Unidad 3.conceptos preliminares de teoría de la medida

Análisis matemático II Unidad 3. Conceptos preliminares de Teoría de la Medida

Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

1

Universidad Abierta y a Distancia de México

Licenciatura en Matemáticas

8° cuatrimestre

Análisis Matemático II

Unidad 3. Conceptos preliminares de Teoría de la Medida

Clave:

050930829



2

Índice

Unidad 3. Conceptos Preliminares de Teoría de la Medida ................................................... 3

Presentación de la unidad ........................................................................................................ 3

Propósitos de la unidad ........................................................................................................... 3

Competencia específica de la unidad ...................................................................................... 3

3.1. Antecedentes ..................................................................................................................... 3

3.1.1. Medidas y conjuntos medibles ........................................................................................................ 3

3.1.2. Definición de Medida de Lebesgue. Propiedades ......................................................................... 11

3.1.3. Conjuntos Lebesgue medibles ....................................................................................................... 15

Actividad 1.Preliminares de Teoría de la Medida .................................................................. 19

3.2. Funciones medibles ......................................................................................................... 20

3.2.1. Algunas Aplicaciones ..................................................................................................................... 20

Actividad 2. Medida de Lebesgue .......................................................................................... 24

Autoevaluación ....................................................................................................................... 24

Evidencia de aprendizaje. Espacios métricos, conjuntos medibles y medida de Lebesgue

25

Autorreflexiones ..................................................................................................................... 25

Cierre de la unidad .................................................................................................................. 25

Para saber más: ...................................................................................................................... 26

Referencias Bibliográficas ..................................................................................................... 26



3

Unidad 3. Conceptos Preliminares de Teoría de la Medida

Presentación de la unidad

La integral de Riemann-Stieltjes que se introdujo en el en la unidad anterior generaliza la

integral de Riemann, la función integrante introducida en la integral de Riemann-Stieltjes

adquiere un significado más particular cuando le asigna una “medida” a los conjuntos sobre los

cuales se va a integrar. El uso de esta función nos permite generalizar el concepto de integral,

incluso de funciones con “muchas” discontinuidades. En esta unidad se introduce el concepto

de medida de un conjunto y más específicamente el de “medida de Lebesgue”.

Propósitos de la unidad

Identificar las propiedades de la medida de Lebesgue.

Clasificar conjuntos en .

Competencia específica de la unidad

Analizar el concepto de medida para clasificar conjuntos en mediante la utilización de sus

propiedades

3.1. Antecedentes

Emile Borel en 1898 fue el primero en establecer una teoría de la medida sobre los

subconjuntos de los números reales conocidos ahora como conjuntos de Borel. En 1902 H.

Lebesgue presentó su trabajo pionero sobre medida de Lebesgue y en 1918 C. Carathéodory

introdujo y estudió las propiedades de medidas exteriores.

3.1.1. Medidas y conjuntos medibles

El concepto general de medida de un conjunto constituye una generalización natural de los

siguientes conceptos:

longitud de un segmento ,

área de una figura plana F,

volumen de una figura G del espacio,

del incremento ( ) ( ) de una función no decreciente ( ) en el segmento semiabierto

, ),



4

de la integral de una función no negativa en una región lineal, plana, etc.

Un interés general es establecer una medida sobre la recta real, por el cual introduciremos un

concepto de medida sobre ciertos conjuntos de una manera general.

La teoría de integración de Riemann presentada en adaptación de la teoría de Cauchy

debilitando las hipótesis necesarias para que una función sea integrable. Mientras Cauchy

restringía la integrabilidad a funciones continuas, Riemann dio una condición necesaria y

suficiente para la integrabilidad de una función:

Una función acotada ( ) es integrable en , - si y sólo si la suma de Cauchy

∑ ( )( )

donde y [ ], se aproxima valor límite cuando el tamaño de

la partición del se aproxima a 0. Este único valor límite es por definición es por definición

∫ ( )

.

Definición 1 [Semianillo] Sea un conjunto no vacío. Una colección de subconjuntos de

es llamado un semianillo si esta satisface las siguientes propiedades.

a) El conjunto vacío pertenece a , es decir .

b) Si ; entonces ; esto es, es cerrado bajo intercesiones finitas.

c) El conjunto diferencia de cuales quiera dos conjuntos de pueden ser escritos como la

unión finita de un par de conjuntos disjuntos de . Esto es, para cada ; entonces

existe (dependiendo de y ) tal que ⋃ y si .

Definición 2 [ -conjunto] Sea un semianillo de subconjuntos, subconjuntos de . Un

subconjunto de es llamado un -conjunto con respecto a (simplemente un -conjunto)

si existe una sucesión disjunta * + de (esto quiere decir, si ) tal que

⋃ .

Observación 1. Si ⋃ , con y para , entonces es un -

conjunto.

Algunas propiedades de los -conjuntos están incluidas en el siguiente teorema.

Teorema 1. Para algún semianillo , se tiene las siguientes propiedades.

a) Si y , entonces ⋃ puede ser escrito como la unión finita de

conjuntos ajenos de (entonces, este es un -conjunto).

b) Para cada sucesión * + de , el conjunto ⋃ es un -conjunto.



5

c) Uniones numerables e intersecciones finitas de -conjuntos son -conjuntos.

Demostración. La prueba se hace por inducción sobre . Para , el teorema es válido por

la definición de semianillo. Ahora se asume que el teorema es válido para alguna . Sea ,

y sean . Por hipótesis de inducción, existen tal que

⋃ y si , entonces

⋃

⋃( )

Por la propiedad c) de semianillo, cada puede ser escrito como la unión finita de

conjuntos disjuntos de . Donde si , esto se sigue de ⋃ puede ser

escrito como la unión finta de conjuntos disjuntos de . Esto completa la inducción y la prueba.

Sea * + . Donde ⋃ , entonces se escribe ⋃

tal que y

⋃ para . Observamos que si , y por la propiedad a) cada

es un -conjunto. Ahora se sigue que es en sí mismo un -conjunto.

Para la prueba de c) se sigue de b), y de la propiedad b) de semianillo.

Lema 1. Si * + es una sucesión de conjuntos de un semianillo , entonces existe una sucesión

disjunta * + de tal que ⋃ ⋃

y para entonces existe algún con .

Definición 3 [Álgebra de conjuntos] Un conjunto no vacío de subconjuntos de tal que es

cerrado bajo intersecciones finitas y su complemento es llamado álgebra de conjuntos(o

simplemente un álgebra). Esto es, es un álgebra si satisface las siguientes propiedades:

a) Si , entonces .

b) Si , entonces .

Teorema 2. Para un álgebra de conjuntos , las siguientes propiedades se cumplen:

a) Los conjuntos .

b) El álgebra es cerrada bajo uniones e intersecciones finitas.

c) El álgebra es un semianillo.

Demostración.

a) Dado que es no vacío existe algún . Ahora, por hipótesis así,

. Más aún, .

b) Sea . Entonces ( ) , el resto de la prueba se sigue por

inducción.



6

c) Solo se tiene que verificar para la propiedad 3) de la definición de semianillo, pero esto

se observa de la identidad .

Ejemplo

Para algún conjunto no vacío , la colección * + es un álgebra de conjuntos.

Sea una familia de subconjuntos disjuntos y distintos del vacíos de un conjunto .

Entonces ( ) es un semianillo de subconjuntos de . Para ver esto, se observa que

primero . Ahora, si , entonces es vacío o igual a . Del mismo modo, es o

bien vacío o igual a . Por lo tanto, implica que pertenece a , y así, es un

semianillo.

Definición 4 [Anillo de conjuntos] Un anillo de conjuntos (o simplemente un anillo) es un

conjunto no vacío de subconjuntos de un conjunto satisfacer las siguientes propiedades:

a) Si entonces

b) Si , .

Cada anillo contiene el conjunto vacío. En efecto, dado que es no vacío, entonces existe

, por lo que . Cada álgebra de conjuntos es un anillo de conjuntos. Además,

un anillo es necesariamente un semianillo. En efecto, si , entonces la relación

( ) muestra que .

Definición 5 [ -Anillo] Un álgebra de subconjuntos de un conjunto se llama -álgebra si

cada unión de una colección numerable de miembros de esta nuevamente en . Es decir,

además es un álgebra, ⋃ esta para cada sucesión * +, de .

En virtud de ⋂ (⋃

) , esto se sigue de que todas -álgebra de conjuntos es

cerrado bajo intercesiones finitas. Cada colección de subconjuntos: de un conjunto no vacío

está contenido en una -álgebra más pequeña (con respecto a la relación de inclusión). Esta

-álgebra es la intersección de todas las -álgebras que contienen a (nótese que ( ) es

uno de ellos), que se llama la -álgebra generada por .

Definición 6 [Conjuntos de Borel] Los conjuntos de Borel de un espacio topológico (X, r)

son conjuntos de la -álgebra generada por los conjuntos abiertos.

La -álgebra de todos los conjuntos de Borel de ( ) se denotan por .

Se introduce la noción de medida sobre una -álgebra y se consideran el concepto de medida

cero.

Definición 7 [Medida] Sea ( ) un espacio medible. Una medida en ( ) es una función

con las siguientes propiedades:

a) ( ) .

b) para todo .



7

c) es -aditiva, i.e. Si ( ) es una sucesión de elementos disjuntos entre sí de S, entonces:

(⋃

) ∑ ( )

Definición 8 [Medida Finita] Sea una medida en ( ). Se dice que es finita si no toma el

valor extendido .

Si es posible hallar una sucesión ( ) de elementos de tal que ⋃ para todo

, entonces se dice que es -finita. Se observa que toda medida finita es

automáticamente -finita.

Las siguientes propiedades son consecuencias de la definición.

Proposición 1. Sea una medida en ( ) entonces

a) es aditiva, esto quiere decir ( ) ( ) ( ) si , ( ) .

b) es monótona; es decir, si , con , entonces se tiene: ( ) ( ).

c) es sustractiva; es decir, si , con y ( ) , entonces ( )

( ) ( ).

Demostración.

Para a), sean , entonces ( ) es una sucesión de elementos de y por la

Proposición 1 inciso a) y b) obtenemos:

( ) (⋃

) ∑ ( )

( ) ( )

La aditivita puede extenderse por inducción a cualquier número finito de elementos ajenos.

a) De la identidad ( ) (unión disjunta de elementos de ), se obtiene del inciso

anterior que: ( ) ( ) ( ), así se tiene que ( ) ( ) por (Proposición 1 b).

b) De la identidad ( ) ( ) ( ), obtenemos al restar ( ) que:

( ) ( ) ( ). Nótese que la valida aún si ( ) .

Ejemplo.

1. Sean ( ) es un espacio medible arbitrario y fijo definimos * + como

sigue:

( ) {

La medida es una medida finita, llamada la medida unitaria concentrada en .



8

2. Sean ( ) un espacio medible, medidas y entonces

,

es una medida.

Teorema 3. Sea un semianillo, y sea , - una función. Entonces es una medida

sobre si y sólo si satisface las siguientes condiciones.

a) ( ) .

b) Si , y satisface ⋃ y para , entonces

∑ ( ) ( ) se satisface.

c) Si y * + satisface ⋃ , entonces ( ) ∑ ( )

, entonces es -

subaditiva.

Demostración.

Supóngase es una medida sobre . Entonces por definición, ( ) . Para b) supongamos

que , y los conjuntos satisfacen ⋃ . Entonces conjuntos disjuntos

de tal que ⋃ ⋃

. Sea , y para

. Entonces los conjuntos son disjuntos y ⋃ . Por la propiedad de aditivita

finita de , se tiene

( ) ∑ ( )

∑ ( )

Por la -subaditividad de , se asume que ⋃ tal que y * + . Sea y

⋃ para . Entonces ⋃

⋃

y para cada .

También, para sucesión * + es disjunta, y para cada existe un par de conjuntos disjuntos

en tal que ⋃

. Obsérvese que por b) y por ⋃

para cada , se

sigue que ∑ ( )

( ). (Para n=1, hacemos y

.)

Ahora, observemos que ⋃ ( ) ⋃ ⋃ (

)

, es una unión disjunta. Por lo

tanto la -aditividad de se obtiene

( ) ∑∑ ( )

∑∑ ( )

∑ ( )

A la inversa, si el conjunto de funciones , - satisface las tres condiciones anteriores,

es -aditiva por la combinación de los incisos b) y c). Por lo tanto, es una medida.

Definición 9 [Conjunto nulo] Un conjunto es llamado un conjunto nulo si ( ) .

Denotamos a este por ( ), es decir:

( ) * ( ) +



9

A partir de la propiedad de un -subaditividad de que una unión numerable de conjuntos nulos

es de nuevo un conjunto vacío. Los conjuntos nulos jugarán un papel importante en la teoría de

la integración.

Teorema 4. Cada conjunto nulo es medible.

Demostración. Sea con ( ) . Entonces la monotonía de implica ( )

para cada Por consiguiente, para cada subconjunto de se tienen

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

donde la primera desigualdad se cumple en virtud de la -subaditividad de . Por lo tanto, es

medible.

Lema 1. Sean los conjuntos los conjuntos y medibles. Entonces

(⋃( )

) ∑ ( )

esto se cumple para cada conjunto de .

Demostración. La prueba es por inducción sobre . Obviamente, el resultado es cierto para

. Supongamos ahora es cierto para algún , y sean que los conjuntos ,

conjuntos disjuntos y medibles. Si , entonces

[⋃

]

[⋃

] ( ) [⋃

]

Por lo tanto, usando la medida de , vemos que

(⋃( )

) ( [⋃

])

( ([⋃

]) ) ( [⋃

] ( ) )

( ) ( [⋃

]) ∑ ( )

donde la última igualdad se cumple por la hipótesis de inducción. La inducción es ahora

completar, y la prueba está terminada.



10

Definición 10 [Completo] Un espacio de medida ( ) se llama completo, si siempre que

( ) y , entonces , en cuyo caso también se tiene que ( ). También

decimos que en este caso es una medida completa.

Teorema 4. Sea una medida definida sobre el espacio medible ( ).

a) Si ( ) es una sucesión creciente de elementos , entonces

(⋃

) ( )

Donde ( ) significa que el límite es el de una sucesión creciente.

b) Si ( ) es una sucesión decreciente de elementos de , entonces

(⋂

) ( )

Si además ( ) para alguna entonces se tiene la igualdad.

Demostración.

a) Si ( ) para alguna , entonces ambos miembros de la expresión son iguales

. Así supondremos que ( ) para todo .

Sea y ( ); entonces ( ) es una sucesión de elementos ajenos en

tal que:

⋃

Y por tanto

⋃

⋃

Usando la -aditividad y la sustractividad de obtenemos:

(⋃

) ( ⋃

) ∑ ( )

∑ ( )

∑( ( ) ( ))

( )

Finalmente, se observa que por la monotonía de , el límite es una sucesión creciente.

b) Si ⋃ para todo , entonces,

(⋂

) ( )



11

y como la sucesión es decreciente, entonces:

(⋂

) ( )

Supongamos que ( ) para algún , sea el primero natural con dicha propiedad.

Definimos , entonces ( ) es una sucesión creciente de elementos de con

⋃ ⋂

. Se sigue del inciso a) y de sustracción de que:

( ) (⋃

) (⋃

) ( )

( ) ( ) ( )

( )

Pero ( ) es finito porque se puede restar y concluir que:

(⋂

) ( )

Ejemplo.

Supóngase que la función es no decreciente y continua; esto es,

( ) ( ) para cada . Consideremos el semianillo

*, ) y +

Ahora se define , ) por (, )) ( ) ( ) si y ( ) . Observamos que

esta función es una medida.

3.1.2. Definición de medida de Lebesgue. Propiedades

En esta sección se presenta una forma de construir medidas con distintas propiedades a partir

de conceptos más primitivos, se demuestra la unicidad de la medida obtenida y dando como

caso particular la medida de Lebesgue en .

Definición 11 [Casi-medida].

Sea ; y ( ) un álgebra. Una casi-medida es una función conjuntista tal

que:

1) ( )

2) ( ) , para toda .



12

3) Si ( ) es una sucesión de elementos disjuntos de tal que ⋃ , entonces:

(⋃

) ∑ ( )

Observamos de la definición que como ( ) , entonces es aditiva y además monótona.

Consideremos ahora ( ) una sucesión de elementos no necesariamente disjuntos de tal

que ⋃ , se tiene que:

(⋃

) ∑ ( )

Si ( ) entonces decimos que es finita y si ⋃ con ( ) , entonces la casi-

medida se llama -finita.

El siguiente concepto es el de media exterior, será usado para construir una medida.

Definición 12 [Medida exterior].

Una medida exterior es una función conjuntista ( ) tal que:

1) ( ) .

2) ( ) para todo ( ).

3) ( ) ( ) si . (Monotonía)

4) (⋃ ) ∑ ( )

para toda sucesión ( ) de subconjuntos de . ( -subaditividad)

Notamos que por la propiedad 1), también es subaditiva y de forma análoga al caso de las

casi-medidas, si ( ) se llama finita y si ⋃ con ( ) , se denomina -finita.

Una manera muy común dentro del análisis para obtener funciones que son medidas es

extender funciones para que estas tengan un dominio más grande y cumplan las condiciones

para ser medidas. Asociada a cada casi-medida tenemos una medida exterior, que resulta de

extender la casi-medida, el método que se dará es “aproximar desde afuera” a los subconjuntos

de , por medio de cubiertas numerables de elementos de .

Ejemplo. Medida exterior.

Considera con la topología dada por la métrica usual, para este ejemplo se considera

cualquier espacio métrico separable, los cuales son segundo numerables, es decir tienen una

base numerable para su topología. Sea

* + Una base numerable para la topología de . Definimos ( ) , - de la

siguiente manera:



13

( ) ∑ ( )

en donde:

( ) {

para todo

Entonces es una medida exterior y tiene la siguiente propiedad:

( ) ( )

para todo , donde es la cerradura de .

La siguiente es la definición de la medida exterior generada por una casi-medida .

Definición 13 [Medida exterior generada por una casi-medida].

Sea una casi-medida. Definimos ( ) de la siguiente forma:

( ) {∑ ( )

⋃

( )}

para todo .

Una sucesión ( ) de elementos de tal que ⋃ es llamada una -cubierta de ,

se denomina la medida exterior generada por a continuación se demuestra que esta función

está bien definida y que en efecto es una medida exterior.

Observación 2. Dada una casi-medida , la función definida antes siempre existe pues para

todo ya que , se tiene que el conjunto de -cubiertas es no vacío, por lo tanto el

conjunto de sumas a las que obtenemos el ínfimo también es no vacío y es acotado

inferiormente por cero, ahora por propiedades vistas en cursos anteriores de Cálculo, el ínfimo

existe. Notemos que con las definiciones presentadas para este curso, tanto ( ), como ( )

pueden tener el valor para algún .

Teorema 5. La función ( ) de la definición anterior es una medida exterior y además

es una extensión de , es decir:

|

Demostración. De la definición se tiene que como ( ) para cada , entonces

∑ ( ) para cualquier sucesión ( ) de elementos de , así dado tienes que

cero es cota inferior del conjunto *∑ ( ) ⋃

( )+, por lo que

( ).

Considera la -cubierta de dada por entonces ( ) ya que es una casi-medida

y junto a la conclusión anterior tenemos que ( ) .

Sean Como toda -cubierta de F es -cubierta de entonces, de la definición

tenemos que:

( ) ( )



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Observa ahora la -subaditividad de . Sea ( ) una sucesión de subconjuntos de . Si

( ) para algún , entonces por la monotonía se tiene:

( ) (⋃

)

así que

(⋃

) ∑ ( )

Ahora supón que ( ) para todo .

Sea , para cada tomamos una -cubierta numerable . ( )/ de tal que:

∑ . ( )/

( )

Como ⋃ ⋃ (⋃

)

tenemos que el conjunto * ( ) ( ) + es una -

cubierta de ⋃ y por lo tanto se verifica que:

(⋃

) ∑ .

( )/

( )

∑(∑ . ( )/

) (∑

( ))

Esto pasa para cualquier arbitraria así tenemos que (⋃ ) ∑ ( )

, lo que prueba

que la función es -subaditiva, por lo tanto constituye una medida exterior.

Sea , se tiene que ( ) ( ), sean ( ) una -cubierta de y , entonces

⋃ y además ( ) ( ) para toda por lo que ∑ ( )

∑ ( )

,

entonces por las propiedades de tenemos que:

( ) ∑ ( )

por lo tanto

( ) ( )

así que extiende a .

Por otra parte, es -finita si y sólo si es -finita.

La noción de medida de Lebesgue es una extensión natural de los conceptos de longitud, área

y volumen. En particular, la medida de Lebesgue alguna figura geométrica en resulta ser su

área mientras que en es su volumen.



15

Sea un semianillo que contiene el conjunto vacío y todos los conjuntos de la forma

∏ , ) , donde para cada , se observa que la función , )

definida por ( ) y (∏ , ) ) ∏ ( )

es -aditiva.

Teorema 6. La función , ) definida anteriormente es una medida, llamada la medida

de Lebesgue sobre .

Demostración. La prueba es por inducción sobre la dimensión de . Sea que denota el

semianillo sobre , y sus corresponde funciones por . Para resulta de un ejemplo

anterior. Ahora supóngase que es una medida para alguna Observamos que es

-aditiva sobre . Para terminar, sea , ) ⋃ , , )- , con ,

para cada , y la sucesión * , )+ son pares disjuntos. Se deduce que , )

∑ , ) . Ahora para ( )

y se tiene

( ) , )( ) ∑

( ) , )( )

Fijemos ( ) , y sea ( ) ∑ ( ) , )( )

. Entonces cada es una

función para ( ) tal que ( ) ( ) , )( ) para cada , así que se tiene que

∑ ( ) ( ) ( ) ( ) para cada ( ) . Como por hipótesis de inducción

( ) es un espacio de medida puede verse que:

∑( ) ( )

( ) ( )

Esto es,

∑

( , )) ( , ))

Por lo tanto es es -aditiva.

Un intervalo de es un conjunto de la forma ∏ donde cada , es un intervalo de . Si

cada ; es además un intervalo abierto y acotado de , entonces ∏ ; es llamado un

intervalo abierto de . Además se observa que cada intervalo de esta forma es una medida de

Lebesgue.

Una fórmula útil para la medida de Lebesgue exterior es la siguiente:

( ) {∑ ( )

⋃

}

3.1.3. Conjuntos Lebesgue medibles



16

En general puedes ver que no todas las medidas exteriores son medidas, esto suele ocurrir

porque el ( ) es un dominio “muy grande”. La manera en que procede es elegir algunos

subconjuntos de en donde la medida exterior sea aditiva.

La definición que se utilizará fue dada por K. Carathéodory en 1918.

Definición 13 [Lebesgue-medible].

Sea ( ) una medida exterior. Decimos que es Lebesgue-medible (o -

medible) si:

( ) ( ) ( )

Para todo . Es decir si y dividen aditivamente a cualquier subconjunto de .

Se Denota * + y en el caso de una medida exterior

generada por una casi-medida , denotaremos * +.

Observación 3. Nota que como toda medida exterior es subaditiva, basta pedir:

( ) ( ) ( )

para todo .

La proposición siguiente es para identificar algunos de los elementos de .

Proposición 2. Sea ( ) una medida exterior, entonces:

a) .

b) ( ) .

Demostración.

a) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( ) ( ) .

b) Como es no-negativa y monótona se tiene que:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Por la Observación 2 se tiene que .

Teorema 6. (De extensión de K. Carathéodory – E. Hopf (1918)).

Sea ( ) una medida exterior, entonces:

a) es una -álgebra.

b) | es una medida completa. En caso de que sea la medida

exterior generada por una casi-medida , entonces:

c) ( )

Demostración.



17

a) Por la proposición 1, se tiene que es cerrado bajo complementos y ( ) ,

entonces ; basta demostrar que es cerrado bajo uniones numerables.

Sean , de la definición de conjuntos Lebesgue-medibles se tiene que para todo

el conjunto cumple:

( ) (( ) ) (( ) ) ( 1 )

( ) (( ) ) (( ) ) ( 2 )

Sumando (1) y (2), como :

( ) ( ) ( ) ( ) (( ) )

(( ) ) ( ( )) ( 3 )

Esto es válido para cualquier y podemos sustituir por ( ) en la ecuación (3):

( ( )) ( ) (( ) ) (( ) ) ( 4 )

Despejando ( ) de (4) y sustituyendo en (3) tenemos que:

( ) ( ( )) ( ( ))

para todo , por lo tanto . Se sigue por inducción que ⋃

.

Sea ( ) una sucesión de elementos de , a partir de ella es posible construir una sucesión

( ) tal que:

para todo ,

si y

⋃ ⋃

.

Esto es un ejercicio sencillo de teoría de conjuntos así que se dará por hecho. Si tomamos una

sucesión cualquiera, la unión de los elementos de esta sucesión puede ser sustituida por la

unión de elementos disjuntos de elementos también de , así que basta probar que

⋃ , donde ( ) es una sucesión de elementos ajenos de .

Si son disjuntos la ecuación (4) se convierte:

( ( )) ( ) ( ) para todo ( 5 )

Nuevamente procediendo por inducción se tiene que para todo se cumple:

( (⋃

)) ∑ ( )

( 6 )

para todo con subconjuntos ajenos en .

Sea ( ) una sucesión de conjuntos ajenos, denota:

⋃

( ) ⋃



18

entonces y como se sigue de (6), y de lo obtenido a partir de (3) y (4)

que:

( ) (∑ ( )

) ( )

para todos y , por lo que:

( ) (∑ ( )

) ( )

y como es -subaditiva entonces ( (⋃ )) (⋃

) ∑ ( )

, por lo

tanto:

( ) ( ) ( ) ( 7 )

para todo , así que , por lo tanto, es una -álgebra.

b) Por la definición de la , ésta es no-negativa y ( ) . Así que basta probar

que es -aditiva.

Para facilitar la nomenclatura decimos que una sucesión de subconjuntos es disjunta si:

cuando .

Sean ( ) una sucesión disjunta de elementos en y ⋃ por el inciso (a) , así

( ) ( ). Si ponemos en (7) tenemos que:

( ) ∑ ( )

y como es -subaditiva, es -subaditiva, por lo que:

( ) ∑ ( )

por lo tanto es subaditiva. Por lo tanto es medida.

Sean con ( ) y dados, entonces ( ) y por Proposición 1.b) tenemos

que , eso prueba que es completa.

c) Sea una casi-medida y la medida exterior generada. Como es una

-álgebra basta probar que . Sean y , si ( ) , entonces

( ) ( ) ( ), esto de manera trivial. Ahora supongamos ( ) .

Para dada, hallemos una -cubierta numerable ( ) de tal que:

∑ ( )

( )



19

Como | , por la monotonía y la -subaditividad de y la aditividad de obtenemos:

( ) ( ) ∑( )

∑( )

∑ ( )

( )

Esto ocurre para cualquier , así que .

Nuevamente para facilitar notación denotaremos | .

Hasta ahora se ha dado una forma de construir una medida para una -álgebra a partir de una

medida exterior, o más general, de una casi-medida; podemos preguntarnos las propiedades

que esta medida tiene con respecto a la función que tomamos como base para construirla, el

siguiente teorema da una información muy importante a este respecto para un tipo especial de

casi-medida, nos dice que la medida que construimos sobre la -algebra es única con las

propiedades que se expusieron, esto se verá con más claridad en el enunciado siguiente.

Teorema 7. (H. Hahn (1921))

Sean una casi-medida -finita, ( ) una -álgebra que contiene a y

una medida tal que: ( ) ( ) para todo , entonces ( ) ( ) para todo

.

Esta unicidad es importante en el momento en que deseamos plantearnos la construcción de

medidas distintas a las que ya tenemos, pues con esas propiedades sólo tenemos una

posibilidad de extender a la casi medida .

Teorema 8. Un subconjunto de es Lebesgue medible si y sólo si para cada , existe

un conjunto abierto , tal que , y ( ) .

El teorema expresa que aquellos conjuntos que son Lebesgue medibles en pueden ser

aproximados “desde afuera” por abiertos del espacio, esta condición es bastante útil para

caracterizar los conjuntos medibles, pues de inicio nos dice que todos los conjuntos abiertos de

son Lebesgue medibles, más aún el siguiente resultado hace ver que la categoría de los

Lebesgue medibles incluye a todos los conjuntos de Borel.

Teorema 9. Si es un conjunto de Borel sobre , entonces es Lebesgue medible

Actividad 1.Preliminares de Teoría de la Medida

A través de esta actividad compararás los conceptos previos de Teoría de la medida con la

medida de Lebesgue.

Instrucciones:



20

1. Descarga el documento llamado “Act. 1. Tabla de medidas”

2. Compara las dos listas que se te proporcionan. Una de conceptos intuitivos y otra de

conceptos formales de la medida.

3. Ingresa al foro y tomando en cuenta la comparación de los dos listas. redacta las

definiciones formales de la teoría de la medida.

4. Revisa aportaciones de tres de tus compañeros, aceptando o rechazando sus

respuestas.

Nota: Antes de participar en el foro, recuerda consultar la Rúbrica general de participación en

foros que se encuentra en la sección Material de apoyo.

3.2. Funciones medibles

El concepto de función medible es importante porque permite construir un conjunto de funciones

que contiene a otras funciones definidas en cursos anteriores tales como las continuas, las

Riemann-Integrables, y cómo estas satisfacen ciertas propiedades algebraicas, además las

variables aleatorias definidas en Probabilidad son un ejemplo de función de medida, la

definición de función medible es casi copia de la de continua, lo que nos recuerda la manera en

que la matemática se generaliza.

3.2.1. Algunas Aplicaciones

Ya que existe la posibilidad de que algún conjunto tenga medida infinita, se trabaja con el

sistema de números reales ampliado al que se denota por es decir se agregarán los

símbolos * + que cumpla ciertas propiedades.

Definición 14. El sistema de los reales extendido está formado por los números reales y los

símbolos tal que las operaciones entre reales son las ya definidas, , , para

todo real , , para real o ; ( ); ( ); ;

, se dan definiciones similares para y finalmente , no está definido.

Una propiedad se satisface casi en todas partes (c.t.p.), si se satisface en todo punto excepto

un conjunto de medida cero, es decir si A es el conjunto en que falla la condición, entonces

( ) ) ( y se denota que la propiedad se

cumple c.t.p.



21

Definición 15. Un espacio de medida es una terna ( ) formada por un conjunto

( ),un , y una medida sobre .

Las propiedades más usadas serán las siguientes:

1. (* | ( ) ( )+) .

2. (* | ( ) ( )+) .

3. . (* | ( ) ( )+) .

4. . si p.c.t. para toda n y p.c.t.

5. . si p.c.t. para toda n y p.c.t

Definición 16. Sea una función. Si ( ) es medible para todo abierto ,

entonces se dice que es una función medible.

Un primer teorema nos caracteriza a las funciones medibles.

Teorema 9. Para cada función , las siguientes proposiciones son equivalentes.

1. es medible.

2. (( )) es medible para cada intervalo abierto acotado ( ) de .

3. ( ) es medible para todo subconjunto cerrado .

4. (, )) es medible para todo .

5. (( -) es medible para todo .

6. ( ) es medible para todo subconjunto de Borel .

Ejemplos.

Si f es medible entonces * ( ) + * ( ) + * ( ) + * ( )

+ para real finito, para , se tiene * ( ) + ⋂ * ( ) + , de manera similar

para .

Las funciones constantes son medibles ya que (, ))= que es medible para todo

real.

La función característica sobre cualquier conjunto es medible, si y sólo si es un conjunto

medible ya que * ( ) + , dependiendo del valor de .



22

Las funciones continuas son medibles, ya que (( )) es abierto para todo y por tanto

medible.

Se define la igualdad p.c.t. (para casi todo) lo que nos da una forma de equivalencia entre

funciones medibles.

Teorema 10. Si es una función medible y satisface p.c.t., entonces es una

función medible.

Demostración.

Si * ( ) ( )+, entonces de la hipótesis ( ) , y así es medible. Ahora, sea

un subconjunto abierto de . Ya que es medible, ( ) es medible, de aquí que

( ) ( ) es un conjunto medible. Ya que ( ) tiene medida exterior cero, es

medible. De aquí,

( ) , ( )- , ( )-

Es un conjunto medible, así que g es una función medible.

Otras propiedades de las funciones medibles se enuncian en el siguiente teorema.

Teorema 11. Si son funciones medibles, entonces los siguientes conjuntos

a) * ( ) ( )+.

b) * ( ) ( )+.

c) * ( ) ( )+.

Son todos medibles.

Demostración.

Demostraremos a) y los otros se deducen de este.

Sea un enumeración de los números racionales de , entonces

* ( ) ( )+ ⋃ ,* ( ) + * ( ) +- es medible ya que es unión

numerable de conjuntos medibles.

El siguiente teorema establece que la medibilidad es preservada por operaciones algebraicas

entre funciones.

Teorema 12. Sean funciones medibles, entonces las siguientes proposiciones son váildas:

1. es una función medible.

2. es una función medible.



23

3. | | son funciones medibles.

4. y son funciones medibles.

Demostración.

1) Si es un número constante, entonces es medible, ya que si , entonces

* ( ) + * ( ) + es un conjunto medible, ahora si ,

entonces el conjunto ( ) (, )) * ( ) ( ) + * ( )

( )+ es medible por el teorema anterior, por tanto es medible.

2) Nota que es medible, ya que si , entonces se tiene * ( ) + si

y * ( ) + ([ √ √ ]) si . Por tanto es medible, también

es una función medible para c constante, ya que si * ( ) +, entonces

* ( )

+ para c>0 y * ( )

+ para , combinando 1) y la

relación ,( ) -.

3) La medibilidad de | | se sigue de las relaciones * | ( )| + si , y

* | ( )| + * ( ) + * ( ) + si .

Para usa las identidades

(| | ) y

(| | ).

4) Las identidades ( )( ) * ( ) ( )+

( | |) y ( )( )

* ( ) ( )+

( | |) nos dan los resultados junto con (1).

La medibilidad de funciones con la condición c.p.t (casi para todo). se preserva en sucesiones

convergentes como queda establecido en el siguiente teorema.

Teorema 13. Para una sucesión * + de funciones medibles, las siguientes proposiciones son

válidas:

1) Si c.p.t., entonces f es una función medible.

2) Si * ( )+ es una sucesión acotada para cada x, entonces y son

ambas funciones medibles.

Demostración.

1) Sea * ( ) ( )+ ya que c.p.t. se sigue que ( ) . Por tanto

y son medibles. Ahora mostraremos que f es medible. Sea y observemos la

igualdad (( )) 0⋂ ⋂ (.

/)

1 y la medibilidad de cada

muestra que (( )) es un conjunto medible. También (( )) es

medible por ser subconjunto de un conjunto de medida cero, así (( ))

[ (( ))] , (( ))- es un conjunto medible y por tanto f es una

función medible.



24

2) Sea * ( )+ sucesión acotada para cada x. Mostraremos que es una función

medible. La medibilidad de se sigue de la identidad ( ).

Ahora notemos que =⋀ ⋁

, fijemos natural, y sea

⋁ ⋁ ⋁ es medible para cada , y ya que ⋁ (en todo),

se sigue de (1) que es una función medible. Ya que (en todo lado) se

sigue de (1) que es una función medible.

El último teorema de este tema relaciona la convergencia uniforme con la convergencia en

medida, este teorema se atribuye al matemático ruso Dimitry Fedorovich Egorov(1864-1931).

Teorema 14 (Egorov). Sea * + una sucesión de funciones medibles tal que p.c.t., y sea

un subconjunto medible de tal que ( ) . Entonces para todo , existe un

subconjunto medible con ( ) , y con * + convergiendo uniformemente a .

Actividad 2. Medida de Lebesgue

A través de esta actividad, resolverás ejercicios sobre los conceptos fundamentales de la

teoría de la Medida y Medida de Lebesgue. Para ello:

1. Descarga el archivo llamado “Act. 2. Medida de Lebesgue”

2. Analiza cada problema, identificando la estrategia por el cual se deberá resolver

3. Resuelve cada uno de los ejercicios, con las definiciones formales de Teoría de la medida.

4. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MAMT2_U3_A2_XXYZ.

5. Envía tu documento a tu facilitador y espera su retroalimentación.

*Recuerda consultar la Escala de evaluación de la actividad para saber qué aspectos se

tomarán en cuenta para su revisión.

Autoevaluación

Para reforzar los conocimientos relacionados con los temas que se abordaron en esta unidad

del curso, es necesario que resuelvas la autoevaluación.

Ingresa al Aula virtual para realizar tu actividad.



25

Evidencia de aprendizaje. Espacios métricos, conjuntos medibles y medida de Lebesgue Es momento de realizar tu evidencia de aprendizaje, donde tendrás que aplicar tus

conocimientos sobre aproximación de funciones continuas.

Instrucciones:

1. Descarga el documento “EA. Conceptos preliminares de Teoría de la Medida”

2. Lee las instrucciones y resuelve los problemas que se plantean, tomando en cuenta el

contenido de la unidad.

3. .Guarda y envía tu reporte al portafolio de evidencias con la nomenclatura

MAMT2_U3_EA_XXYZ.

4. Envía tu reporte al portafolio de evidencias y espera la retroalimentación de tu

Facilitador(a). Una vez que la tengas, atiende sus comentarios y reenvía la nueva versión

de tu evidencia.

Nota: No olvides consultar la Escala de evaluación para conocer los criterios con que será

evaluado tu trabajo.

Autorreflexiones

Como parte de cada unidad, es importante que ingreses al foro Preguntas de autorreflexión y

leas los cuestionamientos que formuló tu Facilitador(a), ya que a partir de ellos debes elaborar

tu Autorreflexión y enviarla mediante la herramienta Autorreflexiones. No olvides que también

se toman en cuenta para la calificación final.

Cierre de la unidad

La medida de Lebesgue es de alguna forma una generalización del concepto de conjunto

abierto, ya que todos los conjuntos abiertos son medibles. La generalización natural del

concepto de función continua es la función medible con los conjuntos medibles haciendo el

papel de los abiertos, también toda función continua es medible. Una ventaja de las funciones

medibles queda manifiesta en el Teorema de Egorov: la cerradura bajo sucesiones de

funciones convergentes es algo que no se da en las funciones continuas, esta convergencia es

tan fuerte que la convergencia es uniforme.



26

El contenido de esta unidad es necesario para la siguiente en la que se definirá la Integral de

Lebesgue, un paso más en la generalización del concepto de integral, que permitirá tener una

mayor cantidad de funciones integrables.

Para saber más:

Un resumen histórico de la Teoría de la medida de 1887 a 1990:

http://www.lps.uci.edu/~johnsonk/CLASSES/FoundationsOfMeasurement/Diez.AnHistoricalIntro

ductionToMeasurementTheoryPartOne.pdf

El blog de Terence Tao, uno de los matemáticos más notables de nuestra época, entre otras

secciones presenta: libros, resúmenes de artículos, apps, etc. sobre Matemáticas en general

en particular en Teoría de la Medida

http://terrytao.wordpress.com/

Interesante artículo sobre la aplicación de la Teoría de la Medida a la ingeniería de software.

http://www.cin.ufpe.br/~ssj/on_the_application_of_measurement_theory_825427.pdf

Referencias Bibliográficas

Charalambos, D. (1998). Principles of Real Analysis. USA. Academic Press.

De Barra, G. (2000). Measure Theory and Integration. India. New Age International.

Folland, G. B. (1999). Real Analysis: Modern Techniques and their Applications. USA. Wiley.

Galaz, F. (2002). Medida e Integral de Lebesgue en .México. University Press.

Grabisnky, G. (2011). Teoría de la Medida. México. Facultad de Ciencias UNAM.

Halmos, P. R.. (1991). Measure Theory. USA. Springer Verlag.

Royden, H; Fitzpatrick, P.. (2010). Real Analysis. USA. Pearson.

Sánchez, C; Valdés, C.. (2004). De los Bernoulli a los Bourbaki. España. Nivola.

Schram, M. (1996). Introduction to Real Analysis. USA. Prentice Hall.

http://www.lps.uci.edu/~johnsonk/CLASSES/FoundationsOfMeasurement/Diez.AnHistoricalIntroductionToMeasurementTheoryPartOne.pdf

http://www.lps.uci.edu/~johnsonk/CLASSES/FoundationsOfMeasurement/Diez.AnHistoricalIntroductionToMeasurementTheoryPartOne.pdf

http://terrytao.wordpress.com/

http://www.cin.ufpe.br/~ssj/on_the_application_of_measurement_theory_825427.pdf

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Unidad 3.conceptos preliminares de teoría de la medida