CEDART

DAVID ALFAROS SIQUEIROS

ALGEBRA I

“Trabajo final”

Jessica Torres Nava

1-“A” Índice

Introducción………………………………………………………..

Suma………………………………………………………………..

Resta………………………………………………………………..

Multiplicación……………………………………………………….

División………………………………………………………………

Productos Notables…………………………………………………

Factorización………………………………………………………

Fracciones Algebraicas……………………………………………

Ecuaciones Lineales………………………………………………

Introducción

-Conceptos

1) Algebra -- Parte de las matemáticas que estudia la relación entre números y variables para constituir modelos matemáticos y realizar operaciones

2) Usos – Suma, resta, multiplicación, división, productos notables, factorización, fracciones algebraicas y ecuaciones algebraicas.

3) Termino Algebraico – signo, coeficiente, variable y exponente

4) Expresión Algebraica – Monomio, binomio, trinomio y polinomio

5) Exponentes – lineal, cuadrático, cubico o grado (4º, 5º 6º)

Este trabajo es un repaso de todo lo que hemos visto en clase, es un forma para que se nos grabe la información de estos temas.

SUMA

En una pastelería Tres amigos llegaron a comprar panecillos, uno de ellos se llevó tres donas, cuatro conchas y un cochinito, otro llevó dos galletas, cuatro donas y tres cochinitos, y el último de los amigos llevó una concha, cuatro cochinitos y cuatro galletas.

¿Cuánto pagaron en total?

(3 x+4 y+1q )+ (2 p+4 x+3q )+(1 y+4 q+4 p )x :3+4=7 y : 4+1=5 q :1+3+4=8 p :2+4=6

R :7 x+5 y+8q+6 p

Polinomio lineal

Polinomio cubico

Trinomio cuadrático}

Donas X

Cochinito q

Conchas Y

Galletas P

I : ( 5a2−2a3+a )+( 4a+3a2 )+(5a3−2a+7 )+(3a−2a3+5 )R:a3+8a2+6a+12

II : (3

4x2−4

3x+2)+(1

6x−5

2x2+7

8 )R: 7

4x2−21

18x+23

8

Trinomio lineal

Trinomio cuadrático

Trinomio cubico

RESTA

En C&A Julia compró siete pantalones, cuatro blusas y cuatro pares de zapatos, al siguiente día su hermana se llevó cuatro chamarras, dos pares de zapatos, un pantalón y dos blusas. La mamá al fin del mes pagó cinco pantalones, tres blusas, dos chamarras y dos pares de zapatos.

III : ( 4y−5z+3 )+ (4z− y+2 )+(3y−2z−1 )R:6y−3z+4

IV: (12

m2+35

m−47 )+(3

8m−5

4 )+(53

m−310

m2)R: 1

5m2+ 317

120m−51

20

V: (2pq−3p2 q+4pq2+ )+( pq−5pq2−7p2q )+( 4pq 2 +3pq−p2q )R:−11p2 q+3pq2+6pq

¿Cuanto quedó debiendo la mamá?

Polinomio lineal

Pantalones X

Blusas Y

Zapatos q

chamarras p

(-5x-3y-2p-2q )(7 x+4 y+4q )+(4 p+2q+1x+2 y )− (5 x+3 y+2 p+2q )

x :7+1−5=3 y:4+2-3=3 q:4+2-2=4 p:4-2=2

R :3 x+3 y+4q+2 p

(−8n+7 ) (6m-4n+3 )I: (5m+4n−7 )−(8n−7 )+( 4m−3n+5 )−(−6m+4n−3 )R:15m−11n+8 Trinomio lineal

( -6m3+8m2+3m−1 )II: ( 4m4−3m3+6m2 +5m−4 )−( 6m3−8m2−3m+1 )R:4m4−9m3+14m2+8m−5 Polinomio de 4 ° grado

( -10x5−6x3+5x2+2x−4 )III : (6x5+3x2−7x+2 )−(10x5+6x3−5x2−2x+4 )R:−4x5−6x3+8x 2 −5x−2 Polinomio de 5° grado

( 6y3−xy2−5 )IV : (−xy4−7y3+xy2 )+(−2xy4+5y−2 )−(−6y3+xy2+5 )R:−3xy4−1y3+5y−7 Polinomio de 5 ° grado

(−83

y+ 54 )

V : (16 x+ 3

8y−5 )−(8

3y−5

4 )+(3

2x+2

9 )R: 5

3x−55

24y−127

36 Trinomio

MULTIPLICACION

LEY DE SIGNOS

(+) por (+) da (+)(+) por (-) da (-)(-) por (+) da (-) (-) por (-) da (+)

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA

La propiedad distributiva de la multiplicación – Un sumado de dos o mas números multiplicado por un número X es igual a la suma de el producto de cada número por el número X sumado. Ejemplo

(b + a) . X = (b . X) + (a . X)

LEY DE EXPONENTES

Aquellos números o bases que están elevados a una potencia constan de leyes que deben de cumplirse en cada operación matemática, por ejemplo:

Cuando dos números elevados a cierta potencia se están multiplicando, los exponentes se suman; Cuando se dividen, los exponentes se restan; cuando son elevados a otra potencia, los exponentes se multiplican; y cuando aquellos exponentes son encerrados en una raíz, su resultado es un exponente fraccionario.

EJEMPLOS:

( x3 . x2)=x5 ( x4 a2 / x2 a2)=x2

* Todo número elevado a cero es igual a la unidad: a0= 1* Para multiplicar potencias de la misma base, se suman los exponentes: a5. a 3= a8

* Para dividir potencias de la misma base, se restan lo exponentes: a5/ a 3= a2

* Para elevar una potencia a otra potencia, se multiplican los exponentes: (a5)3 = a15

* Una potencia con exponente negativo será lo mismo que uno partido por la

misma potencia con exponente positivo: a- 5= 1 / a5

* Una potencia con exponente fraccionario, equivale a una raíz: a3/4=

PASOS

Los coeficientes se multiplican aplicando la ley de los signos

Los exponentes de las mismas literales se suman y se aplican a la ley distributiva

Se simplifica sumando términos semejantes; ordenar y clasificar

EJEMPLO

(2 x+3 ) (5 x−1 )2 X∗5 X=10 X2

2 X∗−1=−2 X3∗5 X=15 X3∗−1=−3

. .. .. . .. .. . .. .10 x2−2x+15 x−3 13X

R :10 x2+13 x−3 Trinomio cuadrado

Polinomio de 4° grado

Polinomio cubico

Polinomio cubico

Trinomio de 7° grado

Polinomio

Polinomio de 4° grado

Trinomio cuadrático

Polinomio cubico

Polinomio de 5° grado

I : ( 2x2−x−3 ) (2 x2−5 x−2 )R :4 x4−12x3−5 x2+17 x+6

II : (3x−1 ) ( 4 x2−2x−1 )R :12x3−10 x2−1 x+1

III : (43

a2−54

a−12 )(2

5a+3

2 )R :3

10a3+5

8a2−83

40a−3

4

IV : (9 xy−4 x2 y ) (2 xy2+6 x2 y2)R :−24 x4 y3+46 x3 y3+18 x2 y3

V : (5m12 −3m

23 ) (4 m

−34 −2m5)

R :20m−

1

4 −10m11

2 −12m−

1

12 +6 m17

3

VI :(25 z2−13

z+49 )(37 z2−7

2z−3)

R :635

z4−5435

z3+1170

z2−59

z−43

VII : (3 y−5 ) (2 y+4 )R :6 y2+2 y−20

VIII : (3 x2−x+7 ) (5 x+2 )R :15 x3 +1 x2 +33 x+14

IX (4 ab+3b ) (6 a2 b−2ab2 )R :24a 3 b2−8a2 b3+18a2 b2−6ab3

1-Un terreno rectangular mide 2x – 4 metros de largo y 5x +3 de ancho ¿Cuál es el modelo matemático que expresa su área?

(2 x−4 ) (5x+3 )

Trinomio cuadratico

2-En una tienda se compraron tres diferentes artículos A, B y C. A cuesta 3x por unidad y se compran 5 unidades, B cuesta 4x + 2 por unidad y se compraron 3

unidades y C cuesta 3

4 x por unidad y se compraron 7 unidades. ¿cuál es el modelo matemático del costo total de la compra?

(5 (3 x ) ) ( 3 ( 4 x+2 ) )(7( 3

4x ))

R :15 x+18 x+ 214

Trinomio

10 x2+6 x−20 x−12

R :10 x2−14 x−12

División

La división es la operación que tiene por objeto repartir un numero en tantas partes iguales

Si un espacio rectangular tiene un área de y la anchura es de 3x-5 ¿Cuánto mide la base? b=2x+3

A= 6 --19x+15

a= 3x-5

Polinomio entre monomio

*Los coeficientes se dividen o se simplifican aplicando la ley de los signos.

*Los exponentes de las mismas literales se restan si quedan residuos se indica donde estaba el mayor.

¿2x2 y+6 xy−12x2 y2

3 xy=2 x

3+2−4 xy

8m9 n2−10m7n4−20m5n6+12m3n8

2m2n3=4m7

n−5m5n−10m3 n3+6 mn5

20 x4−5 x3−10x2+15 x−5 x

=−4 x3+1x2+2 x−3

4 a8−10a6−5a4

2a3=2a5+5a3+5a

2

2 x2 y+6 xy2−8 xy+10 x2 y2

2 xy=1x+3 y−4+5 xy

Polinomio entre polinomio

*Los coeficientes se dividen

*si el exponente de adentro es mas chica que la de afuera no se puede dividir

2 x−3x2−3 x+1

|2x 3−9 x2+11 x−3 -2x3+3x2 -6x2+11 x−3 6x2−9 x 2x-3 -2x+3 0

Productos notables

Binomio al cuadrado

*Cuadrado del primero

*Multiplicar el primero por el segundo y luego el cuadrado de los dos juntos

*Cuadrado del segundo

3 x2+2 x−8x+2

=3 x−4

2 x3−4 x−22 x+2

=1x2−3 x−4

2a4−a3+7a−32a+3

=

14 y2−71 y−337 y+3

=2 y−11(2 x−3 )2=4 x2−12 x+9

(3a+4 )2=9 a2+24 a+16

(2 x2−5 )2=4 x4−20x2−25

(7m+8n )2=49m2+112m2n2+64 n2

Binomio al cubo

*Cubo del primero

*Triple producto del cuadrado del primero por el segundo

*Triple producto del cuadrado del segundo por el primero

*Cubo de el segundo

Binomio a la potencia superior

*La primera inicia con la potencia indicada

*El segundo inicia en cero y aumenta asta la potencia indicada

(7m3−9 )4=1 (7m3)4 (9 )+4 (7 m3 )3 (9 )1+6 (7m3 )2 (9 )2+4 (7 m3 )1 (9 )3+1 ( 7m3) (9 )4=2401 m12−12348m9+23814m6−20402m3 +6561

(3m2+4 )3=27m6+108 m4+144 m2+64

(4 a+5 )3=64 a3+240 a2+300 a+125

(2a3−7 )3=8a9−84a6−294 a3−343

(5m+4 )3=125 m3+300 m2+240 m+64

(3 x+2 )4=81 x4+216 x3+216 x2+96 x+16

(2 x2−4 )5=32x5+320 x4+1280 x3+2560 x2+2560 x+1029

( 4 y3+3 )6=4096 y18+18432 y15+34560 y12+34560 y9+19440 y6+5832 y3+729

Binomios con termino común

*Cuadrado del común

*suma o resta de los diferentes por el común

*producto de los diferentes

(2 x+3 ) (2 x−5 )=4 x2−4 x+15

(2 x+3 ) (2 x+5 )=4 x2+16 x+15

(m+4 ) (m−2 )=m2+2m−8

(5a+3b ) (5a−2b )=25a2+13 a2b2−6b2

(a2−1 ) ( a2−4 )=a4−5 a2+4

Binomios conjugados

*Cuadrado del primero

*(-) menos cuadrado de el segundo

(7 y2−9 ) (7 y2+9 )=49 y 4 −81

Conclusión de la primera evaluación

Suma, resta y multiplicación

Suma

*Los coeficientes son los que se suman

*Signos iguales se suman

*Signos diferentes se restan (signo de el mayor) Trinomio lineal

*Ordenar y clasificar

( x2−1 ) ( x2+1 )=x 4−1

(3a−7 ) (3a+7 )=9a2−49

( 4 x3+3 ) ( 4 x3−3 )=16 x6−9

(4y−5z+3 )+( 4z− y+2 )+(3y−2z−1 )R:6y−3z+4

Resta

*Se cambia el signo a todos los términos de la expresión antecedida por (--)

*Sumar

*Ordenar y clasificar

Multiplicación

*Los coef. Se multiplican aplicando la ley de los signos

*Los exponentes de las mismas literales se suman y se aplica la ley distributiva (Un sumado de dos o mas números multiplicado por un número X es igual a la suma de el producto de cada número por el número X sumado. Ejemplo (b + a) . X = (b . X) + (a . X) )

*Se simplifica sumando los términos semejantes

*Ordenar y clasificar

Conclusión de la segunda evaluación

División y productos notables

Divicion

Existen tres tipos de división

1- Monomio entre monomio2- Polinomio entre monomio

( -10x5−6x3+5x2+2x−4 )(6x5+3x2−7x+2 )−(10x5+6x3−5x2−2x+4 )R:−4x5−6x3+8x 2 −5x−2

Polinomio de 5 ° grado

(3 x2−x+7 ) (5x+2 )R :15 x3+1 x2+33 x+14

Polinomio cubico

3- Polinomio entre polinomio

Para los dos primeros las reglas son iguales

*Los coef. Se dividen o simplifican aplicando la ley de los signos

*Los exponentes de las mismas literales se restan si queda residuo se indica donde estaba el mayor

*El coef. 1 solo indicara arriba si es lo único que queda

Monomio entre monomio Polinomio entre monomio

Polinomio entre polinomio

*Ordenar

*Si la X de adentro es mas chica que la de afuera no se puede dividir

Productos notables

Son 5 problemas (cinco operaciones algebraicas)

Binomio al cuadrado, al cubo, a potencia superior, con termino común y binomio conjugados

8m4 n3 p3

−4m2n3 p7=−2m2

p2

2 x−3x2−3 x+1

|2x 3−9 x2+11 x−3 -2x3+3x2 -6x2+11 x−3 6x2−9 x 2x-3 -2x+3 0

“Factorización”

Factorización- La factorización es expresar un número como producto de otros más pequeños, (números primo) que, al multiplicarlos todos, resuelva el numero original. (Se saca el máximo común divisor.)

Resolver

a ) 25a2−64 b2=(5a+8b ) (5a−8b )

b ) 8m2−14m−15=(8m+6 ) (8m−20 )

c ) x2−15 x+54= (x-9 ) ( x−6 )

d ) 5x2−13 x+6=(5 x−10 ) (5 x−3 )= ( x−2 ) (5 x−3 )

e ) 27 a9−b3=(3 a3−b ) (9 a6−3a3 b+b2 )

f ) 5a2+10a=5 a (a+2 )

g ) n2−14n+49=( n-7) (n−7 )=( n−7 )2

h ) x2−20 x−300=( x−30 ) ( x+10 )

i) 9 x6−1=( 3x3−1 ) (3 x3+1 )

j ) 64 x3+125=(4 x−5 ) ( 16 x2−20 x+25 )

k ) x2−144=( x+12 ) ( x−12 )

l) 2x2+11x+12=(2 x+8 ) (2x+3 )= (x+4 ) (2 x+3 )

m) 4x2 y-12xy2=4 xy ( x−3 y )

Conclusión - Aprendimos métodos de factorización y los pusimos en práctica. La factorización en ecuaciones cuadráticas - Consiste en convertir la ecuación en un

n ) xw-yw+xz-yz=( w+z ) ( x− y )

o ) x2+14x+45=( x+5 ) ( x+9 )

p ) 6y2 -y-2=(6y - 4 )(6y - 3)=(3y-2) (2 y−1 )

q ) 4m2 -49= (2m+7 ) (2m−7 )

r ) x2 -x-42=( x−7 ) ( x+6 )

s ) 2m2+3m-35=(2m−7 ) (2m+10 )=(2m−7 ) (m+5 )

t ) a2 -24a+119=( a−17 ) (a−7 )

“Fracciones Algebraicas”Resolver

x2

x2 -8x-16=

( x−4 )( x+4 )

4 x2−20 xx2−4 x−5

=4 x( x+1 )

3a−9b6a−18b

=12

x2−6 x+9x2−7 x+12

∗x2+6 x+53 x2+2 x−1

=( x−3 ) ( x+5 )( x−4 ) (3 x−1 )

7 x+21

x2−16 y2∗

x2−5 xy+4 y2

4 x2+11 x−3=

(7 x− y( x+4 y ) (4 x−1 )

x2−3x−10

x2−25∗2 x+10

6 x+12=1

3

x−42 x+8

∗4 x+8x2−16

=4 ( x+2 )2 ( x+4 )

3 x−15x+3

÷12x+184 x+12

=3 ( X−5 ) 46 (2 X+3 )

Fracción compleja – Es cuando el numerador o el denominador, o ambos, contienen fracciones.

4 x 2−9x+3 y

÷2 x−32 x+6 y

=2 (2 x+3 )

x2−14 x−15x2−4 x−45

÷x2−12 x−45x2−6 x−27

=( x+1 )( x+5 )

a−3

a2−3a+2−a

a2−4 a+3=−4 a+9

(a−2 ) ( a−1 ) (a−3 )

mm2−1

+3mm+1

=3m2−2m( m+1 ) (m−1 )

2aa2−a−6

−4a2−7a+12

=2a2−12a−8(a+2 ) (a−3 ) (a−4 )

2m2−11m+30

−1m2−36

+1m2−25

=2m2+22+49(m−5 ) (m+6 ) (m−6 ) (m+5 )

x

x2−5x−14+2

x−7=3 x+4

( x+2 ) ( x−7 )

“Ecuaciones Lineales”

La ecuación lineal - Es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia.

Tipos - Ecuación general, Ecuación segmentaria o simétrica, Forma paramétrica o Casos especiales.

Formas – Suma y resta o, Igualación.

a ) 4 (2x−3 )+5 (x−1 )=7 ( x+2 )−(3 x+4 )

8x-12+5x-5=7x+14-3x-4 13x-17=4 x+10 13x-4x=10+17 9x=27 X=3

b ) 5x-34

+2x3

=x+12

15x-9+8x12

=x+12

23x-912

=x+12

2 (23x-9 )=12 ( x+1 ) 46x-18=12x+12 46x-12x=12+18 34x=30

X=1517

c ) 2 (4x+3 )+2x-30 (2-x )=2+3 ( x-4 )+5x-2

12x+9+2x-6+3x=2+3x-12+5x-2 17x+3=-12+8x 17x-8x=-12-3 9x=-15

X=-159

d ) 2x+57

−3 x5

=x+22

+3 x1

10x+25-21x35

=x+2+6 x2

-11+2535

=7 x+22

2 (-11+25 )=35 (7x+2 ) -22x+50=245x+70 -22x-245x=70-50 -267x=20

X=20-267

e ) 5 (2x-3 )+4 ( x+1 )-5=2x-32

+x3

10x-15+4x+4-5=6x-9+2x 14x-16=8x-9 14x-8x=-9+16 6x=7

X=76

Grafica

y=5x-1

Solución: (0.2, 0)

Pendiente: 5

y=2x+3

Solución: (-1.5, 0)

Pendiente: 2

y= -1/2x+2

Solución: (4, 0)

Pendiente: -.5

a )2x−3 y=4 x−4 y=7

x=−1y=−2

b )4a+b=6 3a+5b=10

a=2017

b=2217

c )m−n=3 3m+4n=-9

m=3n=0

d )5p+2q=-3 2p-q=3

p=13

q=−73

e ) x+2 y=8 3x+5y=12

x=-16y=12

f )3m+2n=7 m-5n=-2

m=3117

n=1317

g )2h−i=−5 3h-4i=-2

h=−185

i=−145

a) 2x-3y=4

X-4y=7

Solución: (-1, -2)

c) m-n=3

3m+4n=9

Solución: (3,0)

e) x+2y=8

3x+5y=12

Solución: (-16,12)

g)2h-i = -5

3h-4i = -2

Solución: (-3.6, -2.2)

Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar a $4.00 para adultos y $1.50 para niños. Si se vendieron 1000 boletos recaudando $3,500. ¿Cuántos boletos de cada tipo se vendieron?

x+ y=10004 x+1 . 5 y=3500

Adultos: 800 boletos.

Niños: 200 boletos.

Si se mezcla una aleación que tiene 30% de Ag con otra que contiene 55 % del mismo metal para obtener 800 kg de aleación al 40%. ¿Qué cantidad de cada una debe emplearse?

x+y= 800

.3x+.55y= 800(.4)= 320

480 kg de Ag al 30%

320 kg de Ag al 55%

“Ecuaciones de 2º Grado”

Una ecuación cuadrática representa una parábola vertical donde la solución son los puntos de intersección con X

Los números imaginarios son aquellos a los que no podemos sacarle raíz cuadrada por ser negativo, pero podemos agregarle un i (imaginario) para que a esos números negativos se les llame números imaginarios

a )7x2+21x=0

x1=0x2=−3

b )4 x2−16=0

x1=2x2=−2

c )a2−3a+2=0

x1=3. 5x2=2. 5

d )9m2+2m−5=0

m1=−2. 7535m2=−1. 2464

e ) x2−3 x=0

x1=0x2=3

f )5x2+10=0

x1=1 . 4142x2=−1. 4142

g )7 y2−3 y+10=0

y1=4 . 1758y2=1. 8241

a)y=x2−1

X1= -1

h )2 t2+t+1=0

t1=. 4114t2=1 .6614

i)8 x2−7 x=0

x1=0

x2=−7

8

j )a2−25=0

a1=5a2=−5

X2=1

b)y=x2+5x+6

X1=-2

X2=-3

Fin!!!!