SUMAS DE RIEMANN

Hallar el área de la región bordeada por las gráficas de f x=x2, x=0, x=2 y el eje x mediante elcálculo del límite de las sumas de Riemann:

SOLUCION:

Primero dividimos [0,2] en n subintervalos de igual longitud:

xi=ai x=0i 2n=2 i

n La enésima suma de Riemann es

∑i=1

nf xi x=∑i=1

nf 2 i

n 2n=∑i=1

n2 in

2

2n=∑i=1

n 8n3 i

2= 8n3∑i=1

ni2= 8

n3 [nn12n1

6]

el área de la región es el límite de las sumas de Riemann:

limn∞∑i=1

nf xi x=limn∞ [

4n12n13n2 ]=8

3

Hallar el área de la región bordeada por las gráficas de f x=x−122, x=−1, x=2 y el eje xmediante la búsqueda del límite de las sumas de Riemann.

SOLUCION:

Se divide [-1,2]: ;

La enésima suma de Riemann es

∑i=1

nf xi x=∑i=1

nf −13 i

n 3n=∑i=1

n[−13 i

n−1

2

2] 3n

=

=

=

x=2−0n

= 2n

xi=ai x=−13 in x=2−−1

n=3n

∑i=1

n[ 3 in−2

2

2] 3n=∑i=1

n 9 i2

n2 −12 in

42 3n

∑i=1

n27 i

2

n3−36n2 i

18n=27n3 ∑i=1

ni2−36

n2 ∑i=1

ni18n ∑i=1

n1

27n3 [

nn12n16

]−36n2 [

nn12

]18nn=9n1 n1

2n2−18 n1

n18∑i=1

nf x i x

el área de la suma de Riemann:

limn∞∑i=1

nf xi x=limn∞ [9n1 2n1

2n2−18 n1

n18] = 9 -18 + 18 =9

Hallar el área de la región bordeada por las gráficas de f x=2x23 , x=−2, x=0 y el eje xmediante el cálculo del límite de las sumas de Riemann.

SOLUCION

Se divide [-2,0]: x= 2n; xi=−22 i

n la énesima suma de Riemann es:

∑i=1

nf xi x=∑i=1

n2−22 i

n2

3

2n=∑i=1

n 32 i3

n4 =32n4 ∑i=1

ni3=32

n4 [n2n12

4]=8 n12

n2

se halla el límite :

limn∞∑i=1

nf xi x=limn∞ 8 n12

n2 =8

✔ Evaluar limn∞∑i=1

n xi

2−2 xi x , donde xo=1 , x1=1 x , ... , xn=3 mediante el análisisde la integral apropiada.

SOLUCION

Esta suma de Riemann se debe cambiar a una integral: x se convierte en dx, xi se convierte en xy el intervalo de integración es [1,3].

Evaluar limn∞∑i=1

n xi1−xicos xi , donde x0=0,...,xn=

6 .

SOLUCION

Se reconoce que xi1−xi= x y se obtiene

limn∞∑i=1

nxi

2−2 xi x=∫1

3 x2−2 xdx= x

3

3−x2

1

3

= 33

3−32−13

3−12=2

3

limn∞∑i=1

n xi1−xicos x=limn∞∑i=1

n x cos x =∫0

6 cos x dx=sen x0

6=sen

6−sen 0