solucionario parte 1 cobeñas naquiche 5°secundaria

CAPITULO 1

ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO

(17x-19)°(11-13x)°

Resolución:

Colocando los ángulos en sentido antihorario (po

sitivo) tenemos :

(17x-19)°(13x-11)°

(17x-19)°+(13x-11)°+90°+90°=360°

30x-30=180

30x=210

x=7

EJERCICIO 2 De la figura,hallar " x " en térmi

nos de α , β, θ

α

β

θ

x

Resolución:


sitivo) tenemos :

- α

β

- θ

x

del gráfico : β - α = 90° .....( I )

x - θ = 180°......( II)

de ( I ) : 2 β - 2 α = 180°

igualando con ( II)

x- θ = 2 β - 2 α

x = θ + 2 β - 2 α

EJERCICIO 3 A partir del gráfico,hallar :

a

m

+

b

n

+

c

p

(ax²+bx+c+120)°

(mx²+nx+p-150)°

Resolución:


sitivo) tenemos :

(ax²+bx+c+120)°

- (mx²+nx+p-150)°

(ax²+bx+c+120)°- (mx²+nx+p-150)°+ 90°= 360°

ax²+bx+c = mx²+nx+p

por comparación tenemos :

a=m ; entonces a/m=1

b=n ; entonces b/n=1

c=p ; entonces c/p=1

a

m

+

b

n

+

c

p

= 1 + 1 +1 = 3

EJERCICIO 4 Del gráfico,hallar la relación que

cumplen los ángulos α , β y θ

α

β

θ

Resolución:


sitivo) tenemos :

EJERCICIO 1 Del gráfico hallar " x " .

CAPITULO 1


- α

β

θ

del gráfico tenemos : θ - α + β = 2 vueltas

θ - α +β = 720°

EJERCICIO 5 En la figura ,expresar " " en tér

minos de " "

θ

α

θ

α

O

Resolución:

θ

O

360°- α

del gráfico : (360° - α ) - θ = 2 vueltas

360°- α -θ = 720°

θ = -360° - α

EJERCICIO 6 De los siguientes ángulos,indi-

car cuáles son coterminales :

= -3106° ; = 854° y = 5186°α

β

θ

Resolución:

serán coterminales si al dividirlos entre 360°,dejan

el mismo residuo:

-3106° 360°

9134°

854° 360°

2134°

5186° 360°

14146°

son coterminales : y α

β

EJERCICIO 7 En la figura ,calcular el valor que

toma " x "

11x+50°

-560°

o

Resolución:

cambiando de signo al ángulo positivo tenemos:

- (11x+50°)

-560°

o

del gráfico se puede apreciar que :

( -560° ) +[ -(11x+50°)] = -2 vueltas

-560° - 11x - 50° = -720°

11x = 110°

x = 10°

EJERCICIO 8 Se tienen 3 ángulos coterminales

tal que el menor de ellos es un ángulo agudo.Ha -

llar la medida del mayor si se sabe que dichos án-

gulos son proporcionales a los números 1, 7 y 13.

Resolución:

sean : = 1k , = 7k y = 13kα βθ

entonces :

α

β

=

1k

7k

por lo tanto : β

=

7α

además: como es agudo entonces viene hacer

el residuo en la división entre 360°

α

7k 360°

nk

entonces :

7k = 360°. n + k

6k = 360°.n

k = 60°.n ; n Є Z

+

para que cumpla la condición que = k ,sea agudo

entonces n = 1 , por lo que k=60° , =7(60°)=420°

y = 13(60°)=780°( el mayor )

α

β

θ

EJERCICIO 9 Dos ángulos coterminales son

entre sí como 19 es a 3 .Hallar la medida del ma-

yor de ellos ,si el menor ángulo toma su mínimo

valor positivo.

Resolución:

sean : = 19k y = 3k α β

entonces :

α

β

=

19k

3k

por lo tanto :

=

α

19

3

β

como son coterminales de cumplirse:

-α

β

=

360°.n reemplazando :

19

3

β

- β

=

360°.n

β

=

360°.n

β

=

67,5°.n ; n Є Z

+

se obtendrá el menor ángulo cuando " n " tome

su mínimo valor positivo osea n=1, = 67,5°β

=

α

19

3

β

=

α

19

3

(67,5°)

=

α427,5=427°30´

CAPITULO 1


EJERCICIO 10

Sean α =(7x²+1)° y β =(1-3x²)°

ángulos coterminales ,tal que x Є R . Hallar el míni

mo valor que puede tomar " α "

Resolución:


-α

β

=

360°.n reemplazando :

(7x²+1)° - (1-3x²)° = 360°.n

+

10x² = 360°.n

x² = 36°.n ; n Є Z

+

será mínimo cuando sea mínimo osea cuando

n = 1 , entonces = 36°

"α"

x²

x²

Sean α =(7x²+1)°

α = 7(36°)+1

α = 253°

EJERCICIO 11

La suma de dos ángulos cotermi

nales es 600° . Hallar la medida del menor de ellos

,si el mayor esta comprendido entre 400° y 600°

Resolución:


-α

β

=

360°.n , además

+α

β

=

600°

resolviendo las dos ecuaciones :

2α

=

600° + 360° .n

α

=

300° + 180° .n

y " α " esta comprendido entre 400° y 600°

400°< 300° + 180° .n < 600°

100°< 180° .n < 300°

10°< 18° .n < 30°

0.56< n < 1.67

; n Є Z

n = 1

-α

β

=

360°

+α

β

=

600°

}

α

β

=

=

480°

120°

EJERCICIO 12

A partir del gráfico,hallar el su-

plemento de " x "

α°

β°

x°

Resolución:

colocando a " β " en sentido horario y cambiando

su signo tenemos :

α°

-β°

x°

-α

β + 90° + x° +90° =360°

x° =180°- α +β

suple. x = α - β

EJERCICIO 13

En la figura se cumple que :

3θ + 2x = 18° . Hallar E= θ + x

3x

2θ

O

Resolución:

del gráfico tenemos :

2θ + 90° - 3x = 180°

2θ - 3x = 90° ........( I )

3θ + 2x = 18° .........( II )

resolviendo ( I) y (II)

}

θ = 18°

x = -18°

E = θ + x = 0°

EJERCICIO 14

Dos ángulos coterminales son

entre sí como 1 es a 5 .Hallar la medida del mayor

de ellos ,si el menor está comprendido entre 100° y

200°

Resolución:

sean : = 1k , = 5kα β

entonces :

α

=

1k

5k

por lo tanto : β

=

5α

β

β

=

α +360°.n

=

α +360°.n5α

}

=

90°.nα

100°< 90°.n < 200°

1.11< n < 2.22 ; n Є Z

n = 2 ;=

90°.n = 180° ;α β

=

5α = 900°

EJERCICIO 15

Con respecto a los ángulos :

= 1370° ; = 2450° y = -3310°α

β

θ

Resolución:

1370° 360°

3290°

2450° 360°

6290°

-3310° 360°

10290°

α ,

β y θ son coterminales

,podemos afirmar que :

suple. x = 180 ° - ( 180° - α + β )

CAPITULO 2

SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES

NIVEL I

EJERCICIO 1

Si se cumple que :

36 ° < > A ........1

g

B ° < > 60 ......... 2

calcular M = 3B - 4A

Resolución: se sabe que ;

S

9

=

C

10

Reemplazando valores :

36

9

=

A

10

B

9

=

60

10

g

}

A = 40

B = 54

M = 3B - 4A

M = 3(54) - 4(40)

M = 2

EJERCICIO 2

Efectuar :

45° + 30

g

π9

rad.

=

E

Resolución: Pasando todos los ángulos a un sólo

sistema angular ,utilizando la siguiente relación:

S

180

=

C

200

=

R S

9

=

30

10

S

= 27°

S

180

=

π9

rad.

π S

= 20°

45° + 27°

=

E

20°

=

3,6


EJERCICIO 3 Reducir la expresión :

(2C + S)(2C-S)

400R²

=P

Resolución:

( 4C²-S²)

400R²

=P

S

9

=

C

10

S²

=

100

81C²

C

200

=

R

rad.

R²

=

C²

200²

( 4C²-S²)

400R²

=P


( 4C²-S²)

400R²

=

(

4C² -

100

81C²

)

400

C²

200²

=

P

=

100

319

400

200²

=

319

EJERCICIO 4

Determinar la medida de un án

gulo en el sistema sexagesimal,si se cumple:

2S-9

3

=

C+4

2

Resolución:

S

9

=

C

10

C =

10S

9

2S-9

3

=

C+4

2

2S-9

3

=

10S

9

+

4

2

4S-18

3

=

10S +36

9

2S = 90°

S = 45°

EJERCICIO 5 Hallar la medida de un ángulo

expresado en radianes,tal que : C - S = 3

Resolución:

C - S = 3

- S = 310S

9

S = 27°

S

180

=

R

rad.

27

180

=

R

rad.

R=

3

20

rad.

EJERCICIO 6 Sabiendo que :

48

rad.< > A° B´ , calcular : √ 3

5

B

A

Resolución:

S

180

=

R

rad.

S

180

=

48

}

S= 3.75°

S= 3.75°

S= 3° 0.75x60´

S= 3° 45´


√ 3

5

B

A

= A° B ´ } A= 3 ; B= 45

=√ 3

5

(45)

3

= √3 27 =3

EJERCICIO 7

Reducir la expresión :

[ 2R+ ]

( 10S-9C )

=E

Resolución:

10S-9C= 10S - 9

(

10S

9

)

=

0

[ 2R+ ]

=E =

1


expresado en radianes tal que se cumple:

S = 2 ( n + 1 ) ; C = 3n - 4

0

π rad.

π²

π²

π

π²

π²

π²

π²

π²

π

π

π

π

π

π

ππ

π

CAPITULO 2


Resolución:

S

9

=

C

10

2(n + 1 )

9

=

3n - 4

10

20(n + 1 ) 9 ( 3n - 4 )

=

56 7n

=

8 n

=

S = 2 (n + 1 ) = 2 ( 8 + 1 ) = 18

S

180

=

R

rad.

R =

18

180

rad.

R =

10

rad.


en el sistema radial ,si cumple la siguiente condi-

ción :

S

6

+

C

5

=

14

Resolución:

S

9

=

C

10

C =

10S

9


S

6

+

5

=

14

10S

9

S = 36

S

180

=

R

rad.


36

180

=

R

rad.

R =

5

rad.

EJERCICIO 10 Expresar " " en radianes:

α

α = 1°+2°+3°+........+360°

Resolución:

a + a

1 n

n

2

( )

Sn =

recordando que la suma de térmi-

nos en una P.A. es la siguiente :

α = 1°+360°

( )

360

2

α = 361° x180

S

180

=

R

rad.

sustituyendo

361 x180

180

=

R

rad.

R = 361

NIVEL II

EJERCICIO 1

Si A° B' C" < > 13 90 , cal

cular : A + C

B

gm

Resolución:

13 90 = 13,90 ;luego utilizamos la relación :

gm

g

S

9

=

C

10

S

9

=

10

13,90

S

=

12,51°

S

=

12,51°

=

12° 0.51° x 60' = 12° 30,6'

S

= 12° 30,6' =12° 30' 0,6' = 12° 30' 0,6 x60"

S

= 12° 30' 0,6 x60" = 12° 30' 36"

S

= 12° 30' 36" = A° B' C"

Comparando: A = 12 ; B = 30 y C = 36


A + C

B

=

12 + 36

30

=

1,6

EJERCICIO 2


( C² - S² )

76 R²

U =

Resolución: utilizando la siguiente relación

S

180

=

C

200

=

R

rad.

=

n

( 200² n² - 180² n²)

76 n²

U =

( 200 - 180 ) (200 + 180)

76

U = = 100

EJERCICIO 3

Determinar la medida de un

ángulo en radianes si se cumple que :

1

S

+

1

C

=

19

72


S

9

=

C

10

=

n

}

S = 9n

C = 10n


1

9n

+

1

10n

=

19

72

19

90n

=

19

72

10n=8

C

200

=

R

rad.

}

C = 8

8

200

=

R

rad.

R =

25

rad.

EJERCICIO 4

Los ángulos de un triángulo se

encuentran en progresión aritmética de razón 12°

.Hallar la medida del menor de dichos ángulos ex-

presada en radianes.

Resolución:

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π²

π²

π²

π

π π

π

CAPITULO 2


A

B

C

x-12°

x-12°

x

debe cumplirse que : en

todo triángulo la suma de

sus ángulos interiores es

180°

( x - 12° ) + x + ( x + 12° ) = 180°

3x = 180°

x = 60°

El menor mide : A = 60° -12 ° = 48°

Expresando dicho ángulo en radianes :

S

180

=

R

rad.

48

180

=

R

rad.

R =

15

4 rad.

EJERCICIO 5

Del gráfico , hallar " x ".

A

D

B

C

15

)(( 13x-10 )°

25( x + 1 )

Resolución: E n todo cuadrilátero se cumple que

la suma de sus ángulos interiores es igual a 360°.

g

Expresando todos los ángulos en el sistema sexa

gesimal.

S

9

=

C

10

S

9

=

10

25(x+1)

S=

2

45(x+1)

*

*

S

180

=

R

rad.

=

rad.

S

180

15

)(

S = 12x

∑ ángulos interiores = 360°

2

45(x+1)

+ + 90 = 360( 13x+10 ) +

12 x

26x+20+45x+45+24x+180 = 720

95 x = 475

x = 5


expresado en radianes si se cumple que :

4S - 3C + 10R = 12 +

Resolución: Pasando los ángulos al sistema radial.

S

180

=

C

200

=

R

rad.


4 - 3 + 10R = 12 +

180R

( )

200R

( )

720R - 600R + 10 R = (12 + )

120R + 10 R = ( 12 + )

10R ( 12 + ) = ( 12 + )

R =

10

EJERCICIO 7 Determinar la medida de un

ángulo expresado en radianes , si cumple la sigui-

ente condición :

=

2C + S

2C - S

5 + 9R

5 - 9R


S

9

=

C

10

=

n

}

S = 9n

C = 10n


=

5 + 9R

5 - 9R

2(10n) + 9n

2(10n) - 9n

=

5 + 9R

5 - 9R

29

11

145 - 261R = 55 + 99R

90 = 360R

EJERCICIO 8 Hallar el número de radianes

contenidos en un ángulo si se cumple que :

S = x² - 1 ; C = 9x - 2 ; tal que x Є Ζ


S

9

=

C

10

9

=

10

x² - 1 9x-2

10x²-81x+8=0

10 -1 -1x

1 -8 -80x

-81x

(10x-1)(x-8) = 0

* 10x-1=0 ; x=0,1 Є Z

* x - 8 =0 ; x= 8 Є Z

S = x² - 1 = (8)² - 1 = 63

S

180

=

R

rad.

63

180

=

R

rad.

7

20

EJERCICIO 9

En la figura ABC es un trián-

gulo equilátero. Si AD y AE son trisectríces del án

gulo A , hallar " x - y " expresado en radianes .

R =

7

20

R =

rad.

4

1

4

BD E C

H

A

x

y

π

ππ

π

π

π

xπ

π

xπ

ππ

π

π

π π

ππ

π

π ππ

π rad.

π

π

π

π

π

π

π π

π

π

π

π

π

CAPITULO 2


( 5x-3 )°( 7x- 25 )

g

S

9

=

C

10

9

=

10

S 7x - 25

=

10

S

63x - 225

10

63x - 225

=

5x -3

63x - 225 = 50x - 30

13x = 195

1

15

x = 15

S = 5x - 3 = 5(15) - 3 = 72°

< desigual : 180°- 2(72°) = 36°

S

180

=

R

36

180

=

R

5

1

R =

5

EJERCICIO 4 Se tiene 3 ángulos consecuti

vos cuya suma es igual a la cuarta parte de un

ángulo llano .Sabiendo que se hallan en progresi

ón aritmética y que el mayor es igual al cuadrado

del menor .Hallar el menor de ellos en radianes.

Resolución:

sabemos por dato que la suma de estos es la

cuarta parte de un ángulo llano :

x + ( x+r)+(x+2r) =

4

=

3x + 3r =

4

180°

1 1

60°

15°

1

x + r = 15° ; reemplazando " r " :

x = 15° ; x - x - 30° = 0

+

x - x

2

2

2

(x+6°)(x-5°)=0

*

x=-6°

*

x= 5° ( menor ángulo)

S

180

=

R 5

180

=

R

36

1

R =

36

EJERCICIO 5 A partir del gráfico ,calcular :

√ 75x

4y

3

x

x+ r

x

+

2

r

=

x

2

r

x - x

2

2

x

y"m

O

Resolución:

x

- y"m

x = - y"

m

y

x

=

9

-10

(

100

3600)

5

18

y

x

=

9 ( 18 )

-5

multiplicando ambos

miembros por :

4

75

4 y

75 x

=

9. ( 18 )(4)

-5 ( 25)(3)

1

3

=

6

-5

3

3

Extrayendo raiz cúbica a ambos miembros :

√ 75x

4y

3 √3=

6

-5

3

3

=

6

-5

EJERCICIO 6 Determinar la medida de un án

gulo expresado en radianes,si cumple la condición

2S

9

-

C

10

-

1

[ ]

( C - S - 1 )

=1


S

9

=

C

10

=

n

}

S = 9n

C = 10n


2(9n)

-

-

1

[ ]

( 10n - 9n - 1 )

=1

9

10n

10

[ 2n - n - 1 ]

( n - 1 )

=1

[ n - 1 ]

( n - 1 )

=1

1

[ n - 1 ]

=

1

n = 2

Reemplazando "n" :

S = 9n = 9(2)= 18°

18

180

=

R

10

1

R =

10

EJERCICIO 7

Siendo " a " el número de minu

tos sexagesimales y " b " el número de grados cen

tesimales que tiene un mismo ángulo ,calcular :

√ a-5b

b

E =

πrad.πrad.

πrad.

πrad. πrad.

πrad.

πrad.

πrad.

180°

CAPITULO 2


Resolución:

Por condición del problema se tiene :

a' = b

g

a

60

=

9 b

10

a = 54 b

a = ( 5b + 49b)

{

a - 5b = 49 b

Dividiendo entre " b "ambos

miembros :

a - 5b = 49 b

bb

Extrayendo raiz cuadrada a ambos miembros :

a - 5b =

b√ √49 √ a-5b

b

E = =

7

EJERCICIO 8

Hallar el máximo valor que pue

de tomar " α " expresado en radianes,si se cum

ple :

α = [ 14 + 4x - x ]° ; x Є R

2

Resolución:

x Є R

x - 2 ; Є R

( x - 2 ) ≥ 0

2

( todo número real elevado al cua

drado es mayor o igual a cero)

desarrollando el cuadrado de un binomio:

x - 4x +4 ≥ 0

2

multiplicando por (- 1 ) a ambos miembros y cam

biando el sentido de la desigualdad se tiene :

-x + 4x - 4 ≤ 0

2

sumando a ambos miembros ( 18 ) se tiene :

-x + 4x + 14 ≤ 18

ordenando [ 14 + 4x - x ]° ≤ 18°

2

2

el máximo valor será de 18°

α = 18°

S

180

=

R18

180

=

R

10

1

R =

10

EJERCICIO 9A partir del gráfico,hallar el má

ximo valor positivo del ángulo " φ "

-18 -15 -12 -9 -6 -3 0 3 6 9 12 15 18

+ -

C O A

B

120°

a

b

+

b

a

( )

φ

Resolución:

Del gráfico se puede observar que :

120° -

a

b

+

b

a

( )

φ

=

180°

a

b

+

b

a

( )

φ

=

- 60°

Si φ es positivo entonces la expresión

a

b

+

b

a

( )

es negativa ; es decir :

a

b

+

b

a

( )

≤ 0

que desarrollando es igual a decir :

a + b

( )

≤ 0

a.b

22

como : a + b , siempre será positivo entonces

a.b es negativo y diferente de cero.

2

2

a Є R y b ϵ R

( a + b) ≥ 0

2

( todo número real elevado al cua

drado es mayor o igual a cero)

desarrollando el cuadrado de un binomio:

a + 2a.b + b ≥ 0

2

2

a + b ≥ - 2a.b

22

dividiendo ambos miembros entre (a.b) y teniendo

presente que (a.b) es negativo por lo tanto el sen

tido de la desigualdad cambia.

a + b ≤ - 2 ;

2

2

a.b

a

b

+

b

a

≤

- 2

-8 -7 -6 -5 -4 -3-2

-1 0 1 2 3 4

+ -

el máximo valor será de -2

Reemplazando en la siguiente expresión:

a

b

+

b

a

( )

φ

=

- 60°

}

- 2 φ = -60°

φ = 30°=

6

EJERCICIO 10Hallar la medida de un ángulo

en radianes ,si cumple la siguiente condición:

S

36

+

C

40

+

5R

π

=

2 ( S + C + R )

5 55

44 4


S

180

=

C

200

=

R

=

n

S.S

36

+

C.C

40

+

R.5R

π

=

2 ( S + C + R )

44

4

44 4

180n.S

36

4

200n.C

40

4

π.n.5R

π

4

+ + =

2 ( S + C + R )

4 4 4

5n.S + 5n.C + 5n.R

4 44

2 ( S + C + R )

44 4

=

5n ( S + C + R ) =

4 4 4

2 ( S + C + R )

44 4

5n = 2 ; n =

2

5

R

=

n

R =

5

πrad. πrad.

πrad.

πrad.

πrad.

πrad.

2πrad.

CAPITULO 3

LONGITUD DE ARCO

NIVEL I

EJERCICIO 1

Hallar la longitud de arco de un

sector circular si su ángulo central mide 20° y su

radio es de 9m.

Resolución:

20°

L

r

=

9

m

L = θ.r ; θ en radianes

S

180

=

R

20

180

=

R

R =

9

1

9


L

=

9

( )

9m.

=

EJERCICIO 2 En la figura , hallar " x "

2 rad.

( 3x + 4 )m

(

2

x

+

1

)

m

O

A

B

Resolución:

L = θ.r


3x + 4 = ( 2 )( 2x + 1 )

2 = x

EJERCICIO 3

Del gráfico ,calcular " L "

45°

L

2π m.

O A C

B

D

3rr

Resolución:

45° =

π

4

rad.

L =

CD

θ.R


2 π = . 4r ; r = 2 m.

π

4

L =

AB

θ.R


= . r ; r = 2 m.

π

4

L

AB

= . 2 ;

π

4

L

AB

L

AB

=

π

2

m

EJERCICIO 4 De la figura , calcular :

S

1

S

2

( O centro )

2α

S

2

S

1

O

A

B

C

D

Resolución:

α

S = θ. R

2

2

Sea : OB = r ; OC = 2r

S

1

=

α.r

2

2

S

2

=

(2α).( 2r )

2

2

=

S

2

4α.r

2

S

1

S

2

=

α.r

2

2

4α.r

2

S

1

S

2

=

1

8

EJERCICIO 5 De la figura , hallar " x " .

2

x

m

O

A

B

π

2x

rad.

3π m

Resolución:

S = θ. R

2

2


=

2

3π

π

2x

.( 2x )

2

; =

2

π

2x

. 4 x

2

3π

x = 3

2

(

πrad.

πrad.

πrad.

π

π m.

CAPITULO 3

LONGITUD DE ARCO

EJERCICIO 6 Del gráfico ,hallar " S "

π

=

22

7

( )

1

2

m

4

m

S

45°

O

A

B

D

C

Resolución:

45° =

π

4

rad.

Del gráfico se aprecia que :

S = S - S

OCD OAB

π

4

( 16 )

2

-

π

4

( 12 )

2

2

2

S

=

S

=

14 π

=

14

22

7

( )

S

=

44 m

2

EJERCICIO 7

De la figura ,hallar : L + L (AOB

y CAD son sectores circulares).

12

O C B

D

A

L

L

2

1

24 m.

30°

Resolución:

O C B

D

A

L

L

2

1

24 m.

30°

OB = OA = 24m.

OCA es notable de 30° , 60° con una

longitud de hipotenusa de 24m ( 2x12)

por lo tanto AC= 1x12 = 12m

60°

12m

2

4

m

π

3

< >

π

6

< >

60°

30°

Nota :

L =

π

3

.12m

=

1

4

1

4π m.

L =

π

6

.24m

=

2

4

1

4π m.

L

1

+

L

2

=8π m.

EJERCICIO 8 Del gráfico ,hallar : √ S

2

S

1

A

B

D

C

S

1

O

5m

3m

S

2

θrad.

Resolución:

L = θ .OA ;

AB

L =

AB

3 m.

OA =

θ

3m

L = θ .OC ;

CD

L =

CD

5 m.

*

*

OC =

θ

5m

(

( (

(

2

2

S

=

1

θ

3

( )

=

2θ

9

m

2

Utilizando la fórmula del área del trapecio circular

tenemos :

L + L

1 2

2

[ ]

S

=

2

n

=

3 + 5

2

[ ]θ

5

-

θ

3

( )

S

=

2

θ

8

m

2

Dividiendo : S entre S

21

√ θ

8

√ S

2

S

1

= = √16

9

√ S

2

S

1

=

4

3

EJERCICIO 9 Del gráfico ,hallar " θ "

θ

2θ

9

A

B

D

C

O

4m

2mθrad.

2

m

Resolución:

L = θ .OA ;

AB

L =

AB

2 m.

OA =

θ

2m

L = θ .OC ;

CD

L =

CD

4 m.

*

*

OC = OA + 2

(

( (

(

CAPITULO 3

LONGITUD DE ARCO

OC 2

=

θ

2

+

L = θ .OC ;

CD

(

4 = θ. 2

θ

2

+

)(

4 = 22 θ

+

θ = 1

A

B

D

C

O

x+1

x-1θrad.

x

EJERCICIO 10

Del gráfico ,hallar " α "

9


tenemos :

L + L

1 2

2

[ ]

S

=

n

=

( x- 1) + ( x+1)

2

[ ] 9

x

9 = x

2

x = 3

NIVEL II

EJERCICIO 1

O

D

C

B

A

2L

α rad.

3L

Resolución: Trazamos el arco BH con centro en O

de radio OB , y que por pasar por el punto medio

B, es lamitad de la medida del arco CD osea 1,5L

O

D

C

B

A

2L

α rad.

3L

1,5L

H

Sea OA = R ; tenemos.

1,5 L = α .R ......(I)

*

3,5 L = .R .....(II)

*

π

2

3,5

1,5

=

α

π

2

7

3

=

2α

π

α

=

14

3π

Dividiendo ( I ) ÷ ( II )

R

De la figura hallar " x ".

EJERCICIO 2

Calcular el área de la región

coloreada.

OB

D

C

A

72°

√ 5 m

Resolución:

Resolución:

O

BD

C

A

√ 5 m

R

r

2π

5

rad.

*En el OBC : ( Pitágoras )

R² = r ² + ( ) ²

√ 5

R² - r ² = 5 ........( I )

*

color

2π

5

. R

2

2π

5

. r

2

2

2

=

S

color

-

=

S

color

π

5

(R - r .....( II )

)

22

Reemplazando ( I ) en ( II ) :

=

S

color

π

5

( 5 )

=

S

color

π m

2

Además : S = S COD - S AOB

CAPITULO 3

LONGITUD DE ARCO

O

A

D

F

C

A partir del gráfico , hallar

EJERCICIO 3 L

r

r

3

m

2

m

4m L

14m

E

B

Resolución:

O

A

D

F

C

r

3

m

2

m

4mL

14m

E

B

θ rad.

De la figura se tiene:

L = θ .OA ;

AB

L =

AB

4 m.

*

( (

4 = θ.r ......( I )

L = θ .OC ;

CD

L =

CD

L ; OC = ( r + 3 )

*

( (

L = θ.( r + 3 ) ......( II )

L = θ .OE ;

EF

L =

EF

14m. ; OE = ( r + 5 )

*

( (

14 = θ.( r + 5 )

14 = θr + 5θ .......( III )

Reemplazando ( I ) en ( III ) , tenemos :

14 = 4 + 5θ θ = 2 r = 2

Reemplazando en ( II ) tenemos :

L = θ.( r + 3 ) L = 2 ( 2 + 3 ) ; L= 10 m

L

r

=

10

5

=

2

EJERCICIO 4 Calcular el área de la región

coloreada siendo BAC un sector circular ,además

: AB = BD = 2√2 m.

DC A

B

Resolución:

DC A

B

2√2

π

4

45°

=

2√2

*

color

Además : S = S COD - S BAC

π

4

.

22

=

S

color

-

=

S

color

2√2

( )

2

2√2

( )

2√2

( )

4 - π

EJERCICIO 5 Hallar la longitud del radio de

la circunferencia mostrada,en términos de "L" y "α"

α°

O

A

B

C

L

Resolución:

α°

o

A

B

C

L

r

r

2α°

BC = 2α ; por ser

(

ángulo inscrito que

a la vez tiene la mis

ma medida que el

ángulo central.

Pasando 2α° a radia

nes tenemos :

S

180

=

R

πrad.

2α

180

=

R

πrad.

R =

απ rad.

90

1

90


L

=

απ90

( )

r r

=

90L

( )

απ

EJERCICIO 6 Las áreas de los sectores circu

lares AOB y COD son proporcionales a 1 y 4 res-

pectivamente. Calcular :

L

2

L

1

Resolución:

CAPITULO 3

LONGITUD DE ARCO

B

D

O

L

L

12

A

C

Resolución:

B

D

O

L

L

12

A

C

S

3S

L

2α

S

=

2

Utilizando la formula del área

de un sector circular en función

de su arco y su ángulo central.

Reemplazando:

L ......... ( I )

2α

S

=

2

α rad.

1

2α

4S

=

2

2L .......... ( II )

DIVIDIENDO ( II ) ENTRE ( I )

4

=

2

2L

2

1

L

2

L

1

L

=

2

EJERCICIO 7

√ S

1

S

2

A partir del gráfico ,calcular :

3

O

A

D

F

C

1

m

2

m

3

m

S

S

E

B

1

2


tenemos :

L + L

1 2

2

[ ]

S

=

n

Resolución:

Reemplazando:

O

A

D

F

C

1

m

2

m

3

m

S

S

E

B

1

2

α rad. α

3α

6α

α + 3α

2

[ ]

S

=

2

1

S

=

1

4α m

2

3α + 6α

2

[ ]

S

=

3

2

S

=

2

α m

27

2

2

Dividiendo : S entre S

21

√ 1

4

√ S

1

S

2

= = √ 8

27

√ S

1

S

2

=

2

3

2

27

3 33

3

EJERCICIO 8

Hallar el área de la región co

loreada.

B

D

O

10m

8m

A

C

2

m

Resolución:

B

D

O

10m

8m

A

C

2

m

θ rad.

r


L = θ .OA ;

AB

L =

AB

8 m.

*

( (

8 = θ.r ......( I )

L = θ .OC ;

CD

L =

CD

10 ; OC = ( r + 2 )

*

( (

10 = θ.( r + 2 ) ......( II )


8

10

=

θ( r+2 )

8

10

=

r+2

r

θ r

10r = 8r +16 ; r = 8 m.

S

Reemplazando r = 12m. en la ecuación ( I )

8 = θ.r θ

=

8

8

1

1

= 1 rad.

2

2

S

=

θ .r1

( 8 )

2

2

S

=

32 m

2

CAPITULO 3

LONGITUD DE ARCO

EJERCICIO 9

Del gráfico , hallar aproxima-

damente el valor de " a " , si S = S

21

B

D

O

S S

A

C

a

-

1

Resolución:

a

+

1

12

S = θ. R

2

Sea : OA = a+1

S

1

=

θ.( a+1) ....(I)

2

B

D

O

S S

A

C

a

-

1

a

+

1

12

θ rad.

Como S = S , entonces

tenemos :

=

2S

1=

θ. [( a+1)+( a - 1)]

2

S = θ. a .....( II )

1

Igualando ( I ) y ( II )

θ.( a+1)

2

=

θ. a

( a + 1 )² = 2a²

²

²

²

²

²

²

a + 2a + 1 = 2a

²

a - 2a - 1 = 0

²

Completando cuadrados :

a - 2a - 1 = 0 ; ( a - 2a ) -1 = 0

²

+ 1 - 1

+ 1

- 1

( a - 1 ) = 2 ²Extrayendo raiz cuadrada.

( a - 1 ) = √2

a = √2 +1

²

a = 2,41

1 2

EJERCICIO 10

Del gráfico , hallar: siendo

S = S

y

x

12

O

E

D

α rad.

C

y

A

x

α

r

a

d

.

S

1

S

2

B

Resolución:

O

D

α rad.

C

y

A

x

α

r

a

d

.

S

1

S

2

B

x

S

1

S = θ. R

2

Sea : OA = x

S

1

=

α x ....(I)

2

Como S = S , entonces

tenemos :

2S

1=

α y ........( II )

2

Dividiendo ( I ) entre ( II )

²

²

²

1 2

1

2

=

α x

2

²

α y

2

²

1

2

=

x ²

y ²

1

√2

=

x

y

x

y

=

0,71

NIVEL PREUNIVERSITARIO

EJERCICIO 1

Del gráfico , hallar el perímetro

de la región coloreada.

OB

A

C

12m.

12m.

Resolución:

OB

A

C

12m.

12m.

1

2

m

.

P

1

2

m

.

45°

60°

1

5

°

π

3

< >

π

6

< >

60°

30°

Nota :

π

4

< >45°

π

12

< >15°

*

colorAdemás : P =

L +

AC

(

L + AP

CP

(

CAPITULO 3

LONGITUD DE ARCO

color

P = L +

AC

(

L + AP

CP

(

P = color

π

3

12 +

( )

π

12

12 + 12

( )

P = 5π + 12 m.color

EJERCICIO 2

De la figura,calcular el área de

la región coloreada. OA = OB = BC = 2√3 m.

OA

B

C

Resolución:

OA

B

C

60°

60°

60°

*

Además : S = S BOA - S BOC

color

2√3

2√3

π

2

.

2

2√3

( )

2

= -

π

3

.

2

2√3

( )

2

S

color

= π m

S

color

²

EJERCICIO 3

De la figura,hallar " θ "

B

D

O

5m

2m

A

C

2

m

Resolución:

²

θ rad.


para calcular L tenemos :

L + L

1 2

2

[ ]

S

=

n ; L = 2m. ; S = 5 m

1

²

n = 2 m. ; L = ?

2

2

B

D

O

5m

A

C

2

m

²

θ rad.

L

²

L = 2m

1

Reemplazando ,valores y calculando " L "

²

L + L

1 2

2

[ ]

S

=

n

2 + L

2

[ ]

5

=

2

2

L

²

=

3 m.


L = θ .OA ;

AB

L =

AB

r m.

*

( (

2 = θ.r ......( I )

L = θ .OC ;

CD

L =

CD

3 ; OC = ( r + 2 )

*

( (

3 = θ ( r + 2 ) .....( II )

r

m

.


3

2

=

θr

θ ( r + 2 )

2r + 4 = 3r

r = 4 m.

Reemplazando " r = 4m. en ( I ) , tenemos :

2 = θ.r ; 2 = θ (4) θ = 0,5

EJERCICIO 4

Hallar el área de la región colo

reada.

O

1

m

2m

C

B

A

2°

1°

Resolución:


tenemos :

L + L

1 2

2

[ ]

S

=

n

Sea : 1° = θ ; 2 ° = 2θ

OA = r.

S

180

=

R

πrad.

1° =

π rad.

180

=

θ

CAPITULO 3

LONGITUD DE ARCO

O

1

m

2m

C

B

A

2θ

θ

r

P

Q

√ r² - 2²

√ r² - 1²

θr

2θr

S

1

S

2

θ√ r² - 1² 2θ√ r² - 2²

[

θr + θ√ r ² - 1

2

] [

r - √ r ² - 1

2

]

S

=

1

Aplicando diferencia de cuadrados tenemos :

[ r ² - r ² + 1 ] ;S

=

1

θ

2

S

=

1

θ

2

[

2θr + 2θ√ r ² - 2²

2

][

r - √ r ² - 2²

2

]

S

=

2

Aplicando diferencia de cuadrados tenemos :

*

*

[ r ² - r ² + 2² ] ;S

=

2

2θ

2

S

=

2

4θ

Sumando S con S y reemplazando " θ "

12

S + S =

θ

2

+

4θ

1 2

S + S =

1 2

9θ

2

=

9

2

π180

[ ]

=

π

40

m²

OP² = r²-1² ; ....T.Pitágoras.

OQ² = r²-2² ; ....T.Pitágoras.

EJERCICIO 5

Del gráfico , hallar: siendo

S = S

L

L

2

O

E

D

2θ

C

A

S

1

S

2

B

1

2

1

θ

L

1

L

2

Resolución:

O

E

D

2θ

C

A

S

1

S = S

2

B

θ

L

1

L

2

*

S =2S

3

R

θR²

2

S

=1

R

*

2 θR²

2

S

=3

S 2 S

=3 1

1

L

2α

S

=

2

Utilizando la formula del área de un sector circular

en función de su arco y su ángulo central.

Reemplazando:

L ......... ( I )

2θ

S

=

1

1

1

S DOE = 3 S 1

L ..... ( II )

2(2θ)

=

²

2

²

DIVIDIENDO ( I ) ENTRE ( II )

L

2θ

S

=

1

1

²

1

L

2(2θ)

=

²

2

3 S

1

3

=

2L

²

1

L

²

2

Extrayendo

raíz cuadrada

L

²

1

L

²

2

=

1

√6

=

6

√6

EJERCICIO 6

En la figura : S = 2S .Hallar "θ"

1 2

Resolución:

S

1

S

2

AO

D

B

C

θ rad.

2√2m 1m

S

1

S

2

AO

D

B

C

θ rad.

2√2m 1m

β rad.

S = θ. R

2

Sea : OA = x

S

1

=

β(2√2)²

2

²

S

2

=

θ( 1 )²

2

Igualando : S = 2 S

β(2√2)²

2

=

2θ( 1 )²

2

θ = 4β

Del gráfico : β + θ =

π

2

θ

4

+ θ=

π

2

11

θ =

2π

5

CAPITULO 3

LONGITUD DE ARCO

EJERCICIO 7 Hallar el área máxima de un tra

pecio circular sabiendo que su perímetro es de 8m

Resolución:

B

D

O

L

L

12

A

C

n


y reemplazando( ) tenemos :

L + L

1 2

2

[ ]

S

=

n

S

n

P = L + L + 2n

1 2

8 = L + L + 2n

1 2

L + L = 8 - 2n

1 2

L + L

12

8 - 2n

2

[ ]

S

=

n

1

4 1

S = 4 - n²

" S " será máxima cuando 2 n² = 0

S = 4 - n²máx.

=0

S = 4 m²

EJERCICIO 8 En la figura : R + r = 4m.

R . r = 2m² . Hallar el área de la región coloreada.

O O

rR

45°

Resolución:

O O

rR

45°

45°

* Además : S = S ABCD - ( S + S )

color

B

S

1

S

2

r

√

2

R

√

2

A

D

C

1 2

R

r

π

2

.

2

R

( )

2

*

S

1

=

-

( R)( R )

2

=

πR²

4

-

R²

2

π

2

.

2

r

(

*

S

2

=

-

( r )( r )

2

=

πr²

4

-

r²

2

)

2

S ABCD =

( r√2 )( R√2 )

=

2Rr

Reemplazando ,valores y calculando" S "

color

S = S ABCD - ( S + S )

color

1

2

πR²

4

-

R²

2

)([

+

πr²

4

-

r²

2

)(]

=

2Rr -

colorS

R + r = 4

( R+r)²=16

R²+2Rr+r²=16

R² + r²=16-2(2)

R²+r²=12

[

π

4

-

1

2

)(]

=

2Rr -

colorS

( R² + r² )

=

2(2) -

colorS

[

π

4

-

1

2

)(]

12

=

colorS4 - ( 3π - 6)

=

colorS( 10 - 3π ) m²

EJERCICIO 9 Hallar la longitud de arco de un

sector circular cuyo perímetro es √2m y su área es

la máxima posible.

Resolución:

O

S L

r

r

P = 2r + L = √2 r = √2 - L

2

S

=

L r

2

=

L

2

√2 - L

2

( )

S

=

√2 L - L²

4 4

S

=

8 4

-

√2 L

4

+

1

8

( )

S

=

1 - L

8 2

-

√2

4

( )²

} }

máximo

mínimo = 0

L

2

√2

4

=

L

√2

2

=

EJERCICIO 10 De la figura hallar

S

2

S

1

B

D

O

S S

A

C

12

Resolución:

L 1

2

-

CAPITULO 3

LONGITUD DE ARCO

B

D

O

S

S

A

C

12

r

R

*

S + SCOD S =

12

r

R

Reemplazando ,valores y calculando :

R ( R + r ) = r R + R + r r

22 2

( )

R² + Rr = Rr + Rr + r²

R² - Rr - r² = 0

__ r²

4

+

__ r²

4

{

R

_ r

2

- =

___ √5r

R

_ r

2

-

( )² =

___ 5r²

4

R =

_____ √5r + r

R =

_______

r(√5 + 1)

2

2

__ r

R

=

_______ 2

(√5 + 1)

Racionalizando

__ r

R

=

_______ 2

(√5 + 1)

x

_______

(√5 - 1)

(√5 - 1)

2

Extrayendo raiz cuadrada y tomando su valor

positivo :

__ r

R

=

_______

(√5 - 1)

2

Completando

cuadrados.

S

1

=

Rr

2

S

2

=

2

( )

r

R + r

___ S

2

S

1

=

R + r

R

=

1 +

__ r

R

Reemplazando el valor de

___ S

2

S

1

=

R + r

R

=

1+

______

(√5 - 1)

2

___ S

2

S

1

=

______

(√5 + 1)

2

__ r

R

" "

-

CAPITULO 4

RAZONES TRIGONOMÉTRICA

NIVEL I

EJERCICIO 1 De la figura calcular :

E = Tg α + Sec α

C

A

B

a-1

a

+

1

4

α

Resolución:

Por el Teorema de Pitágoras tenemos :

(a+1)² = (a-1)² + 4²

a² + 2a + 1 = a² - 2a +1 +16

4a = 16

a = 4

Reemplazando el valor de " a " en el triángulo

ABC , tenemos :

C

A

B

5

4

α

E = Tg α + Sec α

E =

_ 3

4

+

_ 5

4

E = 2

3

EJERCICIO 2 En el triángulo rectángulo ABC

, recto en B , se cumple que :

Cotg A =

__ 5

12

Resolución:

B

A

C

H

=

1

3

5

12

Calcular M = Sen A - Sen C

Por el T. Pitágoras

H² = 12² + 5²

H² = 144 + 25

H² = 169

H = 13

Reemplazando el valores :

M = Sen A - Sen C

M =

__ 12

13

-

__ 5

13

M =

__ 7

13

EJERCICIO 3 Del gráfico, calcular :

A M B

C

13 5

E =

____

Tgα

Tgθ

θ

α

Resolución:

Por el T. Pitágoras

13² = AB² + 5²

169 = AB² + 25

AB² = 144

AB = 12


AM = MB = 6

A M B

C

13 5

θα

66

E =

____

__ 5

6

__ 5

12

= 2


Cosecβ - Tgβ

Cotgβ - Secα

P =

A B

C

8

β

9 6

α

Resolución:

A B

C

8

β

9 6

α

H² = 15² + 8²

H² = 225 + 64

H² = 289

H = 17

H

=

1

7

Por el T. Pitágoras ABC

CP² = 6² + 8²

CP² = 36 + 64

CP² = 100

CP = 10

Por el T. Pitágoras PBC

P

1

0

CAPITULO 4



Cosecβ - Tgβ

Cotgβ - Secα

P =

__ 17

8

-

__ 8

15

__ 15

8

-

__ 10

8

P =

_______ 225 - 64

120

__ 15

8

==

____ 161

120

__ 5

8

=

___ 161

75

P = 2,2


Senα + Cosθ

Q =

5 √

3

A B

C

D

15

25

24

α

θ

Resolución:

CB² = 25² - 24²

CB² = 625 + 576

CB² = 49

CB = 7

Por el T. Pitágoras ABC

CD² = 25² - 15²

CD² = 625 - 225

CD² = 400

CD = 20

Por el T. Pitágoras ADC


Senα + Cosθ

Q =

5 √

3

__ 7

25

+

__ 20

25

A B

C

D

25

24

α

θ

15

20

7

5

Q =

3

√

____ 27

125√

3

Q =

Q =

__ 3

5

Q = 0,6

EJERCICIO 6 Calcular " x " , siendo:

Sen ( 4x + 12°) = Cos ( 3x + 8° )

Resolución:

Sen α = Cos β

Tg α = Cotg β

Sec α = Cosec β

{

α + β= 90°

Sen ( 4x + 12°) = Cos ( 3x + 8° )

( 4x + 12° ) + ( 3x + 8 ) = 90°

7x + 20° = 90°

x = 10°

EJERCICIO 7 Calcular " x " , sabiendo que:

Tg ( 2x + 17° ) .Cotg ( x + 34° ) = 1

Resolución:

=

____

Tgθ

1

Cotgθ

Nota :

Tg ( 2x + 17° ) .

Tg ( x + 34° )

1

=

1

Tg ( 2x + 17° )

=

Tg ( x + 34° )

2x + 17° = x + 34°

x = 17°


Tg ( x + y ) = Cotg 40° ...........1

Sen ( x - y ) .Cosec 30° = 1 ...........2

Resolución:

=

____

Senθ

1

Cosec θ

Nota :

x + y +40° = 90°

x - y = 30°

2x = 80°

x = 40° y = 10°

x + y = 50°

__ x

y

=

___ 40°

10°

=

4*

EJERCICIO 9 Del gráfico , hallar " x " en térmi

nos de " a " y " α "

A B

H

α

x

C

a

Resolución:

Tg α

=

__ a

AB

AB = a.Cotg α

CAPITULO 4


A B

H

α

x

C

a

a.Tg α

Cos α

=

______

x

aCotgα

x = aCos α .Cotg α

EJERCICIO 10 Calcular " x " en términos de "a"

y " θ ".

A B

θ

C

a

xD

θ

Resolución:

En el Tg θ

=

___ BD

a

BD = a.Tg θDBC:

A B

θ

C

a

x

D

θ

aTgθ

En el Tg θ

=

_______ a

ABC:

x + aTgθ =

_____

Cotgθ

1

Tgθ

Nota :

_____

Cotgθ

1

=

_______ a

x + aTgθ

x + a Tgθ = a Cotg θ

x = a( Cotg θ - Tg θ )

NIVEL II

EJERCICIO 1 En un triángulo rectángulo ABC

( C = 90° ),se cumple : Sen A . Sen B

=

__ 4

9

Calcular : E = √ Cotg A + Cotg B

Resolución:

A C

B

a

b

c

Sen A . Sen B

=

__ 4

9

__ a

c

.

__ b

c

=

__ 4

9

___ a.b

c²

=

__ 4

9

Por T.Pitágoras:

a² + b² = c²

_____

a² + b²

a.b

=

__ 4

9

E = √ Cotg A + Cotg B


__ b

c

+

__ a

b

_____

a.b

=

__ 9

4

a² + b²

=

_____

a.b

=

__ 9

4

a² + b²

√

√ √

=

__ 3

2

E= = 1,5

EJERCICIO 2 Del gráfico ,calcular " Tg α "

DA

B

2

M

√13

α

Resolución:

AB² = (√13)² - 2²

AB² = 13 - 4

AB² = 9

AB = 3

Por el T. Pitágoras ABD

BM = AM =

__ 3

2

DA

B

M

√13

α

__ 3

2

__ 3

2

En el MBD

Tg α

=

__ 2

1

__ 3

2

=

4

3

2

EJERCICIO 3 En la figura ,CM es mediana.Cal

cular " Cotg θ "

A MB

C

2

1

θ

Resolución:

Si CM es mediana entonces : AM = MB

Por el T. Pitágoras ACB

AB² = 2² - 1²

AB² = 4 - 1

AB² = 3

AB = √3

A MB

C

2

θ

CM : Mediana relativa a la hipotenusa del triángu

lo ACB por lo tanto AM=MB=MC

Trazamos MH ∟ CB , y por teorema de los pun

1

_ 1

2

_ 1

2

θ

H

CAPITULO 4


tos medios : MH =

AC

2

=

2

2

=

1

En el Cotg θ CHM:

=

1

=

_ 1

2 _ 1

2

EJERCICIO 4 En un triángulo rectángulo la hi

potenusa mide el triple del cateto menor .Calcular

la tangente del mayor ángulo agudo de dicho trián

gulo.

Resolución:

DA

B

x

3x

θ

AB² = ( 3x)² - x²

AB² = 8x²

AB = √8 x

AB = 2√2 x

Por el T. Pitágoras ABD

2

√

2

x

=

_____ 2√2 x

x

Tg θ

=

Tg θ 2√2

EJERCICIO 5 Simplificar la expresión :

W = Sen 20°.Tg 40°.Tg 50°.Sec 70°

Resolución:

Sen α = Cos β

Tg α = Cotg β

Sec α = Cosec β

Si : α + β= 90°

Sen α.Sec β = 1

Tg α .Tg β = 1

Sec α .Sen β = 1

W = Sen 20°.Tg 40°.Tg 50°.Sec 70°

Ordenando W :

W = Sen 20°.Sec 70°.Tg 40°.Tg 50°

W = 1.1 = 1


Sen 25° + Tg 35° + Sec 24°

Cos 65° + Cotg 55° + Cosec 66°

=

K

Resolución:

Sen 25° = Cos 65°

Tg 35° = Cotg 55°

Sec 24° = Cosec 66°


=

K


=

1

EJERCICIO 7 En un triángulo rectángulo, el

perímetro es igual a 90 cm y el coseno de uno de

sus ángulos agudos es . Hallar la longitud de

la hipotenusa de dicho triángulo.

__ 12

13

DA

B

12k

13k

θ

5

k

Resolución:

AB² = ( 13k)² - (12k)²

AB² = 25 k²

AB = 5k

Por el T. P. ABD

Perímetro = AB + BD + AD = 90 cm.

Reemplezando :

P = 5K + 12K + 13K = 90

30K = 90

K = 3

Hipotenusa : AD = 13(3) = 39 cm.

EJERCICIO 8 Si Cos (2x - θ).Cosec ( x+3θ) = 1

Calcular :

Sen 3x - Cos 2θ

Tg (x + θ)

=

K

Resolución:

Cos (2x - θ).Cosec ( x+3θ) = 1

Cosec (x + 3θ)

1

=Cos (2x - θ)

=Cos (2x - θ)

Sen (x + 3θ)

( 2x - θ ) + ( x + 3θ ) = 90°

3x + 2θ = 90°Sen 3x = Cos 2θ

Sen 3x - Cos 2θ

Tg (x + θ)

=

K

=

Tg (x + θ)

0

=

0

=

____

Senθ

1

Cosec θ

Nota :

EJERCICIO 9 A partir gráfico ,calcular :

AC

B

M

M = Cotg α - Tg θ

α

θ

CAPITULO 4


Resolución:

AC

B

α

θ

a

a

x

M = Cotg α - Tg θ

___ a+x

a

-

_ x

a

=

M

_ a

a

+

_ x

a

-

_ x

a

=

M

=

M 1

EJERCICIO 10 Del gráfico,hallar :

W = Tg 2θ . Cotg θ

B

C

DA

C

1

4

3θ

2θ

Resolución:

BC

DA

E

1

4

3θ

2θ

2θθ

F

F

3

a

b = 3a

En el Tg 2θ

=

_ 1

a

EAF:

En el Tg 2θ

=

_ 3

b

CDF:

_ 1

a

=

_ 3

b

b = 3a

}

b = 3a

En el EFB:

3θ = 2θ + <B <B=θ

( ángulo exterior )

W = Tg 2θ . Cotg θ

W

=

__ 4

4a

.

__ 3a

1

=

3

M


EJERCICIO 1 En un triángulo rectángulo ABC

( B = 90°),se cumple que :

=

Cosec C

3-Cotg A

Sen A

Hallar el valor de : U = Tg A + Tg C

Resolución:

CA

B

a

b

c

_ a

b

=

-

__ c

a

__ b

c

3

a

=

3ac - c²

a

=

Cosec C

3-Cotg A

Sen A

a² + c² = 3ac

3

=

a² + c²

ac

=

U

a² + c²

ac

=

3

U = Tg A + Tg C=

__ a

c

+

__ c

a


√2

=

4

2

Secθ

Secθ

; ( θ: < agudo )

Calcular el valor de : E = 9 Tg²θ - √7 Cosecθ

Resolución:

√2=

4

2

Secθ

Secθ

2

Secθ

3

2

= 2

2

Secθ

3

2

2

=

Secθ

=

4

3 θ

4

3

√7

E = 9 Tg²θ - √7 Cosecθ

√7

3

( )²

9 -

√7

( )

√7

4

=

E

=

E 7 - 4 = 3

EJERCICIO 3 En la figura : Cos θ = ;

__ 5

13

AD = 52 m. Hallar " AB "

A C

D

B

θ

θ/2

CAPITULO 4


Resolución:

A C

D

B

θ

θ/2

1

3

k

=

5

2

5k = 20

12k=48

P

52

θ/2

θ/2

a b

AC² = AD² - DC²

AC² = (13k)²-(5k)²

AC² = 144k²

AC = 12k

Por el T. Pitágoras ACD

Cosθ =

___ 5k

13k

=

___ DC

AD

=

___ DC

52

13k = 52

k = 4

DC = 5k = 20

AC = 12k = 48

prolongamos CD ,por el

punto D una longitud igu

al a AD osea 52 ,forman

dose el triángulo isóceles

ADP, y como el < D exte

rior es θ , por lo tanto los

otros dos son θ/2

En el ACP : Tag θ/2

=

__ 48

72

=

__ 2

3

En el BCD : Tag θ/2

=

__ 20

b

=

__ 2

3

b = 30

AB = a = 18

EJERCICIO 4 En un triángulo rectángulo ,el

cuadrado de la hipotenusa es al producto de los

catetos como 13 es a 6 .Hallar el valor de la tan-

gente del menor ángulo de dicho triángulo.

Resolución:

A C

B

c

b

a

___ c²

a.b

=

___ 13

6

Sea A el ángulo

menor ( a < b ).

c² = a² - b²

Por el T. Pitágoras ACB

c²

=

_____ 13a.b

6

_____ 13a.b

6

=

a² + b²

6a² - 13a.b + 6b² = 0

2a

3a - 2b

- 3b

( 3a - 2b ) = 0

( 2a - 3b ) = 0

=

___ a

b

=

___ 2

3

=

___ a

b

=

___ 3

2

; ( a< b ) ok

; ( a> b )

( no cumple)

EJERCICIO 5 En la figura , Tgθ .Calcular =

_ 3

7

M = Cotg α + Cosec α

Resolución:

AC

B

α

θ

1

0

√

5

8

86

AC

B

α

θ

1

0

√

5

8

86

3k= 30

7k

BC² = CH² - BH²

BC² = (3k)²+(7k)²

Por el T. Pitágoras BHC

H

(10√58 )² = (3k)²+(7k)²

5800 = 9k² + 49k²

5800 = 58k²

100 = k²

k = 10

HC = 7k = 7(10) = 70

AH = 86 - 70 = 16

BH = 3k = 3(10) = 30

16

M = Cotg α + Cosec α

Reemplazando :

M

=

__ 16

30

+

__ 34

30

AB² = 16² + 30²

AB² = 1156

AB = 34

34

=

__ 50

30

M

=

__ 5

3

T. Pitágoras AHD

EJERCICIO 6 Del gráfico mostrado , hallar:

S = OA + OB + OC + OD + .................

θ

θ

θ

θ

θ

O

E

D

C

B

A

1

CAPITULO 4


Resolución:

θ

θ

θ

θ

θ

O

E

D

C

B

A

1

En el ABO

Cos θ

=

__ OB

1

OB=Cosθ

*

En el BCO

Cos θ

=

__ OC

*

OB

OC = Cos²θ

En el CDO

Cos θ

=

__ OD

*

OC

OD = Cos³θ ; y asi sucesivamente

OE = Cos θ

4


S = OA + OB + OC + OD + .................

S = 1 + Cos θ + Cos²θ + Cos³θ + Cos θ + ...........

4

Factorizando el Cosθ en el segundo miembro:

S = 1 + Cos θ ( 1 + Cosθ + Cos²θ + Cos³θ + .....)

S

S = 1 + S.Cosθ

S - S.Cos θ = 1

S( 1 - Cos θ ) = 1

S

=

_______ 1

(1-Cosθ)

Cos²θ

C

o

s

θ

C

o

s

³

θ

C

o

s

θ

4

EJERCICIO 7 A partir del gráfico , hallar :

E = 2 + Tg θ

A B

C

1

D4

θ

θ

Resolución:

A B

C

1

D

4

θ

θ

a

Sea : BD = a

En el ABC

Tg θ .......( I )

=

____ 1

4 + a

*

En el CBD

Tg θ ....( II )

=

__ a

1

*

Igualando ( I ) y ( II )

____ 1

4 + a

=

__ a

1 a² + 4a - 1 = 0

( a + 2 )² - 4 -1 = 0

( a + 2 )² = 5

( a + 2 ) = √5

a = √5 - 2


E = 2 + Tg θ

E = 2 + √5 - 2

E = √5

EJERCICIO 8 En la figura,calcular el valor de

" Cotg α "

A

D

3

G

CB

E

E1

α

Resolución:

A

D

3

G

CB

F

E1

α

2

H

3,5

1,5

En el trapecio ABCG

FH es mediana ,por

lo tanto :

FH = ( AB + CG ) /2

FH = ( 5 + 2 ) / 2

FH = 3,5

Cotg α = 1,5/3,5

Cotg α

=

__ 3

7

En el EHF*

EJERCICIO 9 A partir del gráfico , calcular el

valor de " Cotg θ " ( O y O : centros )

1

O

B

A

O

1

Resolución:

OB

A

r

r

r

√

2

r

r√2

θ

θ

O1

H

P

Sea " r " el radio de la

circunferencia de cen-

tro O ; trazamos OH ,

en la cual se cumple

O H = O P = OP = r ;

O O = r√2 ; OH = OB

entonces PB = r√2

En el BPO

Ctag θ

=

____ r√2

r

*

Ctag θ √2

=

11

1

1

Trazamo BH ∟ OC

CAPITULO 4


EJERCICIO 10 De la figura ,hallar el valor de:

13 Cosec α - 12 Cotg β

Cotg α

P

=

A

C

O

B

12

5

β

α

Resolución:

A

C

O

B

12

5

β

α

β

H

OC² = AO² + AC²

OC² = (12)² + ( 5)²

Por el T. P. OAC

OC = 13

formandose el trián

gulo BHC ,los cuales

sus lados son propor

cionales a : 5k,12k,13k

Si AC = 13 ,entonces

HC = 12k y OH=(13-12k)

BH = 5k y la figura que

daría de la siguiente

manera:

1

3

-

1

2

k

1

2

k

1

2

5

k

13k


13 Cosec α - 12 Cotg β

Cotg α

P

=

4 + A

=

_ 1

2

______ 13-12k

5k

( )

_ 1

1

( )²

13(12) - 12(12k)

P

=

13-12k

12 ( 13 - 12k )

P

=

13-12k

P 12.

=

13

NIVEL I

EJERCICIO 1 Siendo : A= 4Sen30° + Tg²45°

B = √Sec 60° √2 Cosec 30°

Calcular : A + B

Resolución:

30°

60°

45°

45°

k

k

√3k

k

2k

√2k

3 A

=

B

=

_ 2

1

( )

2

_ 2

1

( )

√ √

2 B

=

EJERCICIO 2

Si (Tgα) = √2 ; α: < agudo,

Cotgα

Calcular E = 2 Secα.Cosecα

Resolución:

(Tgα) = √2

Cotgα

(Tgα) = ( 2)

Cotgα

1_

2

=

_____

Cotgθ

1

Tgθ

Nota :

Cotgα =

__ 1

2

1

2

√5

α

E = 2 Secα.Cosecα


2 . E

=

_

1

( )

_

2

( )

5 E

=

√5 √5

EJERCICIO 3

Si Tg(5x+8°) = Cotg(2x-2°) ,

Calcular M = Tg(x+3°) + Tg5x

Resolución:

30°

60°

√3k

k

2k

75°

15°

1

(2+√3)

(

√

6

+

√

2

)

13 - 12

___ 12k

5k

)(

__ 12

5k

)(

P

=

Tg(5x+8°) = Cotg(2x-2°) (5x+8°)+(2x-2°)=90°

x = 12°

Tg(5x+8°) = Cotg(2x-2°)


M = Tg(x+3°) + Tg5x

M = Tg(12°+3°) + Tg5(12°)

M = Tg 15°+ Tg 60°

M = ( 2 - √3 )+ √3

M = 2

CAPITULO 4


EJERCICIO 4 De la figura,hallar "Cotgα"

37°

α

Resolución:

37°

α

3k

2k2k

4k

53°

A B

C

ABC notable de 30°,60°

de lados proporcionales a 3k,

4k y 5k


En el MBC

Cotag α

=

__ 3

2

EJERCICIO 5 De la figura,calcular

__ b

a

B

C

37°

A

a

Resolución:

B

C

37°

D

a=

5k

3k

4k3k

D

b

45°

A

b=

45°

3√2k

Completando los triángulos notables tenemos :

__ b

a


=

____ 3√2 k

5k

=

___ 3√2

5

EJERCICIO 6 En la figura,hallar " PQ "

A PB

Q

C

74°

45°

38

Resolución:

Q

C

74°

45°

38

7k

24k

2

5

k

74°

Sea k = 2

14

48

5

0

74°

10

10 4

14

AB

P

1

0

√

2

PQ = 10√2

EJERCICIO 7 Calcular el valor de :

P = Tg 75° + Cotg75°

75°

15°

1

(2+√3)

(

√

6

+

√

2

)

Resolución:

P = Tg 75° + Cotg75°

P = ( 2+√3) + ( 2-√3)

P = 4

EJERCICIO 8 Del gráfico,hallar AP

AC

B

1

0

2

3

°

37°

P

Resolución:

AC

B

2

3

°

37°

P

67°

30°

10=5k

k=2

k =6=3k

1

1

2

=

2

k

H

EJERCICIO 9 Del gráfico,hallar " Tagθ "

1

A

C

C

P

60°

θ

16°

16°

4

2

CAPITULO 4


Resolución:

A

C

B

P

60°

θ

4

2

60°

H

√3

5 1

El ABC ,es Equilátero

Trazamos PH ∟AC,for

mandose el triángulo de

30°, 60° ( PHC), donde

HC= 1 , PH= √3 ,AH = 5


Tg θ =

___ √3

5

EJERCICIO 10 De la figura, hallar AE.

45°

37°

30°

A

B

C

D

E

12

Resolución:

45°

37°

30°

A

B

C

D

E

4k=12

k= 3

9

1

5

1

5

1

5

√

2

=

√

3

x

AD= 15√2 = √3x

=

5√6 x

AE = 2x = 2 ( 5 √6)

AE = 10 √6

5√6

10 √6

NIVEL II

EJERCICIO 1 Del gráfico hallar BC.

BC

A

60°

37°

1

0

Resolución:

BC

A

60°

37°

1

0

3х2=6

4х2=8H

B

A

60°

H

C

A

37°

1

0

3х2=6

4х2=8H

8

2

k

=

8

4

4√3

8

≠

Para que BC = 12 la gráfica debe ser de la sigui

ente manera.

C

37°

1

0

3х2=6

4х2=8H

8

4

60°

A

A´

B

AH= 4√3

A´H=6


Tg 3α.Tg 2β = 1

Cos 2α .Sec (3β-5°) =1

Calcular : N = Sen²( α +β - 5°) +Tg² 3β

Resolución:

Tg 3α.Tg 2β = 1 3α + 2β = 90° ......( I )

Cos 2α .Sec (3β-5°) =1 2α = 3β - 5° ....(II)

Resolviendo ( I ) y ( II )

α = 20°

β = 15°


N = Sen²( α +β - 5°) +Tg² 3β

N = Sen² 30° +Tg² 45°

N

_

2

( )²

_

1

( )²

1 1

+= = 0,25 +1 = 1,25

CAPITULO 4


EJERCICIO 3 Calcular el valor de " x " en :

x Cos 60° + Tg 45°

x Cos 60° - Tg 45°

=

Cosec 53°

Resolución:


_

2

1

=

_

2

( )

1

x + 1

_

2

( )

1

x - 1

_

4

5

=

x + 2

x - 2

x = 18

EJERCICIO 4 Del gráfico hallar BC.

45°

B

C

A

O

Resolución:

45°

B

C

A

O

1

1

1

1

45°

H

1

√2

AB = √2 +1BC=

EJERCICIO 5 Del gráfico hallar CD.

A C

B

D

28

45°

53°

Resolución:

AC

B

D

28

45°

53°

28

4k

3k4k

5k

Del gráfico se tiene :

AC = 7k = 28 k = 4

CD = 5k = 5(4) = 20

EJERCICIO 6 Del gráfico,hallar " BP " en tér

minos de " a " y " θ "

B

A

C

P

45°

θ

a

Resolución:

B

A

C

P

45°

θ

a

45°

BP

BPCosθ

BPSenθ

BPSenθ

a

4

5

°

Del gráfico tenemos :

a = BPCosθ + BPSenθ

a = BP( Cosθ +Senθ )

( Cosθ +Senθ )

a

BP

=

CAPITULO 4


EJERCICIO 7 De la figura,hallar " Tg α "

AB

Q

C

P

D

37°

α

Resolución:

En el QAD

Sea AD = 3K entonces AQ = 4K,pero AB=3K ,

entoces BQ = K

AB

Q

C

P

D

37°α

3k

4k

k3k

53°

3k

4

Tg α

=

__

3k

__ 3k

4

=

__ 1

4

= 0,25


En el QBP

El lado BQ ha sido

dividido por 4,por lo

que PB tambien será

divido por 4

EJERCICIO 8 Del gráfico, calcular " Cotg θ "

AC

B

37°

H

M

θ

Resolución:

A C

B

37°

H

M

θ

53°

θ

θ

12

9

6

8 8

P

En el AHB

Sea BH = 12 = 4(3)

AH = 3 (3) = 9

En el BHC

Sea BH = 12 = 3 (4)

HC = 4 (4) = 16

Por el teorema de los

puntos medios tene -

mos : MP=12/2=6 ;

HP=PC=16/2=8

Formamos el triángu

lo APM ,para aprove

char el punto medio

M,del triángulo BHC


Cotg θ

=

__ 6

17

En el AMP

EJERCICIO 9 De la figura,hallar :

P = 5 Sen α.Cosec β

Resolución:

AC

B

M

β

α

53°

45°

AC

B

M

β

α

53°

45°

5√2

5√2

4

√

2

5

5

x


P = 5 Sen α.Cosec β

P = 5 .

H

P

___ 4√2

x

( )

__ x

5

( )

P = 4√2

EJERCICIO 10 De la figura ,calcular " Cotg θ "

Si ABC es un triángulo equilátero.

AM Q

C

N

B

P

θ

CAPITULO 4


Resolución:

AM Q

C

N

B

P

θ

60°

√3

1

√3

1

√3

Sea el lado del cuadrado

√3,en el PQC , QC

= 1 , PQ = √3 , de igual

forma para el AMN

AM = 1 y MN = √3


Cotg θ

=

____

√3

√3+1

En el AQP

=

____

√3

√3+1

__ √3

( )

√3

=

____

3

√3+3


EJERCICIO 1 Del gráfico calcular " Cotg α "

α

37°

Resolución:

α

37°

53°

A HP D

C

B

3

7

°

3

7

°

64

48

80

100

75

En el CHP ( sea CP = 80 )

HP

C

3

7

°

4k

3k

5k

53°

≈

HP

C

3

7

°

4

3

5

53°

х16

х16

х16

≈

HP

C

3

7

°

64

48

80

53°

En el BCP

CP

B

5

3

°

60

80

100

37°

≈

CP

B

5

3

°

3

4

5

37°

х20

х20

х20

En el BPC

PC

B

3

7

°

100

75

125

53°

≈

PC

B

3

7

°

4

3

5

53°

х25

х25

х25

α

HP D

C

64

4875

En el CHD

Cotg α

=

_____

64

48+75


Cotg α

=

___

64

123

EJERCICIO 2 De la figura ,hallar " Tg θ "

AE B

D C

F

37°

θ

Resolución:

AE B

D C

F

37°

θ

37°

20

12

16

20

15

1

En el DAE ( sea DE = 20 )

AE

D

3

7

°

4k

3k

5k

53°

≈

AE

D

3

7

°

4

3

5

53°

х4

х4

х4

≈

AE

D

3

7

°

16

12

20

53°

En el FBE ( EB = 20 )

CAPITULO 4


E B

F

37°

4х5

3х5

5х5

≈

E B

F

37°

20

15

25

Y como AD = 16 y FB = 15 , entonces CF = 1

En el DCF

Tg θ

=

___

1

32


Tg θ

=

32

D C

F

θ

32

1

EJERCICIO 3 En el gráfico : DC = 2 AD.

Calcular : " Tg α "

α

53°

Resolución:

α

53°

53

7

4

37°

8

3

4

A D

C

B

H

P

En el BPD

Tg α

=

__

8

3


EJERCICIO 4 En la figura hallar BP.

BC

A

P

82°

7

7

Resolución:

BC

A

P

82°

7

7

45°

5

3

°

H

3

34

5

Trazamoz PH ∟ BC ,

formandose los trián

gulos PHC y PHB los

cuáles son notables

Sea PH = 3 ,comple

tamos los triángulos

quedando la figura

de la siguiente manera.

En el PHB

BP = 5

EJERCICIO 5 Si se cumple que :

Tg ( 3x -20° ).Sen 62°

√2 Cos28° .Cos 45°.Cotg ( 5x + 30° )

= 1

Resolución:

Sen α = Cos βSi : α + β= 90°

Sen 62° = Cos 28°

Cos 45°

=

___

1

√2


Tg ( 3x -20° ).Sen 62°

√2 Cos28° .Cos 45°.Cotg ( 5x + 30° )

= 1

Tg ( 3x - 20° ) = Cotg ( 5x + 30°)

( 3x - 20° ) + ( 5x + 30° ) = 90°

8x + 10° = 90°

x = 10°

Calcular E = Sen 4x - Cos 5x


E = Sen 4x - Cos 5x

E = Sen 40° - Cos 50° Sen 40° = Cos 50°

E = 0

EJERCICIO 6 Del gráfico ,hallar " PC "

B

C

A

P

45°

b

a

CAPITULO 4


Resolución:

B

C

A

P

45°

b

a

x

x(a - x )

√2x

φ

H

En el PHB

Tg φ

= .....( I )

____

(a-x)

x

En el ACB

Tg φ

= .....( II )

__

a

b

Igualando ( I ) y ( II ) tenemos :

____

(a-x)

x

=

__

a

b

ax = b(a-x)

a.x = a.b - b.x

x

___

a+b

a.b

=


PC = √2 xPC

_____

a+b

√2 a.b

=

EJERCICIO 7 Del gráfico ,hallar "AB" ( O :

centro )

37°

O

BC

A

20

Resolución:

37°

O

B

C

A

20

37°

20

20

15

P

H

Trazamos OH y

OP perpendicular

a BC y AB respec

tivamente forman

dose los triángulos

notables OHC y

APO.

OH = 20 ( radio de

la circunferencia )

OP = 20 (radio de la circunerencia luego com-

pletamos los triángulos notables quedando la grá

fica sigiente.

Del gráfico AB = 15 + 20 = 35

EJERCICIO 8 De la figura ,hallar " Cotg θ "

BC

A

θ

D

45°

37°

Resolución:

B

C

A

θ

D

45°

37°

45° 45°

4

3

√

2

4

√

2

43

3

H

Trazamos DH

∟a la prolon-

gación de BC

formandose el

triángulo DHC

Completamos

los triángulos

notabes quedan

do la gráfica de la siguiente forma:

En el DHB

Cotg θ

____

3

4+3

= =

__

3

7

EJERCICIO 9 Del gráfico,calcular " Cotg θ "

O

N

B

M

P

A

Resolución:

O

N

B

M

P

A

θ

θ

H

1

1

Trazamos MH∟PN

Sea OB=OA=2 ,en-

tonces ON=HN=1 ,

PN² = OP² - ON²

PN² = ( 2 )² - ( 1 )²

Por el T. P. PNO

PN = √3

PH = ( √3 - 1)

En el PHM

Cotg θ

____

1

√3-1

= =

2

1

(√3 - 1)

√3-1

CAPITULO 4


EJERCICIO 10 En la figura ,hallar √7.Cosα

B

C

A

N

M

60°

α

Resolución:

B

C

A

N

60°

α

M

60°60°

2

2

1

1

√3

H

Trazamos CH ∟ a la prolongación de BM inter

sectandola en el punto " H ".

AM=MC=BM ( Propieda de la mediana relativa

a la hipotenusa ).

Sea AM=MC=BM=2.

En el triángulo CHM ,si CM=2 entonces MH=1

por propiedad de triángulo notable ( 30°,60° )

HC = √3.

En el CHN por el T.Pitágoras tenemos :

CN² = CH² + HN²

CN² = ( √3 )² +( 2 )²

CN = √7

√7

En el CHN

√7 Cosα

√7 .

___

2

√7

=

2

CAPITULO 5

ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL

NIVEL I

EJERCICIO 1

Del gráfico ,calcular :

M = 5 Senα.Cosα

(-2;1)

O

α

x

y

Resolución:

(-2;1)

O

α

x

y

-2

1

OA² = ( 1 )² + (-2)²

OA = √5

A

√5

M = 5 Senα.Cosα


__ 1

√5

( )

__ -2

√5

( )

5

=M

=M -2

EJERCICIO 2

De la figura,hallar " Cosec θ "

(-3;-1)

O

θ

x

y

Resolución:

A(-3;-1)

O

θ

x

y

-3

-1

√10

OA² = ( -1)² + (-3)²

OA = √10

Cosec θ


=

___

-1

( )

√10

Cosec θ

=

- √10

EJERCICIO 3

Del gráfico ,calcular :

E = 8 Senα.Cosecβ + 7 Cosα.Secβ

(-4;3)

(-7;-24)

O

β

α

x

y

Resolución:

A(-4;3)

B(-7;-24)

O

β

α

x

y

-4

-7

-24

3

25

5

▪ OA² = (-4)² + (3)²

OA = 5

▪ OB² = (-7)² + (-24)²

OB = 25


E = 8 Senα.Cosecβ + 7 Cosα.Secβ

__ 3

5 ( )

___ 25

-24 ( )

8

=E -5 + 20 = 15

__ -4

5 ( )

___ 25

-7 ( )

7

+=E

EJERCICIO 4

De la figura,hallar " Tg α "

O

x

y

α

(-5; y)

13

Resolución:

▪ 13² = (-5)² + (y)²

169 = 25 + y²

y² = 144

y = ± √144

y = ± 12 y = 12

CAPITULO 5


O

x

y

α

(-5; y)

13

-5

12


__ 12

-5 ( )

=Tg α

__ 12

5

=Tg α -

EJERCICIO 5 Si Sec θ ; θ Є Qз ,

___

2

√13

-

=

hallar : N = 4 Tg θ + 9 Cosec² θ

Resolución:

O

x

y

(-2; y)

-2

√13

θ

▪ (√13)² = (-2)² + (y)²

y = ±3

y = -3

-3


N = 4 Tg θ + 9 Cosec² θ

__ -3

-2

( )

4

___ √13

-3( )

9

+=E

2

=

E 6 + 13

=E 19

EJERCICIO 6 Si Cos² α ; α Є Q ,

___

25

9

= 4

Calcular : A = Cotg α - Cosec α

Resolución:

O

y

Cos α , es (+) en el Q

4

___

25

9

=

Cos²α

__

5

3

=

Cos α

α

3

5

-4

( 3 ; y)

▪ ( 5 ) ² = ( 3 )² + (y)²

y ² = 16

y = ± 4 y = 4


A = Cotg α - Cosec α

A =

__ 3

-4

( )

-

__ 5

-4

( )

0,5

=

x

EJERCICIO 7 Sabiendo que : α Є Q y β Є Qз

2

Hallar el signo de la expresión :

Sen α + Tg β

Cos α.Cotg β

= E

Resolución:

O

β

α

x

y

+

+

-

-

+

▪ Sen α ( +)

▪ Cos α ( - )

▪ Tg β ( + )

▪ Cotg β ( + )


Sen α + Tg β

Cos α.Cotg β

= E

=

( + ) + ( + )

( - ) . ( + )

=

( + )

( - )

=

( - )

EJERCICIO 8 Indicar el signo de la expre-

sión :

Sen 160° . Cos 230°. Tg 350°

Cotg 80° .Sec 200°. Cosec 300°

= B

Resolución:

y

+

+

-

-

+

+

+

-

+

+

▪ Sen 160° ; II Q ( +)

▪ Cos 230° ; III Q ( - )

▪ Tg 350° ° ; IV Q ( - )

▪ Cotg 80° ; I Q ( +)

▪ Sec 200° ; III Q ( - )

▪ Cosec 300° ; IV Q ( - )


Sen 160° . Cos 230°. Tg 350°

Cotg 80° .Sec 200°. Cosec 300°

= B

( + ) . ( - ) . ( - )

( + ) . ( - ) . ( - )

= B

( + )

( + )

= =

( + )

CAPITULO 5


EJERCICIO 9 Hallar los límites entre los cuales

varia " n " , si Sen α

____

3

2n -1

=

Resolución:

-1 ≤ Sen α ≤ 1


____

3

2n -1

-1 ≤ ≤ 1

-3 ≤ ≤ 3 2n -1

-2 ≤ 2n ≤ 4

-1 ≤ n ≤ 2

n Є [ -1 ; 2 ]

EJERCICIO 10 En que cuadrante el seno y el

coseno tienen signos diferentes.

Resolución:

Tangente

Seno

Coseno

+

Cotangente

Secante

Cosecante

Q

1

Q

2

Q

3

Q

4

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

c

u

a

d

r

a

n

te

F

.T

rig

o

n

o

.

NIVEL II

EJERCICIO 1

Siendo A ( 60;-11) un punto del

lado final de un ángulo " α " en posición normal .

Calcular K = Tg α + Sec α

Resolución:

O

x

y

A(60;-11)

60

-11

▪ OA² = (60)² + (-11)²

OA = 61

61

__ -11

60 ( )

___ 61

60 ( )

+=K

α

__ 50

60

=K

__ 5

6

=K

K = Tg α + Sec α

EJERCICIO 2 Si Tg θ = √2 ; θ Є Qз ,hallar el

valor de : M = 2Sec θ.Cosec θ + 3√3 Sen θ.

O

x

y

A(-1; -√2)

-1

θ

-√2

▪ OA² = (-1)² + (-√2)²

OA = √3

√3

Resolución:


M = 2Sec θ.Cosec θ + 3√3 Sen θ.

__ √3

-1 ( )

___ √3

-√2

( )

2

___ -√2

( )

3√3

+=M

√3

=M 3√2

-3√2

=M 0

EJERCICIO 3 De la figura ,calcular :

R = 2 Cosec α + Sec β

(-12;-5)

O

β

α

x

y

(7;24)

Resolución:

B(-12;-5)

O

β

α

x

y

A(7;24)

25

24

7

-5

-12

13

▪ OA² = (7)² + (24)²

OA = 25

▪ OB² = (-12)² + (-7)²

OB = 13

R = 2 Cosec α + Sec β

__ 25

24 ( )

___ 13

-12 ( )

+

=K

2 = 1

CAPITULO 5


EJERCICIO 4 Si √1 + √ Tg θ + 1 = 2

además : θ Є Qз , hallar " Sec θ "

Resolución:

√1 + √ Tg θ + 1 = 2

1 + √ Tg θ + 1 = 4

√ Tg θ + 1 = 3

Tg θ + 1 = 9

Tg θ = 8

O

x

y

A(-1; -8)

-1

θ

- 8

√65

Tg θ

__ -8

-1

=

▪ OA² = (-1)² + (- 8)²

OA = √65


Sec θ

__

-1

=

√65

=

- √65


25 Sen² α + 5 Sen α -12 = 0 , además α Є Q ,

2

hallar M = Sen α - Cos α + Tg α

Resolución:

25 Sen² α + 5 Sen α -12 = 0

-3 -15Senα

4 20Senα

5 Sen α

5 Sen α

5 Senα

▪ 5 Senα - 3 = 0

Senα ,Si α Є Q entonces Senα es ( + )

__ 3

5

= 2

▪ 5 Senα + 4 = 0

Senα , Si α Є Q ,no puede ser negativo

__ -4

5

=2

O

x

y

α

(-5; y)

5

- 4

3


__ 3

5

=M -

__ -4

5

+

__ 3

-4

__ 7

5

=M -

__ 3

4

__ 13

20

=M

=0,65

M = Sen α - Cos α + Tg α

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

Senα

__ 3

5

=

Si [ Tg θ ] = √2 ; θ Є Qз,

Cotag θ

EJERCICIO 6

Calcular : P = 10 Senθ. Cosθ

Resolución:

[ Tg θ ] = √2

Cotag θ

[ Tg θ ] = 2

Cotag θ

1

2

Tg θ = 2

__ -2

-1

=

O

x

y

A(-1; -8)

-1

θ

- 2

√5

▪ OA² = (-1)² + (- 2)²

OA = √5


P = 10 Senθ. Cosθ

__ -2

=P

__ -1

( )( )

√5 √5

10

P = 4

EJERCICIO 7 Si Sen α < 0 y Sec α > 0 , ha-

llar el signo de la expresión:

Cos α - Tg α

Cotg α.Cosec α

= E

Resolución:

O

y

α

+

+

-

x

α Є Q

4


Cos α - Tg α

Cotg α.Cosec α

= E

( + ) - ( - )

( - ) . ( - )

= E

( + )

( + )

= E

=

x

CAPITULO 5


EJERCICIO 8 Hallar los valores que puede

tomar " a " si cumple que :Tg² α + Tg α + a² = 0

Resolución:

Ax² + Bx + C = 0 , Ecuación Cuadrática

-B ± √ B² - 4AC

2A

B² - 4AC ≥ 0

Tg² α + Tg α + = 011

a²1² - 4(1)(a²) ≥ 0

1² - 4(1)(a²) ≥ 0

1 - 4 a² ≥ 0

2a + 1 = 0

a

__ -1

2

=

2a - 1= 0

a

__ -1

2

=

__ 1

2

+-+

4 a² - 1 ≤ 0

( 2a + 1 )( 2a - 1 ) ≤ 0

__ 1

2

a Є

[

__ -1

2

;

__ 1

2

]

EJERCICIO 9 Siendo " α " , " β " y " θ " ángu

los coterminales en posición normal, y además:

Tg α = √2 y Sec β = -√3

Hallar el valor de : G = Sen α + 2 Sen β + 3 Sen θ

Resolución:

Tangente

Seno

Coseno

+

Cotangente

Secante

Cosecante

Q

1

Q

2

Q

3

Q

4

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

c

u

a

d

r

a

n

te

F

.T

rig

o

n

o

.

Tg α ( + )

Sec β ( - )

}

Se presenta en el Qз

O

x

y

A(-1; -√2)

-1

α

-√2

√3

Tg α

___

-1

=

-√2

}

R² = (-√2)² + ( -1)²

R = √3

β

como α , β y θ son coter

minales entonces :

Senα = Senβ = Senθ


__

=G + +

( )

G = Sen α + 2 Sen β + 3 Sen θ

-√2

√3

2

__

( )

-√2

√3

3

__

( )

-√2

√3

___

=G

-6√2

√3

___

=G

-6√2

√3

__

( )

√3

√3

___

=G

-6√6

3

=G -2√6

EJERCICIO 10 En la figura ,hallar :

E = ( Sen α - Cos β )²

Resolución:

β

x

y

(3; -1)

α

α

x

y

β

(3; -1)

(-3; 1)


E = ( Sen α - Cos β )²

R² = (-3)² + ( 1)²

R = √10

√10

√10

3

-1

-3

1

___

=E -

( )

-1

√10

___

( )

-3

√10

]²[

=E 0,4

CAPITULO 5



EJERCICIO 1

Si Tg θ < 0 y Sec θ = 4 , hallar

A = 16 Sen θ.Cos θ

Resolución:

Tangente

Seno

Coseno

+

Cotangente

Secante

Cosecante

Q

1

Q

2

Q

3

Q

4

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

c

u

a

d

r

a

n

te

F

.T

rig

o

n

o

.

Tg θ ( - )

Sec θ ( +)

}

Se presenta en el Q

Secθ

___

1

=

}

AH² = (4)² - ( 1)²

AH = - √15

4

4

O

y

θ

x

1

4

A

H

- √15


A = 16 Sen θ.Cos θ

___

=A

__ 1

()( )

4

16

-√15

4

=A

-√15


[ ]

Cotag α +1

√2 = 8 ; α Є Qз

calcular " Cosec α "

Resolución:

[ ]

( Cotag α +1 )

2 =

1

2

з

[ 2 ]

( Cotag α +1 )

1

2

=

3

Cotag α +1

=

6

Cotag α

=

5

Cotag α

=

___

-1

-5

O

x

y

A(-5; -1)

-5

α

- 1

√26

Cosec α

___

-1

= =

-√26

EJERCICIO 3 Hallar entre que valores varía

" n " si se cumple que : Sen θ

__

n

=

1

+

1

Resolución:

EJERCICIO 4

Si Sec θ < 0 y Tg θ > 0 ,indicar

el signo de :

( 2 + Cos θ ).Sen θ

2 - Sen θ

= R

Resolución:

Tangente

Seno

Coseno

+

Cotangente

Secante

Cosecante

Q

1

Q

2

Q

3

Q

4

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

c

u

a

d

r

a

n

te

F

.T

rig

o

n

o

.


( 2 + Cos θ ).Sen θ

2 - Sen θ

= R

( + ) - ( - )

= R

( + )

= R

-1 ≤ Cos θ ≤ 1

-1+2 ≤ Cos θ+2 ≤1+2

1 ≤ Cos θ + 2 ≤ 3

{

+

( + ) ( - )

( - )

=

( - )

▪ Sabemos que :

-1 ≤ Sen θ ≤ 1 ; reemplazamos :

__

n

1

+

1

-1 ≤ ≤ 1 ; restamos ( - 1 )

__

n

1

-2 ≤ ≤ 0 ; invertimos ( n ) teniendo presente

que cambia el sentido de la desi

gualdad y como son valores ne-

gativos proximos a cero la divisi

on entre cero tiende al infinito ne

gativo

n - ∞ < ≤

__

2

-1

n

< ≤

__

2

-1

__

0

1

-

]

- ∞ ;

__

2

-1

CAPITULO 5


EJERCICIO 5 De la figura, hallar " Cosec α "

(2a-1;a+4)

O

α

x

y

5√2

Resolución:

(2a-1;a+4)

O

α

x

y

5√2

2a-1

a+4

( 5√2 )² = ( a+4)² + ( 2a -1)²

50 = a²+ 8a + 16 + 4a² - 4a + 1

50 = 5a² + 4a + 17

0 = 5a² + 4a - 33

5a - 11

a + 3

a

=

___

5

11

a

= - 3

▪ ( 2a -1 ) ,tiene que ser negativo y eso sólo se

consigue cuando : a = -3

(-7; 1)

O

α

x

y

5√2

- 7

1

Cosec α

=

___

1

5√2

=

5√2

EJERCICIO 6 En que cuadrante se encuentra

" Φ ", si se cumple que :

√1- Cos α

Sen Φ

< 0

Resolución:

√1- Cos α

Sen Φ

< 0

√1- Cos αSiempre será ( + )

Entonces Sen Φ tiene que ser

negativo y esto se da cuando

Φ Є Qз y Q4

EJERCICIO 7 Si ( a+1; a-1 ) es un punto del

lado final de un ángulo " α " en posición normal ,

donde la longitud de su radio vector es la mínima

posible ,calcular :

E = Sec α.Cosecα

Resolución:

R² = ( a+1)² + ( a-1)²

R² = a² + 2a +1 + a² - 2a + 1

R² = 2a² + 2

R² - 2 = 2a²

√

R² - 2

2

a

=

{

mínimo = 0

R² - 2

2

=

0

=R

√2

a 0

=

O

y

x

1 H

-1

√2

α


E = Sec α.Cosecα

√2 ___

1

( )

√2 ___

-1

( )

E

=

E

=

-2

EJERCICIO 8 Del gráfico ,calcular

K = Tg α.Cotg β

A(-7;-5)

O

β

x

y

B(-1; 7)

N

M

α

Resolución:

CAPITULO 5


AM =

__

3

1

AB

Sea " M " de coordenadas ( x;y)

[( x , y ) - ( -7 ; -5 )] = [ ( -1;7) - (-7;-5)]

__

3

1

[ ( x + 7 ; y + 5 )] = [ ( 6 ; 12)]

__

3

1

[ ( x + 7 ; y + 5 )] = [ ( 2 ; 4)]

x = -5 ; y = -1 M ( -5 ; -1 )

AN =

__

3

2

AB

[( x , y ) - ( -7 ; -5 )] = [ ( -1;7) - (-7;-5)]

__

3

2

[ ( x + 7 ; y + 5 )] = [ ( 6 ; 12)]

__

3

2

[ ( x + 7 ; y + 5 )] = [ ( 4 ; 8)]

x = -3 ; y = 3 N ( -3 ; 3 )

Sea " N " de coordenadas ( x;y)


O

β

x

y

B(-1; 7)

N(-3;3)

M(-5;-1)

α

-5

-3

3

-1

K = Tg α.Cotg β

__ 3

( )

-3

__ -5

( )

-1

K =

K = - 5

EJERCICIO 9 De la figura ,calcular

E = Cotg α.Cotg β

O

x

y

B(0; 12)

A(-5; 0)

D

C

β

α

Resolución:

O

x

y

B(0; 12)

D

C

β

α

12

13

-5

H

12

5

13

13

12

5

P

17

Los AHD , AOB y BPC son congruentes,es

decir sus lados tienen medidas iguales

A


E = Cotg α.Cotg β

___ -17

( )

5

-12

( )

17

E =

___

___ 12

5

E = =

2,4

EJERCICIO 10 En la figura el área de la región

coloreada es de 60 u²,determinar el valor de :

E = 2mTg α + 3n Cotg α + 12

O

α

x

(3;10)

y

(9;1)

(m ; n)

Resolución:

m n

9 1

3 10

m n

9n

3

10m

m

90

3n

S

___ 1

2

=

│( m+90+3n) - (9n+3+10m)│

Area de un Triángulo

60

___ 1

2

=

│ -9m -6n+87│

120 =

│ -9m -6n+87│

40 =

│ -3m -2n+29│

40 =

-3m -2n + 29

-11

=

3m + 2n ......( I )

CAPITULO 5


O

α

x

(3;10)

y

(9;1)

(m ; n)

n

m


E = 2mTg α + 3n Cotg α + 12

__ n

( )

m

__ m

( )

n

E =

2m 3n

+ +

12

E = 2n + 3m + 12

E = -11 +12

E = 1

{

-11

270°

180°

0°

90°

360°

+∞-∞

-1 1 0

270°

180°

0°

90°

360°

0

-∞

+∞

LINEA COSENO

LINEA TANGENTE

LINEA SENO

270°

180°

0°

90°

360°

-∞

0

1

-1

+∞

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA

CAPITULO 6


NIVEL I

EJERCICIO 1

¿ En qué cuadrante la línea se

no es positiva y decreciente ?

Resolución:

LINEA SENO

En Q es positiva y decreciente

2

EJERCICIO 2

¿ En qué cuadrante las líneas

coseno y tangente son creciente ?

270°

180°

0°

90°

360°

-∞

0

1

-1

+∞

270°

180°

0°

90°

360°

-∞-∞

-1 1 0

LINEA COSENO

Resolución:

Creciente en Qз ,de -1 a 0

Cuadrante Variación Comportamiento Signo

Q

Q

Q

Q

1 a 0

0 a -1

-1 a 0

0 a 1

Decreciente

Decreciente

Creciente

Creciente

+

+

-

-

1

2

3

4

270°

180°

0°

90°

360°

0

-∞

+∞

LINEA TANGENTE

Creciente en Qз , de -∞ a 0

Cuadrante Variación Comportamiento Signo

Q

Q

Q

Q

0 a +∞

-∞ a 0

0 a +∞

-∞ a 0

Creciente

Creciente

+

-

+

-

1

2

3

4

Creciente en Q ,de 0 a 1

4

Creciente en Qз , de 0 a +∞

Creciente

Creciente

EJERCICIO 3

¿ Cuántas líneas trigonométri

cas son decrecientes en el Q ?

4

Resolución:

Son decrecientes en Q :

4

▪ Cotangente

▪ Secante

▪ Cosecante

EJERCICIO 4


reada.

B´

A´

α

B

A

O

C.T.

CAPITULO 6


Resolución:

B´

A´

α

B

A

O

C.T.

1

α

α

Senα

Cosα

AREA =

___ 1

2

Senα.Cosα.

EJERCICIO 5


reada.

B´

A´

B

A

O

C.T.

α

T

Resolución:

B´

A´

B

A

O

C.T.

α

T

1 1

Tg α

∆ A´AT

S =

___

1

2

( 1+1 )( Tg α )

∆ A´AT

S = Tg α

EJERCICIO 6


reada.

B´

A´

B

A

O

C.T.

α

T

Resolución:

B´

A´

B

A

O

C.T.

α

T

1

α

Cotag α

∆ OBT

S =

___ 1

2

( 1 )Cotag α.

∆ OBT

S =

___ 1

2

Cotag α.

EJERCICIO 7


reada.

B´

A´

B

A

O

C.T.

Q

P

M

α

Resolución:

B´

A´

B

A

O

C.T.

Q

P

M

α

1

Sec α

α

Cosec α

CAPITULO 6


∆ POQ

S =

___ 1

2

( Sec α )(Cosec α )

∆ POQ

S =

___ 1

2

Sec α.Cosec α

EJERCICIO 8

Calcular el área de la región co-

loreada.

B´

A´

B

A

O

C.T.

P

Q

α

Resolución:

B´

A´

B

A

O

C.T.

P

Q

α

1

α

1

Sen α

Sen α

Cosα

∆ A'PQ

S =

___ 1

2

( 2 Senα )(1 + Cos α )

∆ A'PQ

S = Senα ( 1 + Cos α )

EJERCICIO 9

Siendo α Є

;

__

2

π ,hallar

π

los límites entre los cuales está comprendido la

expresión : E = 2 Cos α + 3

Resolución:

Por dato tenemos que :

< α <

__

2

π

π

Aplicando la función Coseno :

< Cos α < π Cos Cos

Cos 180° < Cos α < Cos 90°

-1 < Cos α < 0

-2 < 2 Cos α < 0

1 < 2 Cos α + 3 < 3

__

2

π

" α " Є al Q

2

1 ; 3

Tg θ ; además ,

2 a - √3

3

=

EJERCICIO 10 Si

;

__

6

, hallar los límites entre los cuales

π

θ Є

varía " a ".

Resolución:

__

3

π

< θ <

__

6

π __

3

π

< Tg θ <Tg 30°

Tg 60°

__

3

√3

√3 < Tg θ <

__

3

√3

√3 < <

2 a - √3

3

___

3

3√3

√3 < <2 a - √3 3

2√3 √3 < <2 a 4

√3 √3 < < a 2

; √3 √3 2a Є

NIVEL II

EJERCICIO 1

Señalar con ( V ) las proposicio-

nes verdaderas y con ( F ) las falsas :

I . Sen 20° < Cos 20°

II. Tg 20 ° < Cotg 20°

III. Sec 20° < Cosec 20°

Resolución:

Escribiendo en función de sus cofunciones :

I . Sen 20° < Sen 70°

II. Tg 20 ° < Tg 70°

III. Sec 20° < Sec 70°

I . Sen 20° < Sen 70°

270°

180°

0°

90°

360°

-∞

0

1

-1

+∞

LINEA SENO

20°

70°

Sen 20° < Sen 70° ........ ( V )

CAPITULO 6


270°

180°

0°

90°

360°

0

-∞

+∞

LINEA TANGENTE

70°

20°

II. Tg 20 ° < Tg 70°

Tg 20 ° < Tg 70° .........( V )

III. Sec 20° < Sec 70°

270°

90°

-1 1 0+∞

-∞

20°

70°

LINEA SECANTE

Sec 20° < Sec 70° ...........( V )

EJERCICIO 2

A partir del gráfico ,señalar con

( V ) las proposiciones verdaderas y con ( F ) las

falsas :

B´

A'

B

A

O

C.T.

α

β

Resolución:

B´

A'

B

A

O

C.T.

α

β

I . Sen α > Sen β

II. Cos α > Cos β

III. Tg α > Tg β

I . Sen α > Sen β

Senα

Senβ

Sen α > Sen β .......( V )

II. Cos α > Cos β

B´

A'

B

A

O

C.T.

α

β

Cosα

Cosβ

Cos α > Cos β ........( V )

III. Tg α > Tg β

B´

A'

B

A

O

α

β

0

-∞

+∞

Tgα

Tgβ

Tg α > Tg β .......( F )

CAPITULO 6


EJERCICIO 3

Hallar el área de la región colo-

reada.

A´

B

A

O

C.T.

B'

α

PQ

Resolución:

A´

B

A

O

C.T.

B'

α

P

Q

1

1

α

Cosα

1-Cosα

Sen α

OPQA

S =

___ 1

2

[ (1) + ( 1 - Cos α)]( Sen α)

OPQA

S =

___ 1

2

( 2 - Cos α ) . Sen α

EJERCICIO 4

Determinar el área de la región

coloreada.

A´

B

A

O

C.T.

B'

α

P

S

Resolución:

A´

B

A

O

C.T.

B'

α

P

S

Sec α

1

1

Senα

∆ A'PS

S =

___ 1

2

( 1 + Sec α )(Sen α )

∆ A'PS

S =

___ 1

2

( 1 + Sec α ).Senα

EJERCICIO 5

Determinar el área de la región

coloreada.

A´

B

A

O

C.T.

B'

P

T

α

Resolución:

A´

B

AO

C.T.

B'

P

T

α

α

Cosα

1

Sen α

Tg α

Cosα

( Tg α - Senα )

∆ MPT

S =

___ 1

2

( Cos α )( Tg α - Sen α )

∆ MPT

S =

___ 1

2

( Tg α - Sen α). Cos α

M

M

EJERCICIO 6

Calcular el área de la región colo

reada.

A´

B

A

O

C.T.

B'

P

_ π

3

Resolución:

CAPITULO 6


A´

B

A

O

C.T.

B'

P

_ π

3

=60°

▪

60°

60°

Sen60°

1 1

1

*

S + SA'PA S =

A'OP

OAP

___ 1

2

( 1 )(Sen 60° )

+

___ 1

2

( )(1)²

___ 1

2

( 1 )( )

+

___ 1

2

( )(1)²

__ √3

2

_ π

3

_ π

3

3√3 + 2π

12

A'PA S =

A'PA S =

A'PA S =

EJERCICIO 7


reada.

A´

B

AO

C.T.

B'

P

S

α

Resolución:

A´

B

AO

C.T.

B'

P

S

α

1

1

Sec α

OPSB'

S =

_ 1

2

[ Senα .Sec α ] + [ ( Sec α).(1)]

Sen α

_ 1

2

OPSB'

S =

_ 1

2

( 1 + Sen α ) .Sec α

EJERCICIO 8

Si α Є [ 0;π] y β Є [ π;2π],calcu

lar la suma del máximo y mínimo valor de :

M = 3Sen α - 2Cos β

Resolución:

LINEA SENO

270°

180°

0°

90°

360°

-∞

0

1

-1

+∞

Si α Є [ 0 ; π ] 0 ≤ Sen α ≤ 1

0 ≤ 3Sen α ≤ 3 ......( I )

270°

180°

0°

90°

360°

-∞-∞

-1 1 0

LINEA COSENO

Si βЄ [ π ; 2π ] -1 ≤ Cos β ≤ 1

-2 ≤ -2 Cos β ≤ 2 ....( II )

Sumando ( I ) y ( II ) tenemos :

0 ≤ 3Sen α ≤ 3

-2 ≤ -2 Cos β ≤ 2

-2 ≤ 3Sen α - 2 Cos β ≤ 5

Máximo = 5 ; Mínimo = -2 Suma = 3

CAPITULO 6


EJERCICIO 9

Hallar los límites entre los cua-

les varía la expresión E = 4 Cos - √2 , Si α Є

_ α

2

;

_ π

2

π

Resolución:

< α < π .....dividiendo entre (2)

_ π

2

< <

_ π

4

_ α

2

_ π

2

270°

180°

0°

90°

360°

-∞-∞

-1 1 0

LINEA COSENO

< < 45°

_ α

2

90°

45°

__ √2

2

< < 0 ; multip. por (4)

_ α

2

Cos

__ √2

2

< < 0

_ α

2

4 Cos 2√2 ; restando ( √2 )

< <

_ α

2

4 Cos √2 -√2 -√2

-√2

;

√2

EJERCICIO 10

Si θ Є ,hallar los límites

entre los cuales varía la expresión :

;

_ π

3

_ π

2

( )

E = Tg θ - - 2

_ π

4

Resolución:

0°

90°

0

+∞

LINEA TANGENTE

< θ < .....Restando

_ π

2

_ π

3

_ π

4

( )

< θ <

_ π

2

_ π

3

-

_ π

4

-

_ π

4

-

_ π

4

< θ <

_ π

4

__ π

12

-

_ π

4

< θ <

45°

15° -

_ π

4

15°

45°

2 - √3

__ √2

2

180°

O

< θ -

_ π

4

( )

Tg2 - √3

< θ < .....restando ( 2 ) -

_ π

4

( )

Tg2 - √3

<- 2 - 2- 2

< θ -

_ π

4

( )

Tg - √3

<- 2 -1

1

1

-√3

;

-1


EJERCICIO 1


reada.

Resolución:

B´

A'

B

-

O

C.T.θ

1

1

-Cosθ

B'OP

S =

P

___ 1

2

( 1 )(- Cos θ )

B'OP

S =

_ 1

2

Cos θ

B´

A'

B

O

C.T.θ

P

CAPITULO 6


EJERCICIO 2

Si θ Є ,hallar el máximo

;

0

_ π

2

valor que puede tomar " a " en :

+

_ π

4

( )

Sen θ

=

a + √2

2

Resolución:

< θ < .....Sumando

_ π

2

_ π

4

( )

0

< θ < +

_ π

2

_ π

4

( )

0 +

_ π

4

( ) +

_ π

4

( )

< θ <

__ 3π

4

_ π

4

+

_ π

4

( )

+

_ π

4

( )

Sen θ< ≤

__

2

√2

1

a + √2

2

< ≤

__

2

√2

1 ......multip. por ( 2 )

a + √2< ≤ √2 2 ......restando ( )

√2

a < ≤ 2 - 0 √2

}

máximo valor

EJERCICIO 3


reada.

A´

B

A

O

B'

M

θ

C.T.

Q

P

Resolución:

A´

B

A

O

B'

M

θ

C.T.

Q

P

θ

1

Cos θ

Sen θ

Sen θ

Sen θ

Cos θ

PQB'

S =

___ 1

2

( 2 Sen θ )( Cos θ )

PQB'

S = Sen θ .Cos θ

EJERCICIO 4


reada.

A´

B

AO

C.T.

B'

P

S

π/3

Resolución:

A´

B

AO

C.T.

B'

P

S

60°

1

Sec 60°

_ π

3

=

60°

Sen60°

PAS

S =

___ 1

2

( Sec 60° - 1 )( Sen 60°)

PAS

S =

___ 1

2

( 2 - 1 )

__ √3

2

( )

PAS

S =

__ √3

4

EJERCICIO 5

Si se cumple que α Є

hallar la extensión de la expresión : A = 1+2Senα

µ²

;

__ 2π

3

_ π

6

Resolución:

< α <

__ π

6

__ 2π

3

LINEA SENO

180°

0°

90°

0

1

+∞

30°

120°

_ 1

2

α

CAPITULO 6


< Sen α ≤

_ 1

2

1 .......multip. por ( 2 )

< 2 Sen α ≤ 2 ....sumando ( + 1) 1

< 1 + 2 Sen α ≤ 3 2

2 ; 3 ]

EJERCICIO 6

Si se cumple θ Є ,cal

la variación de " x " en la igualdad :

;

__ -π

3

_ π

3

x + 1

3

x - 1

4

-Cos θ

=

Resolución:

< θ <

__ -π

3

__ π

3

270°

180°

0°

90°

360°

+∞-∞

-1 1 0

LINEA COSENO

< θ < -60° 60°

60°

-60°

1

2

< Cos θ ≤ 1

__

2

1

Reemplazando el valor de " Cos θ "

x + 1

3

x - 1

4

-< ≤ 1

__

2

1

x + 7< ≤ 12 .....restando ( 7 )

6

x + 7

12

< ≤ 1 .....multip. por ( 12 )

__

2

1

x < ≤ 5 - 1

EJERCICIO 7

Si se cumple θ Є ,cal

cular la extensión de la expresión :

;

__ -π

2

_ π

2

M = 1+ Cotg

_ π

4

( )

+

| θ |

Resolución:

< θ <

__ -π

2

__ π

2

-1 ; 5 ]

≤ | θ | < 0 .......sumando

__ π

2

__ π

4

( )

≤ | θ | <

__ π

2

__ π

4

+

0

__ π

4

+

__ π

4

+

≤ | θ | <

__ 3π

4

__ π

4

__ π

4

+

0°

360°

90°

180°

270°

θ

0-1

1

45°

+∞

-∞

< | θ | ≤ -1

__ π

4

+

( )

Cotag 1 ...sumando ( 1 )

< | θ | ≤ 0

__ π

4

+

( )

Cotag 2 1 +

0 ; 2 ]

EJERCICIO 8

¿ Cuál es el máximo valor de

" Sen θ " cuando θ -200 π ; -100 π ?

Resolución:

135°

Sabemos que :

__

2

- 3π

Є

-200 π ; - 100 π

Entonces : Sen

__

2

- 3π

( )

=

1

( Máximo valor del Seno )

}

Luego : [ Sen θ ] máx = 1

CAPITULO 6

ÁNGULOS CUADRANTALES

NIVEL I


( 4 Sen 90° + Cos 180° )² + 1

( 3 Cosec 270° + Sec 0° )² + 1

A =

Resolución:

Reemplazando valores del cuadro anterior :

[ 4 ( 1 ) + ( - 1 ) ]² + 1

[ 3 ( - 1 ) + ( 1 ) ]² + 1

A =

10

5

A =

A = 2

EJERCICIO 2 Hallar el valor de :

__ 3π

2

4Sen

__ π

2

9 Cos

+

5 Tg 2π - 2

B =

Resolución:


5 ( 0 ) - 2

B =

4 ( -1 ) + 9 ( 0 )

B = 2


√ 8 Cos ( - 60° ) + 5 Cosec 90° + 3 Tg

__ π

4

-

( )

C =

Resolución:


√ 8 Cos 60° + 5 Cosec 90° - 3 Tg

__ π

4

( )

C =

8 + 5 ( 1 ) - 3 ( 1 )

__ 1

2

( )

√

C =

√9 - 3C =

C = 0

EJERCICIO 4 Hallar el valor de " x " , si :

3 x + 2 Cos π

2 x + 3 Cos π

= Sen

__ 3π

2

Resolución:


3 x + 2 ( -1 )

2 x + 3 ( -1 )

= -1

3 x - 2 = - 2 x + 3

5x = 5

x = 1


E = (a + 1) Sen x + ( b + 1) Cos 2x + (a + b) Tg

_ x

2

Siendo x =

_ π

2

Resolución:

E = (a + 1) Sen + ( b + 1) Cos π + (a + b) Tg

_ π

4

_ π

2

E = (a + 1) ( 1 ) + ( b + 1) ( -1 ) + (a + b) ( 1 )

E = a + 1 - b - 1 + a + b

E = 2a

EJERCICIO 6 Calcular los valores de " x " en:

3 x² Sec ( 60° ) - x Sen 270° + Tg ( - 45° ) = 0

Resolución:


3 x² ( 2 ) - x ( - 1 ) - 1 = 0

6 x² + x - 1 = 0

3 x - 1

2 x + 1

{

▪ x =

_ 1

3

▪ x =

_ -1

2

{

_ -1

2

;

_ 1

3

}

EJERCICIO 7 Hallar " x " en :

(x - 1)² Sen 270° + (x + 1)² Cos 360° = 4 Tg (- 45°)

Resolución:


(x - 1)² ( -1 ) + (x + 1)² ( 1 ) = - 4 Tg 45°

(x² - 2x + 1 ) ( -1 ) + (x² + 2x + 1 ) ( 1 ) = - 4

- x² + 2x - 1 + x² + 2x + 1 = - 4

4 x = - 4

x = - 1

CAPITULO 6



E = Cos [ Tg ( Sen π ) ] + Sec Sen Cos

[ (

_ π

2

) ]

Resolución:


E = Cos [ Tg ( 0 ) ] + Sec [ Sen ( 0 ) ]

E = 1 + 1

E = Cos ( 0 ) + Sec ( 0 )

E = 2


[

a ³ + b ³

a + b

]

Cos ( x + 90°)Sen x +

a ² - b ²

a - b

[ ]

2

P =

Para : x = 90°

Resolución:


[

a ³ + b ³

a + b

]

Cos 180°Sen 90° +

a ² - b ²

a - b

[ ]

2

P =

[

a ³ + b ³

a + b

]

-

a ² - b ²

a - b

[ ]

2

P =

[

( a + b )( a² - ab + b²)

a + b

]

-

(a - b ) ( a + b )

a - b

[ ]

2

P =

P = a² - ab + b² - a² - 2ab - b²

P = - 3 ab

EJERCICIO 10 Calcular el valor de A+ B. Sien-

do : A = Sec 1231231......π

999 cifras

B = Cos 4564564......π

1000 cifras

Resolución:

A = Sec 1231231....123π

n° impar termina en 3

A = Sec π = -1

B = Cos 456456......564π

n° par termina en 4

B = Cos 0 = 1

A + B = 0

NIVEL II

EJERCICIO 1

Sabiendo que :

f ( x ) = [ Sen ( cos x) + Cos ( Sen x ) ] . Tg ( 2 x )

10

Calcular : f ( π )

Resolución:

f ( π ) = [ Sen ( cos π) + Cos ( Sen π ) ] .Tg ( 2 π)

10


f ( π ) = [ Sen ( -1) + Cos ( 0 ) ] .Tg ( 2 π)

10

}

# par

f ( π ) = [ Sen ( -1) + Cos ( 0 ) ] .Tg ( 0 )

{

0

f ( π ) = 0

EJERCICIO 2

Calcular el valor de :

E = Sen 2Kπ + Cos ( 2K + 1 )π + Tg Kπ

Donde K Є Z

+

Resolución:

E = Sen 2Kπ + Cos ( 2K + 1 )π + Tg Kπ

}

# par

# impar

}

# par o impar

{

E = Sen 0 + Cos π + Tg Kπ

Tg Kπ =

{

Tg 0 = 0 ; Si K # par

Tg π = 0 ; Si K # impar

E = 0 - 1 + 0 = -1

EJERCICIO 3

Hallar la suma de los valores de

" x " que verifiquen la siguiente igualdad.

πx - Cos = - Tg

__ π

4

( )||

-

__ π

4

( )

-

Resolución:

πx - Cos = Tg

__ π

4

( ) ||

__ π

4

( )

πx - = 1 .... Aplicando T. de V.A

||

__ 1

2

πx - = 1

__ 1

2

( )

πx - = -1

__ 1

2

( )

x =

__ 3

2π

x =

__ -1

2π

ó

Suma =

__ 1

π

CAPITULO 6


EJERCICIO 4

Si f ( Tg x ) = π Cotg x ; calcular

R = Sen [ f ( 1 ) ] + Cos [ f ( 2 ) ]

Resolución:

f ( Tg x ) = π Cotg x ; tambien se puede escribir

como :

f ( Tg x )

π

Tgx

=

f ( 1 )

π

1

= =

π

f ( 2 )

π

2

=

{


R = 0 + 0 = 0

R = Sen π + Cos

π

2

EJERCICIO 5

Sabiendo que :

|

3π

2

Sen+

x

|

=

4

| Cos 2π - y | = 5

∑ ( valores de x )

∑ ( valores de y )

Calcular

Resolución:

|

3π

2

Sen+

x

|

=

4

|

+ x

|

=

4-1

▪

{

+ x

=

4-1

+ x

=

- 4-1

x = 5

x = -3

▪| Cos 2π - y | = 5

| 1 - y | = 5

{

1 - y = 5

1 - y = - 5

y = - 4

y = 6

∑ ( valores de x )

∑ ( valores de y )

=

( 5 - 3 )

( 6 - 4 )

=

1

EJERCICIO 6

Sabiendo que :

Sen x + Sen y = Tg π

Sen x - Sen y Sec

=

__ π

3

( )

-

Calcular N = Cos x + Cos y

Resolución:

Sen x + Sen y = Tg π▪

Sen x + Sen y = 0 ........( I )

Sen x + Sen y Sec

=

__ π

3

( )

-

▪

Sen x - Sen y 2 ......( II )

=

Sumando ( I ) y ( II ) tenemos :

Sen x + Sen y = 0

Sen x - Sen y 2

=

2 Sen x = 2

Sen x = 1 Sen y = -1

x = 90° y = 270°


N = Cos x + Cos y

N = Cos 90° + Cos 270°

N = 0 + 0 = 0

EJERCICIO 7

Resolver :

-2x² Sen + xCos 360° + 4 Sen = 2 Sec 0°

__ π

6

( )

-

__ 3π

2

Resolución:

2x² Sen + xCos 360° + 4 Sen = 2 Sec 0°

__ π

6

( )

__ 3π

2

2x² + x ( 1 ) + 4 ( - 1 ) = 2 ( 1 )

__ 1

2

( )

x² + x - 6 = 0

x + 3

x - 2

{

=

x - 3

=

x 2

{ -3 ; 2 }

EJERCICIO 8

Si x Є -1 ; 1 , reducir :

3π

2

Senx

|

y = +

|

+ | x - Cos π |

Resolución:

3π

2

Senx

|

y = +

|

+ | x - Cos π |


CAPITULO 6


| x + ( -1 ) | + | x - ( - 1 ) |y =

| x -1 | + | x +1 | ......... ( I )y =

Si x Є -1 ; 1 , entonces :

- 1 < x < 1 .........Restando ( -1 )

- 1 - 1 < x - 1 < 1 - 1

- 2 < x - 1 < 0 .....entonces ( x -1 ) es un

número negativo

▪

| x - 1 | = - ( x - 1 ) ........( II )

- 1 < x < 1 .........Sumando ( 1 )

▪

- 1 + 1 < x + 1 < 1 + 1

0 < x + 1 < 2 .....entonces ( x + 1 ) es un

número positivo

| x + 1 | = x + 1 ........( III )

Reemplazando ( II ) y ( III ) en ( I )

| x -1 | + | x +1 | y =

- ( x -1 ) + ( x +1 ) y =

- x + 1 + x +1 y =

y = 2

EJERCICIO 9

Si x Є 1 ; 2 , reducir la expresi-

ón :

π

2

Sen1 - xE =

(

( 1 + x Cos π )

)

√

Resolución:

[ 1 - x ( 1 ) ]E = [ 1 + x ( - 1 ) ]

√

( 1 - x )E = ( 1 - x )

√

( 1 - x )²E =

√

± ( 1 - x )E =

{

( 1 - x ) .....( I )

- ( 1 - x ) ......( II )

■ Si x Є 1 ; 2 , entonces :

1 < x < 2 .....multiplicando por ( - 1 )

- 2 < - x < - 1 ......sumando ( 1 )

- 2 + 1 < 1 - x < - 1 + 1

- 1 < 1 - x < 0 ; no se toma, la raíz de un número

no puede ser negativo

■ Si x Є 1 ; 2 , entonces :

1 < x < 2 .....restando ( 1 )

1 - 1 < x - 1 < 2 - 1

0 < x - 1 < 1 ; esta respuesta se toma

( x - 1 ) ......( II )

( x - 1 ) es un número ( + )

EJERCICIO 10

Sabiendo que " Sec 0 " y

Tg

__ π

4

( )

-

" "

son las raíces de la ecuación :

x² + m x + n = 0 . Hallar m ² + n²

Resolución:

Sec 0 = 1

- Tg 45° = - 1

}raíces de la ecuación

x² + m x + n = 0

x 1

x -1

{

m = 0

n = ( - 1 )(1) = -1


m² + n² = ( 0 )² + ( - 1 )² = 1

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

IDENTIDADES RECIPROCAS

Sen α . Cosec α = 1

Sen α

=

Cosec α

1

Cosec α

=

Sen α

1

→ α Є R - { n π / n Є Z }

Cos α . Sec α = 1

Cos α

=

Sec α

1

Sec α

=

Cos α

1

→ α Є R - ( 2n + 1 ) / n Є Z

π

2

{ }

Tg α . Cotg α = 1

Tg α

=

Cotg α

1

Cotg α

=

Tg α

1

→ α Є R - / n Є Z

n

2

{ }

π

CAPITULO 7

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

IDENTIDADES POR DIVISION

Tg α

=

Cos α

Sen α

→ α Є R - ( 2n + 1 ) / n Є Z

π

2

{ }

Cotg α

=

Sen α

Cos α

→ α Є R - { n π / n Є Z }

IDENTIDADES PITAGORICAS

Sen² α + Cos² α = 1

Sen² α

=

1 - Cos² α

Cos² α

=

1 - Sen² α

→ α Є R

1 + Tg² α = Sec² α

Tg² α

=

Sec² α - 1

Sec² α - Tg² α = 1

→ α Є R - ( 2n + 1 ) / n Є Z

π

2

{ }

1 + Cotg² α = Cosec² α

Cotg² α

=

Cosec² α - 1

Cosec² α - Cotg² α = 1

→ α Є R - { n π / n Є Z }

IDENTIDADES AUXILIARES

Sen α + Cos α = 1 - 2 Sen² α Cos² α

4

4


6

6

Tg α + Cotg α = Sec α Cosec α

Sec² α + Cosec² α = Sec² α Cosec² α

( 1 ± Sen α ± Cos α )² = 2 ( 1 ± Sen α )( 1 ± Cos α )

NIVEL I

EJERCICIO 1 Simplificar :

E = ( Sen θ + Cos θ ) ² + ( Sen θ - Cos θ ) ²

Resolución:

E = Sen²θ + 2Senθ.Cosθ + Cos²θ +Sen²θ - 2Senθ.Cosθ + Cos²θ

E = 2 Sen²θ + 2 Cos²θ

E = 2 ( Sen²θ + Cos²θ )

E = 2 ( Sen ² θ + Cos ² θ )

= 1 ( identidad pitagórica )

E = 2

EJERCICIO 2 Reducir :

M = ( 2 Cos ² α - 1 ) ² + 4 Sen ² α.Cos ² α

M = 4 Cos α - 4 Cos ² α + 1 + 4 Sen ² α.Cos ² α

4

factorizando ( 4 Cos ² α )

M = 4 Cos α - 4 Cos ² α ( 1 - Sen ² α ) + 1

= Cos ² α ( I. P )

4

M = 4 Cos α - 4 Cos ² α ( Cos ² α ) + 1

4

M = 4 Cos α - 4 Cos α + 1

4 4

M = 1

Resolución:

Desarrollando el cuadrado de un binomio


A

=

1 + Cos x

Sen x

+

Cotg x

Resolución:

A

=

1 + Cos x

Sen x

+

Sen x

Cos x

Sacando m.cm.(1+ Cos x ) Sen x

A

=

( 1 + Cos x ) Sen x

Sen ² x + Cos x ( 1 + Cos x )

A

=

( 1 + Cos x ) Sen x

Sen ² x + Cos x + Cos ² x

A

=

( 1 + Cos x ) Sen x

Sen ² x + Cos ² x + Cos x

CAPITULO 7


Sen α.Cos α

Sen ² α

=

4

Cos α

Sen α

=

4

Tg α = 4

EJERCICIO 10 Eliminar " θ " de :

a Tg θ + 1 = Sec θ ....... ( 1 )

b Tg θ - 1 = Sec θ ....... ( 2 )

Resolución:

a Tg θ + 1 = b Tg θ - 1

Igualando ( 1 ) y ( 2 )

2 = b Tg θ - a Tg θ

2 = Tg θ ( b - a )

Tg θ ........( 3 )

=

( b - a )

2

Multiplicando ( 1 ) y ( 2 )

a Tg θ + 1 = Sec θ

b Tg θ - 1 = Sec θ

↓

ab Tg ² θ - a Tg θ + b Tg θ - 1 = Sec ² θ

= 1 + Tg ² θ ( I.P. )

ab Tg ² θ - a Tg θ + b Tg θ - 1 = 1 + Tg ² θ

Reemplazando ( 3 ) en ( 4 )

ab + ( b - a ) = 2 +

( b - a )

2

2

[ ]

ab Tg ² θ + Tg θ ( b - a ) = 2 + Tg ² θ ....( 4 )

( b - a )

2

[ ] ( b - a )

2

2

[ ]

ab

( b - a )

2

2

[ ]

=

( b - a )

2

2

[ ]

ab = 1

NIVEL II

EJERCICIO 1 Hallar " m " en la identidad :

( Cosec x - Sen x ) ²

Cosec ² x - Sen ² x

=

1 - m

1 + m

Resolución:

( Cosec x - Sen x ) ( Cosec x - Sen x )

( Cosec x - Sen x )( Cosec x + Sen x )

=

1 - m

1 + m

( Cosec x - Sen x )

( Cosec x + Sen x )

=

1 - m

1 + m

( Cosec x + Sen x )( 1 - m ) = ( 1 + m ) ( Cosec x - Sen x)

Cosecx - mCosecx + Senx - mSenx = Cosecx - Senx + mCosecx - mSenx

2 Sen x = 2 m Cosec x

Sen x = m

Sen x

1

m = Sen ² x

EJERCICIO 2 Efectuar :

A = Tg x ( 1 - Cotg ² x ) + Cotg x ( 1 - Tg ² x )

Resolución:

A = Tg x - Tg x.Cotg ² x + Cotg x - Cotg x.Tg ² x

* Tg x .Cotg x = 1

Recordar :

A = Tg x - Cotg x + Cotg x - Tg x

A = 0


B = Sen α + Sen α - 2 Sen α - Cos α + Cos α

6 4

4 6

2

Resolución:


6

6

Recordar :

B = (1 - 3Sen²α.Cos²α)+ Sen α - 2 Sen α - Cos α

2 44

B = (1 - 3Sen²α.Cos²α)+(Sen α - Sen α) - (Sen α+Cos α)

24

44


4

4

Recordar :

B = (1 - 3Sen²α.Cos²α)+(Sen α - Sen α) - (1 - 2Sen²α.Cos²α)

2

4

B = 1 - 3Sen²α.Cos²α +(Sen α - Sen α) - 1 + 2Sen²α.Cos²α

2

4

B = (Sen α - Sen α) - Sen ² α. Cos ² α

2

4

=

1 - Sen² α

B = (Sen α - Sen α) - Sen ² α ( 1 - Sen ² α )

B = Sen ² α - Sen α - Sen ² α + Sen α )

2

4

44

B = 0

CAPITULO 7


EJERCICIO 4 Si x Є Q , Simplificar :

1

Tg x + Cotg x + 2

Tg x + Cotg x√

=

P - Cos x

Resolución:

Cos x

Sen x

+

Sen x

Cos x

+

2

Cos x

Sen x

+

Sen x

Cos x

- Cos x

√

=

P

Sen x .Cos x

Sen ² x + Cos ² x + 2 Sen x.Cos x

Sen x .Cos x

Sen ² x + Cos ² x

√

=

P

- Cos x


Sen ² x + Cos ² x

√

=

P

- Cos x

= 1 ..... I. Pitagórica.


=

P

√

- Cos x

( Sen x + Cos x ) ²

=

P

√

- Cos x

Sen x + Cos x - Cos x

=

P

Sen x

=

P

EJERCICIO 5 Si x Є Q , Reducir :

1

Cos α

Sec α

-

Cotg α

Tg α

+

Tg α

Cotg α

√

=

K

Resolución:

Cos α

1

Cos α

Sen α

Cos α

-

Sen α

Cos α

Sen α

Cos α

+

Cos α

Sen α

√

=

K

1

Cos ² α

1

-

Cos ² α

Sen ² α

+

Sen ² α

Cos ² α

√

=

K

Cos ² α

1 - Sen ² α

√

+

Sen ² α

Cos ² α

Cos ² α

Cos ² α

√

+

Sen ² α

Cos ² α

=

K

=

K

√

+

Sen ² α

Cos ² α

=

K

1

√ Sen ² α

Sen ² α + Cos ² α

=

K

√ Sen ² α

1

=

K

Sen α

1

=

K

=

Cosec α

EJERCICIO 6 Si Sen x + Cos x = a , hallar

A = Tg x + Cotg x +Sec x + Cosec x

Cos x

Sen x

+

Sen x

Cos x

+

Cos x

1

+

Sen x

1

Sen x .Cos x

Sen ² x + Cos ² x + Sen x + Cos x

=

K

Sen x .Cos x

1 + Sen x + Cos x

=

K

...........( I )

Resolución:

=

K

Sabemos que :

Sen x + Cos x = a .....elevando al cuadrado

Sen ² x + 2 Sen x . Cos x + Cos ² x = a ²

1 + 2 Sen x . Cos x = a ²

Sen x . Cos x

2

a ² - 1

=

........( II )

Sen x .Cos x

1 + a

=

K

Reemplazando ( II ) en ( I )

Sen x .Cos x

1 + a

=

K

=

1 + a

2

a ² - 1

( a + 1 ) ( a - 1 )

2 ( 1 + a )

=

K

=

( a - 1 )

2

EJERCICIO 7 Si Tg α = √2 , calcular el valor

4

de :

Sen α - Cos α

Sen α + Cos α

4

4

4 4

=

M

Resolución:

CAPITULO 7


Tg α = √2

Cos α

Sen α

=

√2

4

4

Sen α

=

√2

4

Cos α ....elevando a la cuarta

Sen α

=

2 Cos α ......( I )

4 4

Reemplazando ( I ) en M

Sen α - Cos α

Sen α + Cos α

4

4

4 4

=

M

2 Cos α - Cos α

2 Cos α + Cos α

=

4 4

4 4

=

M

Cos α

3Cos α

4

4

=3

EJERCICIO 8 Si Sen x.Cos x = 0,25,calcular

el valor de :

Sen x - Cos x

Sen x + Cos x

=

N

Resolución:

( Sen x + Cos x ) ² = Sen ² x + 2 Sen x . Cos x + Cos ² x

( Sen x + Cos x ) ² = 1 + 2 Sen x . Cos x

= 0,25 ( dato )

( Sen x + Cos x ) ² =

__ 3

2

Sen x + Cos x = ........( I )

__ 3

2

√

__

( Sen x - Cos x ) ² = Sen ² x - 2 Sen x . Cos x + Cos ² x

( Sen x - Cos x ) ² = 1 - 2 Sen x . Cos x

= 0,25 ( dato )

Sen x - Cos x = .........( II )

__ 1

2

√

__

Reemplazando ( I ) y ( II ) en N

Sen x - Cos x

Sen x + Cos x

=

N

=

__ 3

2

√

__

__ 1

2

√

__

=

√3

EJERCICIO 9 Si

Sec α

a

=

Tg α

b

, hallar

E = Sec α. Tg α

Resolución:

Sec α

a

=

Tg α

b

a

=

Tg α

b

Sec α

a

=

b Sen α

1

a

=

b

Cos α

Cos α

Sen α

1

a

=

b

Cosec α

α

a

b

√ a ² - b ²

Reemplazando valores en " E "

E = Sec α. Tg α

=

a

√ a ² - b ²

( )

b

√ a ² - b ²

( )

E

=

a.b

a ² - b ²

EJERCICIO 10 Eliminar " x " de :

1 + Tg x = a Sec x ........ ( 1 )

1 - Tg x = b Sec x ...........( 2 )

Resolución:

1 + Tg x = a Sec x ..... (elevando al cuadrado )

( 1 + Tg x ) ² = ( a Sec x ) ²

1 + 2 Tg x + Tg ² x = a ² Sec ² x .....( I )

▪

1 - Tg x = a Sec x ..... (elevando al cuadrado )

▪

1 - 2 Tg x + Tg ² x = b ² Sec ² x .....( II )

Sumando ( I ) y ( II )

1 + 2 Tg x + Tg ² x = a ² Sec ² x .....( I )

1 - 2 Tg x + Tg ² x = b ² Sec ² x .....( II )

2 + 2 Tg ² x = a ² Sec ² x + b ² Sec ² x

2 ( 1 + Tg ² x ) = Sec ² x ( a ² + b ² )

a ² + b ² = 2



Sen x .Cos x

1 - Cos x

-

Sen x .Sec x

1 - Cos x

+

Sen x

=

E

m.c.m

= 1

= 1

Sen x .Cos x.Sec x

Sec x - Sec x.Cos x - Cos x + Cos ² x

+

Sen x

=

E

Resolución:

CAPITULO 7


Sen x

Sec x - 1 - Cos x + Cos ² x

+

Sen x

=

E

Sen x

Sec x - 1 - Cos x + Cos ² x + Sen ² x

=

E

= 1

Sen x

Sec x - 1 - Cos x + 1

=

E

Sen x

Sec x - Cos x

=

E

Cos x

1

Sen x

=

E

Cos x

-

Cos x

1 - Cos ² x

Sen x

=

=

E

Cos x

Sen ² x

Sen x

=

Cos x

Sen x

=

Tg x

Si Tg α - Cotg α = 4 , calcular :

R = Tg α + Cotg α

4

Tg α - Cotg α = 4 .......elevando al cuadrado

Tg ² α - 2 Tg α.Cotg α + Cotg ² α = 16

= 1

Tg ² α - 2 + Cotg ² α = 16

Tg ² α + Cotg ² α = 18 ......elevando al cuadrado

Tg α + 2 Tg ² α.Cotg ² α + Cotg α = 324

44

= 1

Tg α + 2 + Cotg α = 324

4 4

Tg α + Cotg α = 322

4 4

EJERCICIO 3


A = 3 Sen θ - 3 Cos θ - 8 Sen θ + 4 Cos θ + 6 Sen θ

8 8 6 6 4

Resolución:

A = 3 ( Sen θ - Cos θ )( Sen θ + Cos θ ) - 8 Sen θ + 4 Cos θ + 6 Sen θ

4 4 4 6 6 44

A = 3 ( Sen θ - Cos θ )( Sen θ + Cos θ )( Sen θ + Cos θ ) - 8 Sen θ + 4 Cos θ + 6 Sen θ

2 2 2 2 4 4 6 6 4

= 1 = 1 - 2Sen θ.Cos θ

2 2

A = 3 ( Sen θ - Cos θ )( 1 - 2 Sen θ.Cos θ ) - 8 Sen θ + 4 Cos θ + 6 Sen θ

2 2 2 2 6 6 4

= 1 - Sen ² θ ( I.P. ) = 1 - Sen ² θ ( I.P. )

A = 3 [ Sen θ - ( 1 - Sen θ) ] [ 1 - 2 Sen θ ( 1 - Sen θ)] - 8 Sen θ + 4 ( 1 - Sen θ ) + 6 Sen θ

2 2 2 2 6

= 1 - Sen ² θ ( I.P. )

32 4

A = 3 ( 2 Sen θ - 1 ) ( 1 - 2 Sen θ + 2 Sen θ ) - 8 Sen θ + 4 ( 1 - Sen θ ) + 6 Sen θ

22 4 6 3 4

A = 3 ( 2 Sen θ - 4 Sen θ + 4 Sen θ - 1 + 2 Sen θ - 2 Sen θ ) - 8 Sen θ + 4 ( 1 - Sen θ ) + 6 Sen θ

2

32

A = 3 ( 4 Sen θ - 6 Sen θ + 4 Sen θ - 1 ) - 8 Sen θ + 4 ( 1 - 3 Sen θ + 3 Sen θ - Sen θ) + 6 Sen θ

2 4 6 2 4 6

4

2 46 2 4 6 4

A = 12 Sen θ - 18 Sen θ + 12 Sen θ - 3 - 8 Sen θ + 4 - 12 Sen θ + 12 Sen θ - 4 Sen θ + 6 Sen θ

2 4 6 6 2 4 6 4

6

A = - 3 + 4

A = 1

4

Resolución:

CAPITULO 7


= 1 + Tg ² x + Tg ² x

= 1 + 2 Tg ² x

a + b Tg x = 1 + 2 Tg ² x

c

comparando términos :

a + b - c = 1 + 2 - 2

a + b - c = 1

EJERCICIO 6 Si Sec θ - Tg θ = 0,25 , calcular

E = 17 Cos θ - 6

Resolución:


( Sec x - 1 )( 1 - Sen x)

( 1 - Sen x - Cos x ) ²

=

E

Resolución:

( 1 - Sen α - Cos α )² = 2 ( 1 - Sen α )( 1 - Cos α )

Recordar :

Reemplazando:

( Sec x - 1 )( 1 - Sen x)

2( 1 - Sen x )( 1 - Cos x )

=

E

Cos x

1

=

1 ( 1 - Sen x)

2( 1 - Sen x )( 1 - Cos x )

=

E

Cos x

1

-

( )

( 1 Cos x)( 1 - Sen x)

2( 1 - Sen x )( 1 - Cos x ) Cos x

=

E

-

E = 2 Cos x

1 + Sen x

1

+

Cosec x - 1

1


=

a + b Tg x

c

Calcular : " a + b - c "

Resolución:

1 + Sen x

1

+

Cosec x - 1

1

=

Sen x

1

=

1 + Sen x

1

+

- 1

1

=

Sen x

1

1 + Sen x

1

+

Sen x

=

1 - Sen x

( 1 + Sen x ) ( 1 - Sen x )

1 - Sen x + Sen x + Sen ² x

=

1 - Sen ² x

1 + Sen ² x

=

= Cos ² x

Cos ² x

1 + Sen ² x

= =

Cos ² x

1

Cos ² x

Sen ² x

+

= Sec ² x + Tg ² x

=

1 + Tg ² x

θ

a

b

√

a

²

+

b

²

Sec θ - Tg θ = 0,25

Sec θ - Tg θ

__ 1

4

=

Reemplazando los valores del triángulo :

a

√ a ² + b ²

-

__ b

a

=

__ 1

4

√ a ² + b ² - b

=

__ a

4

√ a ² + b ² + b .....elev. al cuadrado

=

__ a

4

a ² + b ²

=

__ a²

16

__ ab

2

+ + b²

a ²

-

__ a²

16

=

__ ab

2

___ 15a²

16

=

__ ab

2

__ a

b

=

__ 8

15

θ

8

15

√

8

²

+

2

5

²

=

1

7

Reemplazando los valores en E:

E = 17 Cos θ - 6

E = 17 - 6

__ 8

17

( )

E = 2


Sen x + Tg x + Sec x = a ........( 1 )

Cos x + Cotg x + Cosec x = b .....( 2 )

Calcular " Tg x "

CAPITULO 7


Resolución:

Sen x + Tg x + Sec x = a

Trabajando con la Ecuación ( 1 )

Sen x + + = a

Cos x

Sen x

Cos x

1

Sen x .Cos x + Sen x + 1 = a Cos x .......( 3 )


Cos x + Cotg x + Cosec x = b

Cos x + + = b

Sen x

Cos x

Sen x

1

Sumando ( 3 ) y ( 4 ):

2 Cos ² α + 2 Sen ² α - 2 = ( a + b )Sen α.Cos α

2 ( Cos ² α + Sen ² α ) - 2 = ( a + b )Sen α.Cos α

= 1 ..... I. Pitagórica.

2 - 2 = ( a + b )Sen α.Cos α

Sen α.Cos α

0

=a + b

a + b = 0

Sen x .Cos x + Cos x + 1 = b Sen x .......( 4 )

Restando ( 3 ) - ( 4 ):

Sen x + 1 - Cos x - 1 = a Cos x - b Sen x

Sen x ( 1 + b ) = Cos x ( a + 1 )

Cos x

Sen x

=

b + 1

a + 1

Tg x

=

b + 1

a + 1

EJERCICIO 8 Eliminar " α " de :

2 - Sec ² α = a Tg α .....( 1 )

2 - Cosec ² α = b Cotg α .....( 2 )


Resolución:

2 - Sec ² α = a Tg α

2 - a

=

Cos ² α

1

Cos α

Sen α

2 Cos ² α - 1 = a Sen α.Cos α .....( 3 )


2 - Cosec ² α = b Cotg α

2 - b

=

Sen ² α

1

Sen α

Cos α

2 Sen ² α - 1 = b Sen α.Cos α .....( 4 )

EJERCICIO 9 Si Cotg x + Cos x = 1 ,hallar el

valor de : E = Cotg x + Cosec x

2

Resolución:

De la condición : Cotg x + Cos x = 1

Sen x

Cos x

+

Cos x

=

1

Sen x

1

( )

Cos x

+

1

=

1

= Cosec x

Cos x ( Cosec x + 1 ) = 1

( Cosec x + 1 ) =

Cos x

1

= Sec x

Cosec x + 1 = Sec x

Cosec x - Sec x = -1 ....( I )

Sabemos que : E = Cotg²x + Cosec x

= Cosec² x -1

E = Cosec²x - 1 + Cosec x

E = Cosecx ( Cosec x + 1 ) - 1

= Sec x

E = Cosecx .Sec x - 1 ...Elev. al cuadrado

E² = Cosec²x .Sec² x - 2Cosecx.Sec x + 1

= Cosec² x + Sec ²x

E² = Cosec²x + Sec ²x - 2Cosecx.Sec x + 1

E² = ( Cosecx - Secx ) ² +1

= -1

E² = 1 +1 E = √2

CAPITULO 7


EJERCICIO 10 A partir de la figura ,calcular

K = Cotg θ - Tg θ

3

A B F

E

C

D

θ

Resolución:

A B F

E

C

D

θ

a

a

ax

x

√ x² - a²

θ

El DCE ≈ FAD , sus tangentes son iguales

a

√ x² - a²

= , elevando al cuadrado

x + a

a

a²

x² - a²

( x + a )²

a²

=

a²

( x - a )( x + a )

( x + a )²

a²

=

a

( x - a )

( x + a )³

a³

=

a

( x - a )

x + a

a

=

( )

3

= Tg θ , en el ∆ rec. FAD

a

( x - a )

=

Tg ³ θ

Reemplazando los valores en K :

K = Cotg θ - Tg θ

3

a

x + a

a

x - a

- K

=

a

x + a - x + a

K

=

K = 2

EJERCICIO 11 Si a Sen x + b Cos x = a , ha-

llar el valor de E = a Cos x - b Sen x

a Sen x + b Cos x = a

Resolución:

b Cos x = a - a Sen x

b Cos x = a ( 1 - Sen x ) ....mult. por ( 1 + Sen x )

b Cos x ( 1 + Sen x ) = a ( 1 - Sen x )( 1 + Sen x )

b Cos x ( 1 + Sen x ) = a ( 1 - Sen ² x )

b Cos x ( 1 + Sen x ) = a Cos ² x

b ( 1 + Sen x ) = a Cos x

b + b Sen x = a Cos x

b = a Cos x - b Sen x

E

E = b

EJERCICIO 12 Si 2Sen θ - 3Sen θ + 4 Sen θ = a

6 4 2

Hallar el valor de K = 4Cos θ - 6Cos θ + 8Cos θ

6 4 2

Resolución:

2Sen θ - 3Sen θ + 4 Sen θ = a

6 4 2

Sen θ ( 2Sen θ - 3Sen θ + 4 ) = a

2 4 2

Sen θ [ 2( 1 - Cos θ ) - 3( 1 - Cos θ ) + 4 ] = a

2 2 2 2

Sen θ [ 2( 1 - 2Cos θ + Cos θ)- 3 + 3Cos θ + 4 ] = a

2 4 22

Sen θ [ 2 - 4Cos θ + 2Cos θ - 3 + 3Cos θ + 4 ] = a

2 2 4 2

Sen θ ( 3 - Cos θ + 2Cos θ ) = a

2 2 4

( 1 - Cos θ ) ( 3 - Cos θ + 2Cos θ ) = a

2 2 4

(3 - Cos θ + 2Cos θ - 3Cos θ + Cos θ - 2Cos θ) = a

2 4 2 4 6

- 2 Cos θ + 3 Cos θ - 4 Cos θ + 3 = a ....mult.por (-1)

6 4 2

2 Cos θ - 3 Cos θ + 4 Cos θ - 3 = - a

2 Cos θ - 3 Cos θ + 4 Cos θ = 3 - a .....mult. por (2)

4 Cos θ - 6 Cos θ + 8 Cos θ = 6 - 2a

K

K = 6 - 2a

6

6

6

4 2

4 2

4 2

EJERCICIO 13 Hallar " n " para que la expresión

( Sen x + Sec x ) ² + 1 + Cos ² x = 2 + ( 1 + Tg x )

n

sea una identidad.

Resolución:

( Sen x + Sec x ) ² + 1 + Cos ² x ≡ 2 + ( 1 + Tg x )

Sen x + 2Sen x.Sec x + Sec x + 1 + Cos x ≡ 2 + (1 + Tg x)

2 2 2

n

n

2 Tg x + Sec x ≡ (1 + Tg x)

2

2 Tg x + 1 + Tg x ≡ (1 + Tg x)

2

( 1 + Tg x ) ≡ (1 + Tg x)

2 n

n

n

n = 2

CAPITULO 8

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

NIVEL I

EJERCICIO 1


E = Sen ( 180° - x ) + Sen ( 180° + x )

Resolución:

Funcion ( n ± x )

_ π

2 }

signo Funcion ( x ) ; si x es par

=

signo Cofuncion ( x ) ; si x es impar

" signo " de la función original en el cuadrante que se en-

cuentra dicho ángulo.

E = Sen ( 2 - x ) + Sen ( 2 + x )

_ π

2

_ π

2

par →

Sen x

signo ( 180° - x ) Є Q ; el seno es ( + )

2

+

par →

Sen x

-

signo ( 180° + x ) Є Q ;

3

el seno es ( - )

E = Sen x - Sen x

E = 0

EJERCICIO 2

Calcular K =

Cotg ( 270° - x )

Tg ( 360° + x )

Resolución:

Cotg ( 270° - x )

Tg ( 360° + x )

K = =

Cotg ( 3 - x )

Tg ( 4 + x )

_ π

2

_ π

2

K =

Cotg ( 3 - x )

Tg ( 4 + x )

_ π

2

_ π

2

→

par,(360° + x ) Є Q tan ( + )

1

impar,(270° - x ) Є Q Cotg ( + )

3

→

=

Tg x

Tg x

=

1


W = Cotg ( 810° - α ) + Tg ( 720 ° + α )

Resolución:

W = Cotg ( 9 - α ) + Tg ( 8 + α )

_ π

2

_ π

2

Q ,Cotg +

Q ,Tg +

1

1

W = Tg α + Tg α

W = 2 Tg α


P = Sec ( 45π + x ) .Cotg ( 24π - x )

Resolución:

La expesión " P " se puede escribir de la siguiente

manera :

P = Sec ( 90 + x ) .Cotg ( 48 - x )

_ π

2

_ π

2

▪ Una vuelta es igual 4 , es decir que el núme-

ro de vueltas es un múltiplo de 4.

90 es un múltiplo de 4 + 2,es decir + 2 ,con

lo cual el ángulo se encuentra en 180° + un án-

gulo " x " se encontrará en el tercer cuadrante.

_ π

2

_ π

2

▪ 48 es un múltiplo de 4 , con lo cual el ángulo se

encontrará en 0° , menos un ángulo " x " se en-

contrará en el cuarto cuadrante.

P = Sec ( 90 + x ) .Cotg ( 48 - x )

_ π

2

_ π

2

Q ,Sec -

3

Q ,Cotg -

1

P = Sec x . Cotg x- -

P =

Cos x Sen x

Cos x 1

P =

Sen x

1

=

Cosec x

°

°

°


M = Tg

(

25π

2

+

x

)

Cosec

(

35π

2

-x

)

Resolución:

M = Tg

(

π

2

+

x

)

Cosec

(

-x

)

35

π

2

25

Q ,Tg -

2

Q ,Csec -

3

M =

Sen x Cos x

1Cos x

M = Cotg x . Sec x

- -

M =

Sen x

1

=

Cosec x


M =

Sec ( 90° - x )

Sen ( 2π + x )

+

Cosec ( 90° + x )

Cos ( 2π - x )

Resolución:

CAPITULO 8


La expesión " M " se puede escribir de la siguiente

manera :

M =

Sec

Sen

+

(

π

2

-x

)

1

(

π

2

+

x

)

4Cos

(

π

2

-x

)

4

Cosec

(

π

2

+x

)

1

Q ,Sec +

1

Q ,Cosec +

2

Q ,Sen +

1

Q ,Cos +

4

M =

Cosec x

Sen x

+

Cos x

Sec x

M = Sen ² x + Cos ² x

M = 1


M =

Tg 120° + Cotg 240°

Sen 150° + Cos 300°

Resolución:

M =

Tg

Sen

(

π

2

+30°

)

1

(

π

2

+

60°

)

1 Cos

(

π

2

+30°

)

3

Cotg

(

π

2

+60°

)

2

Q ,Tg -

2

Q ,Cotg +

3

Q ,Sen +

2

Q ,Cos +

4

+

+

M =

- Cotg 30° + Cotg 60°

Cos 60° + Sen 30°

=

1

2

+

1

2

-√3

+

1

√3

=

√3

-

2


N = Sen 1860°.Sec 2400°

Resolución:

Sen

(

π

2

+

60°

)

20

Q ,Sen +

1

.Sec

(

π

2

+

60°

)

26

Q ,Sec -

3

M =

Sen 60°. - Sec 60° M =

M =

√3

2

. - 2

M = √3-


B =

Cos(-x)

Sen(-x)

+

Tg(x - 180°)

Resolución:

Cotg(-x) = - Cotg x

Sec(-x) = Sec x

Cosec (-x) = - Cosec x

Sen(-x) = - Sen x

Cos(-x) = Cos x

Tg (-x) = - Tg x

Recordar :

B =

Cos x

- Sen x

+

Tg[ - (180° - x) ]

B =

Cos x

- Sen x

-

Tg (180° - x)

B =

Cos x

- Sen x

-

Tg

(

π

2

-x

)

2

Q ,Tg -

2

B = - Tg x + Tg x = 0

EJERCICIO 10 Si Cos 10° = a , hallar

E = Sen 100°. Cos 190°

Resolución:

Sen

(

π

2

+

10°

)

1

Q ,Sen +

2

M =

Cos

(

π

2

+

10°

)

2

Q ,Cos -

3

M = Cos 10° . - Cos 10°

M = ( a ) . ( - a ) = - a ²

NIVEL II


R = Sen 140° + Cos 230° + Tg 300°

Resolución:

Sen

( π

2

+50°

)

1

Q ,Sen +

2

Cos (

π

2

+50°

)2

Q ,Cos -

3

M =

+

Tg (

π

2

+30°

)3

Q ,Tg -

4

+

Cos 50° - Cos 50° - Cotg 30° M =

M = √3-


M =

Sen 1420° + Cos 1510° + Sec 1140°

Sen 750° + Cos 1500° + Tg 945°

Resolución:

CAPITULO 8



Tg

(

π

2

-x

)

. Sec ( π - x )

Sen

(

π

2

+x

)

3

Cotg ( π - x )

E =

Resolución:

Tg

(

π

2

-x

)

. Sec

Sen

(

π

2

+x

)

3

Cotg

E =

1

(

π

2

-x

)

2

(

π

2

-x

)

2

Q ,Tg +

2

Q ,Sec -

2

Q ,Sen -

4

Q ,Cotg -

2

Cotg x . - Sec x . - Cos x

- Cotg x

E =

E = - 1

EJERCICIO 4 Reducir la expresión:

G = ( a + b ) Tg 2565° + ( a - b ) Cotg 2655°

Resolución:

G = (a + b)Tg + (a - b) Cotg

(

π

2

+45

)

28

Q ,Tg +

1

(

π

2

+45

)

29

Q ,Cotg -

2

G = (a + b)Tg 45° - (a - b) Tg 45°

G = (a + b) ( 1 ) - (a - b) ( 1 )

G = a + b - a + b

G = 2b

M =

Cosec ( x - 180° )

Cos ( x - 90° )


Resolución:

M =

Cosec [ - ( 180° - x ) ]

Cos [ - ( 90° - x ) ]

M =

- Cosec ( 180° - x )

Cos ( 90° - x )

M =

- Cosec

Cos (

π

2

-x

)

1

(

π

2

-x

)

2

M =

- Cosec

Cos (

π

2

-x

)

1

(

π

2

-x

)

2

Q ,Cos +

1

Q ,Cosec +

2

M =

- Cosec x

Sen x

M = - Sen ² x

EJERCICIO 6 Calcular " θ " en :

Cos

2π

7

+

Cos

3π

7

+

Cos

4π

7

=

Cos θ. Cos

5π

7

Resolución:

Cos

2π

7

+

Cos

3π

7

+

Cos

4π

7

=

Cos θ. Cos

5π

7

Cos

+

Cos

+

Cos

=

Cos θ. Cos

5π

7

π

7

2

π

7

3

π

2

2

π

7

3-

( )

Q ,Cos -

2

Cos

-

Cos

+

Cos

=

Cos θ. Cos

5π

7

π

7

2

π

7

3

π

7

3

Cos

=

Cos θ. Cos

5π

7

π

7

2

Cos

=

Cos θ. Cos

π

7

2

π

2

2

π

7

2-

( )

Q ,Cos -

2

Cos

=

Cos θ. - Cos

π

7

2

π

7

2

Cos θ = - 1 → θ = 180° = π


B =

Sen(180° - x)

Sen(-x)

+

Cos(180° - x)

Cos(-x)

+

Tg(180° - x)

Tg(-x)

Resolución:

B =

Sen(180° - x)

- Sen x

+

Cos(180° - x)

Cos x

-

Tg(180° - x)

Tg x

B =

Sen x

- Sen x

+

- Cos x

Cos x

-

- Tg x

Tg x

B = - 1 - 1 + 1

B = - 1

CAPITULO 8



Sen

(

77π

3

)

Cotg

(

55π

3

)

J =

Resolución:

J = Sen 4620° . Cotg 3300°

J = Sen [ 51(90°) + 30°] . Cotg [ 36(90°) + 60°]

Q ,Sen -

4

Q ,Cotg +

1

J = - Cos 30° . Cotg 60°

√3

-

2

J =

√3

.

1

-

2

J =

1

EJERCICIO 9 Si Tg ( 135° - α ) = a , calcular

Cotg ( 45° - α )

Resolución:

Tg [ 90° + ( 45°- α ) ] = a

Q ,Tg -

2

- Cotg ( 45° - α ) = a

Cotg ( 45° - α ) = - a


Sen

(

9π

2

)

Cos(7π - x ). Tg (8π + x)

Sec(13π + x).Cotg(17π + x).Sen

+

x

(

11π

2

)

+

x

E =

Resolución:

Sen

9π

2

.Cos .Tg

Sec .Cotg .Sen

+

x

E =

( )

π

2

+

x

( )

14

π

2

+

x

( )

16

π

2

+

x

( )

26

π

2

+

x

( )

34

π

2

+

x

( )

Q ,Sen +

2

Q ,Cos -

3

Q ,Tg +

1

Q ,Sec -

3

Q ,Cotg +

3

Q ,Sen -

4

Cos x . - Cos x . Tg x

- Sec x . Cotgx . - Cos x

E =

Cos x . - Cos x .

- . . - Cos x

E =

11

Cos x

Sen x

Sen x

Cos x

Cos x

1

= - Sen ² x


EJERCICIO 1


Tg

(

π

2

)

+ Cotg ( 11π - θ )

Cotg ( 10π - θ ) - Tg

+

θ

(

13π

2

)

- θ

E =

11

Resolución:

Tg

(

π

2

)

+ Cotg

Cotg - Tg

+

θ

(

13π

2

)

- θ

E =

11

(

π

2

)

-

θ22

(

20π

2

)

- θ

Q ,Tg -

4

Q ,Cotg -

2

Q ,Cotg -

4

Q ,Tg +

1

- Cotg θ - Cotg θ

- Cotg θ - Cotg θ

E = = 1

EJERCICIO 2


M = Cos 60° . Cos 600° . Cos 6000°

(

6π

2

)

+60°

M = Cos 60° . Cos . Cos

(

66π

2

)

+60°

Resolución:

Q ,Cos -

3

Q ,Cos -

3

M = Cos 60° . - Cos 60°. - Cos 60°

M =

1

2

.

1

2

.

1

2

=

1

8

EJERCICIO 3


Sen 450° - Sen ( 90° + x ). Cos ( 360° - x )

Sen (90° - x).Sec (360° + x) - Sen(- x ).Cos ( 270°- x )

M=

Resolución:

Sen 450° - Sen ( 90° + x ). Cos ( 360° - x )

Sen (90° - x).Sec (360° + x) - Sen(- x ).Cos ( 270°- x )

M=

Q ,Sen +

1

Q ,Sen +

2

Q ,Cos +

4

Q ,Sen +

1

Q ,Sec +

1

Q ,Cos -

3

Cos 0° - Cos x . Cos x

Cos x.Sec x + Sen x . - Sen x

M=

1 - Cos ² x

1- Sen ² x

M= =

Sen ² x

Cos ² x

M= Tg ² x

CAPITULO 8


EJERCICIO 4

Calcular :

S = Cos 1° + Cos 2° + Cos 3°.........+ Cos 180°

Resolución:

S = Cos 1°+Cos 2°+Cos3°+.........+Cos179°+ Cos180°

S = Cos1°+Cos2°+Cos3°+.....+Cos(180°-1°)+ Cos180°

Q ,Cos -

2

←

S = Cos1°+Cos2°+Cos3°+.....- Cos 1°+ Cos180°

S = Cos2°+Cos3°+.....+ Cos 178°+ Cos180°

Y así sucesivamente quedando

S = Cos 90° + Cos180°

S = 0 - 1 = -1

EJERCICIO 5

Hallar la relación que existe

entre " a " y " b " . Si se cumple :

Sen

(

2a + 3b

6

)

Cos

(

3π - a +2b

2

+

)= 0

Resolución:

Sen

(

2a + 3b

6

)

Cos

3π

2

+

)= 0

[

a - 2b

2

-

( ]

Q ,Cos -

3

Sen

(

2a + 3b

6

)

Sen-

)= 0

a - 2b

2

(

Sen

(

2a + 3b

6

)

Sen=

)

a - 2b

2

(

2a + 3b

6

=

a - 2b

2

4a + 6b = 6a -12b

18b = 2a

a = 9b

EJERCICIO 6

Simplificar :

Sen 2210° + Tg ( -675° ) - Cos 1840°

Sen (-700°) + Tg 1500° - Cos 1150°

M=

Resolución:

Sen [24(90°) +50°] -Tg [ 7(90°) + 45° ] - Cos [ 20(90°) +40°]

- Sen[7(90°)+70°] + Tg [16(90°) + 60°] - Cos [12(90°)+70°]

M=

Q ,Sen -

4

Q ,Tg +

1

Q ,Cos +

1

Q ,Sen +

1

Q ,Tg -

4

Q ,Cos +

1

Sen 50° + Cotg 45° - Cos 40°

Cos 70° + Tg 60° - Cos 70°

M=

ojo :

Sen 50° = Cos 40°

Cotg 45°

Tg 60°

M=

1

√3

M= =

√3

3

EJERCICIO 7

Sabiendo que :

a Sen

(

37π

2

)

+

α . Cos

(

23π

2

)

-

α = 1

Calcular : E = Tg α + Cotg α

Resolución:

a Sen

(

37π

2

)

+

α . Cos

(

23π

2

)

-

α = 1

Q ,Sen +

2

Q ,Cos -

3

a Cos α .- Sen α = 1

Sen α . Cos α =

-1

a

- a =

1

Sen α . Cos α

= Tg α + Cotg α ....Identidad Auxiliar

- a

E = - a

EJERCICIO 8

Si n Є Z , calcular :

Sen (12n + 1)

[

π

3

]

.Cos (16n + 1)

[

π

4

]

Sec (24n + 1)

[

π

4

]

M=

Resolución:

Sen 8n +

(

π

2

)

.Cos

M=

π

3

8n +

(

π

2

)

π

4

Sec 12n +

(

π

2

)

π

4

Sen 8n +

(

π

2

)

.Cos

M=

π

3

8n +

(

π

2

)

π

4

Sec 12n +

(

π

2

)

π

4

Q ,Sen +

1

Q ,Cos +

1

Q ,Sec +

1

CAPITULO 8


Sen .Cos

M=

π

3

π

4

Sec

π

4

Sen 60° . Cos 45°

=

Sec 45°

M=

√3

2

√2

2

√2

=

√3

4

EJERCICIO 9

Si los ángulos internos de un

triángulo ABC están en progresión aritmética

( A < B < C ) ; reducir :

Sen ( A + 2C + 3B )

=

Sen ( B - C )

Cos ( B + 2A + 3C)

+

Cos ( B - C )

P

Resolución:

Sean los ángulos :

A = x - r

B = x

C = x + r

{

A + B + C = 180°

( x - r ) + x + ( x + r ) = 180°

x = 60°

A = 60° - r

B = 60°

C = 60°+ r

▪ A + 2C + 3B = 60° - r + 120° + 2r + 180°

A + 2C + 3B = 360° + r = 4(90°) + r

▪ B + 2A + 3C = 60° + 120° - 2r + 180° + 3r

B + 2A + 3C = 360° + r = 4(90°) + r

▪ B - C = 60° - 60° - r = - r

Reemplazando valores en " P ".

Sen [ 4 ( 90°) + r ]

=

Sen ( - r )

Cos [ 4 ( 90°) + r ]

+

Cos ( - r )

P

Sen [ 4 ( 90°) + r ]

=

Sen ( - r )

Cos [ 4 ( 90°) + r ]

+

Cos ( - r )

P

Q ,Sen +

1

Q ,Cos +

1

Sen r

=

- Sen r

Cos r

+

Cos r

P

= - 1 + 1 = 0P

EJERCICIO 10

Calcular :

∑ Cotg ( 20K ) °

K=1

8

Resolución:

= Cotg20°+Cotg40°+Cotg60°+.......+Cotg 160°

= Cotg20°+Cotg40°+Cotg60°+.......+Cotg(180°-20°)

Q ,Cotg -

2

= Cotg20°+Cotg40°+Cotg60°+.......- Cotg 20°

= Cotg40°+Cotg60°+.......+ Cotg 120° + Cotg 140°

= Cotg60° + Cotg 80° + Cotg 100°+ Cotg 120°

= 0

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE

ANGULOS COMPUESTOS

Sen ( α + β ) = Sen α.Cos β + Cos α.Sen β

Sen ( α - β ) = Sen α.Cos β - Cos α.Sen β

Cos ( α + β ) = Cos α.Cos β - Sen α.Sen β

Cos ( α - β ) = Cos α.Cos β + Sen α.Sen β

Tg α + Tg β

1 - Tg α.Tg β

Tg ( α + β ) =

Tg α - Tg β

1 + Tg α.Tg β

Tg ( α - β ) =

Cotg α.Cotg β - 1

Cotg β + Cotg α

Cotg ( α + β ) =

Cotg α.Cotg β + 1

Cotg β - Cotg α

Cotg ( α - β ) =

CAPITULO 9


DE ÁNGULOS COMPUESTOS

NIVEL I

EJERCICIO 1

Sabiendo que :

Sen α . Cos β = a

Cos α . Sen β = b

Resolución:

Sen α . Cos β = a

Cos α . Sen β = b

↓

Sumando m.a.m

Sen α .Cos β + Cos α .Sen β = a + b

Hallar " Sen ( α + β ) "

Sen ( α + β ) = a + b

EJERCICIO 2

Siendo " α " y " β " ángulos

águdos ,además Sen α y Cos β , ha-

12

13

=

4

5

=

llar : " Sen ( α - β ) "

Resolución:

α

12

5

13

β

3

4

5

Sen ( α - β ) = Sen α.Cos β - Cos α.Sen β

Sen ( α - β ) =

12

13

4

5

-

5

13

3

5

Sen ( α - β ) =

48

65

15

65

-

Sen ( α - β ) =

33

65

EJERCICIO 3

Tg α = y Tg β = tal que

1

4

1

2

" α " y " β " son ángulos águdos ,hallar " Tg(α +β) "

Resolución:

Tg α + Tg β

1 - Tg α.Tg β

Tg ( α + β ) =

+

1 -

Tg ( α + β ) = = =

1

4

1

2

1

4

1

2

.

3

4

7

8

6

7

Tg ( α + β ) =

6

7

EJERCICIO 4

Calcular el valor de Cos 7°

Resolución:

Cos (60°- 53°) = Cos 60°.Cos 53°+ Sen 60°.Sen 53°

Cos (60°- 53°) =

1

2

.

3

5

+

√3

2

.

4

5

Cos (60°- 53°) =

3

10

+

4√3

10

Cos (60°- 53°) =

4√3 + 3

10

EJERCICIO 5 Si Tg (x + y) = 4 ; y Tg (y - z) = 3,

Calcular : Cotg ( x + z )

Resolución:

Tg( x + y ) - Tg( y - z )

1 + Tg( x + y ).Tg( y - z )

Tg [ ( x + y ) - ( y - z ) ]

=

Tg( x + y ) - Tg( y - z )

1 + Tg( x + y ).Tg( y - z )

Tg ( x + z )

=


4 - 3

1 + (4)(3)

Tg ( x + z )

=

1

13

Tg ( x + z )

=

Cotg ( x + z )

= 13

EJERCICIO 6

Si Tg (45° + x) , calcular Tg x

6

5

=

Resolución:

Tg 45° + Tg x

1 - Tg 45°.Tg x

Tg ( 45° + x ) =

1 + Tg x

1 - (1).Tg x

=

6

5

6 - 6 Tg x = 5 + 5 Tg x

11 Tg x = 1

=

Tg x

1

11

EJERCICIO 7 Si Sen (x + y) = 3 Sen (x - y) ,hallar

el valor de : M = Tg x . Cotg y

Resolución:

CAPITULO 9



Sen (x + y) = 3 Sen (x - y)

Senx.Cosy + Seny.Cosx = 3 (Sen x.Cos y - Sen y.Cos x )

4 Seny.Cosx = 2 Sen x.Cos y

Sen x.Cos y

Sen y.Cos x

4

2

=

2 = Tg x.Cotg y

M = 2

EJERCICIO 8


P = Tg 21° + Tg 24° + Tg 21°.Tg 24°

Resolución:

Sabemos que :

Tg 45° = Tg ( 21° + 24° )

Tg 21° + Tg 24°

1 - Tg 21°.Tg 24°

=

1

Tg 21° + Tg 24°

1 - Tg 21°.Tg 24°

=

Tg ( 45° )

Tg 21° + Tg 24°

1 - Tg 21°.Tg 24°

=

1 - Tg 21°.Tg 24° = Tg 21° + Tg 24° .......( I )

Reemplazando ( I ) en " P "

P = ( 1 - Tg 21°.Tg 24° ) + Tg 21°.Tg 24°

P = 1

EJERCICIO 9

De la figura ,hallar: " Tg α "

A

B

N

C

37°

α

2

3

Resolución:

Completando el triángulo

A

B

N

C

37°

α

2

3

4

Tg 37° + Tg α

1 - Tg 37°.Tg α

Tg ( 37° + α ) =


+

1 -

=

3

4

3

4

5

4

Tg α

Tg α

=

3 + 4 Tg α

4 5

4

4 - 3 Tg α

4

5 ( 4 - 3 Tg α ) = 4 ( 3 + 4 Tg α )

20 - 15 Tg α = 12 + 16 Tg α

31 Tg α = 8

=

8

31

Tg α

EJERCICIO 10

Simplificar :

K

Tg 40° - Tg 10°

1 + Tg 40°.Tg 10°

=

Resolución:

Tg ( 40° - 10° )

Tg 40° - Tg 10°

1 + Tg 40°.Tg 10°

=

= K

Tg ( 40° - 10° ) = K

Tg 30° = K

K

√3

3

=

NIVEL II

EJERCICIO 1 Siendo x + y = 60° ,simplificar :

R

Sen x.Cos y + Cos x.Sen y

Cos x.Cos y - Sen x.Sen y

=

Resolución:

R

Sen x.Cos y + Cos x.Sen y

Cos x.Cos y - Sen x.Sen y

=

= Cos ( x + y )

= Sen ( x + y )

R

Sen ( x + y )

Cos ( x + y )

= = Tg ( x + y )

CAPITULO 9



R=

Tg ( x + y )

R=

Tg 60°

√3 R

=

EJERCICIO 2

Si Tg α ; α Є Q , hallar :

1

3

=

-

2

Sen ( α + 45° )

Resolución:

O

α

x

y

-3

1

A

Por T. P tenemos :

OA ² = ( 1 )² + ( - 3 )²

OA = √10

√

1

0

=

1

√10

Sen α

=

-3

√10

Cos α

Sen ( α + 45° ) = Sen α.Cos 45° + Sen 45°. Cos α

Reemplazando valores:

Sen ( α + 45° ) =

1

√10

.

1

√2

+

1

√2

-3

√10

.

Sen ( α + 45° ) =

-2

√20

-1

√5

= =

-√5

5

EJERCICIO 3

Simplificar :

E = ( 1 + Tg 17° )( 1 + Tg 28° )

Resolución:

E = ( 1 + Tg 17° )( 1 + Tg 28° )

E = ( 1 + Tg 28° + Tg 17° + Tg 17°.Tg 28° ....( I )

Sabemos que :

Tg 45° = Tg ( 17° + 28° )

Tg 17° + Tg 28°

1 - Tg 17°.Tg 28°

=

Tg 45°

Tg 17° + Tg 28°

1 - Tg 17°.Tg 28°

=

= 1

Tg 17° + Tg 28° = 1 - Tg 17°.Tg 28° .....( II )


E = 1 + Tg 28° + Tg 17° + Tg 17°.Tg 28°

E = 1 + 1 - Tg 17°.Tg 28° + Tg 17°.Tg 28°

E = 2

Si Tg ( α + β ) = a + 1

Tg ( β + θ ) = a - 1

EJERCICIO 4

hallar Tg ( α - θ )

Resolución:

Tg [( α + β ) - ( β + θ )]

Tg ( α + β ) - Tg ( β + θ )

1 + Tg (α + β) .Tg ( β + θ )

=

= ( α - θ )


Tg ( α - θ )

Tg ( α + β ) - Tg ( β + θ )

1 + Tg (α + β) .Tg ( β + θ )

=

Tg ( α - θ )

( a + 1 ) - ( a - 1 )

1 + ( a + 1 )( a - 1 )

=

Tg ( α - θ )

2

1 + a² - 1

=

Tg ( α - θ )

2

a²

=


P = ( Tg 52° - Tg 38° ) Cotg 14°

Resolución:

Escribiendo " P " de la siguiente forma :

Tg 52° - Tg 38°

Tg 14°

= .......( I )P

Sabemos que :

Tg 14° = Tg ( 52° - 38° )

Tg 52° - Tg 38°

1 + Tg 52°.Tg 38°

=

Tg 14° =

Tg 52° - Tg 38°

1 + Tg 52°.Tg 38°

= 1

Tg 14° =

Tg 52° - Tg 38°

1 + 1

2 Tg 14° = Tg 52° - Tg 38° ..... ( II )


2 Tg 14°

Tg 14°

= P

= 2 P

CAPITULO 9




K = √3.Cos 12° - Sen 12°

Resolución:

K = √3.Cos 12° - Sen 12°

Escribiendo " K " de la siguiente manera :

K = √3.Cos 12° - Sen 12°

2

2

2

2

K = 2 ( √3.Cos 12° - Sen 12° )

1

2

1

2

K = 2 ( Cos 12° - Sen 12° )

√3

2 2

1

= Sen 60° = Cos 60°

K = 2 ( Sen 60°.Cos 12° - Cos60°.Sen 12° )

Sen ( 60° - 12° )

K = 2 Sen 48°

K = 2 Sen ( 60° - 12° )

EJERCICIO 7 Efectuar :

Sen 157° - Cos 203°

Sen 135°.Cos ( - 22°)

M=

Resolución:

Escribiendo " M " de la siguiente manera :

Sen ( 180° - 23° ) - Cos ( 180° + 23°)

Sen ( 90° + 45° ).Cos 22°

M=

Q ,Sen +

2

Q ,Cos -

3

Q , Sen +

2

Sen 23° + Cos 23°

Cos 45°.Cos 22°

M=

Sen 45° = Cos 45°

Recuerda :

Multiplicando y dividiendo por " Cos 45° "

Sen 23°.Sen 45° + Cos 23°.Cos 45°

Cos 45°.Cos 45°.Cos 22°

M=

= Cos ( 45° - 23° )

Cos ( 45° - 23° )

Cos 45°.Cos 45°.Cos 22°

M=

Cos 22°

Cos 45°.Cos 45°.Cos 22°

M=

Cos 45°.Cos 45°

M=

1

= Sec ² 45°

M= ( √2 ) ²

M = 2

EJERCICIO 8 En la figura,calcular : " Tg θ "

4

4

1

BA

D

C

θ

P

Resolución:

4

4

1

BA

D

C

θ

P

α

β

N

N

M

M

3

2

H

Del gráfico θ = α + β ; ( θ : ángulo exterior )

β

3

4B

M

2

A

α

Tg α

2

4

=

1

2

=

4

H B

N

Tg β

4

3

=

CAPITULO 9



Tg α + Tg β

1 - Tg α.Tg β

Tg ( α + β ) =Tg θ =

Tg α + Tg β

1 - Tg α.Tg β

Tg θ =

+

1 -

Tg θ = = =

1

2

4

3

1

2

4

3

.

11

6

2

6

11

2

EJERCICIO 9 En el gráfico, hallar Tg α

A B

2

3

D

C

α

45°

Resolución:

A B

2

3

D

C

α

45°

β

5

BC = AB = 5 , triángulo

notable de 45° ,45°

Del gráfico : α + β = 45°

A B

2

D

β

5

α = 45° - β

Tg 45° - Tg β

1 + Tg 45°.Tg β

Tg ( 45° - β ) =Tg α =

Tg 45° - Tg β

1 + Tg 45°.Tg β

Tg α =

Tg β

2

5

=

-

1 +

Tg α = = =

1

2

5

1

2

5

.

3

5

7

5

3

7

Tg α =

3

7

EJERCICIO 10 Si α + β = 60° ; α - β = 45° ;

Simplificar : E = ( Sen α + Cos α )( Sen β + Cos β )

Resolución:

Desarrollando " E "

E = Senα.Senβ+Senα.Cosβ+Cosα.Senβ+Cosα.Cosβ

Asociando :

E = (Senα.Senβ+Cosα.Cosβ)+(Senα.Cosβ+Cosα.Senβ)

= Cos( α - β ) = Sen( α + β )

E = Cos ( α - β ) + Sen ( α + β )

= 45° = 60°

E = Cos 45° + Sen 60°

E =

+

√2

2

√3

2

E =

√2

2

√3+

Nota : π ≈ √3 + √2

E =

2

π


EJERCICIO 1

Simplificar :

W = ( Tg α + Tg β ) Cos α.Cos β - Sen ( α + β )

Resolución:

Sen α

Cos α

+

Sen β

Cos β

( )

Cos α.Cos β - Sen ( α + β )W=

Desarrollando " W "

W= Sen α.Cos β + Sen β.Cos α - Sen ( α + β )

= Sen ( α + β )

W = Sen ( α + β ) - Sen ( α + β )

W = 0

Sen α.Cos θ

Sen α

Sen α

CAPITULO 9



EJERCICIO 2

Reducir :

Sen ( x - y ) - Sen ( x + y )

2 Cos x .Sen y

E=

Resolución:

Desarrollando el seno de la suma y diferencia de

dos ángulos

Senx.Cosy-Seny.Cosx-Senx.Cosy-Seny.Cosx

2 Cos x .Sen y

E=

-2 Sen y.Cos x

2 Cos x .Sen y

E=

E= - 1

EJERCICIO 3

Si Tg α - Tg θ = 4 ,calcular el

valor de P

Sen ( α - θ )

Cos ( α + θ ) + Cos ( α - θ )

=

Resolución:

Sen ( α - θ )

Cosα.Cosθ-Senα.Senθ+Cosα.Cosθ+Senα.Senθ

=

E

Sen α.Cos θ - Sen θ.Cos α

2 Cos α.Cos θ

=

E

Sen α.Cos θ

2 Cos α.Cos θ

=E

-

Sen θ.Cos α

2 Cos α.Cos θ

Sen α

2 Cos α

=E

-

Sen θ

2 Cos θ

Sen α

Cos α

=

E-

Sen θ

Cos θ

1

2

( )

=

E

1

2

( Tg α - Tg θ )

= 4

=

E

1

2

( 4 )

E = 2

EJERCICIO 4

Sabiendo que :

Sen x + Sen y = a ........ 1

Cos x + Cos y = b ........ 2

Hallar Cos ( x - y )

Resolución:

Sen x + Sen y = a ........ 1 elev. al cuadrado

Sen ² x + 2 Sen x.Sen y + Sen ² y = a ² ....( I )

*

Cos x + Cos y = b ........ 2 elev. al cuadrado*

Cos ² x + 2 Cos x.Cos y + Cos ² y = b ² ....( II )

Sumando m.a.m. ( I ) y ( II )

Sen²x+Cos²x+2Senx.Seny+2Cosx.Cosy+Sen²y+Cos²y=a²+b²

= 1 = 1

2 + 2 Sen x.Sen y+2 Cos x.Cos y = a² + b²

2 Sen x.Sen y+2 Cos x.Cos y = a ² + b ² - 2

Sen x.Sen y+ Cos x.Cos y

a ² + b ² - 2

2

=

Cos ( x - y )

a ² + b ² - 2

2

=

= Cos( x - y )

EJERCICIO 5

Si A + B + C = 180°, además

Tg A

2

=

Tg B

3

=

Tg C

4

, calcular " Tg C ".

Resolución:

Tg A

2

=

Tg B

3

=

Tg C

4

=

k

Tg A = 2k ; Tg B = 3k ; Tg C = 4k

Sabemos que : A + B + C = 180°

A + B = 180° - C

Tg ( A + B ) = Tg ( 180° - C )

Tg A + Tg B

1 - Tg A .Tg B

=

- Tg C


2k + 3k

=

1 - 2k.3k

- 4k

5 = - 4 + 24 k²

=

k ²

9

24

=

3

8

= k

√3

2√2

=

√6

4

Tg C = 4k

Tg C =

√6

CAPITULO 9



EJERCICIO 6

Si A + B + C = 180° ,además

Sen A + Sen B.Cos C = 0 , calcular : E = 2 Tg B + Tg C

Resolución:

E = 2 Tg B + Tg C

2 Sen B

Cos B

=

E+

Sen C

Cos C

2 Sen B.Cos C + Sen C.Cos B

Cos B.Cos C

=E

A + B + C = 180°

B + C = 180° - A

Sen ( B + C ) = Sen ( 180° - A )

Sen A = Sen ( B + C )

Sen A = Sen B.Cos C + Sen C.Cos B ......( II )

.......( I )

Sen A = - Sen B.Cos C......( dato) .......( III)

Reemplazando ( III ) en ( II )

- Sen B.Cos C = Sen B.Cos C + Sen C.Cos B

- 2 Sen B.Cos C = Sen C.Cos B .......( IV)

Reemplazando ( IV ) en ( I )

2 Sen B.Cos C - 2 Sen B.Cos C

Cos B.Cos C

=

E

Cos B.Cos C

=

E

0

E = 0

EJERCICIO 7 En el gráfico, hallar " Tg θ "

M

A

BN

C

θ

37°

Resolución:

M

A

B NC

θ

37°

Completando el triángulo

notable 37° , 53° :

Sea : AB = 6 → BC = 8

6

4 4

αβ

MN = 3 ,por teorema de los

puntos medios

3

B N4

3

α

M

Tg α =

3

4

A

B N

6

4

β

Tg β =

6

4

Del gráfico θ = α + β ; ( θ : ángulo exterior )

Tg α + Tg β

1 - Tg α.Tg β

Tg ( α + β ) =Tg θ =

Tg α + Tg β

1 - Tg α.Tg β

Tg θ =

+

1 -

Tg θ = = =

3

4

6

4

3

4

6

4

.

9

4

-2

16

- 18

EJERCICIO 8

Simplificar :

M = Tg 1° + Tg 2° + Tg 1°.Tg 2°.Tg3°

Resolución:

Tg 3° = Tg ( 1° + 2° )

Tg 1° + Tg 2°

1 - Tg 1°.Tg 2°

Tg 3° =

Tg 3° - Tg 1°.Tg 2°.Tg 3° = Tg 1°+Tg 2°.....( I )

Reemplazando ( I ) en " M "

M = Tg 3° - Tg 1°.Tg 2°.Tg3° + Tg 1°.Tg 2°.Tg 3°

M = Tg 3°

CAPITULO 9



EJERCICIO 9

Hallar los límites entre los cuales

varía la expresión : E = √3 Sen φ +Cos φ

Resolución:

E = √3 Sen φ + Cos φ ....mult. y divi. por ( 2 )

E = √3 Sen φ + Cos φ

2

2

2

2

E = 2 ( √3 Sen φ + Cos φ )

1

2

1

2

E = 2 ( Sen φ + Cos φ )

√3

2 2

1

= Sen 60° = Cos 60°

E = 2 ( Sen 60°.Sen φ + Cos60°.Cos φ )

Cos ( 60° - φ )

E = 2 Cos ( 60° - φ )

Sabemos que : -1 ≤ Cos x ≤ 1

- 1 ≤ Cos ( 60° - φ ) ≤ 1 .....mult. por ( 2 )

-2 ≤ 2 Cos ( 60° - φ ) ≤ 2

-2 ≤ 2 Cos ( 60° - φ ) ≤ 2

= E

[ - 2 ; 2 ]

EJERCICIO 10

En la figura, hallar el máximo va-

lor de " θ "

A C

N

B

M

θ

Resolución:

Del gráfico : α + θ = β

θ = β - α

Tg θ = Tg ( β - α )

A C

N

B

M

θ

β

α

a

a

b

b

A

N

B

M

β

a

a

b

Tg β =

2a

b

C

N

B

M

α

a

b

b

Tg α =

a

2b

Tg β - Tg α

1 + Tg β.Tg α

Tg θ =


-

1 +

Tg θ = =

2a

b

a

2b

2a

b

a

2b

.

3a

2b

2b² + 2a²

2b²

Tg θ = = ......( I )

3ab

2b² + 2a²

3

2

ab

b² + a²

( )

Si : a Є R , b Є R → a - b Є R

( a - b ) ² ≥ 0 para todo a , b Є R

a ² - 2 ab + b ² ≥ 0

a ² + b ² ≥ 2ab

ab

b² + a²

≤

1

2

máx. valor =

1

2

Tg θ = =

3

2

.

1

2

Tg θ =

3

4

→ θ = 37 °

Reemplazando en ( I ) :

3

2

ab

b² + a²

( )

CAPITULO 9



EJERCICIO 11

La figura muestra un triángulo

ABC con CM ( mediana ) .Calcular :

R = √3 Cotg θ - Cosec 30°

CA

B

M

30°

θ

Resolución:

CA

B

M

30°

θ

α

k

√3 k

√3 k

60°

Completando el triángulo ABC ,de 30° y 60°

Del gráfico : α + θ = 30°

θ = 30° - α

Tg θ = Tg ( 30° - α )

Tg 30° - Tg α

1 + Tg 30°.Tg α

Tg θ =

-

1 +

Tg θ =

√3

3

√3

6

.

√3

3

√3

6

=

√3

6

6

7

=

√3

7

Cotg θ =

7

√3

Reemplazando en " R "

R = √3 Cotg θ - Cosec 30°

R = √3 - 2

7

√3

)(

R = 5

EJERCICIO 12


4 + 3 Tg 21°

3 - 4 Tg 21°

M =

Resolución:

Tg 21° = Tg ( 37° - 16° )

Tg 37° - Tg 16°

1 + Tg 37°.Tg 16°

=

Tg 21°

Tg 37° - Tg 16°

1 + Tg 37°.Tg 16°

=

16°

24

7

-

1 +

Tg 21° = = =

3

4

7

24

3

4

7

24

.

11

24

117

96

44

117

Reemplazando Tg 21° en " M "

4 + 3

3 - 4

M =

)

44

117

(

)

44

117

(

=

600

175

M =

24

7

EJERCICIO 13

Sabiendo que :

Cos θ = a - Cos φ .......( 1 )

Sen φ = b - Sen θ .......( 2 )

Hallar el valor de Cos ( θ - φ ) en términos de " a "

y " b ".

Resolución:

Expresando ( 1 ) y ( 2 ) de la siguiente forma :

Cos θ + Cos φ = a ......( I )

Sen φ + Sen θ = b .......( II )

Cos ² θ + 2 Cos θ.Cos φ + Cos ²φ = a ²

Sen ² φ + 2 Sen φ.Sen θ + Sen ² θ = b ²

↓+

2 + 2 Cos θ.Cos φ + 2 Sen θ.Sen φ = a ² + b ²

2 Cos θ.Cos φ + 2 Sen θ.Sen φ = a ² + b ² - 2

Cos θ.Cos φ + Sen θ.Sen φ

a ² + b ² - 2

2

=

Cos ( θ - φ )

Cos ( θ - φ )

a ² + b ² - 2

2

=

CAPITULO 9



EJERCICIO 14

Si se cumple : Tg ( a+b+c )

2

5

=

Tg 2b

1

5

=

,calcular Tg ( a - b + c )

Resolución:

Tg [ ( a + b + c ) - ( 2 b ) ]

Tg ( a + b + c ) - Tg ( 2 b )

1 + Tg( a + b + c ).Tg(2b)

=

= ( a - b + c )

Tg ( a - b + c )

Tg ( a + b + c ) - Tg ( 2 b )

1 + Tg( a + b + c ).Tg(2b)

=

Tg ( a - b + c )

=

-

1 +

2

5

1

5

2

5

1

5

.

1

5

27

25

5

27

= =

EJERCICIO 15

Si :

Sen 4° + Cos 3° = a ........( 1 )

Sen 3° - Cos 4° = b ........ ( 2 )

Hallar Sen 1° , en términos de " a " y " b "

Resolución:

Elevando al cuadrado ( 1 ) y ( 2 )

Sen ² 4° + 2 Sen 4°.Cos 3° + Cos ² 3° = a ²

Sen ² 3° - 2 Sen 3°.Cos 4° + Cos ² 4° = b ²

↓+

2 + 2 Sen 4°.Cos 3° - 2 Sen 3°.Cos 4° = a ² + b ²

2 ( Sen 4°.Cos 3° - Sen 3°.Cos 4° ) = a ² + b ² - 2

Sen 4°.Cos 3° - Sen 3°.Cos 4°

a ² + b ² - 2

2

=

Sen ( 4° - 3° )

Sen ( 4° - 3° )

a ² + b ² - 2

2

=

Sen 1°

a ² + b ² - 2

2

=

EJERCICIO 16

Si Sen x + Sen y

6

5

= ....(1)

Cos x - Cos y

2

5

= ....(2)

Calcular : Cos ( x + y )

Resolución:

Elevando al cuadrado ( 1 ) y ( 2 ) y luego sumando

ambos miembros tenemos :

Sen ² x + 2 Sen x.Sen y + Sen ² y

36

25

=

Cos ² x - 2 Cos x.Cos y + Cos ² y

4

25

=

↓

+

2 + 2 Sen x.Sen y - 2 Cos x.Cos y

40

25

=

2 ( Sen x.Sen y - Cos x.Cos y )

40

25

=

-

2

2 ( Sen x.Sen y - Cos x.Cos y )

10

25

=

-

- ( Cos x.Cos y - Sen x.Sen y )

10

50

=

-

= Cos ( x + y )

Cos ( x + y )

1

5

=

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO

DOBLE

Sen 2A = 2 Sen A.Cos A

Cos 2A =

Cos ² A - Sen ² A

1 - 2 Sen ² A

2 Cos ² A - 1

{

2 Tg A

1 - Tg ² A

Tg 2A =

Cotg ² A - 1

2 Cotg A

Cotg 2A =

1 + Tg ² A

1 - Tg ² A

2 Tg A

2 Tg A

1 + Tg ² A

Sen 2A =

1 - Tg ² A

1 + Tg ² A

Cos 2A =

2A

CAPITULO 10


DE ÁNGULOS MÚLTIPLES

NIVEL I

EJERCICIO 1

Si Tg α , hallar el valor de :

1

2

=

" Sen 2 α "

Resolución:

2

1

√5

α

Sen 2α = 2 Sen α.Cos α

Sen 2α

=

2

1

.

2

√5 √5

Sen 2α

=

4

5

EJERCICIO 2

Siendo Sec θ = √6 , calcular

el valor de : " Cos 2θ "

Resolución:

Cos 2θ = 2 Cos ² θ - 1

Cos 2θ = 2

1

√6

( )

2

- 1

Cos 2θ = 2

- 1

1

6

Cos 2θ =

-

2

3

EJERCICIO 3

Si se cumple Cosec x = √10 ,

hallar el valor de : " Tg 2x "

Resolución:

3

1

√10

x

2 Tg x

1 - Tg ² x

Tg 2x =

Tg ( 2x)=

1 -

1

3

( )

2

1

3

( )

2

Tg ( 2x)=

3

4

EJERCICIO 4

Simplificar :

Cos α ( 2 Cos α - Sec α )

Cos 2α

=M

Resolución:

Cos α 2 Cos α -

2 Cos ² α - 1

=M

1

Cos α

( )

2 Cos ² α - 1

2 Cos ² α - 1

=M

( )Cos α

Cos α

M = 1

EJERCICIO 5

Reducir :

Sen 2θ

1 + Cos 2θ

=M

Resolución:

Sen 2θ

1 + Cos 2θ

=M

=

2 Sen θ.Cos θ

1 + ( 2 Cos ² θ - 1)

=M

2 Sen θ.Cos θ

2 Cos ² θ

=

Sen θ

Cos θ

=

Tg θ

EJERCICIO 6

Si Sen x + Cos x = a , hallar

" Sen 2x "

Resolución:

Sen x + Cos x = a , elevando al cuadrado

Sen ² x + 2 Sen x.Cos x + Cos ² x = a ²

1 + 2 Sen x.Cos x = a ²

2 Sen x.Cos x = a ² - 1

Sen 2x

Sen 2x = a ² - 1

EJERCICIO 7

Simplificar :

W = ( Sen α + Cos α ) ( Sen α - Cos α ) + Cos 2α

Resolución:

W = ( Sen α + Cos α ) ( Sen α - Cos α ) + Cos 2α

Aplicando diferencia de cuadrados :

W = ( Sen ² α - Cos ²α ) + Cos 2α

W = ( Sen ² α - Cos ²α ) + 2 Cos ² α - 1

W = Sen ² α - Cos ²α + 2 Cos ² α - 1

W = Sen ² α + Cos ² α - 1

W = Sen ² α + Cos ² α - 1

= 1

W = 1 - 1

W = 0

EJERCICIO 8

Si Tg ( 45° + x ) = 2 , calcular

el valor de " Tg 2x "

Resolución:

CAPITULO 10



Tg ( 45° + x ) = 2

Tg 45° + Tg x

1 - Tg 45°.Tg x

=

2

1 + Tg x

1 - Tg x

=

2

1 + Tg x = 2 - 2 Tg x

3 Tg x = 1

Tg x

=

1

3

EJERCICIO 9

Simplificar :

2 Tg 5x

1 + Tg ² 5x

=R

Resolución:

Escribiendo " R " en función de Seno y Coseno

2 Tg 5x

1 + Tg ² 5x

=R

2

1 +

=

Sen 5x

Cos 5x

( )

Sen 5x

Cos 5x

( )

2

2

1 +

Sen 5x

Cos 5x

( )

Sen ² 5x

Cos ² 5x

=R

2

Sen ² 5x + Cos ² 5x

Sen 5x

Cos 5x

( )

=

Cos ² 5x

=R

2


Sen 5x

Cos 5x

( )

Cos ² 5x

=


2 Sen 5x.Cos 5x

= 1

R = 2 Sen 5x.Cos 5x = Sen 10x

EJERCICIO 10

De la figura , hallar " x "

A B

2

3

D

C

θ

θ

x

Resolución:

2 Tg θ

1 - Tg ² θ

Tg 2θ =

Reemplazando valores del gráfico :

=

1 -

2

x

5

x

( )

2

2

x

( )

2

=

x ² - 4

4

x

5

x

x ²

;=

x ² - 4

4 x 5

x

5 x ² - 20 = 4 x ²

x ² = 20 x = 2√5

NIVEL II


E = 1 - 8 Sen ² α.Cos ² α

Resolución:

E = 1 - 8 Sen ² α.Cos ² α

Descomponiendo en factores :

E = 1 - 2 (2 Sen α.Cos α ) ( 2 Sen α.Cos α )

= Sen 2α

= Sen 2α

E = 1 - 2 ( Sen 2 α ) ( Sen 2α )

E = 1 - 2 Sen ² 2 α

= Sen 2( 2α ) = Sen 4α

E = Sen 4 α

EJERCICIO 2 Si Tg x + Cotg x = 8 ,hallar el

valor de : " Cos 4x "

Resolución:

Tg x + Cotg x = 8 , escribiendo en función

de seno y coseno :

Sen x

Cos x

+

Cos x

Sen x

=

8

Sen ² x + Cos ² x

Sen x .Cos x

=

8

Sen ² x + Cos ² x = 8 Sen x.Cos x

= 1

CAPITULO 10



1 = 8 Sen x.Cos x

1 = 4 ( 2 Sen x.Cos x )

1 = 4 ( Sen 2x )

Sen 2x

=

1

4

Cos 2A = 1 - 2 Sen ² A

Cos 4x = 1 - 2 Sen ² 2x

Cos 4x

= 1

- 2

1

4

( )

2

Cos 4x

=

7

8

EJERCICIO 3 Calcular " m " en la igualdad :

1 - Tg ² 4x

1 + Tg ² 4x

=

Cos mx

Resolución:

1 - Tg ² 4x

1 + Tg ² 4x

=

Cos mx ; escribiendo en función

de seno y coseno .

-

Sen 4x

Cos 4x

=

1

2

2

+

Sen 4x

Cos 4x

1

2

2

Cos mx

Cos 4x - Sen 4x

Cos x

=

2

4

Cos 4x + Sen 4x

Cos x

2

4

Cos mx

2

2

Cos 4x - Sen 4x = Cos mx

2 2

= Cos 2 ( 4x ) = Cos 8x

Cos 8x = Cos mx

m = 8


Sen x + Cos x = A + B Cos 4x

4 4

Calcular : A + B

Resolución:

Sabemos que :

Sen ² x + Cos ² x = 1 .....elev. al cuadrado

Sen x + Cos x + 2 Sen ² x.Cos ² x = 1

4 4

Sen x + Cos x + ( Sen x.Cos x) ( Sen x.Cos x) = 1

4 4

2 2

2

4

= Sen 2x = Sen 2x

Sen x + Cos x + ( Sen 2x) ( Sen 2x ) = 1

4 4

2

4

Sen x + Cos x + Sen ² 2x = 1

4 4

2

4

Sen x + Cos x = 1 -

4 41

2

1 - Cos 4x

2

( )

Sen x + Cos x = 1 - +

4 41

4

Cos 4x

4

Sen x + Cos x = +

4 4 3

4

1

4

Cos 4x

A + B Cos 4x

= +

3

4

1

4

Cos 4x

A + B

= +

3

4

1

4

A + B = 1

EJERCICIO 5 Hallar el valor de : " Cos 10° ",

sabiendo que :

( Sen 20° + Cos 20° ) ² - 2 Cos ² 20° = x

Resolución:

( Sen 20° + Cos 20° ) ² - 2 Cos ² 20° = x , elev.cua.

Sen²20° + 2 Sen 20°.Cos 20° + Cos²20° - 2 Cos²20° = x

= Sen 40°

1 + Sen 40° - 2Cos ² 20° = x

Sen 40° - ( 2Cos ² 20° - 1 ) = x

Sen 40° - Cos 40° = x .....elev. al cuadrado.

Sen ² 40° - 2Sen 40°.Cos 40° + Cos ² 40° = x ²

1 - 2Sen 40°.Cos 40° = x ²

= Sen 80°

1 - Sen 80° = x ²

Sen 80° = 1 - x ²

Cos 10° = 1 - x ²

CAPITULO 10



EJERCICIO 6 Si Tg ² α + 8 Tg α - 1 = 0 ,

calcular el valor de : " Tg 4α "

Resolución:


4 Tg x ( 1 - Tg ² x )

Sec x

4

E =

Resolución:

Expresando " E " en funciónde seno y coseno

4 ( 1 - Tg ² x ) Cos x E =

Sen x

Cos x

( )

4

4 Sen x ( 1 - Tg ² x ) Cos x E =

3

4 Sen x 1 - Cos x E =

3Sen ² x

Cos ² x

( )

4 Sen x Cos x E =

3 Cos ² x - Sen ² x

Cos ² x

( )

4 Sen x.Cos x ( Cos ² x - Sen ² x ) E =

= Cos 2x

2 . 2 Sen x.Cos x .Cos 2x E =

= Sen 2x

2 Sen 2x .Cos 2x E =

Sen 4xE =


E = ( 1 - Tg ² x )( 1 - Tg ² 2x)( 1 - Tg ² 4x )

EJERCICIO 9

A partir del gráfico ,hallar el

A B

M

C

θ

θ

Resolución:

valor de " Tg 2θ "

Tg ² α + 8 Tg α - 1 = 0 ; expresando en función

de seno y coseno

Sen ² α

Cos ² α

+

Sen α

Cos α

- 1= 0

8

Sen ² α - Cos ² α + 8 Sen α.Cos α = 0

- ( Cos ² α - Sen ² α ) + 4 ( 2Sen α.Cos α ) = 0

- Cos 2α + 4 Sen 2α = 0

= Sen 2α

= Cos 2α

4 Sen 2α = Cos 2α

Sen 2α

Cos 2α

=

1

4

Tg 2α =

1

4

=

1 -

1

4

( )

2

1

4

( )

2

Tg 4α

Tg 4α =

8

15

B

M

C

θ

θ

A

a

a

b

En el ABC :

Tg θ

=

b

2a

En el ABM :

Tg θ

=

a

b

Resolución:

2 Tg x

1 - Tg ² x

Tg 2x =

2 Tg x

Tg 2x

=

1 - Tg ² x

2 Tg 2x

1 - Tg ² 2x

Tg 4x =

2 Tg 2x

Tg 4x

=

1 - Tg ² 2x

2 Tg 4x

1 - Tg ² 4x

Tg 8x =

2 Tg 4x

Tg 8x

=

1 - Tg ² 4x

Reemplazando :

E

=

2 Tg x

Tg 2x

( )

2 Tg 2x

Tg 4x

( )

2 Tg 4x

Tg 8x

( )

E

=

8 Tg x

Tg 8x

E = 8 Tg x.Cotg 8x

CAPITULO 10



b

2a

=

a

b

Igualando las tangentes :

b = √2 a

Tg θ

=

b

=

1

√2

a

1

√2

=

1 -

( )

2

)

2

Tg 2θ

1

√2

1

√2

(

=

2

√2

1

2

=2√2

EJERCICIO 10

Sabiendo que :

Cos ² ( 45° - x ) - Sen ² ( 45° - x ) = n Sen x.Cos x

Hallar el valor de " n " .

Resolución:

Cos ² ( 45° - x ) - Sen ² ( 45° - x ) = n Sen x.Cos x

= Cos 2α

Cos [ 2 ( 45° - x ) ] = n Sen x.Cos x

Cos ( 90° - 2 x ) = n Sen x.Cos x

= Q , Cos +

1

Sen 2x = n Sen x.Cos x

2 Sen x.Cos x = n Sen x.Cos x

n = 2


EJERCICIO 1

Simplificar :

E =

1 - Cos 8x

1 + Cos 8x

Resolución:

E =

1 - Cos 8x

1 + Cos 8x

1 - ( 1 - 2 Sen ² 4x )

1 + ( 2 Cos ² 4x - 1 )

=

E =

2 Sen ² 4x

2 Cos ² 4x

=

Tg ² 4x

EJERCICIO 2

Sabiendo que :

Sen x + Cos x = A + B Sen 2x , calcular :" A + B "

6 6 2

Resolución:

Sen x + Cos x = 1 - 3 Sen² x Cos² x

6

6

Por identidad trigonométrica auxiliar sabemos :

Sen x + Cos x = 1 - 3 Sen² x Cos² x

Sen x + Cos x = 1 - ( 2 Sen x Cos x)( 2 Sen x.Cos x )

3

4

= Sen 2x= Sen 2x

Sen x + Cos x = 1 - ( Sen 2x )( Sen 2x )

3

4

Sen x + Cos x = 1 - Sen ² 2x = A + B Sen ² 2x

3

4

66

6 6

6

6

6

6

A = 1

B = -

1

4

A + B =

1

4

EJERCICIO 3

Calcular el valor de : " Cos 4θ "

si se cumple que : Cos ² θ = Cos 2θ

Resolución:

Cos ² θ = Cos 2θ ; ....condición

Cos ² θ = ( 2 Cos ² θ - 1 )

Cos ² θ = 1 Cos 2θ = 1 ;.....( I )

Cos 4θ = 2 Cos ² 2θ - 1 ;.......( II )

Reemplazando ( I ) en ( II )

Cos 4θ = 2 ( 1 ) - 1

Cos 4θ = 1

EJERCICIO 4


W = Cos 10° .Cos 20°.Cos 40°

Resolución:

W = Cos 10° .Cos 20°.Cos 40° ; mult. por ( 2 Sen 10° )

2 Sen 10° W = 2 Sen 10° .Cos 10°.Cos 20°.Cos 40°

= Sen 20°

2 Sen 10° W = Sen 20°.Cos 20°.Cos 40° ; mult. por( 2 )

4 Sen 10° W = 2Sen 20°.Cos 20°.Cos 40°

= Sen 40°

4 Sen 10° W = Sen 40°.Cos 40° ; mult. por ( 2 )

8 Sen 10° W = 2 Sen 40°.Cos 40°

8 Sen 10° W = Sen 80°

Sen 80° = Cos 10°

CAPITULO 10



8 Sen 10° W = Cos 10°

=

1

8

Cos 10°

Sen 10°

W

=

1

8

W Cotg 10°

EJERCICIO 5

Simplificar la expresión :

Tg 2α - 2 Tg α

Tg 2α - Tg α

=

A

Resolución:

2 Tg α

1 - Tg ² α

- 2 Tg α

2 Tg α

1 - Tg ² α

- Tg α

=W

1 - Tg ² α

- 2

2

1 - Tg ² α

- 1

=

W

2

2 - 1 + Tg ² α

=

2 - 2 + 2 Tg ² α

=W

1 + Tg ² α

2 Tg ² α

=

Sec ² α

2 Tg ² α

= 2 Tg ² α.Cos ² α

=W 2 .Cos ² α

Sen ² α

Cos ² α

W = 2 Sen ² α

EJERCICIO 6


M = ( Sec x - Cos x ) ( Cosec x - Sec x )

Resolución:

M = ( - Cos x ) ( - Sen x )

1

Cos x

1

Sen x

1 - Cos ² x 1 - Sen ² x

))((

Cos x Sen x

=M

Sen ² x Cos ² x

))((

Cos x Sen x

=

M

= Sen x.Cos x ; ...mult. y div. por ( 2 )M

= Sen x.Cos x M

1

2

2

= Sen 2x

= Sen2x M

1

2

EJERCICIO 7

Siendo :

f ( x ) = ( Sec x + Cosec x ).Cos ; calcular

(

x +

π

4

)

el valor de : " f "

π

8

)(

Resolución:

1

Cos x

+

1

Sen x

(Cos x.Cos 45° - Sen x.Sen 45°)

( )

f ( x ) =

Sen x + Cos x

Sen x.Cos x

(Cos x - Sen x)

( )

f ( x ) =

√2

2

Sen x + Cos x

2 Sen x.Cos x

(Cos x - Sen x)

( )

f ( x ) =√2

Cos ² x - Sen ² x

2 Sen x.Cos x

( )

f ( x ) =√2

Cos 2x

Sen 2x

(

f ( x ) =√2

f ( x ) = √2 Tg 2x

)

EJERCICIO 8


P = Cosec 10° - √3 Sec 10°

Resolución:

P = - √3

1

Sen 10°

( )

1

Cos 10°

( )

Cos 10° - √3 Sen 10 °

Sen 10°.Cos 10°

=

P

2 Sen 10°.Cos 10°

=P

4 Cos 10° - Sen 10 °

2 Sen 10°.Cos 10°

=P

(

1

2

√3

2

)

4 ( Cos 60°. Cos 10°- Sen 60°.Sen 10° )

Sen 20°

=P

4 Cos 70°

Cos 70° = Sen 20°

P = 4

EJERCICIO 9

De la figura ,hallar " Tg θ "

= Sen 20°

= Cos 70°

CAPITULO 10



A B

C

D

θ

θ

a

b

Resolución:

A B

C

D

θ

θ

a

b

x

2 Tg θ

1 - Tg ² θ

Tg 2θ =

Reemplazando valores del gráfico :

a + b

x

=

b

x

2

1 -

(

b

x

)

2

a + b

=

2bx²

x ² - b ²

ax² - ab² + bx² - b³ = 2bx²

x² ( a + b - 2b ) = b² ( a + b )

x² ( a - b ) = b² ( a + b )

a - b

a + b

=

b²

x²

√

a - b

a + b

=

b

x

√

a - b

a + b

=

Tg θ

EJERCICIO 10

Hallar entre qué límites varía la

expresión :

E = 9 Sen ² x + 8 Sen x.Cos x - 6 Cos ² x

Resolución:

Cos ² x =

1 + Cos 2x

2

Sen ² x =

1 - Cos 2x

2

Recordar :

Reemplazando en " E "

E = 9 + 4 ( 2Sen x.Cos x) - 6

1 - Cos 2x

2

( )

1 + Cos 2x

2

( )

9

2

= Sen 2x

E = -

9Cos 2x

2

4Sen 2x

+-

6

2

-

6Cos 2x

2

E = 4 Sen 2x

+

3

2

-

15

2

Pero :

Cos 2x

≤ 4 Sen 2x-

15

2

Cos 2x ≤

4² +

15

2

( )

√

-

²

4² +

15

2

( )

√

²

Puesto que :

- √ a ² + b ² ≤ a Sen x ± b Cos x ≤ √ a ² + b ²

≤ 4 Sen 2x-

15

2

Cos 2x ≤

289

4√

-

289

4√

≤ 4 Sen 2x-

15

2

Cos 2x ≤ ...Sumando

17

2

-

17

2

3

2

( )

≤ 4 Sen 2x-

15

2

Cos 2x ≤

17

2

-

17

2

+

3

2

+

3

2

≤ 4 Sen 2x-

15

2

Cos 2x ≤

14

2

-

20

2

+

3

2

+

3

2

= E

- 7 ≤ E ≤ 10

- -

[ - 7 ; 10 ]

CAPITULO 10



FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ANGULO

TRIPLE

CUADRO DE FORMULAS IMPORTANTES:

Sen 3α = 3 Sen α - 4 Sen ³ α.

Cos 3α = 4 Cos ³ α - 3 Cos α

3 Tg α - Tg ³ α

1 - 3 Tg ²α

Tg 3 α =

3 Cotg α - Cotg ³ α

1 - 3 Cotg ²α

Cotg 3 α =

Sen 3α = 4 Sen α.Sen ( 60° - α ). Sen ( 60° + α )

Cos 3α = 4 Cos α.Cos ( 60° - α ). Cos ( 60° + α )

Tg 3α = Tg α.Tg ( 60° - α ). Tg ( 60° + α )

=

Sen 3α

Cos α

2 Cos 2α + 1

=

Cos 3α

Cos α

2 Cos 2α - 1

NIVEL I

EJERCICIO 1

Sabiendo que : Sen α = ,cal

1

3

cular el valor de : " Sen 3α "

Resolución:

Sen 3α = 3 Sen α - 4 Sen ³ α.

Sabemos que :


Sen 3α 3 - 4

=

1

3

( )

1

3

( )

³

Sen 3α 1 -

=

4

27

Sen 3α

=

23

27

EJERCICIO 2

Si se cumple que : Cos x = - ,

1

5

hallar el valor de : " Cos 3x "

Resolución:

Sabemos que :



Cos 3x 4 - - 3 -

=

1

5

( )

1

5

( )

³

Cos 3x

= +

- 4

125

Cos 3x

=

71

125

3

5

EJERCICIO 3

Siendo Tg θ = 4 , hallar el valor

de " Tg 3θ "

Resolución:

3 Tg θ - Tg ³ θ

1 - 3 Tg ² θ

Tg 3 θ =

Sabemos que :


3 ( 4 ) - ( 4 ) ³

1 - 3 ( 4 ) ²

Tg 3θ =

12 - 64

1 - 48

Tg 3θ =

- 52

- 47

Tg 3θ ==

52

47

EJERCICIO 4

Calcular : Cos 111°

Resolución:

Cos 111° = Cos 3(37°) = 4 Cos ³ 37° - 3 Cos 37°

Cos 111° = 4 - 3

4

5

( )

³ 4

5

( )

Cos 111° = -

256

125

12

5

Cos 111° =

44

125

-

EJERCICIO 5


M = 4 Sen 10°. Sen 50°. Sen 70°

Resolución:

Sen 3α = 4 Sen α.Sen ( 60° - α ). Sen ( 60° + α )

Dandole la siguiente forma :

CAPITULO 10



M = 4 Sen 10°. Sen 50°. Sen 70°

M = 4 Sen 10°. Sen (60° - 10°). Sen (60° + 10°)

= Sen 3(10°)

M = Sen 30°

M

=

1

2

EJERCICIO 6

Reducir :

Sen 3θ

Sen θ

K

= -

Cos 3θ

Cos θ

Resolución:

Reemplazando " Sen 3θ " y " Cos 3θ " :

Sen θ

K

= -

Cos θ

3 Sen θ - 4 Sen ³ θ 4 Cos ³ θ - 3 Cos θ

K

= -

3 - 4 Sen ² θ 4 Cos ² θ + 3

K

=

+ 6 - 4 ( Sen ² θ Cos ² θ )

= 1

K = 6 - 4

K = 2

EJERCICIO 7

Simplificar W = 4 - Cos 3x.Sec³x

Resolución:

W = 4 - Cos 3x.Sec ³ x

Cos 3x

Cos ³ x

W

=

4 -

Cos ³ x

W

=

4 -

4 Cos ³ x - 3 Cos x

Cos ² x

W

=

4 -

4 Cos ² x - 3

Cos ² x

W

=

4 Cos ² x - 4 Cos ² x + 3

Cos ² x

W

=

3

W = 3 Sec ² x

EJERCICIO 8

Reducir :

4Cos ³ x - Cos 3x

E

=

4 Sen ³ x + Sen 3x

Resolución:

Reemplazando " Sen 3x " y " Cos 3x " :

4Cos ³ x - ( 4 Cos ³ x - 3 Cos x )

E

=

4 Sen ³ x + 3 Sen x - 4 Sen ³ x

3 Cos x

E

=

3 Sen x

E = Tag x

EJERCICIO 9

Hallar " A " en la identidad :

Sen 12x

Sen 4x

+

Cos 12x

Cos 4x

= 4 Cos Ax

Resolución:

Escribiendo "Sen 12x" y "Cos 12x" en función del

ángulo triple :

Sen 3( 4x )

Sen 4x

+

Cos 3( 4x )

Cos 4x

= 4 Cos Ax

3 Sen 4x - 4 Sen ³ 4x

Sen 4x

+

4 Cos ³ 4x - 3 Cos 4x

Cos 4x

= 4 Cos Ax

3 - 4 Sen ² 4x + 4 Cos ² 4x - 3 = 4 Cos Ax

4 Cos ² 4x - 4 Sen ² 4x = 4 Cos Ax

4 ( Cos ² 4x - Sen ² 4x ) = 4 Cos Ax

= Cos 2 ( 4x )

4 Cos 8x = 4 Cos Ax

A = 8

EJERCICIO 10

Sabiendo que :

f ( x ) = 4 Cos ³ x - 3 Cos x + 1 , calcular

π

9

( )

f

Resolución:

f ( x ) = 4 Cos ³ x - 3 Cos x + 1

= Cos 3x

f ( x ) = Cos 3x + 1 , para x = , tenemos :

π

9

( )

f = Cos 3 + 1

π

9

( )

π

9

( )

f = Cos + 1

π

3

( )

π

9

( )

f = Cos 60° + 1

π

9

( )

f = + 1

1

2

π

9

( )

f =

3

2

π

9

( )

CAPITULO 10



B

A H

1

α

x

B

H C

2

3α

x

Cos α

=

x

1

Cos α = x

Cos 3α

=

x

2

Sabemos que :


Reemplazando :

x

2

=

4 ( x ) ³ - 3 ( x )

x

2

=

4 x³ - 3 x

1

2

=

4 x² - 3

7

8

=

x² → Cos ² α = x ²

7

8

=

Sabemos que :

Cos 2α = 2 Cos ² α - 1

Reemplazando :

Cos 2α = 2 - 1

7

8

( )

Cos 2α =

3

4

EJERCICIO 7

Sabiendo que :

Sen ³ 10° = A Sen 10° + B

Hallar el valor de : " A + B "

Resolución:

Escribiendo Sen 30° en función del ángulo triple.

Sen 30° = 3 Sen 10° - 4 Sen ³ 10°

=

1

2

4 Sen ³ 10° = 3 Sen 10° -

1

2

Sen ³ 10° = Sen 10° -

1

8

3

4

A Sen 10° + B = Sen 10° -

1

8

3

4

A + B = -

3

4

1

8

A + B =

5

8

EJERCICIO 8

Si

Sen 9x

Sen 3x

= A Cos Bx + C ,

hallar : " A.B.C "

Resolución:

Escribiendo el Sen 9x en función del ángulo triple:

Sen 3( 3x )

Sen 3x

= A Cos Bx + C

3 Sen 3x - 4 Sen ³ 3x

Sen 3x

= A Cos Bx + C

3 - 4 Sen ² 3x = A Cos Bx + C

3 - 4 ( 1 - Cos ² 3x ) = A Cos Bx + C

3 - 4 + 4 Cos ² 3x = A Cos Bx + C

4 Cos ² 3x - 1 = A Cos Bx + C

2 ( 2 Cos ² 3x - 1 ) + 1 = A Cos Bx + C

= Cos 2 ( 3x )

2 Cos 6x + 1 = A Cos Bx + C

A.B.C = (2)(6)(1) = 12

EJERCICIO 9

Siendo Tg x = √2 , Calcular :

" Tg 3x "

Resolución:


3 ( √2 ) - ( √2 ) ³

1 - 3 ( √2 ) ²

Tg 3x =

3√2 - 2√2

1 - 6

Tg 3x =

- √2

5

Tg 3x =

3 Tg θ - Tg ³ θ

1 - 3 Tg ² θ

Tg 3 θ =

Sabemos que :

CAPITULO 10



EJERCICIO 10

Del gráfico , hallar : " Cos 2α "

1 2

3α

α

Resolución:

1 2

3α

α

H

M

C

A

B

Sea : CM = MH = x

x

x

3 Tg α - Tg ³ α

1 - 3 Tg ² α

Tg 3α =

Sabemos que :

1

3α

H

C

A

2x

2

α

M

B

x

H

Tg 3α

=

2x

1

Tg 3α = 2x

Tg α

=

x

2


3 - ³

1 - 3 ²

2x =

x

2

( )

x

2

( )

x

2

( )

-

1 - 3

2 =

3

2

x²

8

x²

4

-

4 - 3x²

2 =

3

2

x²

8

4

4 - 3x²

2 =

4

12 - x²

8

;

4 - 3x²

2 =

1

12 - x²

2

8 - 6x²

2 =

12 - x²

; 16 - 12 x² = 12 - x²

11 x² = 4

√11

x =

2

2

α

M

B

H

√11

2

MB² = 2² +

√11

2

( )

²

MB =

√

48

11

√

48

11

Sabemos que :

Cos 2α = 2 Cos ² α - 1

Reemplazando :

Cos 2α = 2 - 1

(

√

48

11

2

)

2

Cos 2α = 2 - 1

44

48

( )

Cos 2α = 2 - 1

11

12

( )

Cos 2α = - 1

11

6

Cos 2α =

5

6


EJERCICIO 1 Si Tg x + Cotg x = 6 , hallar :

" Sen 6x "

Resolución:

Escribiendo Tg x y Cotg x en función de " Sen x "

y " Cos x "

Sen x

Cos x

+

Cos x

Sen x

= 6

Sen ² x + Cos ² x

Sen x .Cos x

= 6

= 1

1 = 6 Sen x. Cos x

CAPITULO 10



1 = 6 Sen x. Cos x

1 = 3 ( 2 Sen x. Cos x )

= Sen 2x

Sen 2x =

1

3

Sen 6x = 3 Sen 2x - 4 Sen ³ 2x.

Sabemos que :


Sen 3x 3 - 4

=

1

3

( )

1

3

( )

³

Sen 3x 1 -

=

4

27

Sen 3α

=

23

27


x

3

( )

Tg

(

Tg60°

x

3

)

-

(

Tg60°

x

3

)

+K =

Resolución:

Tg 3α = Tg α.Tg ( 60° - α ). Tg ( 60° + α )

Recordar :

Reemplazando :

x

3

( )

TgK = 3

K = Tg x

Sen 3x - Cos 3x

Sen x + Cos x

= A Sen Bx + C , hallar " A + B + C "


Resolución:

Escribiendo el Sen 3x y Cos 3x en función del án-

gulo triple :

( 3Sen x - 4Sen ³x ) - ( 4Cos ³x - 3Cos x )

Sen x + Cos x

= A Sen Bx + C

3 Sen x - 4 Sen ³ x - 4 Cos ³ x + 3 Cos x

Sen x + Cos x

= A Sen Bx + C

3 ( Sen x + Cos x ) - 4 ( Sen ³ x + Cos ³ x )

Sen x + Cos x

= A Sen Bx + C

3(Sen x+Cos x) - 4(Sen x+Cos x)(Sen²x - Senx.Cosx + Cos²x)

Sen x + Cos x

= A Sen Bx + C

3 - 4 (Sen²x + Cos²x - Sen x .Cos x) = A Sen Bx + C

= 1

3 - 4 ( 1 - Sen x . Cos x) = A Sen Bx + C

3 - 4 ( 1 - 2 Sen x . Cos x) = A Sen Bx + C

1

2

= Sen 2x

3 - 4 ( 1 - Sen 2x ) = A Sen Bx + C

1

2

3 - 4 + 2 Sen 2x = A Sen Bx + C

2 Sen 2x - 1 = A Sen Bx + C

A = 2

B = 2

C = - 1

A + B + C = 2 + 2 - 1 = 3


M = Sen 3x.Sen ³ x + Cos 3x.Cos ³ x

Resolución:

M = (3Sen x - 4Sen ³x) Sen ³ x + (4Cos ³x - 3Cos x) Cos ³ x

M = 3Sen x - 4Sen x + 4Cos x - 3Cos x

4 6 6 4

M = 3 ( Sen x - Cos x ) - 4 ( Sen x - Cos x )

4 4 6 6

M = 3(Sen²x - Cos²x)(Sen²x + Cos²x) - 4(Sen²x - Cos²x)(Sen x +Sen x.Cos x+Cos x )

4 2 2 4

= 1

M = 3(Sen²x - Cos²x) - 4(Sen²x - Cos²x)(Sen x +Cos x + Sen²x.Cos²x )

4 4

= 1- 2 Sen²x.Cos²x

M = 3(Sen²x - Cos²x) - 4(Sen²x - Cos²x)( 1 - 2 Sen²x.Cos²x + Sen²x.Cos²x )

M = 3(Sen²x - Cos²x) - 4(Sen²x - Cos²x)( 1 - Sen²x.Cos²x )

M = ( Sen²x - Cos²x ) ( 3 - 4 + 4 Sen²x.Cos²x )

M = ( Sen²x - Cos²x ) ( 4 Sen²x.Cos²x - 1 )

M = ( Sen²x - Cos²x ) [ ( 2 Sen x.Cos x ) ² - 1 ]

= Sen 2x

M = ( Sen²x - Cos²x ) [ ( Sen 2x ) ² - 1 ]

M = - ( Cos ² x - Sen ² x ) . - [ 1 - ( Sen 2x ) ² ]

M = ( Cos ² x - Sen ² x ) ( 1 - Sen ² 2x )

= Cos ² 2x

= Cos 2x

M = Cos 2x . Cos ² 2x

M = Cos 2x

3


Sen x . Cos ² x = A Sen x + B Sen 3x

Resolución:

Cos ² x = 1 - Sen ² x

Sabemos que :

CAPITULO 10



E

=

1 - Cos 3x

1 - Cos x √


- 1

Resolución:

E

=

1 - ( 4 Cos ³ x - 3 Cos x )

1 - Cos x √

- 1

E

=

1 - 4 Cos ³ x + 3 Cos x

1 - Cos x √

- 1

E

=

- 4 Cos ³ x + 3 Cos x + 1

- Cos x + 1 √

- 1

Dividiendo por Ruffini :

Cos x - 1 = 0

Cos x = 1

*

4 0 - 3 - 1

1

4

4

4

4

1

1

0

E

=

4 Cos ³ x - 3 Cos x - 1

Cos x - 1 √

- 1

E

=

4 Cos ² x + 4 Cos x + 1 - 1

= ( 2 Cos x + 1 ) ²

E

= ( 2 Cos x + 1 ) ² - 1

E

= 2 Cos x + 1 - 1

E

= 2 Cos x

↓

√

√

EJERCICIO 10

Calcular el mínimo valor que toma

la expresión : B = Sen 3x.Cosec³x + 4

Resolución:

B = Sen 3x.Cosec³x + 4

B = Sen 3x.Cosec³x + 4

=

3 Sen x - 4 Sen³ x

B = ( 3 Sen x - 4 Sen ³ x ).Cosec³x + 4

B = 3 Csc ² x - 4 + 4

B = 3 Csc ² x

Sabemos que : Csc x ≤ -1 U Csc x ≥ 1

Csc ² x ≥ 1

3 Csc ² x ≥ 3

B ≥ 3

4

x

3 5 62

Entonces :

B mín = 3

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO

MITAD

α

2

( )

Sen

= ±

1 - Cos α

2√

α

2

( )

Cos

= ±

1 + Cos α

2√

α

2

( )

Tg

= ±

1 - Cos α

√ 1 + Cos α

α

2

( )

Cotg

= ±

1 + Cos α

√ 1 - Cos α

( ± ) : Se elige de acuerdo al signo que tenga la

F.T.en el cuadrante en el cual se ubica

α

2

( )

α

2

( )

2 Sen²

= 1 - Cos α

α

2

( )

2 Cos²

= 1 + Cos α

α

2

( )

Tg

= Cosec α - Cotg α

α

2

( )

Cotg

= Cosec α + Cotg α

Cuadro de fórmulas importantes :

Observación :

Observación :

x

2

( )

2 Sen

= n

√

2 -

√

2 +

√

2 + .....

√

2 + 2Cos x

x

2

( )

2 Cos

= n

√

2 +

√

2 +

√

2 + .....

√

2 + 2Cos x

* n : # de radicales

CAPITULO 10


DEL ÁNGULO MITAD

NIVEL I

EJERCICIO 1

Si Cosx ; x є Q ,calcular

=

3

8

1

x

2

" Sen "

Resolución:

x

2

Sen

= + , x є Q → є Q

1 - Cos α

2√

1

x

2

1

x

2

Sen

1 -

2√

= +

3

8

x

2

Sen

5

16√

=

x

2

Sen

√5

4

=

EJERCICIO 2

Si Tg α = 3√7 ; α є Q ,calcular :

1

α

2

" Cos "

0

y

x

α

Resolución:

3√7

1

H

H² = 1² + ( 3√7 ) ²

H = 8

α

2

( )

Cos

= +

1 + Cos α

2√

=

8

α

2

Cos

1 +

2√

= +

1

8

α

2

Cos

9

16√

=

α

2

Cos

3

4

=

EJERCICIO 3

Resolución:

Tg 22°30´ =

45°

2

Tg = +

1 - Cos 45°

√ 1 +Cos 45°

1 -

√

√2

2

Tg 22°30´ =

1 +

2

√2

= +

2 - √2

√ 2 + √2

Tg 22°30´ =

( 2 - √2 )

√ ( 2 + √2)

( 2 - √2 )

( 2 - √2 )

x

=

( 2 - √2 )²

√ 4 - 2

Tg 22°30´ =

2 - √2

√2

x

√2

√2

=

2√2 - 2

2

=

√2 - 1

EJERCICIO 4

Resolución:

Cotg 18°30´ =

37°

2

Cotg = +

1 + Cos 37°

√ 1 - Cos 37°

1 +

√

4

5

Tg 18°30´ =

1 -

5

4

=

9

√ 1

Tg 18°30´ = 3

Calcular Tg 22°30'

Calcular Cotg 18°30´

EJERCICIO 5

Si Cos θ ; θ є Q , calcular:

5

13

= -

3

θ

2

" Sen "

Resolución:

180° < θ < 270°

θ

2

90°< < 135°

θ

2

є Q → " Sen " es ( + )

θ

2

" "

2

θ

2

Sen

1 -

2√

= +

5

13

θ

2

Sen

18

26√

=

θ

2

Sen

=

)(-

9

13√

=

13

3√13

EJERCICIO 6

Si Sec α = 6 ; α є Q , calcular:

4

α

2

" Cos "

Resolución:

270° < α < 360°

α

2

135°< < 180°

α

2

є Q → " Cos " es ( - )

α

2

" "

2

α

2

Cos

1 +

2√

= -

1

6

)(

CAPITULO 10


DEL ÁNGULO MITAD

α

2

Cos

7

12√

= -

α

2

Cos

= -

√ 7

2√ 3

x

√3

√3

= -

√21

6

EJERCICIO 7

Reducir M = -

x

2

Cotg

x

2

Tg

Resolución:

α

2

( )

Tg


α

2

( )

Cotg


Recordemos que:

Reemplazando :

M = ( Cosec x + Cotg x ) - ( Cosec x - Cotg x )

M = 2 Cotg x

EJERCICIO 8

Simplificar A = 1 - Sen x.

Resolución:

x

2

Tg

Reemplazando :

A = 1 - Sen x ( Cosec x - Cotg x )

A = 1 - Sen x -

1

Sen x

)(

Cos x

Sen x

A = 1 - 1 + Cos x

A = Cos x

EJERCICIO 9

Reducir : B =

1 + Cos x

Sen x

Resolución:

B = +

1

Sen x

Cos x

Sen x

B = Cosec x + Cotg x

B = Cotg

x

2

EJERCICIO 10

Simplificar :

=

√

2 -

√

2 + 2 Cos 4x

Q

Resolución:

=

√

2 -

√

2 + 2 Cos 4x

Q

4x

2

( )

2 Sen

2

=

2 Sen x =

NIVEL II

EJERCICIO 1 Si Tg x = 2 ; x є Q , calcular el

valor de : K = + 1

x

2

2 Tg

Resolución:

3

0

y

x

x

H² = ( - 1 )² + ( - 2 ) ²

H = √5

- 2

- 1

H

=

√

5

x

2

є Q → " tg " es ( - )

x

2

" "

2

180° < x < 270°

x

2

90°< < 135°

K = 2 ( Cosec x - Cotg x ) + 1

K = 2 - - + 1

)(

1

2

√5

2

K = - √5 - 1 + 1

K = - √5

EJERCICIO 2

Si Cos A ; A є Q , calcular:

60

61

=

4

A

2

" Cotg "

Resolución:

270° < A < 360°

A

2

135°< < 180°

A

2

є Q → " Cotg " es ( - )

A

2

" "

2

A

2

Cotg

1 +

= -

60

61

A

2

Cotg

121

1√

= -

A

2

Cotg

= - 11

)(

√ 1 -

60

61

)(

EJERCICIO 3 Calcular : Sen 296°30'

Resolución:

Sen 296°30' = = -

593°

2

Sen

( )

1 - Cos 593°

2√

CAPITULO 10


DEL ÁNGULO MITAD

Sabemos que :

Cos 593° = Cos 233° = - Cos 53° = -

3

5

Sen 296°30' = -

1 - Cos 593°

2√


Sen 296°30' = - = -

1 +

2

√

3

5

2√5

5

EJERCICIO 4


M = + 2 Sen² . Cotg x

x

2

Tg

x

2

Resolución :

M = ( Cosec x - Cotg x ) + 2 Sen² . Cotg x

x

2

M = Cosec x - Cotg x ( 1 - 2 Sen² )

x

2

M = Cosec x - Cotg x . Cos x

M = - . Cos x

1

Sen x

Cos x

Sen x

M = = = Sen x

1 - Cos² x

Sen x

Sen² x

Sen x

EJERCICIO 5

Simplificar :

K = Cotg x + Tg x - Tg . Cos x

(

x

2

)

Resolución :

K = Cotg x + [ Tg x - ( Cosec x - Cotg x ) ] . Cos x

K = Cotg x + Sen x - Cotg x +

Cos² x

Sen x

K = Sen x +

Cos² x

Sen x

K =

Sen² x + Cos²x

Sen x

K = = Cosec x

1

Sen x

EJERCICIO 6


π

8

P = Cotg - Tg

π

8

Resolución :

π

4

P = ( Cosec + Cotg ) - ( Cosec - Cotg )

π

4

π

4

π

4

P = 2 Cotg = 2 Cotg 45°

π

4

P = 2 ( 1 )

P = 2

EJERCICIO 7

Calcular :

π

24

" Cotg "

π

24

Cotg = Cosec + Cotg

Resolución :

π

12

π

12

π

24

Cotg = Cosec 15° + Cotg 15°

π

24

Cotg = ( √6 + √2 ) + ( 2 + √3 )

π

24

Cotg = 2 + √2 + √3 + √6

EJERCICIO 8

Simplificar :

Resolución :

√

2 +

√

2 + ......+

√

2 + 2Cos 32x E =

8 radicales

√

2 +

√

2 + ......+

√

2 + 2Cos 32x E =

8 radicales

E =

32x

2

( )

2 Cos

8

E =

x

8

2 Cos

EJERCICIO 9


R = Cosec - Cosec - Cosec -Cosec x -Cotg x

x

8

x

4

x

2

Resolución :

R = Cosec - Cosec - Cosec -(Cosec x+Cotg x)

x

8

x

4

x

2

R = Cosec - Cosec - Cosec - Cotg

x

8

x

4

x

2

x

2

R = Cosec - Cosec - ( Cosec + Cotg )

x

8

x

4

x

2

x

2

R = Cosec - Cosec - Cotg

x

8

x

4

x

4

R = Cosec - ( Cosec + Cotg )

x

8

x

4

x

4

R = Cosec - Cotg

x

8

x

8

R = Tg

x

16

EJERCICIO 10

Simplificar :

A = Tg α + Cosec α ( 1 - Sec α )

Resolución :

CAPITULO 10


DEL ÁNGULO MITAD

B = + 1 -

Sen x

Cos x

1

Sen x

(

1

Cos x

)

B =

Sen²x + Cos x - 1

Sen x.Cos x

B =

Cos x - ( 1 - Sen² x )

Sen x.Cos x

B =

Cos x - Cos² x

Sen x.Cos x

B =

1 - Cos x

Sen x

=

1

Sen x

-

Cos x

Sen x

B = Cosec x - Cotg x

B = Tg

x

2


EJERCICIO 1

Simplificar : A =

1 - Cos x + Sen x

1 + Cos x + Sen x

Resolución :

A =

2 Sen² + Sen x

2 Cos² + Sen x

x

2

x

2

A =

2 Sen² + 2 Sen . Cos

2 Cos² + 2 Sen . Cos

x

2

x

2

x

2

x

2

x

2

x

2

A =

2 Sen ( Sen + Cos )

2 Cos ( Sen + Cos )

x

2

x

2

x

2

x

2

x

2

x

2

A = Tg

x

2

EJERCICIO 2

Si Sen α = , hallar " Tg "

2 ab

a² + b²

α

2

Resolución :

α

2ab

a

²

+

b

²

x = a² - b²

x² = ( a² + b² )² - ( 2ab ) ²

x² = a + 2 a²b² + b - 4 a²b²

4 4

x² = a - 2 a²b² + b

4 4

x² = ( a² - b² )²

x = a² - b²

α

2

Tg


α

2

Tg = -

a² + b²

2ab

a² - b²

2ab

α

2

Tg =

a² + b² - a² + b²

2ab

α

2

Tg = =

2b²

2ab

b

a

EJERCICIO 3


E =

Cosec x - 1

√Cosec x + 1

Resolución :

- 1

E =

1

Senx

√

+ 1

1

Senx

=

1 - Sen x

√1 + Sen x

1 - Cos - x

E =

π

2

√

= Tg - x

( )

1 + Cos - x

π

2

( )

1

2

π

2

( )

E = Tg -

π

4

x

2

( )

EJERCICIO 4

Sabiendo que : α є Q ,simpli-

ficar la expresión : A = √1 + Sen α - √1 - Sen α

2

Resolución :

A = √1 + Sen α - √1 - Sen α ; elevando al cuadr.

A ² = ( √1 + Sen α )² - 2 (√1+Sen α )(1- Senα) + (√1-Sen α )²

A ² = 1 + Sen α - 2 (√1² - Sen² α ) + 1 - Sen α

A ² = 2 - 2 │Cos α│

α є Q → Cos α , es ( - ) → │Cos α│= - ( Cos α )

A ² = 2 + 2 Cos α

A = √ 2 + 2 Cos α

A = 2 Cos

α

2

22

2

EJERCICIO 5

Sabiendo que Cos α =

2 + 3 Cos β

3 + 2 Cos β

E = . Cotg²

α

2

Tg²

β

2

Hallar el valor de :

Resolución :

E = . Cotg²

α

2

Tg²

β

2

1 - Cos α

1 + Cos α

E = .

1 + Cos β

1 - Cos β

1 -

1 +

E = .

1 + Cos β

1 - Cos β

2 + 3 Cos β

3 + 2 Cos β

2 + 3 Cos β

3 + 2 Cos β

1 - Cos β

5( 1 + Cos β )

E = .

1 + Cos β

1 - Cos β

1

5

E =

CAPITULO 10


DEL ÁNGULO MITAD

EJERCICIO 6

Simplificar :

√

2 +

√

2 + 2 + 2Cos 8x

R =

√

4 Cos² - 2

x

2

Resolución :

8x

2

( )

2 Cos

3

R =

4 Cos² - 2

x

2

R =

2 ( Cos² - 1)

x

2

2 Cos x

=

2 ( Cos² - 1)

x

2

2 ( Cos² - 1)

x

2

R = 1

EJERCICIO 7

Si se cumple que :

√1+ Cos x + √1 - Cos x = M.Sen ( Nx + 45° )

2 Cos² +

x

2

√

2 Sen² = M.Sen ( Nx + 45° )

x

2

√

√2 Cos +

x

2

√2 Sen = M.Sen ( Nx + 45° )

x

2

Calcular : " M.N "

Resolución :

2 Sen 45°.Cos +

x

2

2 Sen .Cos 45° = M.Sen ( Nx + 45° )

x

2

2 Sen ( x + 45° )

1

2

= M.Sen ( Nx + 45° )

M.N = 2 x = 1

1

2

EJERCICIO 8

Simplificar la expresión:

E = , siendo : 3π < θ <

1 + Sen θ - Cos θ

√1 + Sen θ

7π

2

Resolución :

E =

1 - Cos θ + Sen θ

√1 + Sen θ

=

2 Sen² + 2 Sen .Cos

θ

2

θ

2

θ

2

Sen² + Cos² + 2 Sen .Cos

θ

2

√

θ

2

θ

2

θ

2

E =

2 Sen ( Sen + Cos )

θ

2

θ

2

θ

2

( Sen + Cos ) ²

θ

2

θ

2

√

=

2 Sen ( Sen + Cos )

θ

2

θ

2

θ

2

Sen + Cos

θ

2

θ

2

│ │

< < , є IV Q → Sen + Cos < 0

3π

2

θ

2

7π

2

θ

2

θ

2

Según el gráfico siguiente :

270° =

180°

0°

90°

360°

3π

2

315° =

7π

4

θ

2

Sen + Cos = -

θ

2

θ

2

│ │ (

Sen + Cos

θ

2

θ

2

)

E =

2 Sen ( Sen + Cos )

θ

2

θ

2

θ

2

- Sen + Cos

θ

2

θ

2

( )

= - 2 Sen

θ

2

EJERCICIO 9

Reducir :

M = Tg θ + 2 Tg 2θ + 4 Tg 4θ + 8 Cotg 8θ

Resolución :

Sabemos que :

α

2

( )

Tg


α

2

( )

Cotg


↓

α

2

( )

Tg -

α

2

( )

Cotg = -2Cotg α

α

2

( )

Cotg -

α

2

( )

Tg = 2Cotg α

M = Tg θ + 2 Tg 2θ + 4 Tg 4θ + 8 Cotg 8θ

M = Tg θ + 2 Tg 2θ + 4 ( Tg 4θ + 2 Cotg 8θ )

M = Tg θ + 2 Tg 2θ + 4 ( Cotg 4θ )

M = Tg θ + 2 Tg 2θ + 4 Cotg 4θ

M = Tg θ + 2 ( Tg 2θ + 2 Cotg 4θ )

M = Tg θ + 2 ( Cotg 2θ )

M = Tg θ + 2 Cotg 2θ

M = Cotg θ

EJERCICIO 10

Sabiendo que :

Tg = Cosec - Sen ,hallar el valor de: 4 Cos²

x

4

Resolución :

x

4

x

4

x

4

CAPITULO 10


DEL ÁNGULO MITAD

x

2

Tg = Cosec - Sen ,....dato

x

4

x

2

x

4

Tg = Cosec - Cotg ,...fórmula

x

2

x

2

Por comparación se tiene :

Sen = Cotg

x

2

x

2

Sen =

x

2

Cos

x

2

Sen

x

2

Sen² = Cos → 1 - Cos ² = Cos

x

2

x

2

x

2

x

2

1Cos ² + 1Cos - 1 = 0

x

2

x

2

Cos =

x

2

-1 ± √1² - 4 (1)(-1)

2(1)

Cos =

x

2

-1 ± √5

2

Sen² = Cos

x

2

x

2

( + ) → ( + )

-1 + √5 ....Si

2

-1 - √5 .....No

2

4 Cos² = 2 1 + Cos

x

4

x

2

)(

Reemplazando :

4 Cos² = 2 1 +

x

4

)(

-1 + √5

2

4 Cos² = √5 + 1

x

Sen ( A+B ) + Sen ( A - B ) = 2 Sen A .Cos B ....I

1.Transformaciones de suma o diferencia a producto

Sen ( A+B ) - Sen ( A - B ) = 2 Cos A .Sen B ....II

Cos ( A+B ) + Cos ( A - B ) = 2 Cos A .Cos B ...III

Cos ( A - B ) - Cos ( A + B ) = 2 Sen A .Sen B ...IV

4

Siendo : A > B

Siendo : x > y

Sen x + Sen y = 2 Sen .Cos

x + y

2

( )

x - y

2

( )

Sen x - Sen y = 2 Cos .Sen

x + y

2

( )

x - y

2

( )

Cos x + Cos y = 2 Cos .Cos

x + y

2

( )

x - y

2

( )

Cos x - Cos y = 2 Sen .Sen

x + y

2

( )

x - y

2

( )

2.Transformaciones de producto a suma o diferencia

Siendo : A > B

2

2 Sen A . Cos B = Sen ( A + B ) + Sen ( A - B )

2 Cos A . Sen B = Sen ( A + B ) - Sen ( A - B )

2 Cos A . Cos B = Cos ( A + B ) + Cos ( A - B )

2 Sen A . Sen B = Cos ( A - B ) - Cos ( A + B )

CAPITULO 11

TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS

NIVEL I


E = Sen 36° + Sen 24°

Resolución :

E = Sen 36° + Sen 24° = 2 Sen .Cos

36°+24°

( )

2

36°-24°

( )

2

E = Sen 36° + Sen 24° = 2 Sen 30° . Cos 6°

E = Sen 36° + Sen 24° = 2 . Cos 6°

1

( )

2

E = Sen 36° + Sen 24° = Cos 6°

EJERCICIO 2 Simplificar : P =

Sen 32° + Sen 28°

Cos 2°

P =

Sen 32° + Sen 28°

Cos 2°

=

2 Sen 30°. Cos 2°

Cos 2°

P = 1

Resolución :


K = Cos 10° + Cos 110° + Cos 130°

Resolución :

K = Cos 10° + Cos 110° + Cos 130°

K = 2 Cos 60°. Cos 50° + Cos ( 180° - 50° )

K = Cos 50° - Cos 50°

K = 0


M = Sen 18°.Cos 4° - Cos 12°. Sen 10°

Resolución :

M = Sen 18°.Cos 4° - Cos 12°. Sen 10° ...mult.por 2

2M = 2 Sen 18°.Cos 4° - 2 Cos 12°. Sen 10°

2M = ( Sen 22°+Sen 14°) - ( Sen 22° - Sen 2° )

2M = Sen 14° + Sen 2°

Transformado a producto :

2M = 2 Sen 8° . Cos 6°

M = Sen 8° . Cos 6°

EJERCICIO 5 Reducir:

Sen 6x - Sen 4x

Cos 6x + Cos 4x

A =

Resolución :

Transformando a producto el numerador y deno

minador :

2 Cos 5x. Sen x

2 Cos 5x.Cos x

A = = Tg x

EJERCICIO 6 Transformar a producto :

R = √3 + 2 Cos 10°

Resolución :

R = + 2 Cos 10°

√3

2

2

}

R = Cos 30°+ 2 Cos 10° 2

R = 2 ( Cos 30°+ Cos 10° )

Transformando a producto :

R = 2 ( Cos 20°. Cos 10° )

R = 4 Cos 20°. Cos 10°

EJERCICIO 7 Expresar como producto :

Sen² 7x - Sen² 5x

Sen 2x

W =

Resolución :

Sen² 7x - Sen² 5x

Sen 2x

W = , Aplicando diferencia de

cuadrados

( Sen 7x - Sen 5x ).(Sen 7x + Sen 5x )

Sen 2x

W =

Transformando la suma y diferencia a producto

( 2 Cos 6x.Sen x ).( 2 Sen 6x. Cosx )

Sen 2x

W =

ordenando factores :

( 2 Sen x.Cos x ).( 2 Sen 6x. Cos 6x )

Sen 2x

W =

W = Sen 12x


2 Sen 6x.Cos 2x - Sen 4x

2 Cos 5x.Cos x - Cos 6x

M =

Resolución :

Transformando de producto a suma :

Sen 8x + Sen 4x - Sen 4x

Cos 6x + Cos 4x - Cos 6x

M =

Sen 8x

Cos 4x

M =

2 Sen 4x.Cos 4x

Cos 4x

M =

M = 2 Sen 4x

CAPITULO 11



Sen 2x + Sen 4x + Sen 6x

Cos 2x + Cos 4x + Cos 6x

Y =

Calcular x = 9°15'

Resolución :

( Sen 2x + Sen 6x ) + Sen 4x

( Cos 2x + Cos 6x ) + Cos 4x

Y =

Ordenando :

2 Sen 4x.Cos 2x + Sen 4x

2 Cos 4x.Cos 2x + Cos 4x

Y =

Sen 4x ( 2 Cos 2x + 1 )

Cos 4x ( 2 Cos 2x + 1 )

Y =

Sen 4x

Cos 4x

Y =

Y = Tg 4x ; Reemplazando x = 9°15'

Y = Tg 4 (9°15')

Y = Tg 37°

3

4

Y =

EJERCICIO 10 Transformar a producto :

G = Cos 10° + Cos 20° + Cos 30° + Cos 40°

Resolución :

Ordenando y transformando a producto :

G = ( Cos 30° + Cos 20° ) + ( Cos 40° + Cos 10° )

G = 2 Cos 25°.Cos 5° + 2 Cos 25°.Cos 15°

G = 2 Cos 25° ( Cos 5° + Cos 15° )

G = 2 Cos 25° . 2 Cos 10°.Cos 5°

G = 4 Cos 5°.Cos 10°.Cos 25°

NIVEL II


Sen 4x.Cos x + Cos 5x.Sen 2x = Sen Ax.Cos Bx

calcular : " A + B "

Resolución :

Realizando la siguiente operación :

( Sen 4x.Cos x + Cos 5x.Sen 2x) = Sen Ax.Cos Bx2 2

1

2

( Sen 5x+ Sen 3x + Sen 7x - Sen 3x) = Sen Ax.Cos Bx

1

2

( Sen 5x + Sen 7x ) = Sen Ax.Cos Bx

1

2

( 2 Sen 6x.Cos x ) = Sen Ax.Cos Bx

1

2

Sen 6x.Cos 1x = Sen Ax.Cos Bx

A + B = 7


N = 2 Sen 40°.Cos 20° - Sen 20°

Resolución :

N = Sen 60° + Sen 20° - Sen 20°

Transformando el producto a suma :

N = Sen 60°

√3

2

N =


Cos² 6x - Sen² 2x

Cos 8x

P =

Resolución :

Multiplicando y dividiendo por 2 :

( Cos² 6x - Sen² 2x )

Cos 8x

P =

1

2

Cos 2A =

1 - 2 Sen ² A

2 Cos ² A - 1

Recordar las F.T.del ángulo doble :

→

→

2 Sen ² A = 1 - Cos 2A

2 Cos ² A = 1 + Cos 2A

{

Reemplazando :

[ ( 1 + Cos 12 x ) - ( 1- Cos 4 x ) ]

Cos 8x

P =

1

2

[ Cos 12 x + Cos 4 x ]

Cos 8x

1

2

[ 2 Cos 8 x . Cos 4 x ]

Cos 8x

1

2

P = Cos 4x


Sen x + Sen ( nx ) + Sen ( 2n - 1 ) x

Cos x + Cos ( nx ) + Cos ( 2n - 1 ) x

K =

Resolución :

2 2

P =

P =

Asociando y transformando a producto :

[ Sen x + Sen ( 2n - 1 ) x ] + Sen ( nx )

[ Cos x + Cos ( 2n - 1 ) x ] + Cos ( nx )

K =

K =

2 Sen .Cos + Sen ( nx)

(

x + (2n - 1 ) x

)

2

(

x - (2n - 1 ) x

)

2

2 Cos .Cos + Cos ( nx)

(

x + (2n - 1 ) x

)

2

(

x - (2n - 1 ) x

)

2

CAPITULO 11


K =

2 Sen ( nx ) .Cos ( 1 - n ) x + Sen ( nx)

2 Cos ( nx ) .Cos ( 1 - n ) x + Cos ( nx)

Factorizando :

K =

Sen ( nx) [ 2 Cos ( 1 - n ) x + 1 ]

Cos ( nx) [ 2 Cos ( 1 - n ) x + 1 ]

K = Tg ( nx )

EJERCICIO 5 Determinar el máximo valor de :

K = Sen ( x + 60° ) + Sen x

Resolución :

Transformando la suma a producto :

2 Sen .Cos

(

x + 60° + x

)

2

(

x + 60° - x

)

2

K =

K = 2 Sen ( x + 30° ) . Cos 30° ; Cos 30° =

√3

2

Reemplazando :

K = Sen ( x + 30° ) √3

Sabemos que " Sen β " varía de -1 a 1 osea :

-1 ≤ Sen ( x + 30° ) ≤ 1 ..multipl.por √3 √3

- ≤ Sen ( x + 30° ) ≤ √3 √3 √3

K = √3

máx.


R = Cos 4x .Cos 2x + Sen² 3x

Resolución :

Multiplicando y dividiendo por 2 :

R = ( Cos 4x .Cos 2x + Sen² 3x )

2

1

2 2

R = ( Cos 6x + Cos 2x + 1 - Cos 6x )

2

1

R = ( 1 + Cos 2x )

2

1

R = ( 2 Cos ² x )

2

1

R = Cos ² x

EJERCICIO 7 Si x + y = , calcular :

π

4

Sen 2x + Sen 2y

Cos 2x + Cos 2y

E =

Resolución:


2 Sen ( x + y ) . Cos ( x - y )

2 Cos ( x + y ) . Cos ( x - y )

E =

E = Tg ( x + y )

E = Tg 45°

E = 1


A = 2 ( Sen 21° - Sen 7° )(Cos 35° + Cos 21° )

Resolución:


A = 2 ( 2 Cos 14°. Sen 7° )( 2 Cos 28°.Cos 7° )

Ordenado :

A = 2 . 2 .2 Sen 7°.Cos 7°. Cos 14° .Cos 28°

A = 2 . 2 Sen 14°. Cos 14° .Cos 28°

A = 2 Sen 28°.Cos 28°

A = Sen 56°


S = Cos + Cos + Cos +........+ Cos

π

39

3π

39 39 39

5π 37π

Resolución:

Cos + Cos + Cos +......+Cos =

π

2n+1

3π

2n+1

5π

2n+1

( 2n-1)π

2n+1

1

2

Cos + Cos + Cos +......+ Cos = -

2π

2n+1

4π

2n+1

6π

2n+1

2nπ

2n+1

1

2

Propiedad :

Donde : n Є Z

+

S =

1

2

EJERCICIO 10 Calcular :

B = Cos² 10° + Cos² 110° + Cos² 130°

Resolución:

Multiplicando ambos miembros por 2 :

2B = 2 Cos² 10° + 2 Cos² 110° + 2 Cos² 130°

2B = ( 1+Cos 20° )+ ( 1+Cos 220°) + (1+Cos 260°)

2B = 3 + Cos 20° + Cos 220° + Cos 260°

CAPITULO 7


A

=

( 1 + Cos x ) Sen x

( 1 + Cos x )

A

=

1

Sen x

=

Cosec x


K

=

Cotg ² x - Cos ² x

Tg ² x - Sen ² x

K

=

- Cos ² x

- Sen ² x

Cos ² x

Sen ² x

Sen ² x

Cos ² x

Sen²x

Cos²x - Sen²x.Cos²x

=

Cos²x

Sen²x - Sen²x.Cos²x

Sen²x

Cos²x ( 1 - Sen²x )

Cos²x

Sen²x ( 1 - Cos²x )

Sen²x

Cos²x .Cos²x

Cos²x

Sen²x .Sen²x

K

= =

K

=

Sen ² x.Sen ² x.Sen ² x

Cos ² x.Cos ² x.Cos ² x

=

Cos x

Sen x

6

6

=

Tg x

6

Resolución:

EJERCICIO 6 Si Tg x + Cotg x = 5 , hallar

E = Tg ² x + Cotg ² x

Resolución:

Tg x + Cotg x = 5 .....elevando al cuadrado

( Tg x + Cotg x ) ² = ( 5 ) ² ...desarrollando

Tg ² x + 2 Tg x . Cotg x + Cotg ² x = 25

= 1 ( identidad reciproca )

Tg ² x + 2 + Cotg ² x = 25

E = Tg ² x + Cotg ² x = 23

EJERCICIO 7

=

Sen x

1 - Cos x

a , hallar Si

=

Sen x

1 + Cos x

P

Resolución:

=

Sen x

1 + Cos x

P

multiplicando y dividiendo por ( 1 - Cos x )

1 - Cos x

▪

1 - Cos x

=

Sen x ( 1 - Cos x )

1 - Cos ² x

P

=

Sen x ( 1 - Cos x )

Sen ² x

P

=

( 1 - Cos x )

Sen x

P

=

Sen x

1 - Cos x

a

........( I )

Sabemos que :

→

1 - Cos x

Sen x

__ 1

a

=

Reemplazando en ( I )

=

P

__ 1

a

EJERCICIO 8 S i Sen x = a ; Tg x = b , hallar

N = ( 1 - a ² )( 1 + b ² )

Resolución:

Sabemos que : Sen x = a → Sen ² x = a ²

Tg x = b → Tg ² x = b ²

Reemplazando :

N = ( 1 - a ² )( 1 + b ² )

N = ( 1 - Sen ² x )( 1 + Tg ² )

= Sec ² x ...... I. P= Cos ² x

N = Cos ² x .Sec ² x

N = ( Cos x .Sec x ) ²

= 1 ..... I. Reciproca

N = 1

EJERCICIO 9 Si Sec α.Cosec α - Cotg α = 4

Calcular " Tg α "

Resolución:

Sec α.Cosec α - Cotg α = 4

Cos α

1

Sen α

1

▪ -

Sen α

Cos α

=

4

Sen α.Cos α

1 - Cos ² α

=

4

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solucionario parte 1 cobeñas naquiche 5°secundaria