Teoría de Juegos

Álgebra Matricial

Breve historia.

• Los nociones teóricas del juego datan de miles de años atrás

– El Talmud y Sun Tzu.

• La teoría moderna se le atribuye a John von Neumann yOskar Morgenstern 1944.

– Theory. of Games and Economic Behavior In the early 1950s

• John Nash ( película “A Beautiful Mind” ) generalizó estosresultados y propuso la base del campo moderno de los juegos no cooperativos.

¿Qué es la Teoría de Juegos?

• La Teoría de Juegos se considera como una de las

grandes herramientas para encontrar la forma en

que deben relacionarse individuos racionales

cuando sus intereses se encuentran en conflicto; es por

ello que la aplicación de la Teoría de Juegos es tan

extensa.

• Esta interacción bajo el supuesto de que la conducta

de cada persona afecta el comportamiento de

los demás participantes.

Teoría de Juegos en el mundo real.

• Economistas• Políticas anti-monopolio y competencia perfecta.

• Provisión correcta de bienes públicos ante el free-rider.

• Estrategas Militares• Políticas nucleares y nociones estratégicas.

• Cuerpos técnicos deportivos• Corrección de estos errores de toma de decisiones que

podría valer hasta dos victorias adicionales al año para una franquicia de la MLB y más de una media victoria por temporada para un equipo de fútbol profesional".

• Biólogos• Determinar cuáles especies tienen la mayor probabilidad

de extinción

¿Saber Teoría de Juegos me asegura ganar?

Formular estrategias efectivas.

Prever los resultados de situaciones estratégicas.

Rediseñar el juego para

favorecernos.

Conocer a qué juegos no queremos

jugar.

Tipos de Juego

Tipos de juegos

No cooperativos

Suma cero

Suma “no cero”.

Cooperativos

Tipos de Estrategias

Estrategias

PURA – Sea R (o C) equivale a la decisión de

mantenerse jugando en el mismo renglón (o

columna) en c/movimiento.

P=(p1, p2, ..pm)

MIXTA – Sea R (o C) equivale a la decisión de

variar los renglones (o columnas) elegidos en

distintos movimientos del juego.

Q=(1/n, 1/n, .., 1/n)

1 2

-2 3

1 2

-2 3

¿En qué consiste?

-1 1

1 -1

H

T

H T

Jugador R

Jugador C

Este es el juego de matriz m x n determinado por la matriz m x n denotada por A =

(aij)

La matriz A= (aij) del juego se llama matriz del juego o matriz de pagos

1 2

-2 3

Ejemplo: juego de suma cero

A =

C paga 1 si R1,C1

C paga 2 si R1,C2

C gana 2 si R2,C1

C paga 3 si R2,C2

Pérdida para R = (-aij)

Racionalmente, C escogerá C1 y R, R1

C Minimiza la máxima pérdida (Minimax)

R Maximiza la mínima ganancia (Maximin)

Punto silla

3 0 5

2 1 3

2 -1 -2

R s y C s recesivos

A =0 5

1 3A =

En este caso el juego está determinado estrictamente

R jugará en renglón i y C en columna j

1 es la componente (2,2) de la matriz

Estrategias óptimas, p=(010) , q=(010)

Principios Estratégicos

MAXIMIN

&

MINIMAX

Minimax

En un juego de suma cero entre 2 jugadores, es una

estrategia que permite a ambos jugadores minimizar la

pérdida máxima esperada.

Para esto cada jugador sólo debe escoger la

estrategia que tiene la recompensa más alta

entre los pagos más bajos ofrecidos por todas sus

estrategias.

Garantiza que la pérdida a sufrir no será mayor

al valor de esa recompensa que resulta ser la más

baja de las máximas esperadas

1 2 3

-1 0 1

-2 -1 0

1

-1

-2

1 2 3

Maximin

Minmax

1- El jugador 1 busca los mínimos del jugador 2

2- J1 elige el mayor de los mínimos

3- J2 busca los máximos del J1

4- J2 elige el menor de los máximos

5- Si existe un equilibrio, el juego se termina.

E1

E2

E3

E1 E2 E3

Valor del

juego = 1

Estrategias mixtas

*Cuando no es posible encontrar el punto silla y la

matriz no está determinada estrictamente, procedemos a

estrategias mucho más complejas (estrategias mixtas).

*Dentro de estas estrategias usamos métodos de programación

lineal como simplex y dualidad.

*Obtenemos una ganancia esperada, suponiendo que R y C usan

dos estrategias para el juego de matriz m x n, donde la ganancia

de R es igual a E(p,q) = ganancia esperada= pAq

Conceptos importantes.

• Vector de probabilidad: vector con componentes NO

negativas y cuya suma de las componentes es =1

• Variable aleatoria: función que asigna un número a

cada posible resultado del experimento.

• Valor esperado: la probabilidad de obtener la variable

aleatoria.