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Análisis Matemático – CBC – U.B.A Pág. 1
Si necesitas clases para preparar tu parcial, final o libre puedes llamar al 011–15–67625436
Segundo Parcial – Ciencias Exáctas – 1997
1) Hallar el área de la región encerrada entre las curvas y = 3−x , y = ½ x – 1 y el eje x. Hacer un gráfico donde se indique la región.
2) Hallar ∫3
0)( dxf x sabiendo que f (x) = 5 x 2. f ”(x) ; f ’(3) = 2; f (3) = − 1.
3) La función 5)( 1+= axf x tiene como polinomio de Taylor de orden 2 en xo = 0 a
P(x) = 1 + 7 x – 2
196 x 2. Hallar el valor de a si R(x) es el resto de orden 2, hallar la expresión de R1.
4) Determinar si la serie ∑∞
=
−
+1
1
122
n
n
n es convergente ó divergente.
______________________________________________________________________________
Respuestas:
Ejercicio 1: Para hallar el punto de intersección de ambas gráficas, las igualamos y despejamos x.
( )
( )4)4(0
1680
420
13
1313
241
241
241
241
2
21
21
=⇒−=
+−=
+−=
+−=−
−=−→−=−
xx
xx
xx
xxx
xxxx
En área entre las gráficas y el eje de las x depende de los ceros de la función de cada una de las fun-ciones (x = 2 para la recta y x = 3 para la raíz) y el punto de intersección. De allí sacamos los límites de integración. Entre [2, 3] está la recta y entre [3, 4] debemos restar el área de la recta y la raíz. Las cuentas nos quedan así:
( ) [ ]
( )
( ) ( )
buscada Área 31
121
41
3332
34
334
32
44
42
42
34
3
332
44
311
32
3222
4
3
323
2
2
3
2
4
321
21
→=+=
=
−−−−
−−−+
−−
−=
=−−−+−=
=−−−+−∫ ∫
xxx
xx
dxxxdxx
Análisis Matemático – CBC – U.B.A Pág. 2
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Ejercicio 2: En este tipo de ejercicio necesitamos aplicar integral “por partes” ya que f(x) = 5 x2 f ”(x) y no sabemos que la derivada de 5x2 sea f ”(x) por lo que no se puede aplicar “sustitución”. No conviene dejar los límites de integración durante la operación ya que habría que cambiarlos.
∫ ∫−= dvvvudvu .. .
∫∫ =−= dxxffx dxf . x xxx .10.''5'' 5 )()(2
)(2
u = 5x2 → du = 10x dx
dv = f ”(x) dx → v = f”(x)
Aplicamos nuevamente por partes.
∫ ∫−= dvvvudvu .. .
( )∫∫ −−=− dxffxfxdxfxfx xxxxx )()()(2
)()(2 10.10'.5.' .10 '5
u = 10x → du = 10 dx
dv = f ’(x) dx → v = f (x)
∫∫ +−= dxffxfxdxf xxxx )()()(2
)( 10.10'.5 (despejemos la integral de f(x))
∫∫ ∫ −=−→−=+ )()(2
)()()(2
)()( .10'.59.10'.510 xxxxxxx fxfxdxffxfxdxfdxf
( )∫ −−= )()(2
)( .10'.591
xxx fxfxdxf (Ahora pongamos los límites de integración y podemos hallar
lo que nos han pedido, teniendo en cuenta que f ’(3) = 2; f (3) = − 1).
( ) ( ) ( )∫
−−−−−=−−=
3
0)0()0(
2)3()3(
23
0)()(
2)( .0.10'.0.5
91
.3.10'.3.591
.10'.591
fffffxfxdxf xxx =
( )340
0)1.(3.102.9.591 −=−−−−
Ejercicio 3: Nos dicen que la función 5)( 1+= axf x tiene como polinomio de Taylor de orden 2
en xo = 0 a P(x) = 1 + 7x –2
196x 2.
Quiere decir que la primera derivada f ’(0) = 7 y la segunda derivada f “(0) = – 196
Derivemos la función para hallar la primera derivada:
.3577.)10.(.5
17.
)1(5
1'
1
51
5 4)0(
5 4)(
5)(
=⇒=⇒=+
⇒=→+
=
+=
aaaa
faax
f
axf
x
x
Análisis Matemático – CBC – U.B.A Pág. 3
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Comprobemos con la segunda derivada.
196)10.35(
196"
)135(
196"
)135(
7'
)135(5
35'
)0(5 9
)(
5 4)(
5 4)(
−=+
−=→+
−=
+=→
+=
fx
f
xf
xf
x
xx
Debemos hallar la expresión de R1.
))(()1(
1
)( )!1()(
axan
n
xn fn
axR −σ+
++
+−= Donde 0 < σ <1 y a representa el valor que le damos a x
para armar el polinomio. Es por eso que nos queda:
)()1(
1
)( )!1()(
xn
n
xn fn
axR σ
++
+−=
Tomemos un valor intermedio de σ
( )( )
( )( )
21)1(
12348.
!3)135(
12348.
!3 5 144
35
3
21
35 14
21
3
21
3 21
21 ≈
+=⇒
+σ= RR
(En este caso donde x = ½ debemos calcular 79,15,181.35 5521 ≈=+ ; aplicando el polinomio nos
da un valor de – 20. El error es de 21,79).
Ejercicio 4: Para determinar si la serie ∑∞
=
−
+1
1
122
n
n
n es convergente aplicamos el criterio D’alambert
}
{
.22.22
2.)2(
)2(2.
)2(
)2(
2.2
12.
322
2
12.
1222
122
:1)1(2
2
0
3
01
3
1
11
1111)1(
)(
)1(
==+
+
∞→=
+
+
∞→=
=++∞→
=+++∞→
=+++∞→
=∞→ −−
−+−−++
n
n
n
n
n
n
n
nnn
n
n
n
lim
n
n
n
lim
nnn
limnnn
lim
nnn
lim
f
f
n
lim
Como el límite es mayor que 1, entonces la serie es divergente.
Análisis Matemático – CBC – U.B.A Pág. 1
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Segundo Parcial: Ciudad Universitaria – 1º Cuat. de 2001
1- Sabiendo que la función f satisface la ecuación x. f ''(x) + [f '(x)]3 = e2x para todo x ∈ R con f(0) = 4 halle el polinomio de Taylor de orden 3 en xo = 0 de f.
Rta.: P(x) = 4 + x + 3 x2 + 0 x2
2- Encuentre constantes a y b reales tales que dxexbadxex x−−∫ ∫+=1
0
1
0
577 .
Rta.: a = – 8. e – 1 y b = 42
3- Halle el área de la región del plano ubicada en el primer cuadrante, comprendida entre los ejes coordenados, la recta
34ln=y y la curva de ecuación ( )xy +=
31ln .
Rta.: 2 – 2 ln(J)
4- Considere la serie de potencias ∑∞
= ++−−
1 1)12(
)3()1(
n
nn
nn
x, encuentre el intervalo más grande donde la
serie converge absolutamente y estudie la convergencia en los extremos de dicho intervalo.
Rta.: Converge absolutamente en x = [2;4) y condicionalmente en x = 4.