2014/5/17 @dc1394

Troullier and Martinsの擬ポテンシャルの作成法

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基本式

動径方向のSchrödinger方程式から、基本式

が得られる。Bachelet, Hamann and Schluter (BHS)[1]の方法では、(1)式がノードレスであるようにV(r)を調節した。

一方、Troullier and Martins(TM)[2]の方法では、ul(r)がノードレスとなるように、あらかじめ決めておいて、その後にV(r)を定める。

[1] G.B. Bachelet, D.R. Hamann and M. Schluter, Phys. Rev. B 26, 4199 (1982).

[2] N. Troullier and J.L. Martins, Phys. Rev. B 43, 1993 (1991).

TM擬波動関数の具体的な式

ノードレスの擬波動関数ul,PS(r)（= rψ l,PS(r)）を以下の解析形で表すと、

ただし、

である。

TM擬ポテンシャルの具体的な式

このとき、全電子系の解と同じ固有値を持つとして、screenされた擬ポテンシャルVscr,l(r)は(1)式の反転から以下のようになる。

TM型擬ポテンシャルを求める

r ≦ rclでは、

r > rclでは、Vscr,l(r) = VAE(r)である。

TM型擬ポテンシャルの条件

以下の条件より、多項式P(r)の係数C0～C12を決定する。

(i)コア半径rclでのノルム保存条件

(ii)擬波動関数とその4次微分までのrclでの値がul,AE(r)のものと一致

(iii)screenされた擬ポテンシャルVscr,l(r)のr=0での2次微分が0

TM型擬ポテンシャルの条件

(ii)の条件は(2)式よりポテンシャルの2次微分までがrclで連続であることを意味する。

(ii),(iii)の条件と、P(r)の奇数次の係数が0であることは、少ない平面波に収束させるための工夫である。

あとは、係数C0～C12を求めればよい。

TM型擬ポテンシャルの条件(i)

条件(i)から、

TM型擬ポテンシャルの条件(ii)

A, B, C, D, Eを定数とする。条件(ii)から、

TM型擬ポテンシャルの条件(ii)

続いて、

TM型擬ポテンシャルの条件(iii)

条件(iii)から、

TM型擬ポテンシャルの条件(iii)

TM型擬ポテンシャルが満たすべき連立方程式

条件(i),(ii),(iii)から、c2を可変として以下のような連立方程式が得られる。

ただし、

TM型擬ポテンシャルが満たすべき連立方程式

また、c4は、

から求める。そして、前ページの連立方程式の解が、

を満たすまで、二分法で解を探す。

TM型擬ポテンシャルで必要な情報

従って、TM型擬ポテンシャルを求める上で必要な情報は、

である。