Biografía

Planificación de Clase

Metodología

TEOREMA DE BOLZANO

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Planificación de Clase

Metodología

TEOREMA DE BOLZANO

OBJETIVOS

1) Lograr la participación de los alumnos a través de las propuestas planteadas.

2) Demostrar el Teorema de BOLZANO.

4) Estimular la comunicación en general con un lenguaje matemático en particular.

3) Mostrar aplicaciones del Teorema.

Teorema de Bolzano

INTRODUCCIÓN INTUITIVA

A) Representamos una función continua en el intervalo [a,b[, con f(a).f(b)<0 f(b)

f(a)

a

b

¿Puede una función continua en un intervalo tal que

f(a).f(b)<0, no cortar el eje Ox?

f(b)

f(a)

a b

B) Representamos una función continua

en el intervalo, con f(a)>0 yf(b)>0 , y

que corte el eje Ox.

¿Existe una función continua en un intervalo, que corte el eje Ox tal que f(a).f(b)>0?

C) Representamos una función continua en el

intervalo cerrado [a,b[ , con f(a)>0 yf(b)>0,

y que no corte el eje de las abscisas

f(b)

f(a)

a b

C)

ba,

D) Representamos una función no continua

en el intervalo, con f(a).f(b)<0

f(b)

f(a)

a

b

PREGUNTA I)

Pregunta: De los cuatro primeros gráficos, Qué conclusiones puede realizar?

f(b)

f(a)

ab

f(b)

f(a)

ab

f(b)

f(a)

a b

f(b)

f(a)

a b

OBSERVACIONES

A) Si los dos valores funcionales de los extremos tienen signos distintos, la función corta el eje Ox.

B) Si la función corta el eje y los valores funcionales de los extremos tienen el mismo signo, la misma cortará el eje un número par de veces, o no lo cortará.

C) Si la función tiene los valores funcionales de los extremos de distinto signo y no corta el eje Ox, entonces no es continua.

Teorema de Bolzano

ENUNCIADO Y DEMOSTRACIÓN

Enunciado:

0)().(

,

,:)

bfaf

baencontinuaf

RbafSeaH

0)(/,)

cfbacunmenosalT

f(b)

f(a)

a

b

f(b)

f(a)

a

b

Dem:

S de supremo alc llamemossuperior, cota esb que dado te,superiomenacotadoesta

además,)()()(/,conjuntoun

puesdefinimos,)(Suponemos 1)

SSSafaf

xfbaxSaf

00

0

SxSde

remoelescquedadocxb

SxxfccxSiacExxfcE

CSTMPorcfSuponemos

0

0

0000

002

sup, Como )

.)(),()).,()(/),(

...)()

SxSde

remoelescquedadocxb

SxxfccxSiacExxfcE

CSTMPorcfSuponemos

1

1

1011

003

sup, Como )

.)(),()).,()(/),(

...)()

0f(c)0 quemenor ni mayor, ni es no )( cf

En 2) y 3) se producen contradicciones debido al supuesto falso por lo tanto dada la propiedad de Tricotomía:

Quedando demostrado el teorema de Bolzano

“Si f es continua en un intervalo [a,b[ de su dominio y f(a). f(b)<0, entonces f tiene al menos un cero en el intervalo”.

Obs: Si suponemos f(a)>0 se demuestra análogamente.

Teorema de Bolzano

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

EEjjeemmpplloo:: 11)) SSeeaa 21)(xxxf

ii)) HHaallllaarr eell ddoommiinniioo ddee ff.. iiii)) ¿¿ff eessttáá eennccoonnddiicciioonneess ddee BBoollzzaannoo eenn 0,2 ?? ¿¿yy eenn 3,1?? EEnnccaassoo aaffiirrmmaattiivvoo hhaallllaarr llaass rraaíícceess qquueeppeerrtteenneecceenn aa llooss iinntteerrvvaallooss ccoonnssiiddeerraaddooss..

SS oo ll uu cc ii óó nn ee ss pp ee rr aa dd aa ::

ii ))

2/))(( xRxxfD ..

ii ii )) SS ee aa ff cc oo nn tt íí nn uu aa ee nn [[ -- 22 ,, 00 ]]0

41

2212)2(

f 0

21

2010)0(

f

SS ee ee nn cc uu ee nn tt rr aa ee nn ll aa ss cc oo nn dd ii cc ii oo nn ee ss dd ee BB oo ll zz aa nn oo ..RR aa íí cc ee ss :: 0

2111)1(

f

ii ii ii )) 022111)1(

f 04

2313)3(

f PP ee rr oo nn oo ss ee

ee nn cc uu ee nn tt rr aa ee nn ll aa ss cc oo nn dd ii cc ii oo nn ee ss dd ee BB oo ll zz aa nn oo pp oo rr nn ooss ee rr cc oo nn tt ii nn uu aa ll aa ff uu nn cc ii óó nn ee nn ee ll ii nn tt ee rr vv aa ll oo .. CC oo nn ll ooqq uu ee nn oo pp oo dd ee mm oo ss aa ss ee gg uu rr aa rr ll aa ee xx ii ss tt ee nn cc ii aa dd ee cc ee rr oo ssdd ee ll aa ff uu nn cc ii óó nn ..

PREGUNTA II

¿Es el teorema de Bolzano una condición suficiente, (de la existencia de ceros en un intervalo)?, dadas sus condiciones ¿es necesaria?

Ejercicio :2) Presentamos como Corolario del Teorema de Bolzano, el siguiente ejemplo, que el siguiente ejemplo, que nos permite observar si dicho teorema nos permite observar si dicho teorema es:es:condición suficiente pero (y o no) necesaria. . , ,

2)(: xxfEJ

•Solución: Se tiene que la función es continua para todo x real, porlo que será continua en un intervalo. Luego trabajamosconociendo que f(0) = 0. Nos tomamos entonces el inter-valo siguiente [–1,1] y realizando cuentas:f(-1) = 1 y f(1) = 1, entonces f(-1).f(1) > 0. Con lo que no se cumple las condiciones de Hipótesis de Bolzano, por lo que podemos concluir:

CONCLUSIONES II

El teorema de Bolzano es una condición suficiente pero no necesaria, puesto que existiendo valores funcionales iguales a cero, siendo además continua la función, entonces los valores funcionales extremos no presentan distinto signo.