Tutorial análisis de regresión

Tutoriales Prácticos de Economía

Prof. Dr. Manuel Salas Velasco

ANÁLISIS DE REGRESIÓN

USANDO LA HOJA DE CÁLCULO

EXCEL

1

¿Qué factores afectan al rendimiento académico?

• La tabla adjunta en la siguiente diapositiva contiene datos reales de un colegio concertado de Granada correspondientes al cuarto curso de primaria del año escolar 2000-2001. Tenemos 53 casos (niños/as) e información sobre dos variables para cada caso. La definición de las variables es como sigue:

• CI: cociente intelectual.

• NOTAMATE: nota media en Matemáticas (3ª evaluación). Media de los tres apartados: a) identificar, plantear y resolver problemas; b) conocer los conceptos matemáticos básicos; y c) dominar cuatro operaciones básicas con números naturales y decimales.

2Prof. Dr. Manuel Salas Velasco

Los datos para el análisiscaso ci notamate caso ci notamate caso ci notamate

1 91 6,83 19 79 5,17 37 76 1,50

2 94 7,50 20 88 7,50 38 70 4,17

3 82 6,17 21 124 9,50 39 91 3,17

4 109 2,33 22 124 9,50 40 76 5,67

5 85 3,67 23 85 2,33 41 115 8,83

6 106 9,50 24 88 1,50 42 100 8,17

7 79 2,33 25 91 7,50 43 94 2,83

8 82 3,50 26 109 8,83 44 88 3,67

9 76 5,00 27 73 5,50 45 109 7,50

10 103 6,83 28 91 5,00 46 133 9,50

11 112 8,17 29 91 3,17 47 103 6,17

12 100 7,50 30 82 5,00 48 124 9,50

13 82 5,50 31 121 9,50 49 100 8,17

14 85 3,17 32 67 1,50 50 88 1,50

15 109 9,50 33 115 6,00 51 70 2,33

16 109 9,50 34 91 5,50 52 100 6,83

17 85 2,83 35 109 6,17 53 91 5,00

18 97 7,50 36 103 8,17


Nuestro objetivo

• Estamos interesados en saber si el cociente intelectual influye en el rendimiento escolar (la nota obtenida en Matemáticas)

• Nuestra hipótesis de partida que queremos contrastar es que un mayor cociente intelectual se asocia con un mayor rendimiento académico

• El primer paso sería inspeccionar visualmente la información para ver si esto se cumple

• Para ello introducimos en Excel la información de la tabla y dibujamos un diagrama de dispersión


Introduciendo la información en Excel

Prof. Dr. Manuel Salas Velasco 5

• En la primera fila ponemos los nombres de las variables, y a partir de la segunda fila introducimos la información numérica (llegaría hasta la fila 54)

• Para que sea más fácil la construcción de gráficos, en la primera columna introducimos la información de la variable independiente (CI) y en la segunda columna la correspondiente a la dependiente (NOTAMATE)

• Tarea: ¡introduzca usted los datos!


Construyendo el diagrama de dispersión

- Para dibujar el diagrama de

dispersión (o nube de puntos)

seleccionamos los datos con el

ratón (filas 2 a 54/columnas A y

B) y hacemos clic en

“Insertar/Dispersión”, eligiendo

la primera opción de dispersión

- Nos aparece ya el gráfico


En “Herramientas de gráficos”/“Presentación”:

- En “Leyenda” seleccionamos “Ninguno”

- En “Título del gráfico” ponemos un título

- En “Rótulos del eje” ponemos la información del eje de abscisas y del eje de ordenadas

- Por último, haciendo clic con el lado derecho del ratón, “Dar formato a eje…”, cambiamos la escala del eje horizontal (de 50 a 140)

Mejorando la presentación del

diagrama de dispersión

Análisis econométrico

• A partir de la observación de los puntos, se observa una tendencia general a que los

alumnos con más inteligencia (X) obtienen una mejor nota en Matemáticas (Y); a

este tipo de relación se le conoce como correlación directa o positiva

• Si Y tiende a incrementarse cuando se incrementa X, entonces tendríamos: Y = f (X)

• Pero la inspección visual del diagrama de dispersión también sugiere que la relación

entre las dos variables es esencialmente lineal:

– Por tanto, si la relación f que liga Y con X es lineal, tendríamos la ecuación de una recta:

Y = a + b X

– Mediante la letra a designamos la ordenada en el origen (término constante), y

mediante la letra b la pendiente de la recta; la pendiente b es el cambio de Y

(rendimiento escolar) asociado con un cambio unitario en X (inteligencia)

• Sin embargo, en la práctica, la relación determinística anterior es inadecuada porque

hay otros factores que influyen en Y; un modelo empírico necesariamente debe

incorporar este hecho de la siguiente forma:

Y = a + b X + error

– El término de error, e, es una variable aleatoria que se añade para reflejar, entre otros

aspectos, factores que también explican el rendimiento pero que no los hemos tenido en

cuenta en el análisis

– La expresión anterior, en donde solo figura una única variable explicativa (el cociente

intelectual), se le conoce como modelo de regresión lineal simple


Ajustando una recta a los datos

• Nuestro objetivo es ahora ajustar una recta a la nube de

puntos, buscando tanto la ordenada en el origen a como

la pendiente b (los parámetros del modelo)

• Ahora bien, en la práctica podrían ajustarse infinidad de

rectas; ¿cuál es la mejor?

• El programa Excel nos va a buscar la mejor recta,

llamada recta de regresión mínimo-cuadrática

• El gorro encima de a y b indican valores concretos que

toman los parámetros una vez estimados


Xˆa b

El principio de los mínimos cuadrados

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

4.00

4.50

5.00

5.50

6.00

6.50

7.00

7.50

8.00

8.50

9.00

9.50

10.00

50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140

Cociente intelectual

No

ta e

n M

ate

má

tic

as

Individuo 2Valor observado, Y2

Valor

estimado,

error o residuo

2Y

222 Y-Ye ˆ


Xˆa b

Salvo para las observaciones que caen en la recta, para el resto cometemos un error. Por ejemplo, el individuo 2, con un CI=94, obtiene una nota de 7,50; pero el modelo ajustado nos predice una nota de 5,7; la diferencia es el error que cometemos.El método de los mínimos cuadrados ordinarios consiste en buscar un valor para a y para bde forma que la suma total de residuos al cuadrado sea la más pequeña posible.

Recta de regresión en Excel


Nos ponemos

encima del gráfico

de dispersión y

elegimos “Diseño” y

entonces la opción

de gráfico fx

Resultados


Excel ya nos ha dibujado la

recta que mejor se ajusta a la

nube de puntos y nos

proporciona los resultados de la

estimación del modelo:

valor estimado para b = 0,1212

valor estimado para a = -5,7069

También aparece el valor del R2,

que luego comentamos

Test de hipótesis

• Ahora bien, no basta con haber obtenido los valores para la ordenada en el origen y la pendiente de la recta

• Es importante contrastar la hipótesis de partida “a mayor inteligencia, mayor nota en Matemáticas”

• Para ello debemos comprobar que el coeficiente estimado b, la pendiente, es estadísticamente significativo

• ¿Cómo lo hacemos en Excel?


Análisis de regresión

• En la pestaña de “Datos”

seleccionamos la herramienta

de “Análisis de datos” (si no

aparece debe instalarse desde

los complementos de Excel)

• A continuación seleccionamos

“Regresión” e introducimos la

información:

• Para Y: seleccionamos con el

ratón la información de la

columna B/filas 1 a 54

• Para X: seleccionamos la

información de la columna

A/filas 1 a 54

• Seleccionamos “Rótulos” y

damos a aceptar


Resultados de la regresión

Resaltamos en amarillo los resultados de la regresión que nos interesan

Notas: 1. Se ha seleccionado el formato de número con cuatro

decimales

2. Excel, a la ordenada en el origen, le llama intercepción

De nuevo, la recta de regresión sería:

NOTAMATE = -5,707 + 0,121 CI


Resultados

Para contrastar la hipótesis de partida “A mayor cociente intelectual,

mayor nota en Matemáticas” debemos comprobar que el coeficiente

estimado b es estadísticamente significativo. ¿Cómo lo sabemos?

Para que un coeficiente sea estadísticamente significativo el valor

obtenido en la columna “Probabilidad” (el llamado p-valor) debe ser menor

a 0,05; y que se cumple en nuestro caso

(Nota: también si el valor del Estadístico t de student es superior en

valor absoluto a 2, que también se cumple)

Una vez que hemos contrastado la hipótesis y sabemos que el CI explica

el rendimiento, con un 95% de confianza (100 - 0,05), la siguiente

pregunta que surge es: ¿cómo influye?

En nuestra muestra, cuando aumenta el CI en una unidad, la nota en

matemáticas lo hace en 0,121 puntos


R cuadrado


R2 indica la proporción de variación de la variable dependiente

explicada por la variable independiente

En nuestro caso, el 53,5% de la variación en el rendimiento escolar viene

explicada por la inteligencia

R2 (o coeficiente de determinación) nos permite evaluar, en definitiva, la

bondad del ajuste (si el modelo se ajusta bien o mal a los datos)

R2 toma valores entre 0 y 1

Un R2 cercano a 1 indica un buen ajuste: los puntos quedan muy cerca del

modelo lineal ajustado (un valor alto para R2 es importante para que

nuestras predicciones sean fiables)

En nuestro caso, una forma de incrementar el valor de R2 para mejorar el ajuste

y la fiabilidad de las predicciones es mediante la incorporación de más variables

independientes que expliquen el rendimiento escolar

Si R2 fuese igual a 1, todas las observaciones caerían en la línea de

regresión por lo que el conocer X permite la predicción de Y sin error

Un R2 cercano a 0 indica un mal ajuste (el modelo no nos sirve)

Ejercicio de predicción

La econometría es muy útil para

hacer predicciones

Si hemos comprobado que el CI

explica la NOTAMATE, y tenemos

un buen ajuste (nuestro R2 es

relativamente alto), entonces

podemos predecir la nota en

Matemáticas de un niño o una

niña no incluido/a en la muestra


CI0,1215,707-MATEANOT ˆ

Por ejemplo, ¿cuál sería la nota

esperada para un alumno o alumna

con un coeficiente intelectual de 95

(este/a alumno/a no está en la

muestra?

7885MATEANOT

950,1215,707-MATEANOT

,ˆ

ˆ

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