TRIÁNGULOS I. DIBUJO TÉCNICO 1º BACHILLERATO

DT I. 1º BACHILLERATO

POLIGONOS I. TRIÁNGULOSCaracterísticas y Propiedades de los triángulos

Rectas y circunferencias notables en los triángulosÁngulos relacionados con la circunferencia

53 mm

cateto c = 62 mm

ca

teto

b =

36

mm

hipotenusa

A

C

cB

b

A

b a

c

C

B

a

50 m

m

18 mm

c-a

A B

CA

b a

c

T4. POLIGONOS I. TRIÁNGULOS. Ángulos relacionados con la circunferencia

POLÍGONO:

Polígono es la porción del plano limitada por rectas que se cortan dos a dos.

Elementos de un polígono:

LADOS: Son los segmentos que lo limitan (a, b, c, d).

VÉRTICES: Son los extremos de los lados (A, B, C, D).

ÁNGULOS: Son el espacio que forman cada dos

lados consecutivos ( )

CONTORNO: Es la línea quebrada que forman sus lados.

PERÍMETRO: Es la suma de sus lados (a + b + c + d).

DIAGONAL: Es el segmento que une dos vértices no consecutivos.

POLÍGONO

A

C

D

a

b

cd

B

lanogaid


CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS

Según el número de lados, los polígonos pueden ser:

Si seguimos aumentando el número de lados conseguiremos el UNDECÁGONO (11 lados), DODECÁGONO ( 12 lados) POLÍGONO DE TRECE LADOS, POLÍGONO DE 14 LADOS, PENTADECÁGONO...

TRIÁNGULOTres lados

HEPTÁGONOSiete lados

CUADRILÁTEROCuatro lados

OCTÓGONOOcho lados

PENTÁGONOCinco lados

ENEÁGONONueve lados

HEXÁGONOSeis lados

DECÁGONODiez lados


P. EQUILÁTEROS P. EQUIÁNGULOS P. REGULARES

a = b = c = d

Los que tienen todossus lados iguales

Los que tienen todossus ángulos iguales

Son equiláteros y equiángulosa la vez. Todos los que no

son regulares son IRREGULARES

ac

dd

a

b

c a c

bb

a = b = c = d


Según la forma y relación entre sus lados y ángulos llaman:



POLÍGONOS CÓNCAVOS Y CONVEXOS

POLÍGONOS CONVEXOS

POLÍGONOS CÓNCAVOS

POLÍGONO CONVEXO es el que se encuentra

por entero en el semiplano que define una recta que pasa por uno cualquiera

de sus lados. El polígono convexo sólo

puede ser cortado en dos puntos por una recta

coplanaria con él.

POLÍGONO CÓNCAVOEs cóncavo si no se

encuentra por completo en el semiplano que define

una recta que pasa por cualquiera de sus lados.

El polígono cóncavo puede ser cortado en más de

dos puntos por una recta.

semiplano semiplano

semiplano semiplano

sem

ipla

no

sem

ipla

no

sem

ipla

no

sem

ipla

no

P

P

P

Q

Q

S

S

R

R

P

Q Q



POLÍGONO INSCRITO Y POLÍGONO CIRCUNSCRITO A UNA CIRCUNFERENCIA

POLÍGONO INSCRITO en una circunferencia es aquel

que tiene sus vérticesapoyados en la circunferencia.

A su vez, la circunferencia es circunscrita al triángulo.

POLÍGONO CIRCUNSCRITO a una circunferencia es aquel

cuyos lados sontangentes a la circunferencia.

A su vez, la circunferencia está inscrita en el triángulo.

A CIC IRN CE UR NE SF CN RU IC T A R I C

CIRCUNFERENCIA INSCRITA

Los triángulos son figuras planas formadas por tres puntos no alineados y por tres segmentos que los unen dos a dos (los tres puntos son los vértices y los tres segmentos los lados).

Los VÉRTICES se designan con letras mayúsculas. El orden de los vértices es el contrario de

las agujas del reloj

Los ÁNGULOS se designan con letras mayúsculas o letras griegas ( A, B, C,

...)

Los LADOS se designan por las letras de sus extremos o por una letra

minúscula igual a la del vértice opuesto

( lado AB o lado c)

A

a

b

c

C

B


TRIÁNGULOS


TRIÁNGULOS

A + B + C = 180º

A B + CB A + CC A + B

PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LOS TRIÁNGULOS

1. La suma de los ángulos interiores vale 180º

2. Cada lado tiene que ser menor que la sumade los otros dos y mayor que su diferencia.

3. A mayor lado se opone mayor ángulo

La consecuencia de que la suma de ángulos de 180º es la siguiente:

A

a b

c

C

B

Un triángulo sólo puede tener un ángulo recto u obtuso yentonces los otros dos han de ser agudos.


TRIÁNGULOS

PERÍMETRO DE UN TRIÁNGULO

El perímetro de un triángulo es la suma de todos sus lados. Se expresa por 2p.

2p = a + b + c

A

a

c

b

2p

C´ C´´B

C


TRIÁNGULOS

BASE DE UN TRIÁNGULO ÁNGULO EXTERIOR DE UN TRIÁNGULO

Base de un triánguloEs un lado cualquiera.

A menudo se llama base al lado horizontal sobre el

cual parece que descansa el triángulo.

ÁNGULO EXTERIOREs el formado por un lado y la prolongación de otro.

Es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes,por tanto mayor que cualquiera de ellos.

base


TRIÁNGULOS. RECTAS Y PUNTOS NOTABLES. CIRCUNFERENCIAS VINCULADAS

A

I

B

C

ba

ab

c

bb

bc

A

Mc Ma

MdC

B

D

mb

ma

md

C

BA

b

a

c

ha hb

H

hc

A

Mb Ma

Mc

B

B

C

ma

2/31/3

mb

mC

BisectricesINCENTRO

MediatricesCIRCUNCENTRO

MedianasBARICENTRO

AlturasORTOCENTRO



A

I

B

C

ba

ab

c

bb

bc

Los tres ángulos interiores (A, B y C) tienen sus bisectrices

correspondientes (ba , bb, bc ) que se cortan en un punto I

llamado incentro, que equidista de los tres lados a, b y c, siendo centro de una circunferencia

tangente a ellos: la circunferencia inscrita al

triángulo.La bisectriz como magnitud es el

segmento de bisectriz comprendido entre el

vértice y el lado opuesto.

Bisectrices. INCENTRO



A B

C

ba

ab

c

bb

bc

1. Trazamos las bisectrices de los tres ángulos, a las que

llamaremos bisectriz de a (ba),

bisectriz de b (bb) y

bisectriz de c(bc)

Bisectrices. INCENTRO Trazado



A B

C

ba

ab

c

bb

bc

LA BISECTRIZ como magnitud es el segmento de bisectriz

comprendido entre el vértice y el lado opuesto

Bisectrices. INCENTRO TrazadoB

ISE

CT

RIZ



A

I

B

C

ba

ab

c

bb

bc

2. El punto donde se cortan las tres bisectrices será el

INCENTRO ( I )




A

I

B

C

ba

ab

T2

T1

T3

c

bb

bc

3. Para trazar la CIRCUNFERENCIA INSCRITA, tenemos que trazar rectas perpendiculares desde el

incentro a cada uno de los lados del triángulo.

Estas perpendiculares nos darán los puntos T1, T2 y T3,

puntos de tangencia entre la circunferencia circunscrita y

los lados del triángulo.




A

I

B

C

ba

ab

T2

T1

T3

c

bb

bc

4. Una vez tenemos los puntos de tangencia por donde ha de pasar la circunferencia

circunscrita, podemos trazarla, haciendo centro en I, con

radio IT1, IT2, o IT3




Bisectrices exteriores. EXINCENTRO

BISECTRICES EXTERIORES. EXINCENTROS

A

EB

EC

EA

I

B

C

Las bisectrices de los ángulos adyacentes a los interiores, se

cortan entre sí y con las bisectrices antes descritas en tres puntos:Ea ,Eb ,Ec que equidistan de

las tres rectas;a estos puntos se les denomina exincentros y son centros de

tres circunferencias exinscritasal triángulo.

Evidentemente se verifica que:• Cada bisectriz exterior es

perpendicular a su respectiva interior.

• Cada exincentro pertenece a la bisectriz interior del ángulo

que los comprende y también alas exteriores de las otras dos.





1. Prolongamos los lados del triángulo

Trazado

A B

C

A B

C





A B

C

Trazado

2. Hacemos las bisectricesde cada uno de los ángulos exteriores




A

EB

EC

EA

B

C

3. Las bisectrices se cortan en los puntos EA, EB y EC,

exincentros de las tres circunferencias

exinscritas al triángulo

Bisectrices exteriores. EXINCENTRO Trazado




A

EB

EC

EA

B

C

4. Para trazar las circunferenciasexinscritas, hemos de trazar

perpendiculares a cada una de las prolongaciones de los lados

desde EA, EB y EC





A

EB

EC

EA

B

C

5. Una vez hallados los puntos de tangencia, podemos trazar

las circunferencias circunscritas





A

EB

EC

EA

I

B

C

Si trazamos el incentro del triángulo dado, comprobaremos que:• Cada bisectriz exterior es

perpendicular a su respectiva interior.

• Cada exincentro pertenece a la bisectriz interior del ángulo

que los comprende y también alas exteriores de las otras dos.




Mediatrices. CIRCUNCENTRO

A

Mc Ma

MdC

B

D

mb

ma

md

Las tres mediatrices ma, mb y mc se cortan en el punto C, llamado

circuncentro, que equidista de

los vértices y, por tanto, es centro de una circunferencia que pasa

por los tres vértices A, B y C: es la denominada

circunferencia circunscrita al triángulo.

• Dado que el triángulo que tienen por vértices los pies Ma , Mb ,Md de las

mediatrices, tiene sus lados respectivamente palalelos a los del

ABD (paralelas medias), resulta que el circuncentro de este último es

ortocentro del primero.

• La circunferencia circunscrita contiene a los respectivos arcos

capaces de los ángulos interiores del

Trazado



A

Mc Ma

MdB

D

mb

ma

md

1. Trazamos las mediatrices de los tres lados. A las mediatrices les llamaremos

ma, mb y md. A los pies de cada mediatriz, es decir, al punto medio de

cada lado, les llamaremos Ma, Mb y Md

Mediatrices. CIRCUNCENTRO Trazado



A

Mc Ma

MdC

B

D

mb

ma

md

2. El punto donde se unen las tres mediatrices es el CIRCUNCENTRO,

centro de la circunferencia circunscrita al triángulo dado, que toca al triángulo

en cada uno de sus vértices




A

Mb Ma

Md B

D 3. Si unimos los pies de las mediatrices obtenemos un triángulo equivalente al

dado

C




A

Mb Ma

Md B

D4. Las mediatrices del triángulo dado son las alturas del triángulo MaMbMd

C




A

P

R

Q

Mb Ma

Md

I

B

D 5. Las mediatrices de los lados de todo triángulo cortan a la circunferencia

circunscrita en lospuntos medios, P,Q,R

de los respectivos arcosque completan los arcos capaces

de sus ángulos interiores. Por tanto, dichos puntos pertenecen

a las bisectrices interiores del triángulo; esto es, la mediatriz de un lado y

la bisectriz de su ángulo opuesto se cortan en un punto de la circunferencia

circunscrita. Además, las bisectrices exteriores (no dibujadas) pasan por los

diametralmente opuestosa P,Q, R.

• Los pies (Ma , Mb , Md) de las perpendiculares trazadas

desde el circuncentro a cada uno de los lados del triángulo, son a su vez puntos extremos o de intersección

de las medianas deltriángulo con los lados de éste .

C




Alturas. ORTOCENTRO

C

BA

b

a

c

ha hb

H

hc

Se denominan alturas a las distancias perpendiculares de cada vértice al lado

opuesto. Se designan por h con el subíndice

correspondiente a su vértice, ha, hb , hc . Sus pies se designan por Ha ,Hb ,Hc .

Las tres alturas se cortan en un

punto H llamado ortocentro .

Se denomina triángulo órtico o pedal al que

tiene por vértices los pies Ha ,Hb ,Hc de las alturas del triángulo considerado.

Dichas alturas son bisectrices de su triángulo órtico y, por tanto,

el ortocentro de un triángulo acutángulo es el incentro de su triángulo órtico.



Alturas. ORTOCENTRO

C

BA

b

a

c

ha hb

hc

1. Trazamos las alturas de los tres lados del

triángulo (ha, hb y hc).

LAS ALTURAS son las distancias que hay de un vértice a su lado opuesto EN PERPENDICULAR

Trazado



Alturas. ORTOCENTRO

C

BA

b

a

c

ha

Hb

Hc

Ha

hb

H

hc

2. El punto donde se cortan las tres alturas es el ORTOCENTRO (H).

Los puntos donde las alturas cortan a los lados son los pies de altura

Trazado



Alturas. ORTOCENTRO

C

BA

b

a

c

ha hb

H

hc

3. Se denomina TRIÁNGULO ÓRTICO o PEDAL al que tiene por vértices los pies

Ha,Hb ,Hc de las alturas del triángulo considerado.

Dichas alturas son bisectrices de su triángulo órtico y, por tanto,

el ortocentro de un triángulo acutángulo es el incentro de su triángulo órtico.

Trazado



Medianas. BARICENTRO

A

Mb Ma

Mc

B

B

C

ma

2/31/3

mb

mC

Llamamos medianas a los segmentos ma, mb, mc que unen cada uno de los vértices del triángulo

con el punto medio de su lado opuesto.

Se cortan en un punto B llamado baricentro o

centro de gravedad del triángulo.

• En las medianas de cualquier triángulo el baricentro está a

1/3 del punto medio del lado y a 2 /3 del vértice opuesto.

La recta que une los puntosmedios de dos lados es la paralela media al tercer

lado y mide la mitad de éste.

• El triángulo definido por los puntos medios

Ma, Mb ,Mc de los lados de un triángulo dado,

es semejante a dicho triángulo (TRIÁNGULO COMPLEMENTARIO)

y corta a sus medianasen su punto medio.

Es decir, las paralelas alos lados de un triángulo por su

vértice opuesto forman un triángulo semejante al primero,

cuyos lados miden el doble y sus medianas también.




A

Mb Ma

Mc B

C

ma mb

mC

1. Trazamos las medianas del triángulo dado.Llamamos medianas a los segmentos ma, mb, mc que unen cada uno de los vértices del triángulo

con el punto medio de su lado opuesto.

Trazado




A

Mb Ma

Mc

B

B

C

ma mb

mC

2. Las medianas se cortan en un punto B llamado

BARICENTRO o centro de gravedad del triángulo.

Trazado




A

Mb Ma

Mc

B

B

C

ma

2/31/3

mb

mC

• En las medianas de cualquier triángulo el baricentro está a

1/3 del punto medio del lado y a 2 /3 del vértice opuesto.

La recta que une los puntosmedios de dos lados es la paralela media al tercer

lado y mide la mitad de éste.

• El triángulo definido por los puntos medios

Ma, Mb ,Mc de los lados de un triángulo dado,

es semejante a dicho triángulo (TRIÁNGULO COMPLEMENTARIO)

y corta a sus medianasen su punto medio.

Es decir, las paralelas alos lados de un triángulo por su

vértice opuesto forman un triángulo semejante al primero,

cuyos lados miden el doble y sus medianas también.

Trazado

Construcción de un TRIÁNGULO CONOCIDOS LOS TRES LADOS


ab

c



a

a CB

bc



a

a CB

b

b

c



a

a C

A

B

b

b

c

c



a

a C

A

B

b

b

c

c

Construcción de un TRIÁNGULO CONOCIDO UN LADO Y LOS ÁNGULOS ADYACENTES


a

B

C



a

a

B

CBC



a

a

B

B CCC



a

a

B

B

A

CCC



a

a

B

B

A

CC

Construcción de un TRIÁNGULO CONOCIDO DOS LADOS Y EL ÁNGULO COMPRENDIDO ENTRE ELLOS


a

C

C A

b

b



a

C

C A

b

b



a

C

C A

b

b

a

B

a



a

C

C A

b

b

a

B

a



Construye un TRIÁNGULO EQUILÁTERO de 53 mm de LADO



A B

53 mm

c



A B

53 mm

c



A

C

B

53 mm

c



53 mm

A

b a

c

C

B


Construye un TRIÁNGULO RECTÁNGULO cuyos CATETOS midan 36 y 62 mm



cB

Acateto c = 62 mm



A

C

cB

cateto c = 62 mm

cate

to b

= 3

6 m

m

b



cateto c = 62 mm

cate

to b

= 3

6 m

m

hipotenusa

A

C

cB

ab



cateto c = 62 mm

cate

to b

= 3

6 m

m

hipotenusa

A

C

c

ab

B


Construye un triángulo rectángulo cuya HIPOTENUSA a = 70 mm y el CATETO b = 35 mm



cate

to b

= 3

5 m

m

A

C

b

c


1ª SOLUCIÓN


cate

to b

= 3

5 m

mhipotenusa = 70 mm

A B

C

b

c


1ª SOLUCIÓN


cate

to b

= 3

5 m

mhipotenusa = 70 mm

A B

C

b a

c


1ª SOLUCIÓN



2ª SOLUCIÓN

a



2ª SOLUCIÓN

aB C



2ª SOLUCIÓN

a

b =

35 m

m

B C



2ª SOLUCIÓN

a

c b

b =

35 m

m

B

A

C

Construye un triángulo rectángulo sabiendo que EL CATETO a = 52 mm y el ÁNGULO C = 30º



B C52 mm



B C52 mm

1



B C52 mm

1

2



B C52 mm

1

3 2



B

A

C52 mm

1

23



B a

bc

A

C52 mm

1

23


Construye un TRIÁNGULO RECTÁNGULO sabiendo que LOS CATETOS SUMAN 78 mmy LA HIPOTENUSA mide 60 mm


78 mm


45º

BA

45ºc1 + c2


78 mm


45º

BP

60 mm

C

45ºc1 + c2


78 mm


45º

a

BP

60 mm

C

45ºc1 + c2


78 mm


45º

a

b

c B

C

AP

60 mm

45ºc1 + c2


78 mm


45º

a

b

c B

C

AP

60 mm

45ºc1 + c2


Construye un TRIÁNGULO RECTÁNGULO sabiendo que LA DIFERENCIA DE LOS CATETOS ES DE 18 mm y la HIPOTENUSA = 60 mm


18 mmA P


45ºc1 + c2


18 mmA P


45º

45ºc1 + c2


18 mm

60 m

m

A P


45º

45ºc1 + c2


18 mm

60 m

m

A

b

P


45º

45ºc1 + c2


18 mm

60 m

m

B

D

A

a

b

cP


45º

45ºc1 + c2


Construye un TRIÁNGULO RECTÁNGULO sabiendo que EL PERÍMETRO = 80 mmy el CATETO C = 20 mm



D E

A

C

B

PERÍMETRO

80 mm



20 m

m

D E

A

C

B

PERÍMETRO

80 mm



20 m

m

D EB

A

C

B

PERÍMETRO

80 mm



20 m

m

D E

A

C

B

PERÍMETRO

B

C

80 mm



80 mm

20 m

m

D E

A

C

B

PERÍMETRO

BA

C



80 mm

20 m

m

D E

A

C

B

PERÍMETRO

B

C

A

ab

c


Construye un TRIÁNGULO RECTÁNGULO ISÓSCELES sabiendo que LA HIPOTENUSA = 66mm



BA66 mm



66 mmBA M



BA M66 mm



B

C

b a

cA M66 mm


Construye un TRIÁNGULO ISÓSCELES de BASE 54 mm y ÁNGULO ADYACENTE



A54 mm

B



A54 mm

B



BA

C

54 mm



BA

b a

c

C

54 mm


Construye un triángulo isósceles sabiendo que los lados iguales miden 62 mm yel ángulo comprendido 45º



BA62 mm



BA62 mm

45º



B

C

A62 mm

45º



B

C

A

a

c

b

62 mm

62 mm

45º


Construye un triángulo isósceles cuya base mida 50 mm y el ángulo opuesto sea



+ 2 = 180

= 180 - 2

B50 mm

A


B50 mm


+ 2 = 180

= 180 - 2

A


BA

C

50 mm


+ 2 = 180

= 180 - 2


BA

C

50 mm


+ 2 = 180

= 180 - 2a

c

b


Construir un triángulo cuyos lados miden 42, 50 y 77 mm



BA77 mm



BA77 mm

50 m

m



B

C

A77 mm

50 m

m42 m

m



BA77 mm

50 m

m42 m

m

C

1ª solución



BA77 mm

50 mm

42 m

mC

2ª solución


Construir un triángulo escaleno sabiendo que un ángulo mide 75º y los lados adyacentes65 y 53 mm respectivamente


75º

A




75º

65 mm

A B



75º

65 mm

53 m

m

A

C

B



75º

65 mm

53 m

m

A

a

c

b

B

C


Construir un triángulo escaleno sabiendo que la base mide 66 mm ylos ángulos adyacentes 45º y 60º.



66 mm

A B



66 mm

A B45º



66 mm

A B

C

45º 60º



66 mm

A c

ba

B

C

45º 60º

1ª solución



66 mm

A c

b a

B

C

45º60º

2ª solución


Construir un triángulo conocidos dos lados (70 y 60 mm) y el ángulo opuesto a uno de ellos



A



70 m

m

A

C



70 m

m 60 mm

A

C



70 m

m 60 mm

A B

C

a

c

b

1ª solución



70 m

m 60 mm

A

a

c

b

B

C

2ª solución


Construir un triángulo escaleno sabiendo que el ángulo A es de 45º,el lado b mide 50 mm y la diferencia entre los otros, c-a = 18 mm.



45º

A



45º

A

C

50 m

m

b



45º

18 mm

c-a

A

C

50 m

m

b


50 m

m


45º

18 mm

c-a

A B

CA B

C

b


50 m

m


45º

18 mm

c-a

A B

CA B

C

b a

c


Construir un triángulo escaleno cuyo perímetro mide 80 mm,

y lo ángulos adyacentes son y




perímetro 80 mm




/2 /2

A

perímetro 80 mm




/2 /2

A

Bperímetro 80 mm




/2 /2

A

B Cperímetro 80 mm


Construir un triángulo escaleno sabiendo que el perímetro mide 80 mmy los lados son proporcionales a 12, 9 y 7 mm



perímetro 80 mm



12 mm9 mm

7 mm



12 mm9 mm

7 mm

A B



12 mm9 mm

7 mm

A B



12 mm9 mm

7 mm

A B

C



12 mm9 mm

7 mm

A

ab

c B

C



ÁNGULOS relacionados con la circunferencia

Un ángulo está relacionado con una circunferencia cuando sus lados cortan o son tangentes a la misma

O



ÁNGULO CENTRALSu vértice es el centro de la circunferencia.

Su medida, en grados, es el valor del arco que abarcan sus lados

O

ÁNGULO INSCRITOEl vértice es un punto de la circunferencia, y sus lados son dos cuerdas.

Su valor en la circunferencia es igual a la mitad del arco que abarcan sus extremos, es decir,la mitad del ángulo central correspondiente

OO O



= /2

ÁNGULO SEMIINSCRITOSus lados son una cuerda y una tangente.

Su valor es igual a la mitad del ángulo central que abarcan los extremos de la cuerda

OO O



= /2

ÁNGULO INTERIORSu vértice es un punto interior de la circunferencia.

Su valor es igual a la semisuma de los ángulos centrales que abarcan sus extremos yel ángulo opuesto por el vértice

O O

M

N

QP



= POQ + MON 2

ÁNGULO EXTERIORFormado por dos secantes que se cortan en un punto exterior.

Su valor es igual a la semidiferencia de los ángulos centrales que abarcan sus lados

O O



= MON - POQ 2

M

N

Q

P

ÁNGULO CIRCUNSCRITOFormado por dos TANGENTES A LA CIRCUNFERENCIA

Su valor es igual a la semidiferencia de los ángulos centrales que abarcan sus lados

O O

N

M



=

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TRIÁNGULOS I. DIBUJO TÉCNICO 1º BACHILLERATO