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Programação Linear
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Definicao
Programacao Linear
Geraldo Robson Mateus
Departamento de Ciencia da ComputacaoUFMG
26 de abril de 2009
Definicao
Programacao Matematica
Programacao Linear
Programacao Inteira
Otimizacao em Redes
Programacao Dinamica
Programacao Nao Linear
Programacao Linear X Nao Linear
Definicao
Metodos Numericos X Metodos Analıticos
Metodos Numericos
Iterativos
Solucao inicial
Erros numericos
Convergencia
Metodos Analıticos
Calculo diferencial
Definicao
Modelo Geral
min f (x) → Funcao objetivo
gi (x) ≤≥ bi , i = 1, . . . ,m→ Restricoes
x → vetor de variaveis de decisao
Conjunto de solucoes viaveisS = {x | gi (x) ≤≥ bi , i = 1, · · · ,m}
Solucao otimax∗ ε S | f (x) seja mınima
Definicao
Modelo Linear
Nao Linear
Irrestrito
Restrito
Programacao QuadraticaProgramacao GeometricaProgramacao Estocastica
Definicao
Notacao e Terminologia
Vetor x =
x1...
xn
Transposicao: T
Produto escalar de dois vetores: xT.y =n∑
i=1
xiyi
Definicao
Notacao e Terminologia
Matriz AmXn =
a11 · · · a1n...
. . ....
am1 · · · amn
Retangular → m 6= n
Quadrada → m = n
Diagonal
Identidade
Definida Positiva (Semidefinida)
Para todo x ε <n temos xT .A.x > 0 (xT .A.x ≥ 0)
Definida Negativa (Semidefinida)
Para todo x ε <n temos xT .A.x < 0 (xT .A.x ≤ 0)
Definicao
Exemplo
Seja a matriz
A =
−2 1 11 0 01 1 1
det A1 = det [-2] = -2 ≤ 0
det A2 = det
[−2 11 0
]= 0 - 1 = -1 ≤ 0
det A3 = det
−2 1 11 0 01 1 1
= 0
A e indefinida
Definicao
Metodos Iterativos
Definicao
Definicoes
Mınino Local
x∗ ε S e um mınimo local de f sobre S se existe um ∂ > 0 tal quef (x) ≥ f (x∗) para todo x ε S , tal que |x − x∗| < ∂
Mınino Global
Um ponto x∗ ε S e um mınimo global de f sobre S se f (x) ≥ f (x∗) paratodo x ε S , x 6= x∗
Direcao Viavel
Dado um ponto x∗ ε S , o vetor h e uma direcao viavel em x se existeλ > 0, tal que (x + λh ) ε S para todo 0 ≤ λ ≤ λ
Definicao
Definicoes
Curvas de nıveis
Conjuntos C 1 e C 2
Vetor gradiente → ∇f(x)
Matriz hessiana → H(x)
Serie de Taylor
Definicao
Curvas de Nıveis
Definicao
Curvas de Nıveis
Definicao
Curvas de Nıveis
Definicao
Gradiente
Definicao
Gradiente e Hessiana
∇f (x) =(∂f∂x1, ∂f∂x2, . . . , ∂f
∂xn
)T, f ε C 1
H(x) = ∇2f (x) =
[∂2f∂x2
1. . . ∂2f
∂x1∂xn
∂2f∂xn∂x1
. . . ∂2f∂x2
m
], f ε C 2
f (x) = b11x21 + b22x2
2︸ ︷︷ ︸Escalation
+ b12x1x2 + b21x2x21︸ ︷︷ ︸
Rotation
+ b1x1 + b2x2︸ ︷︷ ︸Translation
+b0
Definicao
Serie de Taylor
Aproxima uma funcao f (x) na vizinhanca de xk
f (x) = f (xk) + (x − xk)T .∇f (xk) + 12 (x − xk)T .H(xk)(x − xk) + . . .
· · ·+ θ((x − xk)2)
Definicao
Convexidade
Linha
Seja x1, x2 ε <n. A linha atraves de x1 e x2 e definida por:{x |x = (1− λ)x1 + λx2, λ ε <}
Segmento
i) Fechado: [x1, x2] = {x |x = (1− λ)x1 + λx2, 0 ≤ λ ≤ 1}ii) Aberto: (x1, x2) = {x |x = (1− λ)x1 + λx2, 0 < λ < 1}
Conjunto Convexo
Um conjunto S ⊂ <n e convexo se o segmento de linha fechado que unequaisquer dois pontos de S esta em S , ou,∀ x1, x2 ε S , λ ε <, 0 ≤ λ ≤ 1→ (1− λ)x1 + λx2 ε S
Definicao
Funcoes Convexas
Funcao Convexa (Estritamente Convexa)
f (x) e convexa sobre o conjunto convexo S se para quaisquer dois pontosx ε S e y ε S
f (λx + (1− λ)y) ≤ λf (x) + (1− λ)f (y), 0 ≤ λ ≤ 1
f (λx + (1− λ)y) < λf (x) + (1− λ)f (y), 0 < λ < 1, x 6= y
Funcao Concova (Estritamente Concova)
Definicao
Propriedades de funcoes convexas
1 Se f1 e f2 sao funcoes convexas sobre o conjunto convexo S entaof1 + f2 e convexa sobre S ;
2 Se f e convexa sobre o conjunto convexo S entao af e convexa paraqualquer a > 0;
3 Seja f uma funcao convexa sobre um conjunto convexo S . O conjuntoC = {x |x ε S , f (x) ≤ c} e convexo para todo real c . O conjunto dospontos x |f1(x) ≤ c1, f2(x) ≤ c2, . . . , fn(x) ≤ cn, onde fi (x) e convexa,define um conjunto convexo;
Definicao
Propriedades de funcoes convexas
4 Se fi , i ε I , e uma famılia de funcoes convexas e limitadassuperiormente num conjunto convexo A ⊂ <n, entao a funcao
f (x) = sup(iεI ) fi (x)
e uma funcao convexa em A.
Definicao
Teoremas de funcoes convexas
Teorema 1
Seja f ε C 1. f e convexa sobre um conjunto convexo S se e so se
f (y) ≥ f (x) +∇T f (x).(y − x)
para todo x , y ε S
Definicao
Teoremas de funcoes convexas
Teorema 2
Seja f ε C 2. f e estritamente convexa (convexa) sobre um conjuntoconvexo S se e so se a matriz hessiana, H(x), de f e definida positiva(semidefinida positiva) para todo x ε S .
Definicao
Funcao Unimodal
Uma funcao f de uma variavel x no intervalo [a, b] e unimodal se existex1, x2 ε [a, b] tal que:
i) f e estritamente decrescente em x < x1,
ii) f e estritamente crescente em x > x2,
iii) f e constrante em x ε [x1, x2]
Definicao
Minimizacao - Convexidade
Teorema
Seja f ε C 2, f e estritamente convexa (convexa) sobre um conjuntoconvexo S se so se a matriz hessiana, H(x), de f e definida positiva(semidefinida positiva) para todo x ε S.
Teorema 5
Seja f uma funcao convexa definida sobre um conjunto convexo S. Entaoo conjunto R de pontos, onde f atinge seu mınimo, e convexo e qualquermınimo local de f e um mınimo global.
Teorema 6
Seja a funcao f ε C 1 convexa sobre o conjunto convexo S. Se existe umponto x∗ ε S tal que para todo y ε S, ∇f (x∗)T (y − x∗) ≥ 0 entao x∗ eum ponto de mınimo global de f sobre S.
Definicao
Solucao Grafica
Definicao
Solucao Grafica
Definicao
Solucao Grafica
Definicao
Solucao Grafica
Definicao
Solucao Grafica
Definicao
Solucao Grafica
Definicao
Solucao Grafica