ( ) ( )1

3 3 3 327 27 27 27 27

1 1log 3 log 3 log 27 = log 27 log 27

3 3= = = =

log

loglog

ca

c

bb

a=

2

3 3 327 3

3 3 3

log 9 log 3 2·log 3 2log 9

log 27 log 3 3·log 3 3= = = =

1log ·logn aa

b bn

= 3 3

2

27 33 3

1 2log 9 log 3 2·log 3 2· ·log 3

3 3= = = =

Obs: 1) log · log log log

log2) log log

log

a a a a

aa a

a

x y x y

AA B

B

+

−

≠

≠

10log logx x=

2

l

,

og

71

l

8281 28...

n

8

e x x x

e

l= =

=

-Ecuaciones Exponenciales: -bases iguales: -bases distintas:

-Ecuaciones logarítmicas: Ej:

3

3 27

3 3

3

x

x

x

=

=

=

3 13 /log

log 3 log13

·log 3 log13

log13

log 3

x

x

x

x

=

=

=

=

( ) ( )

( )( )

2

2 2 2

2

2 log 3 log 9 log 3 log9

log9 log9 9 9·1 1

1 0 1 1 0

1 y 1

x x

x x x

x x x

x x

= =

= = =

⇒

⇒ ⇒ ⇒

⇒ ⇒− = − + =

= = − (-1 no se considera ya que, log con 0 y 0, 1)ab b a a> > ≠

Probabilidades • Elementos de la Combinatoria:

-Factorial de un número: ! 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7... · n n= n∀ ∈�

Ej; 6! 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 720= = Obs: 0! 1! 1= = -Permutaciones simples de “n” elementos:

!nP n=

Ej.: ¿De cuántas formas distintas se puede ordenar las letras de la palabra DISCO? 5 5! 1 · 2 · 3 · 4 · 5 120 formas distintasP = = = -Permutación con repetición:

!

! · ! · ! ·...· !

n

r

nP

a b c r=

Ej.: ¿De cuántas formas distintas se puede ordenar las letras de la palabra ORNITORRINCO?

12

3,3,2,2

En este caso, se repite la "O" 3 veces, "R" 3 veces,"N" 2 veces y la "I" 2 veces, entonces

12! 12·11·10·9·8

3! · 3! · 2! · 2!P = =

·7· 6 ·5·4·3 ·2·1

3·2·1·3 · 2·1·2·1·2·112·11·10·9·7·5·4·2·1 3326400 formas distintas= =

-Variación sin repetición:

( )

!

!

n

k

nV

n k=

−

Corresponde al número de grupos con "k" elementos

que se pueden formar con los "n" elemen

influye el or

tos que

tenemos, k n y además, de

los elementos y

den

no se puden repetir

≤

Ej: En una carrera de autos participan 50 autos.¿De cuántas formas distintas se puede repartir los 3 primeros lugares?

( ) ( )

En este caso, y es ya que el 1º lugar no puede ser el 2º lugar

50, 3 entonc

importa e

es:

l orden si

! 50! 50! 50·49·48· 4

n repeti

7!

! 50 3

ción

!

47!

n

k

n k

nV

n k

= =

= = = =− − 47!

117600=

donde , , ,.., son el número

de veces en que se repiten algunos

números

a b c r

- Variación con repetición:

( , )

n k

k kV n=

Corresponde al número de grupos con "k" elementos

que se pueden formar con los "n" eleme

influye el

ntos que

tenemos, k n y además, de

los elementos

orden

se pueden rep ry eti

≤

Ej:¿Cuántos números de 4 dígitos se pueden formar con los 9 primeros números naturales?

3 54

2Me

+= =

9 4

(4,4) 9 6561V = =

-Combinación Simple:

( )

!

! !

n

k

n nC

k k n k

= =

− Es el número de grupos de "k" elementos

de un tot sin repetición

no impo

al

rta

de "n",

y el orden

Ej:¿Cuántos grupos de 4 alumnos se puede formar con los 25 alumnos de un curso?

( )

26

25

4

no se pueden repetir no importa en que orEn este caso, los alumnos y esten, entonces

25; 4

25 25! 25! 25·

4 4

den

! 25 4 ! 4!·21!

n k

C

= =

= = = =

−

24 ·23· 2211

· 21!

4 ·3 · 2 ·1· 21!12650=

-Combinación con repetición:

( )

( )( , )

1 1 !

! 1 !

n

k k

n k n kC

k k n

+ − + − = =

− la repetiSe considera

de los eleme

ción

ntos

Ej: En una pastelería hay 8 tipos de diferentes pasteles.¿De cuántas formas puedo elegir 4 de ellos?

( )

( )8

(4,4)

En este caso, en que eliga y los pasteles queno importa el orden puedo r elija, entonces

8; 4

8 4 1 8 4 1 ! 11! 11·10·9·8· 7!

4

ep

4! 8

etir

1 ! 4!·7!

n k

C

= =

+ − + − = = = =

− 4·3·2·1· 7!11·10·3 330 = =

( ) ( ) ( ) ( ) P A B P A P B P A B∪ = + − ∩

sucesos mutuamente excluyentes o independientes

sucesos independientes

• Probabilidades: -Espacio Muestral (E): Es el conjunto formado por todos los resultados posibles del experimento aleatorio. Ej:

El lanzamiento de una moneda puede entregar las siguientes posibilidades:

1 moneda 2 posibilidades

2 moneda 2·2 4 posibilidades

3 moneda 2·2·2 8 posibilidades

moneda 2·2 ·2 2 posibilidadn

n veces

n

=

= =

= =

= =

�

…� es

-Evento o Suceso: Corresponde a un subconjunto de un espacio muestral -Probabilidad Clásica:

casos favorables de ocurrir el evento A( )

casos posibles (E)P A =

Ej: Al lanzar 2 dados, ¿cuál es la probabilidad de que salga dos pares?

2

En este caso:

Casos posibles 6 36

Casos favorables 9

9 1( )

36 4P A

= =

=

= =

-Operaciones con sucesos: Unión: Cuando ocurre el suceso A ó B

Intersección: Cuando ocurre el suceso A y B

Suceso Contrario: El suceso A se conoce como suceso contrario de A, es decir, que el suceso A NO ocurra.

1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

( ) ( ) ( )P A B P A P B∪ = +

sucesos NO mutuamente excluyentes

( ) ( )· ( )P A B P A P B∩ =

( ) 1 ( )P A P A= −

PROBABILIDAD TOTAL

(certeza absoluta), E: espacio muestral

(suceso imposible), : conjunto vacio∅

-Propiedades de las probabilidades:

-Probabilidad Condicionada: La probabilidad de que ocurra B dado que ha sucedido A

Estadística Descriptiva • Muestra: Subconjunto de la población que se desea observar • Formas de organizar los datos recogidos de una muestra: -Datos no agrupados: Ej: Notas de alumnos en la prueba de Matemática -Datos agrupados: ejemplo anterior, se ordenan los datos de menor a mayor (frecuencia es el número de veces en que se repite el dato)

Xi: los distintos valores de la variable fi: el número de veces que se repite cada valor

3,0 6,5 7,0 4,5 3,5 6,0 5,5 6,0 6,5 3,5 4,0 7,0 3,0 5,5 6,0 7,0 2,5 7,0 4,0 6,5

Notas (Xi)

Frecuencia (fi)

2,5 1 3,0 2 3,5 2 4,0 2 4,5 1 5,5 2 6,0 3 6,5 3 7,0 4

( ) 1P E =

( ) 0P ∅ =

( )0 1P A≤ ≤

( )( )

/( )

P A BP B A

P A

∩=

También se puede agregar la frecuencia acumulada (F), la frecuencia relativa (h) y la frecuencia relativa acumulada (H). Notas Frecuencias Absolutas Frecuencias Relativas

(Xi) Simple (fi) Acumulada (Fi) Simple (hi) Acumulada (Hi) 2,5 1 1 5% 5% 3,0 2 3 10% 15% 3,5 2 5 10% 25% 4,0 2 7 10% 35% 4,5 1 8 5% 40% 5,5 2 10 10% 50% 6,0 3 13 15% 65% 6,5 3 16 15% 80% 7,0 4 20 20% 100%

n = 20 Esta es la tabla de frecuencias Donde: Xi: los distintos valores de la variable fi: el número de veces que se repite cada valor Fi: la frecuencia de cada valor, sumada con las frecuencias anteriores hi: porcentaje de la repetición de cada valor con el total de datos Hi: porcentaje de la repetición de cada valor con el total de datos, sumada con las anteriores n: total de observaciones -Tabla de Intervalos: ej: Agrupar las siguientes estaturas usando 6 intervalos de igual amplitud

160 168 175 183 170 164 170 184 171 168 187 161 183 175 185 186 187 164 165 175 162 188 169 163 166 172 173 167 174 176 178 179 177 Resp: n = 33

Xi fi 160-165 6 165-170 6 170-175 6 175-180 7 180-185 3 185-190 5

• Medidas de Tendencia Central: -Media Aritmética ( )X : Es el promedio entre los datos

1

n

i

i

X

Xn

==∑

( )1

·n

i i

i

X f

Xn

==∑

Datos no agrupados Datos en tabla de frecuencias Ej: Calcule la media aritmética

Datos no agrupados

Ej: Calcule la media aritmética Datos agrupados

( )1

·25 60 70 80 45 110 180 195 280 1045

20 2052,25

n

i i

i

X f

Xn

= + + + + + + + += = = =∑

30 65 70 45 35 60 55 60 65 35 40 70 30 55 60 70 25 70 40 65

Notas (Xi)

Frecuencia (fi)

Xi·fi

25 1 25 30 2 60 35 2 70 40 2 80 45 1 45 55 2 110 60 3 180 65 3 195 70 4 280

1 30 60 40 70 65 55 70 25 70 60 30 70 45 65 55 40

52,

35 35 60 65

20

1045

2025

n

i

i

X

Xn

= + + + + + + + + + + + + + + + + + + += =

=

∑

2

1

( )n

i

i

X X

nσ =

−

=∑ 2

1

·( )n

i i

i

f X X

nσ =

−

=∑

-Mediana ( )Me :Es el valor central de los datos, una vez que se hayan

ordenados Ej: Calcular la Mediana:

Xi: 5,5,3,7,2 ordenar los datos n =En este caso, se debe y además 5 impar,

la mediana es el términoentonces cen tral

Xi: 2,3,5,5,7

Ahora: Xi: 1,1,1,2,2,2,3,3,5,5,5,6,6,7,8,9 (datos ordenados y n es par)

-Moda ( )Mo :Es el valor más frecuente, o que más se repite

Ej:

� � �1 12 4

10,10,11,12,12,12,12,16 La moda es 12iX = �

La moda es 7,0 (el dato con mayor frecuencia)

• Medidas de Dispersión: Dan una idea del alejamiento de los datos respecto a las medidas centrales -Varianza ( )2σ :

-Desviación típica o Desviación Estándar ( )σ :

Notas (Xi)

Frecuencia (fi)

2,5 1 3,0 2 3,5 2 4,0 2 4,5 1 5,5 2 6,0 3 6,5 3 7,0 4

2

2 1

( )n

i

i

X X

nσ =

−

=∑

Ejemplo: Sean los datos: 6, 5, 4, 6, 6 y 3 a) Calcule la varianza:

( )

( ) ( )2

2 2

2 1

6+5+4+6+6+3 30En este caso, necesitamos la media aritmética : 5

6 6

( ) 6 5 5 5

n

i

i

X

X X

nσ =

= =

− − + −= =∑ ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 24 5 6 5 6 5 3 5 8

6

+ − + − + − + −=

6

2

4

3

4

3σ

=

=

b) Calcule la desviación estándar:

2

Como:

4 /

3

4

3

σ

σ

=

=

Recuerda:

pequeñaσ grandeσ