Universidad Fermín Toro

Estructura Discreta I

Unidad 1Estudiante:

Javier ColmenaresProfesor:

Méndez Domingosección: SAIA A

Proposiciones o Enunciados

La lógica de enunciados o de proposiciones es el nivel más básico de análisis lógico. Se analizan las relaciones que se dan entre los enunciados o las proposiciones; es, pues, una lógica interproposicional, no interproposicional. En este nivel se simboliza de la misma manera proposiciones o enunciados de contenido tan diferente como: "ahora llueve", "algunos días llueve" o "todos los días llueve".

¿Qué es uno enunciando o una proposición?

Una oración declarativa que puede ser verdadera o falsa. Los enunciados dicen de las cosas y, consecuentemente, pueden ser verdaderos o falsos. No son enunciados las expresiones lingüísticas interrogativas, exclamativas o imperativas.

Los enunciados o proposiciones pueden ser atómicos o simples, los que no se pueden descomponer en otros; y moleculares o complejos, los que sí se pueden descomponer.

A continuación se tienen algunos ejemplos de enunciados que son proposiciones y algunos que no lo son, se explica el porqué algunos de estos enunciados no son, como tal,

proposiciones. Las proposiciones se indican por medio de una letra minúscula, dos puntos y la proposición

propiamente dicha. Por ejemplo.

O p: La tierra es plana. O q: -12 + 28 = 21 O r: x > y + 1 O s: Talleres será campeón en la

presente temporada de Fútbol Argentino.

O t: Hola ¿Qué tal? O v: Resistencia es la capital del ChacoO w: Lava el coche, por favor.

Los incisos p y q sabemos que pueden tomar un valor de falso o verdadero; por lo tanto son proposiciones validas. El inciso r también es una proposición valida, aunque el valor de falso o verdadero depende del valor asignado a las variables x y y en determinado momento y v es una proposición verdadera. La proposición del inciso s también esta perfectamente expresada aunque para decir si es falsa o verdadera se tendría que esperar a que terminara la temporada de fútbol. Sin embargo los enunciados t y w no son válidos, ya que no pueden tomar un valor de falso o verdadero, uno de ellos es un saludo y el otro es una orden.

CONECTORES LÓGICOS Y PROPOSICIONES

COMPUESTAS.Las proposiciones anteriores son todas, proposiciones simples. Para obtener proposiciones compuestas se deben ligar o combinar más de una proposición simple. Existen conectores u operadores lógicos que permiten formar proposiciones compuestas (formadas por varias proposiciones simples). Los operadores o conectores básicos son: y, o, no, no o, no y, o exclusiva, no o exclusiva

Operador and (y) - Operación Conjunción

Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir(ser verdaderas) para que se pueda obtener un resultado verdadero. Su símbolo es: {Ù , un punto (.), un paréntesis, o también, Ç }. Se le conoce como la multiplicación lógica(en la matemática booleana): Algunos ejemplos son: 1. La proposición "El coche enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente la batería" está formada por dos proposiciones simples: q y rq: Tiene gasolina el tanque. r: Tiene corriente la batería. Con p: El coche enciende. De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica es como sigue: p = q Ù r

Su tabla de verdad es como sigue:

Donde: 1 = verdadero 0 = falso

El lenguaje o vocabulario de la lógica proposicional o de enunciados consta de tres clases de elementos o símbolos: variables, constantes y auxiliares.

Elementos de la lógica de enunciados o proposicional

• Variables

Variables o variables proposicionales son los símbolos que sustituyen las proposiciones o enunciados. Se llaman variables porque su significado va cambiando en las diferentes argumentaciones o expresiones.Se han acordado cinco variables o letras como símbolos: p, q, r, s, t. Si hacen falta más variables, se recorre a subíndices: Una variable como por ejemplo p puede simbolizar "La Tierra es un planeta" o "Todos los planetas giran entorno all Sol" o cualquier otra proposición. Por ello, siempre es preciso indicar la proposición que se simboliza con la variable. Así, p = La Tierra es un planeta.

O Constantes

Constantes o conectores proposicionales son las partículas de significado no variable que tienen la función de alterar, relacionar o conectar enunciados atómicos haciéndolos complejos. Los más frecuentes son la negación, la conjunción, la disyunción, el condicional y el bicondicional.

Negación: ¬. (También: -, ~ ) Representa la partícula lingüística no o cualquiera otras partículas que incluyan la idea de negación. Por ejemplo: no es el caso que, no pasa que, ni, etc. También prefijos que indican esta idea como imposible.Así, la formalización de "La luna no tiene satélites", será ¬p ; habiendo definido "La luna tiene satélites" con la letra p.

Conjunción: Ù . (También: ·, & )Representa la partícula lingüística y o cualquier otra que indique la idea de unió, como también, igualmente, pero.Así, la formalización de "Marte tiene satélites y Júpiter también", considerando "Marte tiene satélites" = p y "Júpiter tiene satélites" = q, será p Ù q .

O Disyunción: Ú .Representa la partícula lingüística o. Es preciso advertir que esta partícula tiene dos sentidos: un inclusivo y otro exclusivo. En sentido inclusivo equivale a y/o, o sea, que incluye la verdad de los dos enunciados de la disyunción o bien sólo la de uno de los dos. El sentido exclusivo expresa la idea que la verdad de un miembro es incompatible con la verdad del otro: o uno o el otro, pero no los dos. El sentido inclusivo es lo que, en general, se adopta a lógica. Así, la formalización de "Se aprende lógica escuchando a clase o estudiando", siendo "Se aprende lógica escuchando a clase" = p y "Se aprende lógica estudiante" = q, será p Ú q .

O Condicional: ® . (También: É )Representa las partículas lingüísticas si … entonces ... o cualquiera otros que indiquen la idea de condición, como cuando … entonces... , entonces o una simple "coma". La partícula entonces o equivalente separa el antecedente del consecuente. Así, la formalización de "Si llueve, entonces la tierra se moja", con p simbolizando "Llueve" y q, "La tierra se moja", será p ® q .

O Bicondicional : « . (También: º )Representa las partículas lingüísticas si y sólo si … o cualquier otra que indique doble condición, como equivale, cuando y sólo cuando, únicamente. Se trata de una condición necesaria y suficiente. Así, la formalización de "Es de noche si y sólo si se ha post el sol", con p simbolizando "Es de noche" y q "Se ha post el sol", será p « q.

LEYES DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONES

Leyes del Algebra de Proposiciones

Las leyes de la algebra de proposiciones son equivalencias lógicas que se pueden demostrar con el desarrollo de las tablas de verdad del bicondicional. Las leyes del algebra de proposiciones son las siguientes:

MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN

· Demostración por el método directoEl método de demostración directa parte de la proposición p, que se supone verdadera, y deducir de ellauna nueva proposición q que se pueda ver que es verdadera como resultado de que p lo es. Esimportante resaltar que las proposiciones deducidas de p no deben ser hechas de cualquier modo, debenestar enfocadas hacia la última proposición obtenida.El camino que se debe seguir para llevar a cabo una demostración formal usando el método directosignifica que si se sabe que p1 es verdadera, p2 es verdadera,..., y pn también es verdadera, entonces sesabe que q es verdadera.

O El método de demostración indirectaEl método de demostración indirecta consiste en proceder al revés. Se fija la atención primeramente enq, es decir en la afirmación a la que se quiere llegar.Ubicada la premisa p, se va tratando de buscar situaciones intermedias p1, p2, p3, ××× pn de las que q sepodría deducir. Se identifica si alguna de estas podría estar relacionada con la situación p, se podríadeducir de ella. Cuando se encuentra, se verifica que el camino inverso que se ha encontrado, ahora dep a q, es correcto.

O Método de demostración por reducción al absurdoEn el método de demostración de reducción al absurdo, se debe empezar suponiendo que p esverdadera, al igual que se hacía en el método de demostración directa. Ahora, sin embargo, para llegar ala conclusión buscada, a saber, que q es verdadera se puede proceder haciendo una pregunta muysimple: “¿Por qué no puede q ser falsa?”. Después de todo, si q tiene que ser verdadera, debe haberalguna razón por la que no pueda ser falsa. El objetivo del método de demostración por reducción alabsurdo es, precisamente, descubrir esa razón. La idea es suponer que p es verdadera y q falsa y verque no puede ocurrir esto.En la práctica la demostración por reducción al absurdo inicia considerando como hipótesis q’ y finalizacuando el proceso de demostración obtiene dos proposiciones que se contradicen una a la otra.

O La demostración por contraposiciónEl método de la demostración por contraposición, tiene la ventaja de que se va a dirigir hacia unacontradicción concreta. En la demostración por contraposición, al igual que la demostración por reducciónal absurdo, se supone que tanto p como q’ son verdaderas. En el método por contraposición, sinembargo, no se parte de p y q’, sino que se empieza a trabajar solamente con q’ y el objetivo es llegar aque p es falsa, con lo que ya se ha llegado a una contradicción ¿qué mejor contradicción? ¿cómo puedeser p a la vez verdadera y falsa?

bibliografía

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