TUGAS

STATISTIK MATEMATIKA

OLEH

NAMA : ANI AGUSTINA

NPM : A1C011007

DOSEN : NURUL ASTUTI YENSY B, S.Si, M.Si

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS BENGKULU

2013

A. Jenis-jenis Distribusi Diskrit

a. Distribusi Binomial

Apabila sebuah eksperimen mempunyai dua hasil yang muncul, seperti “sukses”

dan “gagal”, dengan masing-masing peluangnya p dan (1 - p), maka peristiwa yang

diperhatikan, baik sukses maupun gagal akan berdistribusi Bernoulli.

Peubah acak X yang berdistribusi Bernoulli dikatakan juga peubah acak Bernoulli.

Penulisan notasi dari peubah acak yang berdistribusi Bernoulli adalah

B(x;1,p), artinya peubah acak X berdistribusi Bernoulli dengan peristiwa yang

diperhatikan, baik sukses maupun gagal dinyatakan dengan x, banyak

eksperimen yang dilakukan satu kali, dan peluang terjadinya peristiwa yang

diperhatikan, baik sukses maupun gagal sebesar p.

Sebuah eksperimen dikatakan mengikuti distribusi Bernoulli, jika eksperimen itu

memenuhi sifat-sifat sebagai berikut:

1. Eksperimennya terdiri atas dua peristiwa, yaitu peristiwa yang

diperhatikan (sering disebut peristiwa sukses) dan peristiwa yang tidak

diperhatikan (sering disebut peristiwa gagal).

2. Eksperimennya hanya dilakukan sekali saja.

Rataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi Bernoulli

bisa dilihat dalam

D e f i n i s i 8. 1 : FUNGSI PELUANG BERNOULLI

Peubah acak X dikatakan berdistribusi Bernoulli, jika dan hanya jika fungsi

peluangnya berbentuk:

p(x) = P(X = x) = px

(1 - p)1 - x

; x = 0, 1

D ali l 8. 1 : PARAMETER DISTRIBUSI BERNOULLI

Rataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi Bernoulli

sebagai berikut:

1. = p

2. 2 = p(1 - p)

3. MX(t) = (1 - p) + p.et ; t

Grafik dari fungsi peluang distribusi Bernoulli sebagai berikut:

GAMBAR 8.1

GRAFIK FUNGSI PELUANG DISTRIBUSI BERNOULLI

b. Distribusi Binomial

Misalnya kita melakukan suatu eksperimen yang hanya menghasilkan dua

peristiwa, seperti peristiwa sukses (S) dan peristiwa gagal (G).

Peluang terjadinya peristiwa S, P(S), sebesar p dan peluang terjadinya

peristiwa G, P(G), sebesar 1 - p.

Kemudian eksperimen itu diulang sampai n kali secara bebas. Dari n kali

pengulangan itu, peristiwa S terjadi sebanyak x kali dan sisanya (n - x) kali

terjadi peristiwa G. Kita akan menghitung besar peluang bahwa banyak peristiwa

sukses dalam eksperimen itu sebanyak x kali.

Dalam hal ini, salah satu susunan dari pengulangan eksperimen sampai n kali itu

adalah:

S S S . . . S G G G . . . G

Karena setiap pengulangan bersifat bebas, P(S) = p dan P(G) = 1 - p

berharga tetap untuk setiap pengulangan percobaan, maka besar peluang dari

peristiwa susunan di atas adalah:

x kali (n-x) kali

P(S S S…S G G G…G) = P(S).P(S).P(S). … . P(S).P(G).P(G).P(G). … . P(G)

= (p)(p)(p)…(p)(1 - p)(1 - p)(1 - p)…(1 - p)

= px (1 - p)n - x

Karena banyak susunan keseluruhan peristiwa S terjadi ada cara, maka peluang

bahwa peristiwa S terjadi dalam x kali adalah:

Berdasarkan uraian diatas , kita peroleh definisi distribusi binomial berikut:

Peubah acak X yang berdistribusi binomial dikatakan juga peubah acak binomial.

Penulisan notasi dari peubah acak X yang berdistribusi binomial adalah B(x;n,p),

artinya peubah acak X berdistribusi binomial dengan banyak pengulangan

eksperimen sampai n kali, peluang terjadi peristiwa sukses sebesar p, dan banyak

peristiwa sukses terjadi ada x.

Sebuah eksperimen dikatakan mengikuti distribusi binomial, jika eksperimen itu

memenuhi sifat-sifat sebagai berikut:

1. Eksperimennya terdiri atas dua peristiwa, seperti sukses dan gagal.

2. Eksperimennya diulang beberapa kali dan ditentukan banyak pengulangannya.

3. Peluang terjadinya peristiwa sukses dan gagal pada setiap pengulangan

eksperimen bersifat tetap.

4. Setiap pengulangan eksperimen bersifat bebas.

Rataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi binomial bisa

dilihat dalam

D e f i n i s i 8. 2 : FUNGSI PELUANG BINOMIAL

Peubah acak X dikatakan berdistribusi binomial, jika dan hanya jika fungsi

peluangnya berbentuk:

Grafik dari fungsi peluang distribusi binomial bisa dilihat dalam Gambar 8.2.

GAMBAR 8.2

GRAFIK FUNGSI PELUANG DISTRIBUSI BINOMIAL

c. Distribusi Trinomial

Distribusi binomial bisa diperluas menjadi distribusi trinomial.

D ali l 8. 2 : PARAMETER DISTRIBUSI BINOMIAL

Rataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi binomial sebagai berikut:

1. = np

2. 2 = np(1 - p)

3. MX(t) = [(1 - p) + p.et]n ; t

D e f i n i s i 8. 3 : FUNGSI PELUANG TRINOMIAL

Peubah acak X dan Y dikatakan berdistribusi trinomial, jika dan hanya jika

fungsi peluangnya berbentuk:

Peubah acak X yang berdistribusi trinomial dikatakan juga peubah acak trinomial.

Penulisan notasi dari peubah acak X dan Y yang berdistribusi trinomial adalah

T(x,y;n,p1,p2), artinya peubah acak X dan Y berdistribusi trinomial dengan banyak

pengulangan eksperimennya sampai n kali, peluang terjadi peristiwa sukses

pertama dan kedua berturut - turut p1(x) dan p2(y), dan banyak peristiwa sukses

pertama dan kedua masing-masing x dan y.

Fungsi pembangkit momen dari distribusi trinomial bisa dilihat dalam Dalil 8.3.

Berdasarkan fungsi pembangkit momen gabungan dari X dan Y, kita bisa

menentukan fungsi pembangkit momen marginal masing-masing dari X dan Y.

Fungsi pembangkit momen marginal dari X adalah:

Ternyata bentuk di atas merupakan fungsi pembangkit momen dari distribusi

binomial dengan banyak pengulangan eksperimennya sampai n kali dan peluang

terjadinya peristiwa sukses pertama sebesar p1, sehingga bisa ditulis:

X ~ B(x; n,p1)

Maka fungsi peluang dari X berbentuk:

Rataan dan varians dari X adalah:

E(X) = n.p1

Var(X) = n.p1(1 - p1)

Fungsi pembangkit momen marginal dari Y adalah:

D ali l 8. 3 : FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN GABUNGAN TRINOMIAL

Fungsi pembangkit momen dari distribusi trinomial adalah:

Ternyata bentuk di atas merupakan fungsi pembangkit momen dari distribusi

binomial dengan banyak pengulangan eksperimennya sampai n kali dan peluang

terjadinya peristiwa sukses kedua sebesar p2, sehingga bisa ditulis:

Y ~ B(y;n,p2)

Maka fungsi peluang dari Y berbentuk:

Rataan dan varians dari Y adalah:

E(Y) = n.p2

Var(Y) = n.p2(1 - p2)

Dari uraian di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa jika X dan Y berdistribusi

trinomial, maka distribusi marginal masing-masing dari X dan Y adalah distribusi

binomial.

Distribusi bersyarat dari X diberikan Y = y berasal dari distribusi binomial

dengan banyak pengulangan eksperimennya sampai (n - y) dan peluang terjadinya

peristiwa sukses sebesar sehingga bisa ditulis:

Dan distribusi bersyarat dari Y diberikan X = x berasal dari distribusi

binomial dengan banyak pengulangan eksperimennya sampai (n - x) dan peluang

terjadinya peristiwa sukses sebesar , sehingga bisa ditulis:

d. Distribusi Poisson

Distribusi Poisson ini diperoleh dari distribusi binomial, apabila dalam distribusi

binomial berlaku syarat-syarat sebagai berikut:

a. banyak pengulangan eksperimennya sangat besar (n → ∞).

b. peluang terjadinya peristiwa yang diperhatikan mendekati nol (p → 0).

c. Perkalian

Berikut ini akan diberikan penurunan fungsi peluang distribusi Poisson

berdasarkan fungsi peluang distribusi binomial dengan menggunakan persyaratan di

atas.

Kita akan menghitung harga limitnya satu persatu.

Sehingga akan diperoleh :

Jadi distribusi pendekatannya adalah:

Dalam praktiknya, distribusi Poisson akan merupakan distribusi pendekatan yang

baik dari distribusi binomial, jika dalam distribusi binomial berlaku:

n ≥ 100 dan np ≤ 10

n ≥ 20 dan p ≤ 0,05

Berdasarkan uraian diatas, kita peroleh definisi distribusi Poissin berikut.

Peubah acak X yang berdistribusi Poisson dikatakan juga peubah acak poisson.

Penulisan notasi dari peubah acak X yang berdistribusi Poisson adalah P(x; ),

artinya peubah acak X berdistribusi Poisson dengan parameter .

Rataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi Poisson bisa dilihat

dalam Dalil 8.4.

e. Distribusi Geometrik

D e f i n i s i 8. 4 : FUNGSI PELUANG POISSON

Peubah acak X dikayakan berdistribusi Poisson, jika dan hanya jika fungsi

peluangnya berbentuk:

D ali l 8. 4 : PARAMETER DISTRIBUSI POISSON

Rataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi Poisson

sebagai berikut:

1. 1.

2. 2.

Misalnya kita melakukan suatu eksperimen yang hanya menghasilkan dua

peristiwa, seperti peristiwa sukses (S) dan peristiwa gagal (G).

Peluang terjadinya peristiwa S, P(S), sebesar p dan peluang terjadinya peristiwa

G, P(G) sebesar 1 - p.

Kemudian eksperimen itu diulang beberapa kali sampai peristiwa S terjadi pertama

kali. Jika peubah acak X menyatakan banyak eksperimen dan pengulangannya yang

dilakukan sampai peristiwa S terjadi pertama kali, maka X = x artinya banyak

eksperimen dan pengulangannya yang dilakukan sampai menghasilkan peristiwa

S terjadi pertama kali, adalah x kali. Ini berarti bahwa sampai pengulangan ke-(x -

2) menghasilkan peristiwa G dan pada pengulangan ke-(x-1) menghasilkan peristiwa

S. Kita akan menghitung peluang bahwa peristiwa S terjadi pertama kali pada

pengulangan eksperimen ke-(x-1). Susunan yang akan terjadi pada eksperimen itu

adalah:

x kali

G G G … G G G

1-p 1-p 1-p 1-p 1-p p

Pengulangan ke- 1 2 x-3 x-2 x-1

Karena setiap pengulangan bersifat bebas, P(S) = p dan P(G) = 1 - p berharga

tetap untuk setiap pengulangan eksperimen, maka peluang dari peristiwa susunan di

atas adalah:

P(G G G … G G S) = P(G).P(G).P(G). … . P(G).P(G).P(S)

= (1 - p)(1 - p)(1 - p)…(1 - p)(1 - p)(p)

P(G G G … G G S) = (1 - p)x - 1.p

Sehingga peluang bahwa peristiwa sukses terjadi pertama kali pada pengulangan

eksperimen ke-x adalah:

P(X = x) = (1 - p)x - 1.p

Berdasarkan uraian di atas, kita dapat mendefinisikan distribusi geometrik.

D e f i n i s i 8. 5 : FUNGSI PELUANG GEOMETRIK

Peubah acak X dikatakan berdistribusi geometrik, jika dan hanya jika fungsi

peluangnya berbentuk:

p(x) = P(X = x) = (1 - p)x - 1.p ; x = 1, 2, 3, …

Peubah acak X yang berdistribusi geometrik disebut juga peubah acak geometrik.

Penulisan notasi dari peubah acak X yang berdistribusi geometrik adalah X ~ G(x;p),

artinya peubah acak X berdistribusi geometrik dengan banyak pengulangan

eksperimennya sampai x kali dan peluang terjadinya peristiwa sukses sebesar p.

Sebuah eksperimen dikatakan mengikuti distribusi geometrik, jika eksperimen itu

memenuhi sifat-sifat sebagai berikut:

1. Ekeperimennya terdiri atas dua peristiwa, seperti sukses dan gagal.

2. Eksperimennya diulang beberapa kali sampai peristiwa sukses terjadi pertama kali.

3. Peluang terjadinya peristiwa sukses dan gagal pada setiap pengulangan eksperimen

bersifat tetap.

4. Setiap pengulangan eksperimen bersifat bebas.

Rataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi geometrik bisa dilihat

dalam Dalil 8.5.

f. Distribusi Hipergeometrik

Misalnya sebuah populasi suatu barang yang berukuran N terdiri atas k buah barang

baik dan sisanya (N - k) buah barang rusak. Kemudian diambil sebuah sampel acak

berukuran n (n N) secara sekaligus, ternyata dari sampel acak itu berisi x buah

barang baik dan sisanya (n - x) buah barang rusak. Dalam hal ini, kita akan

menghitung peluang bahwa dari sampel acak itu akan berisi x buah barang baik.

Banyak susunan yang mungkin untuk mendapatkan x buah barang baik dari k buah

D ali l 8. 5 : PARAMETER DISTRIBUSI GEOMETRIKRataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi geometrik sebagai berikut:

1.

2.

barang baik ada cara yang berbeda.

Banyak susunan yang mungkinuntuk mendapatkan (n-x) buah barang rusak ada

cara yang berbeda.

Banyak susunan yang mungkin untuk mendapatkan n buah barang dari N buah barang

ada cara yang berbeda.

Maka peluang bahwa sampel acak itu akan berisi x buah barang baik adalah:

Berdasarkan uraian di atas, ita peroleh definisi distribusi hipergeometrik berikut.

Peubah acak X yang berdistribusi hipergeometrik disebut juga peubah acak

hipergeometrik. Penulisan notasi dari peubah acak X yang berdistribusi

hipergeometrik adalah X ~ H(x;N,n,k), artinya peubah acak X berdistribusi

hipergeometrik dengan banyak barang baik dari sampel acak sebanyak x, banyak

barang dari populasi sebanyak N, banyak barang dari sampel acak sebanyak n, dan

banyak barang baik dari populasi sebanyak k.

Rataan dan varians dari distribusi hipergeometrik bisa dilihat dalam Dalil 8.6.

D e f i n i s i 8. 6 : FUNGSI PELUANG HIPERGEOMETRIK

Peubah acak X dikatakan berdistribusi hipergeometrik, jika dan hanya jika

fungsi peluangnya berbentuk:

D ali l 8. 6 : PARAMETER DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK

Rataan dan varians dari distribusi hipergeometrik sebagai berikut:

1.

2.

B. Jenis-jenis Distribusi Kontinu

a. Distribusi Seragam

Peubah acak yang berdistribusi seragam ini mempunyai fungsi densitas berupa

konstanta yang didefinisikan atas sebuah interval nilai peubah acaknya. Jadi fungsi

densitas seragam ini mempunyai nilai yang sama sepanjang interval nilai yang

diberikan.

Peubah acak X yang berdistribusi seragam dikatakan juga peubah acak seragam.

Penulisan notasi dari peubah acak yang berdistribusi seragam adalah S(x; α,β),

artinya peubah acak X berdistribusi seragam dengan parameter α dan β.

Peubah acak X yang berdistribusi seragam dengan parameternya α dan β bisa juga

ditulis sebagai: 𝑋~𝑆(𝛼,𝛽)Rataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi seragam bisa dilihat

dalam dalil 9.1.

D e f i n i s i 9. 1 : FUNGSI DENSITAS SERAGAM

Peubah acak X dikatakan berdistribusi seragam, jika dan hanya jika fungsi

densitasnya berbentuk:

D ali l 9. 1 : PARAMETER DISTRIBUSI SERAGAM

Rataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi seragam

sebagai berikut:

1.

2.

3.

b. Distribusi Gamma

Distribusi gamma ini mempunyai fungsi densitas berbentuk:

Kita akan menentukan nilai konstanta k sedemikian hingga fungsi di atas memenuhi

sebuah fungsi densitas.

Sifat (i) dari fungsi densitas : f(x) ≥ 0

Karena x > 0, α > 0, dan β > 0, maka k > 0

Sifat (ii) dari fungsi densitas:

Integral di atas diselesaikan dengan menggunakan bantuan fungsi gamma,

yaitu:

Keterangan lebih lanjut dari fungsi gamma ini bisa dilihat dalam Lampiran 1.

Misalnya : y = x/β , maka x = β y

dx = β dy

Batas-batas: Untuk x = 0, maka y = 0

Untuk x = ∞, maka y = ∞

Dari uraian di atas, kita peroleh definisi distribusi gamma, yaitu sebagai

berikut.

Peubah acak X yang berdistribusi gamma disebut juga peubah acak gamma.

Penulisan notasi dari peubah acak X yang berdistribusi gamma adalah

G(x;α,β), artinya peubah acak X berdistribusi gamma dengan parameter α dan

β.

Peubah acak X yang berdistribusi gamma dengan parameternya α dan β bisa

juga ditulis sebagai:

Rataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi gamma bisa

dilihat dalam dalil 9.2

D e f i n i s i 9. 2 : FUNGSI DENSITAS GAMMA

Peubah acak X dikatakan berdistribusi gamma, jika dan hanya jika

fungsi densitasnya berbentuk:

D ali l 9. 2 : PARAMETER DISTRIBUSI GAMMA

Rataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi gamma

sebagai berikut:

1.

2.

3.

c. Distribusi Eksponansial

Distribusi eksponensial ini diperoleh dari distribusi gamma dengan α = 1 dan β = θ.

Sehingga kita bisa mendefinisikan distribusi eksponensial.

Peubah acak X yang berdistribusi eksponensial disebut juga peubah acak

eksponensial.

Penulisan notasi dari peubah acak yang berdistribusi eksponensial adalah ,

artinya peubah acak X berdistribusi eksponensial dengan parameter θ.

Peubah acak X yang berdistribusi eksponensial dengan parameter θ bisa juga di tulis

sebagai:

Rataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi eksponensial bisa

dilihat dalam Dalil 9.3

D e f i n i s i 9. 3 : FUNGSI DENSITAS EKSPONENSIAL

Peubah acak X dikatakan berdistribusi eksponensial, jika dan hanya jika fungsi

densitasnya berbentuk:

D ali l 9. 3 : PARAMETER DISTRIBUSI EKSPONENSIAL

Rataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi eksponensial

sebagai berikut:

1.

2.

3.

d. Distribusi Khi-kuadrat

Distribusi khi-kuadrat diperoleh dari distribusi gamma dengan α = v/2 dan β = 2.

Sehingga kita peroleh definisi distribusi khi-kuadrat berikut.

Peubah acak X yang berdistribusi khi-kuadrat disebut juga peubah acak khi-

kuadrat. Penulisan notasi dari peubah acak yang berdistribusi khi-kuadrat

adalah , peubah acak X berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan .

Peubah acak X yang berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan bisa juga

ditulis sebagai:

Rataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi khi-kuadrat bisa

dilihat dalam Dalil 9.4.

D e f i n i s i 9. 4 : FUNGSI DENSITAS KHI-KUADRAT

Peubah acak X dikatakan berdistribusi khi-kuadrat, jika dan hanya jika

fungsi densitasnya berbentuk:

D ali l 9. 4 : PARAMETER DISTRIBUSI KHI-KUADRAT

Rataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi khi-kuadrat

sebagai berikut:

1.

2.

3.

e. Distribusi Beta

Misalnya fungsi densitas dari peubah acak Y yang berdistribusi seragam berbentuk:

h(y) = 1 ; 0 < y < 1

= 0 ; y lainnya.

Apabila kita memperhatikan fungsi densitas di atas, maka sebenarnya fungsi densitas

tersebut merupakan hal khusus dari distribusi lain, yang disebut distribusi beta.

Peubah acak X yang berdistribusi beta disebut juga peubah acak beta.

Penulisan notasi dari peubah acak yang berdistribusi beta adalah B(x; α,β), artinya

peubah acak X berdistribusi beta dengan parameter α dan β.

Peubah acak X yang berdistribusi beta dengan parameter α dan β bisa juga ditulis

sebagai:

Rataan dan varians dari distribusi beta bisa dilihat dalam Dalil 9.5.

D e f i n i s i 9. 5 : FUNGSI DENSITAS BETA

Peubah acak X dikatakan berdistribusi beta, jika dan hanya jika fungsi

densitasnya berbentuk:

D ali l 9. 5 : PARAMETER DISTRIBUSI BETA

Rataan dan varians dari distribusi betas sebagai berikut:

1.

2.

f. Distribusi Normal Umum

Distribusi normal umum ini merupakan distribusi dari peubah acak kontinu yang

paling banyak sekali dipakai sebagai pendekatan yang baik dari distribusi

lainnya dengan persyaratan tertentu. Sifat-sifat distribusi normal umum secara

matematika dipelajari pertama kali oleh tiga orang ahli, yaitu:

1. Abraham de Moivre (1667 - 1745)

2. Pierre Laplace (1749 - 1827)

3. Karl Gauss (1777 - 1855)

Abraham de Moivre, seorang matematikawan dari Inggris yang menenmukan

distribusi normal pada tahun 1733 sebagai hasil dari pendekatan distribusi

binomial dan penggunaannya terhadap masalah dalam permainan yang

bersifat untung-untungan. Kemudian Laplace tahun 1774 mengenal distribusi

normal sebagai hasil dari beberapa kekeliruan dalam Astronomi. Gauss tahun

1809 menggunakan kurva normal untuk menggambarkan teori kekeliruan

pengukuran meliputi penghitungan orbit bintang di langit. Sepanjang abad ke-18 dan

ke-19, beberapa upaya dibuat untuk menetapkan model normal sebagai dasar hukum

untuk semua peubah acak kontinu.

Berikut ini kita akan mendefinisikan distribusi normal umum.

Peubah acak X yang berdistribusi normal umum disebut juga peubah acak normal

umum.

Penulisan notasi dari peubah acak yang berdistribusi normal umum adalah N(x; , ),

artinya peubah acak X berdistribusi normal umum dengan rataan dan varians .

Definisi 9.6: FUNGSI DENSITAS NORMAL UMUM

Peubah acak X dikatakan berdistribusi normal umum, jika dan hanya jika

fungsi densitasnya berbentuk:

Peubah acak X yang berdistribusi normal dengan rataan dan varians bisa juga

ditulis sebagai:

Beberapa sifat dari kurva fungsi densitas distribusi normal umum sebagai berikut:

i. Kurvanya berbentuk lonceng dan simetrik di x =

ii. Rataan, median, dan modus dari distribusi berimpitan.

iii. Fungsi densitas mencapai nilai maksimum di x = sebesar

iv. Kurvanya berasimtut sumbu datar x.

v. Kurvanya mempunyai titik infleksi (x,f(x)), dengan:

g. Distribusi Normal Baku

h. Distribusi Normal Dua Peubah Acak