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2º Ano (Ensino Médio)
Trigonometria
Professor: Rangel Carvalho de Freitas
Trigonometria no Triângulo Retângulo
(Aula 1)
.
hipotenusa
cateto
cateto
A B
C
O Triângulo Retângulo
Cateto adjacente a B
Cateto oposto a B
A B
C
O Triângulo Retângulo
.
Cateto oposto a C
Cateto adjac. a C
A B
C
O Triângulo Retângulo
.
Hipotenusa
Cateto oposto a B
O Seno, o cosseno e a tangente de ângulo agudo de um triângulo retângulo
A B
C
.
seno de B =a
bsen B =
ab
c
Hipotenusa
Cateto oposto a Cseno de C =
a
csen C =
Hipotenusa
Cateto adjac. a B
O Seno, o cosseno e a tangente de ângulo agudo de um triângulo retângulo
cosseno de B =a
ccos B =
A B
C
.
ab
c
Hipotenusa
Cateto adjac. a Ccosseno de C =
a
bcos C =
O Seno, o cosseno e a tangente de ângulo agudo de um triângulo retângulo
Cateto adjac. a B
Cateto oposto a Btangente de B =
c
btg B =
A B
C
.
ab
c
Cateto adjac. a C
Cateto oposto a Ctangente de C =
b
ctg C =
O Seno, o cosseno e a tangente de ângulo agudo de um triângulo retângulo
10
6sen B =
A B
C
.
106
8 8
6tg B =
Exemplo: Determine o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos agudos do triângulo abaixo:
10
8cos B =
: 2
: 2
5
3=
: 2
: 2
5
4=
: 2
: 2
4
3=
Exercício: Faça o mesmo para o ângulo C.
Observações preliminares:
5 cm
3 cmsen B =
A B
C
.
5 cm3 cm
4 cm
1. As razões seno, cosseno e tangente são razões entre grandezas da mesma espécie e, portanto, constituem um número puro;
5
3=
O mesmo ocorre com as outras razões trigonométricas.
Exemplo:
Observações preliminares:
A B
C
.
2. Os ângulos agudos de um triângulo retângulo somam 90º, isto é, são complementares.
Conclusão: Os ângulos B e C são complementares.
Exemplo:
A + B + C = 180º
90º + B + C = 180º
B + C = 180º – 90º
B + C = 90º
Proposições
5 cm
3 cmsen B =
A B
C
.
5 cm3 cm
4 cm
Proposição 1.
5
3=
Exemplo:
Em todo triângulo retângulo o seno de um ângulo agudo é igual ao cosseno do seu complemento.
5 cm
3 cmcos C =
5
3=
sen B = cos C
Proposições
4 cm
3 cmtg B =
A B
C
.
5 cm3 cm
4 cm
Proposição 2.
4
3=
Exemplo:
Em todo triângulo retângulo a tangente de um ângulo agudo é igual ao inverso da tangente do seu complemento.
3 cm
4 cmtg C =
3
4=
tg B =tg C
1
Proposições
tg B =
Proposição 3.
5
3=
Exemplo:
A tangente de um ângulo (agudo, neste caso) é igual à razão entre o seno e o cosseno do mesmo ângulo.
Matematicamente:
tg B =cos B
sen Btg C =
cos C
sen Ce
sen B =5
3
cos B =5
4tg B =
cos B
sen B5 cm
3 cm
4 cmA B
C
.
5
3
5
4x
4
5=
4
3
Proposições
Proposição 4 (Relação Fundamental).
No triângulo ABC, valem as seguintes relações:
sen B2
+ cos B2
= 1 e sen C2
+ cos C2
= 1
A B
C
.
ab
c
Proposições
Proposição 4 (Relação Fundamental).
Prova (para o ângulo B):
A B
C
.
ab
c
sen Ba
b=
cos Ba
c=
Então:
sen B2
+ cos B2
=a
b2
+a
c2
=a
b2
+a
c2
2 2 =
=b
2+
a
c2
2 =a
a2
2 = 1
a2
= b2
+ c2
(Teorema de Pitágoras)
Valores das razões seno, cosseno e tangente de 45º, 30º e 60º
30o 45o 60o
seno
cosseno
tangente
2
1
2
3
3
3
2
2
2
2
2
3
2
1
31
.85º
28,6 m
Resolução de Exercícios
1. A torre Eiffel, a maior antes da era da televisão, foi concluída em 31 de março de 1889. Veja a figura e determine a altura dessa torre.
h
tg 85º =28,6
h
11,4 =28,6
h
11,4= 28,6h .
326,04 m≈h
cateto oposto
cateto adjacente
Resolução de Exercícios
2. A uma distância de 40 m, uma torre é vista sob um ângulo α, como nos mostra a figura. Determine a altura h da torre se:
tg 20º =40
h
0,36 =40
h
40= 0,36h .
14,4 m≈h
cateto oposto
cateto adjacente
h
.
40 m
α
a) α = 20º
b) α = 40º
20º =
Resolução de Exercícios
2. A uma distância de 40 m, uma torre é vista sob um ângulo α, como nos mostra a figura. Determine a altura h da torre se:
tg 40º =40
h
0,83 =40
h
40= 0,83h .
33,2 m≈h
cateto oposto
cateto adjacente
h
.
40 m
α
b) α = 40º
40º =
Resolução de Exercícios
3. Uma escada rolante liga dois andares de um shopping e tem uma inclinação de 30º. Sabendo-se que a escada rolante tem 12 metros de comprimento, calcule a altura de um andar para o outro.
sen 30º =12
h
=12
h
12=2h
6 m=h
cateto oposto
hipotenusa
h
12 m
30º .
2
1
=h2
12
.
Resolução de Exercícios
4. Na construção de um telhado, foram usadas telhas francesas e o “caimento” do telhado é de 20º em relação ao plano horizontal. Sabendo que, até a laje do teto a casa tem 3 m de altura, determine a que altura se encontra o ponto mais alto do telhado dessa casa. (Dados: sen 20º = 0,34 , cos 20º = 0,94 e tg 20º = 0,36 e ).
sen 20º =4
x
=4
x
4=x
1,36 m
cateto opostohipotenusa
0,34
0,34.
=x
20º4
3h
x?
h = 3 + x
h = 3 + 1,36
h = 4,36 m
Resolução de Exercícios
5. Uma pipa é presa a um fio esticado que forma um ângulo de 45º com o solo. O comprimento do fio é de 80 m. Determine a altura da pipa em relação do chão.
sen 45º =80
x
=80
x
80=2x
hipotenusacateto oposto
.
=x
.
x80 m
45º2
2
2
80 2
2
40
40=x 2 m
Resolução de Exercícios
6. A 100 m da base, um observador avista a extremidade de uma torre sob um ângulo de 60º com a horizontal. Qual a altura dessa torre?
tg 60º =100
h
=100
h
100=h .
3
3
100=h 3 m
.
100 m
60º
h
cateto adjacente
cateto oposto
Resolução de Exercícios
7. Num triângulo retângulo a hipotenusa mede 12 cm e um dos catetos mede 6 cm. A medida do outro cateto é:
a) 2 cm6
b) 3 cm6
c) 2 cm8
d) 3 cm8
6 cm12 cm
.x
(12)2
= 62
+ x2
Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:
144 = 36 + x2
144 – 36 = x2
108 = x2 x = 108 x = 3 cm6
Resolução de Exercícios
8. Os dois maiores lados de um triângulo retângulo medem 12 m e 13 m. O perímetro desse triângulo é:
a) 30 cm
b) 32 cm
c) 35 cm
d) 36 cm
12 cm
13 cm
.
x
(13)2
= (12)2
+ x2
Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:
169 = 144 + x2
169 – 144 = x2
25 = x2 x = 25 x = 5 cm
p = x + 13 + 12
p = 5 + 13 + 12
p = 30 cm