Hình học không gian cổ ñiển trong các kỳ thi tuyển sinh ñại học

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2014

Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, 3

2

aSD = . Hình

chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ñáy (ABCD) là trung ñiểm của cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A ñến mặt phẳng (SBD).

Hướng dẫn giải

Gọi H là trung ñiểm của AB, suy ra ( )SH ABCD⊥ .

Do ñó: SH HD⊥ . Ta có

( )2 2 2 2 2SH SD DH SD AH AD a= − = − + =

Suy ra 3

.

1. .

3 3S ABCD ABCD

aV SH S= =

Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên BD và E là hình chiếu vuông góc của H lên SK. Ta có

( )BD HKBH SHK

BD SH

⊥⇒ ⊥ ⊥

Suy ra BD HE⊥ mà ( )HE SK HE SBD⊥ ⇒ ⊥

Ta có: � 2.sin

4

aHK HB KBH= = . Suy ra

2 2

.

3

HS HK aHE

HS HK= =

+

Do ñó: ( )( ) ( )( ) 2; 2 ; 3

3

ad A SBD d H SBD HE= = =

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2014 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có ñáy là tam giác ñều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung ñiểm của cạnh AB, góc giữa ñường thẳng A’C và mặt phẳng ñáy bằng 600. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ ñiểm B ñến mặt phẳng (ACC’A’).

Hướng dẫn giải

Gọi H là trung ñiểm của AB, ( )'A H ABC⊥ và � 0' 60A CH =

Do ñó � 3' . tan '

2

aA H CH A CH= = . Do ñó thể tích khối lăng

trụ là 3

. ' ' '

3 3

8ABC A B C

aV =

Gọi I là hình chiếu vuông góc của H lên AC; K là hình chiếu vuông góc của H lên A’I. Suy ra

( )( ), ' 'HK d H ACC A=

Ta có: � 3.sin

4

aHI AH IAH= = ;

2 2 2 2

1 1 1 52 3 13

' 9 26

aHK

HK HI HA a= + = ⇒ =

Do ñó: ( )( ) ( )( ) 3 13; ' ' 2 ; ' ' 2

13

ad B ACC A d H ACC A HK= = =

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2014 Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt phẳng bên SBC là tam giác ñều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng ñáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai ñường thẳng SA, BC.

Hướng dẫn giải

Gọi H là trung ñiểm của BC, suy ra 2 2

BC aAH = =

( ) 3,

2

aSH ABC SH⊥ = và

21.

2 4ABC

aS BC AH∆ = =

Thể tích của khối chóp là 3

.

1 3.

3 24S ABC ABC

aV SH S∆= =

Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên SA, Suy ra HK SA⊥ .

Ta có ( )BC SAH BC HK⊥ ⇒ ⊥

Do ñó: HK là ñường vuông góc chung của BC và SA.

Ta có 2 2 2 2

1 1 1 16

3HK SH AH a= + = . Do ñó: ( ) 3

;4

ad BC SA HK= =

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2013

Cho hình chóp S.ABC có ñáy là tam giác vuông tại A, � 030ABC = , SBC là tam giác ñều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với ñáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ ñiểm C ñến mặt phẳng (SAB)

Hướng dẫn giải

Gọi H là trung ñiểm của BC, suy ra SH BC⊥ . Mà ( )SBC

vuông góc với ( )ABC theo giao tuyến BC, nên

( )SH ABC⊥

Ta có:

0

0

3; sin 30 ;

2 2

3.cos30

2

a aBC a SH AC BC

aAB BC

= ⇒ = = =

= =

Do ñó: 3

.

1. .

6 16S ABC

aV SH AB AC= =

Tam giác ABC vuông tại A và H là trung ñiểm của BC nên HA HB= . Mà ( )SH ABC⊥ , suy ra

.SA SB a= = Gọi I là trung ñiểm của AB, suy ra SI AB⊥

Do ñó: 2

2 13

4 4

AB aSI SB= − = . Suy ra : ( )( ) . .3 6 39

;. 13

S ABC S ABC

SAB

V V ad C SAB

S SI AB∆

= = =

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2013 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt SAB là tam giác ñều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ñáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính khoảng cách từ A ñến mặt phẳng (SCD) theo a.

Hướng dẫn giải

Gọi H là trung ñiểm của AB, suy ra SH vuông góc với AB

và 3

2

aSH = .

Mà mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) theo giao tuyến AB, nên ( )SH ABCD⊥ .

Do ñó: 3

.

1 3.

3 6S ABCD ABCD

aV SH S= =

Do AB song song với CD và H thuộc AB nên ( )( ) ( )( ), ,d A SCD d H SCD=

Gọi K là trung ñiểm của CD và I là hình chiếu vuông góc của H trên SK. Ta có: HK CD⊥ .

Mà SH CD⊥ ( )CD SHK⇒ ⊥ CD HI⊥ . Do ñó: ( )HI SCD⊥

Suy ra: ( )( ),d A SCD2 2

. 21

7

SH HK aHI

SH KH= = =

+

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2013 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với ñáy, � 0120BAD = , M là trung ñiểm của cạnh BC và � 045SMA = . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ D ñến mặt phẳng (SBC)

Hướng dẫn giải

� �0120BAD ABC ABC= ⇒ ⇒ ∆ ñều 33 3

2 2ABCD

a aAM S⇒ = ⇒ =

SAM∆ vuông tại A có � 045SMA SAM= ⇒ ∆ vuông tại

A 3

2

aSA AM= =

Do ñó: 3

.

1.

3 4S ABCD ABCD

aV SA S= =

Do AD song song với BC nên ( )( ) ( )( ), ,d D SBC d A SBC=

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SM

Ta có: ( )AM BCBC SAM

SA BC

⊥⇒ ⊥ ⊥

( ) ( )( ),BC AH AH SBC d A SBC AH⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ =

Ta có: ( )( )2 6 6,

2 4 4

AM a aAH d D SBC= = ⇒ =

Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng-2013 Cho lăng trụ ñều ABC.A’B’C’ có AB = a và ñường thẳng A’B tạo với ñáy một góc bằng

600. Gọi M và N lần lượt là trung ñiểm của các cạnh AC và B’C’. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và ñộ dài MN

Hướng dẫn giải

( ) �' 'AA ABC A BA⊥ ⇒ là góc giữa A’B với ñáy.

Suy ra: � �0' 60 ' . tan ' 3A BA AA AB A BA a= ⇒ = =

Do ñó 3

. ' ' '

3'.

4ABC A B C ABC

aV AA S∆= =

Gọi K là trung ñiểm của cạnh BC. Suy ra MNK∆ vuông tại K, có

, ' 32 2

AB aMK NK AA a= = = =

Do ñó: 2 2 13

2

aMN MK NK= + =

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2012

Cho hình chóp S.ABC có ñáy là tam giác ñều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là H thuộc cạnh AB sao cho 2HA HB= . Góc giữa hai ñường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 060 . Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng SA và BC theo a

Hướng dẫn giải

Ta có: �SCH là góc giữa SC và mặt phẳng (ABC). Suy ra � 060SCH =

Gọi D là trung ñiểm của cạnh AB. Ta có: 3

,6 2

a aHD CD= =

2 2 07 21, . tan 60

3 3

a aHC HD CD SH HC= + = = =

2 3

.

1 1 21 3 7. . .

3 3 3 4 12S ABC ABC

a a aV SH S∆= = =

Kẻ Ax song song với BC, gọi N và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên Ax và SN. Ta có BC song song với mặt

phẳng (SAN) và 3

2BA HA=

Nên ( ) ( )( ) ( )( )3, , .

2d SA BC d B SAN d H SAN= =

Ta cũng có: ( )Ax SHN Ax HK⊥ ⇒ ⊥ . Do ñó: ( ) ( )( ),HK SAN d H SAN HK⊥ ⇒ =

0

2 2

2 3 . 42, .sin 60 ,

3 3 12

a a SH HN aAH HN AH HK

SH HN= = = = =

+ vậy ( ) 42

,8

ad SA BC =

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2012 Cho hình chóp tam giác ñều S.ABC với 2SA a= , AB a= . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng ( )ABH . Tính thể tích của

khối chóp S.ABH theo a Hướng dẫn giải

Gọi D là trung ñiểm của cạnh AB và O là tâm của tam giác

ABC. Ta có AB CD

AB SO

⊥ ⊥

nên ( ) ,AB SCD⊥ Do ñó AB SC⊥

Mặt khác SC AH⊥ , Suy ra ( )SC ABH⊥

Ta có: 3

2

aCD = ,

3

3

aOC = nên 2 2 33

3

aSO SC OC= − =

Do ñó: 2. 11 1 11

.4 2 8ABH

SO CD a aDH S AB DH

SC ∆= = ⇒ = =

Ta có: 2 2 7

4

aSH SC HC SC CD DH= − = − − = . Do ñó:

3

.

1 7 11.

3 96S ABH ABH

aV SH S∆= =

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2012 Cho hình hộp ñứng ABCD.A’B’C’D’ có ñáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân

'A C a= . Tính thể tích của khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ ñiểm A ñến mặt phẳng (BCD’) theo a

Hướng dẫn giải

Tam giác A’AC vuông cân tại A và 'A C a= nên

'2

aA A AC= = . Do ñó: ' '

2

aAB B C= =

3

' ' '

1 1 2' '. ' '. . '

3 6 48ABB C ABB

aV B C S B C AB BB∆= = =

Gọi H là chân ñường cao kẻ từ A của tam giác A’AB. Ta có

( )''

AH A BAH A BC

AB BC

⊥⇒ ⊥ ⊥

. Nghĩa là :

( ) ( )( )' , 'AH BCD AH d A BCD⊥ ⇒ =

Ta có: 2 2 2

1 1 1

'AH AB AA= + Do ñó: ( )( ) 6

, '6

ad a BCD AH= =

Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng khối A-2012 Cho khối chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân tại A, 2,AB a SA SB SC= = = . Góc giữa ñường thẳng và mặt phẳng (ABC) bằng 060 . Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.

Hướng dẫn giải Gọi H là trung ñiểm của BC HA HB HC⇒ = = Kết hợp với giả thiết

,SA SB SC SH BC SHA SHB SHC= = ⇒ ⊥ ∆ = ∆ =

( )� 060

SH ABC

SAH

⊥

=

Tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A. 2 2AC AB a BC a AH a= = ⇒ = ⇒ =

Tam giác SHA vuông 3

0.

1 1 3tan60 3 . . .

3 2 3S ABC

aSH AH a V AB AC SH= × = ⇒ = =

Gọi O;R lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Suy ra O thuộc ñường thẳng SH, nên O thuộc mặt phẳng (SBC). Do ñó: R là bán kính ñường tròn

ngoại tiếp tam giác SBC. Xét tam giác SHA ta có: 0

2sin 60

SHSA a SBC= = ⇒ ∆ là tam giác ñều

có ñộ dài cạnh bằng 2a. Suy ra : 0

2 2 3

2sin 60 3

a aR = =

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2011 Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân tại B, 2 ;AB BC a= = hai mặt

phẳng ( )SAB và ( )SAC cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung ñiểm của

AM; mặt phẳng qua SM và song song với B, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 060 . Tính thể tích của khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai ñường thẳng AB và SN theo a

Hướng dẫn giải Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC) ( )SA ABC⇒ ⊥ .

�AB BC SB BC SBA⊥ ⇒ ⊥ ⇒ là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng

(ABC) � �060 .tan 2 3SBA SA AB SBA a⇒ = ⇒ = = Mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. //MN BC⇒ và N là trung ñiểm của

AC. ;2 2

BC ABMN a BM a= = = =

Diện tích : ( ) 23

2 2BCNM

BC MN BM aS

+= = .

Thể tích 3.

1. 3

3S BCNM BCNMV S SA a= =

Kẻ ñường thẳng ∆ ñi qua N, song song với AB. Hạ ( ) ( )//AD D AB SND⊥ ∆ ∈ ∆ ⇒

( ) ( )( ) ( )( ); , ,d AB SN d AB SND d A SND⇒ = = .

Hạ ( ) ( ) ( )( ),AH SD H SD AH SND d A SND AH⊥ ∈ ⇒ ⊥ ⇒ =

Tam giác SAD vuông tại A: AH SD

AD MN a

⊥ = =

( )2 2

. 2 39,

13

SA AD ad AB SN AH

SA AD⇒ = = =

+

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2011 Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có ñáy ABCD là hình chữ nhật, , 3AB A AD a= = . Hình chiếu vuông góc của ñiểm A1 lên mặt phẳng (ABCD) trung với giao ñiểm của AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng ( )1 1ADD A và (ABCD) bằng 060 . Tính thể tích của khối lăng trụ ñã

cho và khoảng cách từ ñiển 1B ñến mặt phẳng ( )1A BD theo a.

Hướng dẫn giải Gọi O là giao ñiểm của AC và BD. ( )1AO ABCD⇒ ⊥

Gọi E là trung ñiểm của AD 1

OE AD

A E AD

⊥⇒ ⊥

Suy ra �1A EO là góc giữa hai mặt phẳng ( )1 1ADD A và (ABCD) � 01 60A EO⇒ =

Suy ra: � �1 1 1

3.tan tan

2 2

AB aAO OE A EO A EO= = =

Diện tích ñáy 2. 3ABCDS AB AD a= =

Thể tích 3

. ' ' ' ' 1

3

2ABCD A B C D ABCD

aV S AO= × =

Ta có ( )

( )( ) ( )( )1 1 1 1

1 1 1

// //

, ,

B C A D B C A BD

d B A BD d C A BD CH

⇒

⇒ = =

Suy ra ( )( )1 1 2 2

. 3

2

CD CB ad B A BD CH

CD CB= = =

+

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2011 Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông tại B, 3 , 4BA a BC a= = , mặt

phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết 2 3SB a= và � 030 .SBC = Tính thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ ñiểm B ñến mặt phẳng (SAC) theo a.

Hướng dẫn giải

Hạ ( ) ( )

�; .sin 3

SH BC SBC ABC

SH BC SH SB SBC a

⊥ ⇒ ⊥

⇒ ⊥ = =

Diện tích: 212. 6ABCS BA BC a= =

Thể tích 3.

1. 2 3

3S ABC ABCV S SH a= =

Hạ ( ) ( )

( ) ( )( )�

( )( ) ( )

,

, .

.cos 3 4

, 4 ,

HD AC D AC HK SD K SD

HK SAC HK d H SAC

BH SB SBC a BC HC

d B SAC d H SAC

⊥ ∈ ⊥ ∈

⇒ ⊥ ⇒ =

= = ⇒ =

⇒ =

Ta có 2 2 35 ; .

5

HC aAC BA BC a HC BC BH a HD BA

AC= + = = − = ⇒ = =

2 2

. 3 7

14

SH HD aHK

SH HD= =

+ .

Vậy ( )( ) 6 7, 4

7

ad B SAC HK= =

Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng khối A-2011 Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 030 . Gọi M là trung ñiểm của cạnh SC. Tính thể tích của khối chóp S.ABM theo a

Hướng dẫn giải

Ta có SA BC

SB BCAB BC

⊥⇒ ⊥ ⊥

Do ñó: góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng � 030SBA =

. .

1 1. .

2 12S ABM S ABCV V SA AB BC= =

0 3; . tan 30

3

aBC AB a SA AB= = = =

Vậy 3

.

3

36S ABM

aV =

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2010 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung ñiểm của các cạnh AB và AD; H là giao ñiểm của N và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và 3SH a= . Tính thể tích của khối chóp S.CDNM và khoảng cách giữa hai ñường thằng DM và SC theo a.

Hướng dẫn giải Thể tích của khối chóp S.CDNM

2

2 2 22

1 1. .

2 25

8 4 8

CDNM ABCD AMNS S S SBC

AB AM AN BC BM

a a aa

= − −

= − −

= − − =

Vậy 31 5 3

.3 24SCDNM CDNM

aV S SH= =

Khoảng cách giữa hai ñường thẳng DM và SC. � �ADM DCN ADM DCN DM CN∆ = ∆ ⇒ = ⇒ ⊥ kết hợp với ñiều kiện ( )DM SH DM SHC⊥ ⇒ ⊥

Hạ ( )HK SC K SC HK⊥ ∈ ⇒ là ñoạn vuông góc chung của DM và SC.

Do ñó: ( ),d DM SC HK=

Ta có : ( )

2

2 2

2

5 2 3,

19. 2 3

19

CD aHC

CN ad DM SC

SH HC aHK

SH HC

= =

⇒ =

= = +

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2010: Cho hình lăng trụ tam giác ñều ABC.A’B’C’ có AB a= , góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 060 . Gọi G là trọng tâm của tam giác A’BC. Tính thể tích của khối lăng trụ ñã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.

Hướng dẫn giải

Thể tích khối lăng trụ. Gọi D là trung ñiểm của BC ta có:

� 0' ' 60BC AD BC A D ADA⊥ ⇒ ⊥ ⇒ =

Ta có: �23 3

' . tan ' ;2 4ABC

a aAA AD ADA S= = =

Do ñó: 3

. ' ' '

3 3'

8ABC A B C ABC

aV S AA= × =

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC Gọi H là trọng tâm của tam giác ABC, suy ra:

( )// ' //GH AA GH ABC⇒

Gọi I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC, ta có I là giao ñiểm của GH với ñường trung trực của AG trong mặt phẳng (AGH. Gọi E là trung ñiểm của AG, ta có:

2.

2

GE GA GAR GI

GH GH= = =

Ta có 2

2 2 2' 3 7; ;

3 2 3 12

AA a a aGH AH GA GH AH= = = = + =

Do ñó: 27 2 7

2.12 12

a aR

a= × =

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2010 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu

vuông góc của ñỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là ñiểm H thuộc ñoạn AC, 4

ACAH = . Gọi

CM là ñường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung ñiểm của SA và tính thể tích của khối tứ diện SMBC theo a

Hướng dẫn giải

Chứng minh M là trung ñiểm của SA.

2 22 14;

4 4

a aAH SH SA AH= = − =

2 23 2; 2

4

aHC SC SH HC a SC AC= = + = ⇒ =

Do ñó: tam giác SAC cân tại C, Suy ra M là trung ñiểm của SA Tính thể tích của khối tứ diện SBCM. M là trung ñiểm của SA suy ra

. .

1 1

2 2SCM SCA SBCM B SCA S ABCS S V V V= ⇒ = =

31 14

6 48SBCM ABC

aV S SH⇒ = × =

Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng khối A-2010 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng ñáy, SA = SB, góc giữa ñường thẳng SC và mặt phẳng ñáy bằng 045 . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a.

Hướng dẫn giải Gọi I là trung ñiểm của AB. Ta có

.SA SB SI AB= ⇒ ⊥ Mà hai mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (ABCD) vuông góc với nhau nên suy ra ( )SI ABCD⊥

Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD bằng � 045SCI = , Suy ra

2 2 5

2

aSI IC IB BC= = + =

Thể tích của khối chóp là 3

.

1 5.

3 6S ABCD ABCD

aV SI S= = (ñơn vị thể tích)

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2009: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; 2AB AD a= = , CD a= ; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 060 . Gọi I là trung ñiểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a

Hướng dẫn giải

( ) ( )( ) ( ) ( )SIB ABCD

SI ABCDSIC ABCD

⊥⇒ ⊥

⊥

Kẻ

( ) ( ) � 060IK BC K BC BC SIK SKI⊥ ∈ ⇒ ⊥ ⇒ =

Diện tích hình thang ABCD : 23ABCDS a= Tổng diện tích các tam giác ABI và CDI

bằng 23

2

a, suy ra

23

2IBC

aS∆ =

( ) �2 2 2 3 5 3 155 .tan

5 5IBCS a a

BC AB CD AD a IK SI IK SKIBC

∆= − + = ⇒ = = ⇒ = =

Thể tích của khối chóp S.ABCD: 31 3 15

.3 5ABCD

aV S SI= =

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2009: Cho hình trụ tam giác ABC.A’B’C’ có 'BB a= , góc giữa ñường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 060 ; tam giác ABC vuông tại C và � 060BAC = . Hình chiếu vuông góc của B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích của khối tứ diện A’ABC theo a

Hướng dẫn giải

Gọi D là trung ñiểm của AC và G là trọng tâm của tam giác ABC ta có

( ) � 0' ' 60B G ABC B BG⊥ ⇒ =

� 3' '.sin ' 32

4

2

aB G BB B BG a

BDa

BG

= =

⇒ = =

Tam giác ABC có: 3

,2 2 4

B AB ABBC AC CD

Α= = ⇒ =

Ta lại có: 2 2 2 2

2 2 2 3 9 3 13 9 3;

4 16 16 26 104ABC

AB AB a a aBC CD BD AB S∆+ = ⇒ + = ⇒ = =

Thể tích của khối tứ diện A’ABC: 3

' '

1 9' .

3 208A ABC B ABC ABC

aV V B G S∆= = =

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2009: Cho hình lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác vuông tại B,

; ' 2 ; ' 3AB a AA a A C a= = = . Gọi M là trung ñiểm của ñoạn thẳng A’C’, I là giao ñiểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích của khối tứ diện IABC và khoảng cách từ ñiểm A ñến mặt phẳng (IBC)

Hướng dẫn giải Hạ ( ) ( )IH AC H AC IH ABC⊥ ∈ ⇒ ⊥ ; IH là ñường

cao của tứ diện IABC.

Suy ra 2 2 4

// ' '' ' 3 3 3

IH CI aIH AA IH AA

AA CA⇒ = = ⇒ = =

2 2 2' ' 5; 2AC A C A A a BC AC AB a= − = = − =

Diện tích tam giác ABC: 21.

2ABCS AB BC a∆ = =

Vậy thể tích của khối tứ diện IABC: 31 4

.3 9ABC

aV IH S∆= =

Hạ ( )' 'AK A B K A B⊥ ∈ . Vì ( )' 'BC ABB A⊥ nên AK BC⊥ Suy ra ( )AK IBC⊥

Khoảng cách từ A ñến mặt phẳng (IBC) là AK

'

2 2

2 '. 2 5

' 5'AA BS AA AB a

AKA B A A AB

∆= = =+

Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng khối A-2009: Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có , 2.AB a SA a= = Gọi M, N và P lần lượt là trung ñiểm của các cạnh SA, SB và CD. Chứng minh rằng ñường thẳng MN vuông góc với ñường thẳng SP. Thính theo a thể tích của khối tứ diện AMNP

Hướng dẫn giải

Ta có MN song song với CD và SP vuông góc với CD suy ra MN vuông góc với SP Gọi O là tâm của ñáy ABCD. Ta có :

2 2 6

2

aSO SA OA= − =

32

.

1 1 1 1 6. .

4 8 8 3 48AMNP ABSP S ABCD

aV V V SO AB= = = =

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2008: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có ñộ dài cạnh bên bằng 2a, ñáy ABC là tam giác vuông tại A, , 3AB a AC a= = và hình chiếu vuông góc của ñỉnh A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung ñiểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc giữa hai ñường thẳng AA’, B’C’

Hướng dẫn giải

Gọi H là trung ñiểm của cạnh BC. Suy ra ( )

2 2

'

1 13

2 2

A H ABC

AH BC a a a

⊥

= = + =

Do ñó: 2 2 2 2 2' ' 3 3 ' 3A H A A AH a a A H a= − = = ⇒ =

Vậy 3

'.

1'

3 2A ABC ABC

aV A H S∆= × = (ñơn vị thể tích)

Trong tam giác vuông A’B’H có: 2 2' ' ' ' 2HB A B A H a= + = nên tam giác B’BH cân tại

B’

ðặt ϕ là góc giữa hai ñường thẳng AA’ và B’C’ thì �'B BHϕ = . Vậy 1

cos2.2 4

a

aϕ = =

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2008: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA a= , 3SB a= và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng ñáy. Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai ñường thẳng SM và DN.

Hướng dẫn giải Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên AB, suy ra ( )SH ABCD⊥ . Do ñó, SH là ñường cao

của hình chóp S.BMDN Ta có: 2 2 2 2 23SA SB a a AB+ = + = nên tam giác SAB là tam giác vuông tại S. Suy ra

.2

ABSM a= = Do ñó tam giác SAM là tam giác ñều, suy ra

3

2

aSH =

Diện tích của tứ giác BMDN là 212

2BMDN ABCDS S a= =

Thể tích của khối chóp S.BMDN là 31 3

3 3BMDN

aV SH S= × = (ñvtt)

Kẻ ME song song với DN ( )E AD∈

Suy ra 2

aAE = . ðặt α là góc giữa hai ñường thẳng

SM và DN. Ta có ( )�,SM ME α= . Theo ñịnh lý ba

ñường vuông góc ta có : SA AE⊥ Suy ra:

2 2 5,

2

aSE SA AE= + = 2 2 5

2

aME AM AE= + =

Tam giác SME là tam giác cân tại E nên

�

52cos55

2

SME

a

a

α

α

= = =

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2008: Cho lăng trụ ñứng tam giác ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác vuông, AB BC a= = , cạnh bên ' 2AA a= . Gọi M là trung ñiểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai ñường thẳng AM, B’C

Hướng dẫn giải Từ giả thiết ta suy ra tam giác ABC là tam giác vuông cân tại B

Thể tích của khối lăng trụ là 2 3. ' ' '

1 2' 2. .

2 2ABC A B CV AA BC a a a= × = = (ñvtt)

Gọi E là trung ñiểm của BB’. Khi ñó mặt phẳng (AME) song song với B’C nên khoảng cách giữa hai ñường thẳng AM, B’C bằng khoảng cách giữa B’C và mặt phẳng (AME) Nhận thấy, khoảng cách từ B ñến mặt phẳng (AME) bằng khoảng cách từ C ñến mặt phẳng (AME) Gọi h là khoảng cách từ B ñến mặt phẳng (AME). Do ñó tứ diện BAME có BA, BM,BE ñôi một vuông góc với nhau nên:

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 4 2 7 7

7

ah

h BA BM BE h a a a a= + + ⇒ = + + = ⇒ =

Vậy: khoảng cách giữa hai ñường thẳng B’C và AM bằng 7

7

a

Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng-2008: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thang, � � 090 ;BAD ABC AB BC a= = = = , 2AD a= , SA vuông góc với ñáy và 2SA a= . Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của SA và SD. Chứng minh rằng BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích của khối chóp S.BCNM theo a.

Hướng dẫn giải Ta có: MN là ñường trung bình của tam giác SAD, suy ra MN song song với AD và

1

2MN AD=

//MN BCBCNM

MN BC

⇒ ⇒ =

là hình bình hành (1)

Mặt khác

( ){ ( )2BC AB

BC SAB BC BMBC SA

⊥⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥

Từ (1) và (2) ta suy ra BCNM là hình chữ nhật Ta có:

. .2 2BCNM BCM S BCNM S BCMS S V V∆= ⇒ = 3

. .

1 1 1 1. . . .

3 6 6 2 6S BCM C SBM SBM SAB

aV V CB S CB S CB SA AB∆ ∆= = = = =

Vậy 3

. 3s BCNM

aV = (ñvtt)

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học A-2007

Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác ñều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với ñáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung ñiểm của các cạnh SB,BC,CD . Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP

Hướng dẫn giải

Gọi H là trung ñiểm của AD. Do tam giác SAD là tam giác ñều nên SH vuông góc với AD. Do mặt phẳng (SAD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SH vuông góc với BP (1). Xét hình vuông ABCD ta có:

( )2CDH BCP CH BP∆ = ∆ ⇒ ⊥

Từ (1) và (2) ta suy ra ( )BP SHC⊥

Vì

( ) ( )

( )

////

//

MN SCAMN SHC

AN CH

BP AMN BP AM

⇒

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

Kẻ MK vuông góc với mặt phẳng (ABCD), (K thuộc vào mặt phẳng (ABCD)). Ta có:

1.

3CMNP CNPV MK S= .

Vì 2 31 3 1 3

;2 4 2 8 96CNP CMNP

a a aMK SH S CN CP V= = = × = ⇒ = (ñvtt)

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học B-2007 Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a.. E là ñiểm ñối xứng của D qua trung ñiểm của SA, M là trung ñiểm của AE, N là trung ñiểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính theo a khoảng cách giữa hai ñường thẳng MN và AC

Hướng dẫn giải Gọi P là trung ñiểm của SA. Ta có MNCP là hình bình hành nên MN song song với mặt phẳng (SAC). Mặt khác, BD vuông góc với mặt phẳng (SAC) nên BD vuông góc với MN

Vì MN song song với mặt phẳng (SAC) nên

( ) ( )( )

( )( )

, ,

1 1 2;

2 4 4

d MN AC d N SAC

ad B SAC BD

=

= = =

Vậy ( ) 2;

4

ad MN AC =

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học D-2007 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình thang � � 090 ,ABC BAD= = ; 2BA BC a AD a= = = . Cạnh

bên SA vuông góc với mặt phẳng ñáy và 2SA a= . Gọi H là hình chóp vuông góc của A lên SB. Chứng minh tam giác SCD là tam giác vuông và tính theo a khoảng cách tứ H ñến mặt phẳng (SCD)

Hướng dẫn giải Gọi I là trung ñiểm của AD. Ta có: IA ID IC a CD AC= = = ⇒ ⊥ . Mặt khác, CD SA⊥ , Suy ra CD vuông góc SC nên tam giác SCD là tam giác vuông tại C.

Trong tam giác vuông SAB ta có: 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

2 3

SH SA SA a

SB SB SA AB a a= = = =

+ +

Gọi 1 2,d d lần lượt là khoảng cách từ B và H ñến mặt phẳng (SCD) thì

22 1

1

2 2

3 3

d SHd d

d SB= = ⇒ =

Ta có: .

1

2

3

1 1.

2 2

B SCD BCD

SCD SCD

BCD

V SA Sd

S S

S AB BC a

×= =

= =

2 2 2 2 2 21 1. . 2

2 2SCDS SC CD SA AB BC IC ID a= = + + + =

Suy ra 1 2

ad = . Vậy khoảng cách từ H ñến mặt phẳng (SCD) là 2 1

2

3 3

ad d= =

ỉ

ỉ ỉ