Tema i aplicaciones de la derivada matematica i uney

PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN

INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL

PROFESOR: JULIO BARRETO 1 MATERIA: MATEMÁTICA I

TEMA I: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

RECTA TANGENTE Y NORMAL

EJEMPLO: Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función

xxf )( en el punto .2,4

En primer lugar hallemos la pendiente de la recta tangente usando límites:

)(

)(lim

)(

))((limlim

000 xhxh

xhx

xhxh

xhxxhx

h

xhxm

hhh

4

1

42

1

2

1

)(

1lim

)(lim

00

xxhxxhxh

hm

hh

Ahora hallemos la ecuación de la recta con la expresión: 00 )( yxxmy

14

121

4

12)4(

4

1 xxxy

TEMA I: APLICACIONES DE LA DERIVADA


La normal a una curva en un punto P es la perpendicular a la recta tangente en

dicho punto. Si la pendiente de la tangente es ),(' afmt la pendiente de la normal será

)('

1

afmN y la ecuación de la normal nos viene dada por:

)()('

1)( ax

afafy

Así, en el ejercicio anterior la pendiente de la normal será .4

4

1

1Nm Y la

ecuación de la normal nos viene dada por:

104284)2(42 xyxyxy

Grafique esta recta como ejercicio.

EJERCICIO:

Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la curva dada por 3)( xxf en

el punto de abscisa x = 2.

Ecuación de la recta tangente: 162 x y

Ecuación de la recta normal: 6

49

12

x y

INFORMACIÓN EXTRAIDA DE LA PRIMERA DERIVADA

PUNTO CRÍTICO

DEFINICIÓN: Un número c para el cual una función f está definida y para el cual

0 cf o cf no existe, se llama un NÚMERO CRÍTICO para f .

EJEMPLO: La función f está definida por la ecuación .22x-xexf ¿Cuáles son

los puntos críticos de f ?



Para empezar, debemos determinar el dominio de .22x-xexf

.RDomf

Tenemos que encontrar la derivada de 22x-xexf para determinar los puntos

críticos. Por la regla del producto y la regla de la cadena,

222222 2222222 441 x-x-x-x-x-x- exexexeexexxf

Igualamos esta expresión a 0 y resolvemos la ecuación resultante.

04104 22222 222

xeexe x-x-x-

Como 022 x-e para toda x , se sigue que

2

102121041 2 x=x+xx

Así, 2

1x son los ceros de f ′. Esto significa que los puntos críticos

son 2

1 y

2

1 . Ahora bien, observa la gráfica siguiente y ten en cuenta la relación entre

derivada en un punto y la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.



RELACIÓN ENTRE CRECIMIENTO Y DERIVADA

f derivable y creciente en 0x 0)( 0 xf .

f derivable y decreciente en 0x 0)( 0 xf .

EJEMPLO: 3xxf es derivable en todo R y su derivada es 23xxf . La

gráfica es:

Se observa que la función es creciente en todo su dominio que es R , veamos que la

derivada es positiva en todo punto del dominio.

Efectivamente 03)( 2 xxf Rx todopara .

CRITERIO PARA IDENTIFICAR INTERVALOS CRECIENTES O

DECRECIENTES

fxf 0)( es creciente.

fxf 0)( es decreciente.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS

La función f presenta un máximo relativo en ,0x cuando existe un entorno 0xE

tal que: 0xfxf ., 00 xxxEx



La función f presenta un mínimo relativo en ,0x cuando existe un entorno 0xE

tal que: 0xfxf ., 00 xxxEx

CONDICIÓN NECESARIA DE MÁXIMO O MÍNIMO RELATIVO

f es derivable en 0x y f tiene un máximo o un mínimo en

0x 0)( 0 xf .

Sin embargo no es una condición suficiente, porque puede ocurrir que la derivada en

un punto valga 0 y que no haya máximo ni mínimo, como en 00 x en el ejemplo 3xy .

REGLA PARA SABER SI UN PUNTO SINGULAR ES MÁXIMO O MÍNIMO

RELATIVO

Para saber si un punto singular (puntos que anulan la derivada) es máximo o mínimo

relativo de una función estudiaremos el signo de la derivada primera de la función.

EJEMPLO: Sea xxxf 273 cuya grafica es:

SOLUCIÓN:



Si calculamos su derivada y estudiamos el signo se tiene,

.33393273 22 xxxxxf Luego podríamos decir que la función de

acuerdo con este estudio:

Crece en ,33,

Decrece en 3,3

Así como crece en 3, y decrece en 3,3 entonces hay un máximo relativo en

)3(,3 f que en este caso será un MÁXIMO ABSOLUTO y como decrece en 3,3 y

crece en ,3 entonces hay un mínimo relativo en )3(,3 f que en este caso será un

MÍNIMO ABSOLUTO cómo se observaba en la gráfica.

INFORMACIÓN EXTRAIDA DE LA SEGUNDA DERIVADA

Una función es cóncava en un intervalo si las rectas tangentes a la función en ese

intervalo están por debajo de la función. Una función es convexa en un intervalo si las

rectas tangentes a la función de ese intervalo están por encima.

La denominación de convexidad y concavidad depende del punto de vista que se

adopte para considerar que es una concavidad, esto es si se mira a la función "desde arriba"

o "desde abajo". Por ello, es frecuente que en ocasiones se adopten las denominaciones

cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo para evitar las ambigüedades.

Los puntos donde la función cambia de curvatura se llaman PUNTOS DE

INFLEXIÓN.

( , -3) (-3,3) (3, )

3 + + +

3x - + +

3x - - +

Signo f + - +



RELACIÓN DE LA CURVATURA CON LA SEGUNDA DERIVADA

Si observamos la gráfica siguiente veremos que cuando la función es cóncava las

pendientes de las rectas tangentes (las derivadas) tienen un valor cada vez más grande, y

cuando es convexa cada vez menor.

CRITERIOS DE CONCAVIDAD O CONVEXIDAD

Por la derivada primera:

a. Si una función es cóncava las pendientes de las tangentes aumentan ( f es

creciente).

b. Si una función es convexa las pendientes de las tangentes disminuyen ( f es

decreciente).

Por la derivada segunda:

Si f es cóncava hacia arriba entonces f creciente, por lo tanto .0f

Si f es cóncava hacia abajo entonces f decreciente, por lo tanto .0f

f es derivable en 0x y tiene un PUNTO DE INFLEXIÓN en 0x 00 xf



CRITERIO PARA IDENTIFICAR INTERVALOS CÓNCAVOS Y CONVEXOS

Si una función es derivable dos veces, se tiene

fxf 0)( es cóncava.

fxf 0)( es convexa.

EJEMPLO: Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los extremos de

la función indicada:

xx= xxf 156 23

SOLUCIÓN: Tenemos que que su dominio es: .Domf=R Además:

015123 2 x x= xf PUNTOS CRÍTICOS: 5y 1 21 . = x = x

0126 x= xf 0181 = f En 11 = -x se tiene un MÁXIMO de f .

0185 = f En 52 = x se tiene in MÍNIMO de f .

EJEMPLO: Sea la función .x=xexf Hallar el punto de inflexión y donde la

función es cóncava y convexa.

SOLUCIÓN: Notemos que su dominio es: .Domf=R

Ahora bien hallando la primera derivada:

.11 xxxxxxx exxeeexeexex=xf

Y la segunda derivada es:



xxxxxxxxxxx exxeexeeeexexexee=xf

22

El punto de inflexión es:

020 xex=xf

Y como 0xe para todo ,x entonces .202 xx Y el PUNTO DE

INFLEXIÓN es .2

,22

e

El signo de f es 0323 33 eef y .0121 11 eef

Así la función es convexa en 2, y cóncava en .,2 Veamos:

APLICACIONES A RAZONES DE CAMBIO

Según lo dicho anteriormente, el concepto de razón de cambio está presente en la vida

diaria, muchas veces manejado sin darle un nombre específico o sin reflexionar sobre las

acciones realizadas. Ya que vivimos en un mundo físico, social, político, económico,

biológico, resulta importante poder describir y medir estos cambios a través de modelos

matemáticos. Por ejemplo, una planta crece a medida que el tiempo transcurre, puede

detener su crecimiento en algún instante, para luego volver a crecer, o permanecer

estacionaria. También la población de un país varía con el correr del tiempo y la variación

depende básicamente de la cantidad de nacimientos y de muertes.

Es importante medir estas variaciones y expresarlas en números pues estos nos

permitirán extraer conclusiones. Esto nos permite saber, por ejemplo, en el caso de

consumo de energía eléctrica como función del tiempo, cuándo se produce un aumento



repentino, lo que indica la necesidad de aumentar la capacidad eléctrica; si estamos

analizando la evolución de una enfermedad a través del tiempo podremos saber cuándo se

está propagando con mayor rapidez y así reforzar las medidas sanitarias necesarias.

Analizaremos a través de ejemplos, cómo medir los cambios.

EJEMPLO 1: Un pedazo de alambre de 20 cm de largo se corta en dos partes; una

parte se dobla para formar un cuadrado y con la otra se forma una circunferencia. ¿Dónde

se deberá hacer el corte para que la suma de las áreas del cuadrado y del círculo sea un

mínimo?

SOLUCIÓN:

Con el primer segmento se construye el cuadrado cuyo lado medirá que su dominio

es: ,4

x con el resto se construye la circunferencia en que el radio medirá que su dominio es:

.2

2

xLrxLr Las áreas, por lo tanto, medirán:

2

cuadrado16

1 =A x

y

4

= A

2

círculo

xL

El área total será:

416

1 = A A= A

2

2

círculo cuadradoTotal

xLx

La primera derivada del área total respecto de x , resulta: xLxdx

dA

2

1

8

1

Igualando a 0 y despejando el valor de x , queda:



822

16

Lx

La segunda derivada del área total respecto de x queda: 02

1

8

12

2

dx

Ad lo

que nos indica que es positiva ,x en consecuencia, el valor del área es un mínimo.

Reemplazando en x el valor de la longitud del alambre: 20 cm tenemos que x = 11,2 cm.

EJEMPLO 2: A un tanque que tiene la forma de un cono circular recto invertido de

4 m de radio y 16 m de altura entra agua a una razón de 50 cm3/s. ¿A qué velocidad está

subiendo el nivel del agua cuando este se encuentra a 4 m. de altura? ¿A qué velocidad está

cambiando el radio en ese mismo instante?

SOLUCIÓN

En la figura aparece el cono con las dimensiones dadas y una porción del volumen en

cualquier instante t .

Desígnese por:

:V volumen (en cm3) de agua en el tanque en el instante t (s).

:x Radio (en cm) de la sección del cono al nivel del líquido en el instante t .

:y Altura del agua (en cm) en el instante t .

Datos:

seg

cm

dt

dV 3

50



El volumen del agua en el instante t viene dado por:

1 3

1 2 yxV

De la semejanza de los triángulos ODE y OBC, se deduce que:

3

4

2 4

4

16y

x

xy

x

y

Puede formularse la pregunta así:

?dt

dy cuando y = 4 m = 400 cm.

Una manera simple de calcular dt

dy consiste en expresar V en 1 en términos

únicamente de la variable y (usando 3 ) y derivando en ambos lados con respecto a .t

Así,

3

2

2

4843

1

3

1yy

yyxV

dt

dyy

dt

dyy

dt

dV

163

48

22

De donde

2

16

y

dt

dV

dt

dy

De acuerdo a las condiciones del problema:

5

200

1

400

5016

2

3

s

cm

cm

s

cm

dt

dy

Indicando con esto que la altura crece a esa velocidad.

b. Puede formularse la pregunta así:



?dt

dxcuando y = 4 m. = 400 cm. x = 100 cm.

Una manera sencilla de encontrar la solución, consiste en derivar ambos miembros de

3 con respecto a .t .

Así,

6 800

1

200

1

4

1

4

1

s

cm

s

cm

dt

dy

dt

dx

Indicando con esto que el radio crece a esta velocidad.

Otra manera de obtener la solución, consiste en expresar V en 1 en términos

únicamente de la variable x (usando 2 ) y derivar en ambos lados con respecto a

t .(¡VERIFIQUE!)

EJEMPLO 3: Se dispone de una cartulina cuadrada de lado a y se quiere hacer una

caja sin tapa recortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando sus lados. ¿Cuál debe

ser la longitud del lado del cuadrado que se recorta para que el volumen de la caja sea

máximo? ¿Cuál es el volumen de la caja?

SOLUCIÓN:

Sea :x Longitud del lado del cuadrado que se recorta en cada una de las esquinas

según la figura de abajo en la parte (a)), donde .2

0a

x

(a) (b)



Al doblar la parte de cartulina restante, se forma la caja abierta que aparece en la

figura de arriba en la parte (b).

Ahora, volumen de la caja = área de la base x altura. Esto es,

1 2

0 ;442 2232 axxaaxxxxaxV

Puesto que xV (FUNCIÓN A MAXIMIZAR) es una función continua en el

intervalo ,2

,0

a entonces xV alcanza un valor máximo y un valor mínimo en dicho

intervalo.

Al derivar xV en 1 e igualar a cero, se obtienen los puntos críticos. En efecto:

062812 22 x-ax-aaaxxxV

De acá:

606

202

axax

ó

axax

Son los puntos críticos

Para analizar la naturaleza de los puntos críticos, se usa el criterio de la segunda

derivada. Así,

axxV 824

Luego:

042

8

2

16248

2

248

224

2

a

aaaa

aa

aaV

Lo cual indica que 2

ax corresponde a un mínimo relativo. (Interprete

geométricamente el resultado).



046

24

6

48248

6

248

624

6

a

aaaa

aa

aaV

Lo cual indica que6

ax corresponde a un máximo relativo.

En consecuencia, el volumen máximo se obtiene recortando en las esquinas de la

cartulina cuadrados de lado 6

a y se obtiene de esta forma una caja cuyo volumen viene

dado por:

27

2

69

4

63

2

63

3

63662

6

322222aaaaaaaaaa

aaa

aa

V

EJERCICIOS:

1. Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los extremos de las

funciones indicadas:

a) 732 2 x+ x=xf b) 31x=xf c) x

=xxf1

SOLUCIÓN: a) 8

47

4

3

f MÍNIMO. b) No existen extremos. c) 21 f

MÍNIMO; 21 f MÁXIMO.

2. ¿Cuáles son las dimensiones de un campo rectangular de área dada que requiere la

menor cantidad de cercado?

SOLUCIÓN: Un cuadrado

3. Encuentre el volumen de la mayor caja que se puede construir de un cuadrado de

cartón de 20 cm de lado cortando cuadros iguales en cada esquina y doblando los

lados hacia arriba.

SOLUCIÓN: V = 27

16592 cm2



APLICACIONES DE LA DERIVADA A LA FÍSICA

VELOCIDAD Y ACELERACION:

dt

dsv(t) ,

2

2

dt

sd

dt

dvta

EJEMPLO: Un punto se mueve a lo largo de un eje coordenado horizontal de tal

manera que su posición en el instante t está especificado por: ,30366 23 t-tts s se mide

en pies y t en segundos.

a) ¿Cuándo la velocidad es cero?

b) ¿Cuándo la velocidad es positiva?

c) Cuándo el punto se está moviendo hacia la izquierda (es decir, en la dirección

negativa).

d) ¿Cuando la aceleración es positiva?

SOLUCIÓN:

a) .62336123 2 ttttdt

dsv Así 0v en 2t y .6t

b) ,0v cuando .062 tt La soluciones 2t o ,t 6 en notación de

intervalo .62 ,,

c) El punto está moviéndose hacia la izquierda cuando ,0v esto es cuando

.062 tt Esta desigualdad tiene como solución el intervalo .62,

d) .ttdt

dva 46246 Por tanto 0a cuando .t 4

EJERCICIOS DE APLICACIONES DE LA DERIVADA A LA FÍSICA

1. Un objeto que se lanza directamente hacia arriba está a una altura 2564816 2 tts

pies después de t segundos:

a. ¿Cuál es su velocidad inicial?

b. ¿Cuándo alcanza su altura máxima?

c. ¿Cuál es su altura máxima?

d. ¿Cuándo llega al suelo?



e. ¿Con qué rapidez llega al suelo?

2. Un objeto lanzado directamente hacia arriba desde el nivel del piso con una velocidad

de 48 pies por segundos, está aproximadamente a tts 4816 2 pies de altura al final

de t segundos.

a. ¿Cuál es la altura máxima?

b. Al final de un segundo, ¿Qué tan rápido se está moviendo el objeto, y en qué

dirección?

c. ¿Cuánto tarda en regresar a su posición original?

3. Un proyectil se dispara directamente hacia arriba desde el suelo, con una velocidad

inicial de v0 pies por segundos. Su altura a los t segundos está dada por 2

0 16ttvs

pies. ¿Cuál debe ser su velocidad inicial para que el proyectil alcance una altura

máxima de 1 milla?

4. Se lanza verticalmente una pelota hacia arriba con una velocidad inicial v0=30 metros

por segundo. si la ecuación del movimiento es 2

2

0

gttvts con ;10

2s

mg hallar.

a. La velocidad de la pelota en un tiempo t .

b. La velocidad en t = 1 s, t =3s.

c. El tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima.

d. La altura máxima de la pelota.

e. La velocidad que lleva la pelota al llegar de nuevo al suelo.

ANEXO I. APLICACIÓN DE LA DERIVADA AL CÁLCULO DE LÍMITES

Los límites de formas indeterminadas que no pueden resolverse mediante la

factorización, generalmente se resuelven por la conocida en la matemática como Regla de

L´Hôpital, que contiene en su estructura el concepto de derivada.

TEOREMA DE L´HÔPITAL

Supongamos que las funciones f y g están definidas y son derivables en cierto

entorno de a . Si

)(lim xfax

0)(lim

xgax

, y 0)( xg en cierto entorno de a , entonces, si

existe )(

)(lim

xg

xf

ax

(finito o infinito), existe también

)(

)(lim

xg

xf

ax, y se cumple que:

)(

)(lim

xg

xf

ax=

)(

)(lim

xg

xf

ax

.

La Regla de L´Hôpital también es válida en el caso que las funciones f y g no están

definidas en a , pero

)(lim xfax

0 y 0)(lim

xgax

.



Si 0)()( agaf , y )(xf y )(xg satisfacen las condiciones puestas sobre las

funciones f y g , podemos aplicar la Regla de L´Hôpital a )(

)(

cg

cf

, y obtenemos:

)(

)(lim

xg

xf

ax

=

)(

)(lim

xg

xf

ax

; aplicar sucesivamente.

EJEMPLO 1: Calcular: ee

xxxx

ln1lim

2

1

SOLUCIÓN:

En este caso estamos ante la indeterminación 0

0, pues

0011)ln1(lim 22

1

xx

x, y 0)(lim 1

1

eeee x

x

Resolvemos aplicando la Regla de L´Hôpital:

ee

xxxx

ln1lim

2

1

)(

)ln1(lim

2

1 ee

xxxx ee

xx

xx

3

12

lim1

CÁLCULO DE LÍMITES DE LA FORMA

El teorema anterior es válido si se sustituye la exigencia de

)(lim xfax

)(lim xgax

= 0

por

)(lim xfax

)(lim xgax

= , y se llama, por extensión, Regla de L´Hôpital.

EJEMPLO 2: Hallar:

x

x

x 1

lnlim

0

SOLUCIÓN:

En este caso estamos ante la indeterminación

, pues,

x

xlnlim

0, y

xx

1lim

0. Resolvemos aplicando la Regla de L´Hôpital:



x

x

x1

lnlim

0= 0lim

1

1

lim2

0

2

0

x

x

x

xxx

Existen otras formas indeterminadas, 0. e , que pueden transformarse en las

formas 0

0 ó

, y aplicar la Regla de L´Hôpital.

Si queremos calcular )().(lim xgxfax

y, 0)(lim

xfax

y

)(lim xgax

, entonces,

)().( xgxf =

)(

1

)(

xg

xf , y por tanto, )().(lim xgxf

ax=

)(

1

)(lim

xg

xf

ax, y ahora es de la forma

0

0.

Además, )().( xgxf =

)(

1

)(

xf

xg , y es un límite de la forma

.

En dependencia del límite que se esté calculando, se hará una u otra de las

transformaciones anteriores, siguiendo el criterio que la aplicación de la Regla de L´Hôpital

simplifique el proceso de determinación del límite.

EJEMPLO 3: Calcular: 22

0lnlim xx

x

SOLUCIÓN:

Observemos que 0lim 2

0

x

x, y

2

0lnlim x

xLuego, estamos ante una

indeterminación del tipo 0. .

Transformando,

22

0lnlim xx

x=

2

2

0 1

lnlim

x

x

x

2

2

01

lnlim

x

x

x

4

2

0 2

2

lim

x

xx

x

x0lim 2

0

x

x



Observe que 22

0lnlim xx

x=

2

2

0

ln

1lim

x

x

x, pero esta transformación es menos

recomendable en este caso en particular, pues la derivada de 2ln

1

x es mucho más compleja

que, simplemente, la derivada de 2ln x .

EJERCICIOS:

CALCULAR SOLUCIÓN (JUSTIFICA LOS PASOS)

1. 30

limx

xsenx

x

20 3

cos1lim

x

x

x 6

1lim

6

1

6

)(lim

00

x

xsen

x

xsen

xx

2. 34

23lim

23

23

1

xx

xx

x

5

3

83

63

83

63lim

2

2

1

xx

xx

x

3.

x

xsen

x 1

4

lim

4 41.4)4

(coslim xx

4. xx e

x 2

lim

xx e

x2lim 0

2lim

xx e

5.

xxx ln

1

1

1lim

1

xx

xx

x ln)1(

1lnlim

1=

xxx

xx 1

).1(ln.1

11

lim1

=

2

2

1 )1(1

1

lim

x

xx

x

xx

2

2

1 1

1

lim

x

xx

x 2

1

1

1lim

1

xx.

TEOREMA DE ROLLE Y TEOREMA DEL VALOR MEDIO

TEOREMA DE ROLLE: Sea f una función de variable real que satisface las

siguientes propiedades:

i. f es continua en el intervalo cerrado .,ba

ii. f es derivable en el intervalo abierto .,ba

iii. .0 bfaf



Entonces, existe por lo menos un punto bac , tal que: .0 cf

El siguiente teorema que se enuncia y se demuestra a continuación, es una

generalización del teorema de Rolle y se conoce con el nombre del teorema del valor medio

para derivadas.

TEOREMA DEL VALOR MEDIO: Sea f una función de variable real que

satisface las siguientes propiedades:

i. f es continua en el intervalo cerrado .,ba

ii. f es derivable en el intervalo abierto .,ba

Entonces, existe por lo menos un punto bac , tal que:

.ab

afbfcf

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Larson, Hostetler, Edwards: Cálculo. Volumen 1 y 2. Editorial McGraw-Hill. 6ta. Ed.

Leithold. L: El Cálculo. Oxford University Press. 7ma. Ed.

Purcell, E: Cálculo con Geometría Analítica. Editorial Prentice-Hall-Hispanoamericana.

8va. Ed.

Saenz, J. (1995). Cálculo Diferencial para ciencias e ingeniería. Primera Edición.

Hipotenusa Barquisimeto- Venezuela.

Tom Apóstol. (2005). Calculus. Cálculo con funciones de varias variables y álgebra lineal,

con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades. Editorial

Reverté.

"Si he llegado a ver más lejos que otros, es porque me subí a hombros de gigantes"

Sir. Isaac Newton

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