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TorsiónEjercicio N° 1 de la Guía de
Problemas Propuestos
Curso de Estabilidad IIbIng. Gabriel Pujol
Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires
Para las siguientes barras, todas de secciones circulares, de las figuras que a continuación se detallan, se pide analizar lo
siguiente:
EnunciadoDatos:Mt = 11 tmG = 0,85 E6 kg/cm2D = 17,50 cmL = 80 cm
1. Reacciones de vínculo externo.2. Diagrama de momentos torsores a lo
largo de las barras.3. Diagrama de tensiones tangenciales a
lo largo de las barras.4. Diagrama de tensiones tangenciales en
la sección T-T que está ubicada a L/2.5. Diagrama de ángulos de torsión
específicas.6. Diagrama de ángulos de torsión.
Consignas
Problema a)
Cálculo de las reacciones de vínculo
Para que el sistema esté en equilibrio la sumatoria de momento debe ser nula:
El momento torsor resulta ser constante a lo largo de toda la barra e igual al valor de la reacción de vínculo.
tBBtT MMMMM 0
cmkgmtcteMM tB 5101111
Datos:Mt = 11 t.mG = 0,85 x 106 kg/cm2
D = 17,5 cmL = 80 cm
Problema a)
Cálculo de las tensiones tangenciales
Serán directamente proporcional al momento torsor y al radio de la sección de la barra e inversamente proporcional al momento de inercia polar de la sección:
Al ser constante el momento torsor y la sección de la barra a lo largo de todo el eje, en la sección T-T las tensiones tendrán el valor del punto anterior.
23
5
3
4
00
32,045.150,1710111616
32;2
cmkg
cmcmkg
DMDJ
J
DMt
t
232,045.1cmkg
Problema a)
Cálculo del ángulo torsión y de torsión específicas
El ángulo de torsión específica “” lo calculamos como sigue:
cmcmcmkg
cmkgDGM
DJJG
M
t
t
11041,150,171085,0
10113232
32;
4
42
6
5
4
4
00
El ángulo de torsión “” lo calculamos como sigue:
0112,08011041,13232 44
04
0
cm
cmL
DGMdx
DGMdxx t
Lt
L
Problema a)
Veamos los gráficos
Problema b)
Cálculo de las reacciones de vínculo
Para que el sistema esté en equilibrio la sumatoria de momento debe ser nula:
El momento torsor resulta ser una función lineal a lo largo de toda la barra por lo que:
LmMMLmM tBBtT 0
cmkgcmtkg
mmtLmdxmM
xmdxmdxmxM
L
ttB
x
tt
x
tt
5
0
00
1036,91201
10008,7
Datos:mt = 7,8 t.m/mG = 0,85 x 106 kg/cm2
D = 95 cmL = 120 cm
Problema b)
Cálculo de las tensiones tangenciales
Serán directamente proporcional al momento torsor y al radio de la sección de la barra e inversamente proporcional al momento de inercia polar de la sección:
En la sección T-T las tensiones tendrán el valor de la expresión del punto anterior en x = L/2:
3
4
00
1632
;2DxmxDJ
J
DxMx t
t
23
3
3278,2
952
120108,716
216
cmkg
cm
cmcmcmkg
DLmt
LxTT
23
3
3max 56,595
120108,71616
cmkg
cm
cmcmcmkg
DLmt
BLx
Problema b)
Cálculo del ángulo torsión y de torsión específicas
El ángulo de torsión específica “” lo calculamos como sigue:
4
4
00
3232
;DGxmDJ
JGxM tt
El ángulo de torsión “” lo calculamos como sigue:
64
2
04
04
0max 1026,8163232
DGLmdxx
DGMdx
DGxmdxx t
Lt
Lt
L
cmcmcmkg
cmcmcmkg
DGLmt
Lx
x
11038,1951085,0
120108,73232
0
7
42
6
3
4max
0min
Problema b)
Veamos los gráficos
Problema c)
Cálculo de las reacciones de vínculo
Para que el sistema esté en equilibrio la sumatoria de momento debe ser nula:
El momento torsor resulta ser una función lineal a lo largo de toda la barra por lo que:
LmMMMLmMM ttBBttT 0
xLmMdxmLmMxM tt
x
tttt 0
Datos:Mt = 11 t.mmt = 7,8 t.m/mG = 0,85 x 106 kg/cm2
D = 111 cmL = 180 cm
cmkgcmtkg
mmtcmkgM
LmMxMM
B
ttxtB
55
0
1004,251801
10008,71011
cmkgMLLmMxMM tttLxtA
51011
Problema c)
Cálculo de las tensiones tangenciales
Serán directamente proporcional al momento torsor y al radio de la sección de la barra e inversamente proporcional al momento de inercia polar de la sección:
xLDm
DMxDJ
J
DxMx tt
t
33
4
00
161632
;2
235
3max
3330max
32,9180108,7101111116
161616
cmkgcm
cmcmkgcmkg
cm
LmMDD
LmDMx tt
ttBx
23
5
3min 096,411110111616
cmkg
cmcmkg
DMx t
ALx
Problema c)
Cálculo de las tensiones tangenciales en T-T
En la sección T-T las tensiones tendrán el valor de la expresión del punto anterior para x = L/2:
3332
216
21616
D
LmMLL
Dm
DMxx
tttt
LxTT
23
35
71,6111
2180108,7101116
cmkg
cm
cmcmcmkgcmkg
x TT
Problema c)
Cálculo del ángulo de torsión específico
El ángulo de torsión específica “” lo calculamos como sigue:
4
0
32DG
xLmMJGxM ttt
cm
cmcmkg
cmcmcmkgcmkg
DGLmM
B
ttxB
1108,19
1111085,0
180108,710113232
8max
42
6
35
40
Para la sección “B” resulta:
Problema c)
Cálculo del ángulo de torsión específica para la sección A y el ángulo de torsión
Para la sección “A” resulta:
cmcmcmkg
cmkgDGM
A
tLxA
11068,81111085,0
101132
32
8
42
6
5
4
El ángulo de torsión “” lo calculamos como sigue
232
23232
323232
4
2
44
04
04
04
0
xLmMDGxx
DGmx
DGLmMx
dxxDGmdx
DGLmMdx
DGxLmMdxx
ttttt
Lt
Ltt
Ltt
L
Problema c)
Cálculo del ángulo de torsión para las secciones A y B
El ángulo de torsión “” para la sección “B” resulta:
00
xBxx
El ángulo de torsión “” para la sección “A” resulta:
5
46
35
4
1056,21111085,0
2180108,7101118032
232
cmcmkg
cmcmcmkgcmkgcm
x
DG
LmMLxx
A
tt
LxA
Problema c)
Veamos los gráficos
Problema d)
Cálculo de las reacciones de vínculo
Para que el sistema esté en equilibrio la sumatoria de momento debe ser nula:
El momento torsor resulta ser constate por tramos, por lo que:
21210 ttCCttT MMMMMMM
AtL
LtCttL
t MMxMMMMxM 1221
2
0
Datos:Mt1 = 12 t.m ; L1 = 95 cmMt2 = 8,5 t.m ; L2 = 120 cmG = 0,85 x 106 kg/cm2
A1 = 17,5 cm2 ; A2 = 26,5 cm2
D1 = 4,72 cm ; D2 = 5,81 cm
cmkgcmkgcmkgM
cmkgM
C
A
555
5
105,20105,81012
1012
Problema d)
Cálculo de las tensiones tangenciales
Serán directamente proporcional al momento torsor y al radio de la sección de la barra e inversamente proporcional al momento de inercia polar de la sección:
0
2J
DxMx
t
En la sección T-T las tensiones tendrán el valor del punto anterior en x = L/2:
208,532342
cmkgx L
TT
23
5
31
23
5
32
0
5812072,410121616
8,5323481,5105,201616
1
2
212
cmkg
cmcmkg
D
Mx
cmkg
cmcmkg
D
MMx
tL
L
ttL
Problema d)
Cálculo del ángulo de torsión específico
El ángulo de torsión específica “” lo calculamos como sigue:
40
32DGxM
JGxM tt
cmcmcmkg
cmkgDG
Mx
cmcmcmkg
cmkgDG
MMx
tL
L
ttL
1029,072,41085,0
10123232
10215,081,51085,0
105,203232
42
6
5
41
42
6
5
42
0
1
2
212
Problema d)
Cálculo del ángulo de torsión
El ángulo de torsión “” lo calculamos como sigue
dxDxM
Gdx
JGxMdxxx
Lt
Lt
L
0
40 00
32
radcm
cmkg
cmcmkgradDG
LMxx
x
radcm
cmkg
cmcmkgDG
LMMxx
tBA
C
ttL
B
339,572,41085,0
95101232587,232
0
587,281,51085,0
120105,203232
42
6
5
41
1
42
6
5
42
2
0
1
212
Problema d)
Veamos los gráficos
Bibliografía
Estabilidad II - E. Fliess Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo Mecánica de materiales - F. Beer y otros Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana Resistencia de materiales - V. Feodosiev Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer Resistencia de materiales - S. Timoshenko
Muchas Gracias