수 , 거듭제곱 , 로그

아꿈사 : http://cafe.naver.com/architect1김태우 : codevania@gmail.com

수Number

실수

유리수

무리수

정수

자연수

수의 체계

정수

• Integer

• 소수부가 없는 온전한 수 (Whole Number)

• 음수 , 양수 모두

– ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

유리수

• Rational Number

• 두 정수의 비율 ( 나누기 ) p/q

– 여기서 , q 는 양수

실수

• Real Number

• 소수 전개 (decimal expansion) 를 가진 수량 x

– (1)

– 여기서 , n 은 정수이고 , 각 d i 는 0 에서 9 사이의 숫자

– 이 숫자들의 열은 끝나지 않고 , 무한히 많은 9 들로 이어짐

....0 321 dddnx +=

실수

– (1)

• 위 (1) 의 표현은 다음을 의미한다

• 여기서 , k 는 모든 양의 정수

• 실수이지만 유리수는 아닌 예– - 원 둘레와 지름의

비율

– - 황금비 (1 + root5)/2

....0 321 dddnx +=

(2)kk

kk ddd

nxddd

n10

...1001010

...10010

2121 ++++<≤++++

복소수

• Complex Number

• z = x + iy

– x, y 는 실수• x: z 의 실수부 (Real Part)

• y: z 의 허수부 (Imaginary Part)

– i 는 을 만족하는 특별한 값

– z 의 절대값•

(3)

복소수

• 켤레 복소수

• 복소수와 켤레 복소수의 관계

구간

• Interval

• 닫힌 구간

– u, v 가 실수이고 u < v 일 때

– 닫힌 구간 [u..v] 는 u <= x <= v 인 실수들의 집합

• 열린 구간

– u, v 가 실수이고 u < v 일 때

– 열린 구간 (u..v) 는 u < x < v 인 실수들의 집합

구간

• 열린 하계 (lower bound), 상계 (upper bound) 에서u 가 음의 무한대이거나 v 가 양의 무한대인 것도 가능

– 이 경우는 하계 또는 상계가 없다는 뜻

•

– 모든 실수들의 집합

•

– 음이 아닌 실수들의 집합

지수Exponent

지수

• 이번 절 전체에서 문자 b 를 양의 실수라고 하자

• n 이 정수이면 b^n 은 다음처럼 정의 된다.

– , 만일 n>0 이면 , 만일 n<0 이면

• b = 2, n = 3

– b^3 = b^2 * b8 = 4 * 2

• b = 2, n = -3

– b^-3 = b^-2 / b

– 1/8 = (1/4) / 2

(4)

10 =bbbb nn 1−=bbb nn /1+=

지수 법칙

• Laws of Exponents

• 귀납법으로 쉽게 증명할 수 있다

– (5)

– 증명은 모르겠으니 , 귀납법이나 알아 봅시다 . -_-;;

yxyx bbb =+ xyyx bb =)(

추론Reasoning

뜬금없이 -_-

추론

• 명제 ( 논리적 주장 ) 에 대한 논거 ( 이론적 근거 )

• 대표적 추론

– 연역법

– 귀납법

– 변증법

연역법

• 일반적 원리로부터 구체적 사실로 추리 !

• 대전제로부터 소전제를 매개로 하여대전제의 개념 속에 포함되어 있는 결론을논리적으로 이끌어 내는 방법

• 즉 , 일반적인 사실을 근거로 구체적 사실을이끌어 내는 것

• 예 ) 연역법을 이용한 대표적인 삼단논법 추리– 사람은 죽는다 . ( 대전제 )

– 소크라테스는 사람이다 . ( 소전제 )

– 소크라테스는 죽는다 . ( 결론 )

귀납법

• 구체적 사실에서 일반적 원리로 !

• 객관적인 관찰로 결론을 도출하는 것 .

• 예 )

– 소크라테스는 죽었다 .

– 세종대왕도 죽었다 .

– 누구누구도 죽었다 . 등등등 .

– 그러므로 모든 인간은 죽는다 .

변증법

• 정정반반합 의 순서를 거쳐 진리를 이끌어내는 것

• 동일률 ( 同一律 ) 을 근본원리로 하는 형식논리에 대하여 , 모순 또는 대립을근본원리로 하여 사물의 운동을 설명하려고 하는 논리

• 예 ) 소크라테스의 ' 나는 무지하다 '

– 소크라테스는 가장 많은 지식을 가진 사람인데,자신이 제일 무지하다고 해버림 .

– 바보 귀족들이 그들의 무지를 인정 하지 않음을 비꼼

수학적 귀납법

• 주어진 명제 P(n) 이 모든 자연수에 대하여 성립함을 보이는 증명법

– n=1 에 대해 성립하고

– k 와 k+1 에 대해 각각 성립함을 보인다

수학적 귀납법

• 예 ) 자연수 n 에 관한 어떤 명제 P(n) 에서명제 P(n) 이 임의의 자연수에 대하여 성립하는 것을 증명하라

– 다음 2 가지를 증명하면 됨

– P(1) 이 성립한다

– P(k) 가 성립한다고 가정하면 , P(k+1) 도 성립한다 .

• P(n) : 홀수의 합은 제곱수이다 .

– 1 + 3 + 5 + … + (2n-1) = n^2

예제 풀이• P(n) : 홀수의 합은 제곱수이다 .

– 1 + 3 + 5 + … + (2n-1) = n^2 - (1)

• [1] n = 1 일때– (1) 의 좌변은 1, 우변은 1^2 = 1

그러므로 참

• [2] n = k 일때 성립한다고 가정하면– 1 + 3 + 5 + … + (2k-1) = k^2

– 이 식의 양변에 2k+1 을 더하면

– 1 + 3 + 5 + … + (2k-1) + (2k+1) = k^2 + (2k+1)

– 이 식의 우변을 정리하면 , (k+1)^2 이 된다 . 따라서 ,

– 1 + 3 + 5 +…+(2k-1) + (2k+1) = (k+1)^2

– 이 식은 (1) 식에 n = k + 1 을 대입한 것

• 여기서 n = k 일 때 성립한다고 가정하면n = k + 1 일 때도 성립한다는 것이 증명된 셈이다 .

• [1], [2] 에 의해서 등식 (1) 은 모든 자연수 n 에 대하여 성립 .

제곱근

• u 가 양의 실수 , m 이 양의 정수일 때

• 가 되는 고유한 양의 실수 v 가 존재

• 이를 u 의 m 제곱근이라고 부르며 , 로 표기한다 .

• 이제 유리수 r = p/q 에 대해 을 다음과 같이정의 한다

– 이며 x 와 y 가 임의의 유리수일 때에도 지수법칙이 여전히 성립한다는 점에서 유용하다 .

(6)

uvm =

m uv =

rb

q pqp bb =/

qpaqap bb // =

실수

• 모든 실수 x 에 대해 를 정의하자

• 우선 b >1 라고 하자

• x 가 식 (1) 로 주어졌을 때

다음이 성립해야 함 (7)

• 이것은 를 하나의 교유한 양의 실수로 정의한다 .

• 왜냐하면 (7) 의 하한과 상한의 차이가 이기 때문이다

• 이 차이는 보다 작으며 ,k 를 충분히 크게 잡으면 원하는 만큼의 정밀도로 의 값을 얻을 수 있다 .

....0 321 dddnx +=

xb

kkk

kk ddnxddn bbb 10/110/...10/10/...10/ 11 +++++++ <≤

xb

)1( 10/110/...10/1 −+++ kkk bb ddn

kn bb 10/)1(1 −+

xb

로그Logarithm

로그

• 양의 실수 y 가 주어졌다고 할 때 ,

• 인 실수 x 를 찾을 수 있을까 ? – 식 (7) 을 거꾸로 적용해서

– 가 되는 n 과 d 1, d 2, ... 들을 구하면 된다 .

• 그 결과로 얻은 x 를 y 의 기수 b 로그(logarithm, 대수 )라고 부르고 로 표기한다 .

xby =

yx blog=

ybx =

)(loglog xb

x bbx b ==)0,0,(loglog)(log 일때단 >>+= yxyxxy bbb

)0 (log)(log 일때단 >= ccyc by

b

(9)(11)

(12)

로그

• 상용로그

– Common Logarithms

– 기수가 10 인 로그

• 이진로그

– 컴퓨터가 두 갈래로 분기하는 경우가 많기 때문에 ,이진로그가 컴퓨터 작업에서 상용로그 보다 유용

– 앞으로 좀 더 간결하게 표현하자

• 상용로그와 이진로그의 관계

(13)

(14)

xx 2loglg =c

xx

b

bc log

loglog =

)2)(log(lg)2(loglog 10lg

1010 xx x ==좀 더 일반화…

자연로그

• Natural Logarithms

• 왜 자연스러운가 ?

– 색칠된 영역의 면적이 ln x 이다

– 은행이 이율 r 로 반년마다 복리 이자를 지급할 때 ,1 원 당 이자는 (1+r/2)^2 원이다 .

(15)xx elogln =

?

Lisence