VEKTORVektor adalah jenis besaran yang mempunyai nilai dan arah.

F = 3N

Nilai : gaya (F) sebesar 3N Arah : kekiri

Menggambar Vektor dalam Bidang Datar (dalam Dua Sumbu)

y

Ay

Ā

α

o Ax

X

Pada bidang datar, vektor mempunyai dua komponen yaitu pada sumbu x dan sumbu y. Misalnya vektor pada bidang datar xoy, α arah vektor terhadap sumbu x.

penjumlahan vektor

A

AR = A + B

Untuk vektor-vektor segaris, misalnya vektor A dan B dalam posisi segaris dengan arah yang sama .

Maka resultan (jumlah) vektor dituliskan:

R = A + B

lukisan jumlah vektor tidak segaris yang membentuk sudut.

B RB

Dapat menggunakan metode:

1. Metode jajaran genjang2. Metode segitiga3. Metode poligon

metode jajaran genjangCara melukiskan jumlah dua buah vektor dengan metode jajarangenjang sebagai berikut:• Titik tangkap A dan B dibuat berimpit dengan memindahkan titik tangkap

A ke titik tangkap B, atau sebaliknya;• Buat jajaran genjang dengan A dan B sebagai sisi-sisinya;• Tarik diagonal dari titik tangkap sekutu, maka A + B = R adalah diagonal

jajarn genjang.

o

B

Pα

180°-α

A

R

Q R

Gambar menunjukkan penjumlahan dua vektor A dan B.Persamaan tersebut diperoleh dengan menerapkan aturan cosinus pada segtiga OPR, sehingga dihasilkan:(OR)2 = (OP)2 + (PR)2 – 2 (OP) (PR) cos (180° - α)

= (OP)2 + (PR)2 – 2 (OP) (PR) (cos - α)(OR)2 = (OP)2 + (PR)2 + 2 (OP) (PR) cos αDiketahui bahwa OP = A, PR = OQ = B, OR = R

R2 = A2 + B2 + 2ABcosα atau R =

metode segitiga

Tahapan-tahapan penjumlahan vektor dengan metode segitiga :

• Pindahkan titik tangkap salah satu vektor ke ujung berikutnya,

• Hubungkan titik tangkap vektor pertama ke ujung vektor kedua yang menunjukkan resultan kedua vektor tersebut, Dua buah vektor A dan B,

yang pergerakannya ditunjukkan pada gambar, akan mempunyai resultan yang persamaannya dituliskan:

RB

A R = A + B

metode poligon

B

RA

C

AV

C

B

R

W

B

AC

Jika penjumlahan lebih dari dua buah vektor, maka dijumlahkan dulu dua buah vektor, resultannya dijumlahkan dengan vektor ke-3 dan seterusnya.

Misalnya, penjumlahan tiga buah vektor A, B, dan C yang ditunjukkan pada gambar. Pertama-tama kita jumlahkan vektor A dan B yang akan menghasilkan vektor V. Selanjutnya, vektor V tersebut dijumlahkan dengan vektor C sehingga dihasilkan resultan R, yang dituliskan:

R = (A + B) + C + V + C

pengurangan vektor

Pengurangan vektor pada prinsipnya sama dengan penjumlahan, tetapi dalam hal ini salah satu vektor mempunyai arah yang berlawanan. Misalnya vektor A dan B, jika dikurangkan maka:

Dimana, -B adalah vektor yang sama dengan B, tetapi berlawanan arah.

R = A + B

R = A + (-B)

B

-B

A

A-B = A + (-B)

Penguraian vektor secara analisis

• Untuk keperluan perhitungan tertentu, kadang-kadang sebuah vektor yang terletak dalam bidang koordinat sumbu x dan sumbu y harus diuraikan menjadi komponen-komponen yang saling tegak lurus (sumbu x dan sumbu y). Cara menguraikan vektor seperti ini disebut analisis.

• Misalnya, vektor A membentuk sudut α terhadap sumbu x positif, maka komponen vektornya adalah:

AX = A cos α

Ay = A sin α

• Besar (nilai) vektor A dapat diketahui dari persamaan:

│A│=

• Sementara itu, arah vektor ditentukan dengan persamaan:

Tan α =

metode analisis

Menentukan vektor resultan secara matematis dapat digunakan rumus cosinus, yaitu:R =

Keterangan :R : resultan vektorF1 : vektor pertamaF2 : vektor keduaα : sudut apit antara kedua vektor

menentukan resultan vektor menggunakan rumus cosinus

menentukan resultan vektor menggunakan

rumus sinus• Untuk menentukan arah dari vektor resultan

terhadap salah satu vektor komponennya dapat digunakan persmaan sinus. Perhatikan Gambar menentukan arah vektor berikut.

 

metode analisis

R

F1

F2

α - β

α β

Diketahui dua buah vektor, F1

dan F2 membentuk sudut α.

Sudut antara vektor resultan (R) dengan vektor F1 adalah β,

sedangkan sudut antara resultan (R) dan vektor F2 adalah α – β.

Secara matematis persamaan ini dapat ditulis sebagai berikut:

= =

Menguraikan VEKTOR

• Vektor komponen adalah dua buah vektor atau lebih yang menyusun sebuah vektor. Setiap vektor dapat diuraikan menjadi dua buah vektor yang saling tegak lurus.

• Misalkan, diketahui sebuah fektor F yang dapat diuraikan menjadi vektor komponen pada sumbu x, yaitu Fx dan vektor komponen pada sumbu y, yaitu Fy. Jika sudut antara vektor F dengan sumbu x positif adalah Ɵ , maka besar vektor komponen Fx dan Fy dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan sinus dan kosinus.Fx = F cos Ɵ dan Fy = F sin Ɵ

Menentukan komponen sebuah vektor yang besar dan arahnya diketahui

F

X

Y

FX

FY

Ɵ

Menguraikan VEKTOR

• Misalkan, jika komponen-komponen vektor F adalah Fx dan Fy, maka besar vektor F dapat ditentukan dengan menggunakan dalil phytagoras pada segitiga siku-siku. Arah vektor tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan perbandingan trigonometri tangen.

• Besar vektor F adalah sebagai berikut:F =

• Arah vektor F adalah sebagai berikut:Tan =

Menentukan besar dan arah sebuah vektor jika kedua vektor komponennya diketahui

 CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN

1. Dua buah vektor sebidang berturut-turut besarnya 4 satuan dan 6 satuan, bertitik tangkap sama dan mengapit sudut 60°. Tentukan besar dan arah resultan vektor tersebut!

Penyelesaian :Misalkan vektor pertama V1 dan vektor kedua V2

V1 : 4 satuanV2 : 6 satuanα : 60°cos α = cos 60°

=

180° - αR = V 1 + V 2

V2

C B

OA

α

Besar resultan

R =

=

=

=

=2 satuan =

Arah resultan ( )dihitung dengan rumus sinus pada segitiga OAB.

=

Sin

0,596

36,6°

=

=

=

=

=

2. Tentukan besar dan arah vektor gaya F, jika diketahui vektor komponennya sebesar 8 N dan 6 N!

Diketahui : Fx = 8 N

Fy = 6 N

Ditanyakan : a) F = ....? b) tan = ....?

Jawab :

F =

=

=

=

=

=

Tan

10 N

36,98°

=

3. Diberikan 3 buah vektor a, b, c seperti gambar.

ab c

dengan metode poligon tunjukkan :•d = a + b + c•d = a + b – c•d = a – b + c

d = a + b + c

a

d b

cd = a + b – c

a

b

-c

d

d = a – b + c

a

-b

c

d