ALGEBRA BOOLEANA

El matemático inglés George Boole nació el 2 de noviembre de 1815 en Lincoln y falleció el 8 de diciembre de 1864 en Ballintemple, Irlanda.

Boole recluyó la lógica a una álgebra simple. También trabajó en ecuaciones diferenciales, el cálculo de diferencias finitas y métodos generales en probabilidad.

IntroducciónGeorge Boole

Análisis Booleano de Funciones Lógicas

El propósito de este apartado es obtener expresiones booleanas simplificadas a partir de un circuitoSe examina puerta a puerta a partir de sus entradasSe simplifica usando las leyes y propiedades booleanas.

DESCRIPCION ALGEBRAICA DE CIRCUITOS LOGICOS• Cualquier circuito lógico sin importar que tan complejo sea,

puede ser completamente descrito mediante el uso de las tres operaciones básicas booleanas.

B

A

C

A*B

X= A*B + C

Puerta a puerta a partir de sus entradas

X= AB+(C+D)

X= AB + C+ D

Ejemplo 1

X = (AB)(CD)

X = ABCD

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

X = (AB+B)BC

Usando la propiedad distributiva:

X = ABBC +BBC

X = ABC + BBC

X = ABC + 0•C

X = ABC + 0

X = ABC

En la siguiente transparencia se ve cómo las dos cosas son lo mismo

Ejemplo 5

EJERCICIOS

A

D

A

BC X

EJERCICIOS

A

D

E

B

C

IMPLEMENTACION DE CIRCUITOS A PARTIR DE EXPRESIONES BOOLEANAS

Cuando la operación de un circuito se define mediante una expresión booleana se puede dibujar un diagrama de un circuito lógico de manera directa a partir de esa expresión.

Ejemploa) F= AB’ +A’C’+Bb) F= (A+B)’ + (B+C’)A

EXPRESIONES BOOLEANASEl algebra booleana trabaja con señales binarias.El algebra booleana es un sistema algebraico que consiste en

un conjunto B que contiene dos o mas elementos y en el que están definidas dos operaciones, denominadas respectivamente «suma u operación OR» (+) y «producto u operación AND» (*).

En general una expresión booleana es un sistema de símbolos que incluyen 0, 1, algunas variables y las operaciones lógicas.

PROPIEDADES DE LAS EXPRESIONES BOOLENASa) Estan compuestas de literales (A, B, C,..) y cada una de ellas representa la

señal de un sensor. Un ejemplo F= A’BD +AB’CD-b) El valor de las señales o de la función solo puede ser 0 o 1, falso o

verdadero.c) Además de literales, en la expresión booleana se puede tener el valor de

0 o 1. Por ejemplo F= A’BD1+AB’CD+0d) Los literales de las expresiones booleanas pueden estar conectadas por

medio de los operadores lógicos And, Or y Not. El operador And es una multiplicación lógica que se indica por medio de un paréntesis, un punto o simplemente poniendo juntas las variables que se multiplican, por ejemplo el producto de A y B se expresa como (A)(B)= A*B=AB; el Or es una suma lógica que se indica con el signo +; y el operador Not es el complemento o negación de una señal que se indica por un apostrofe (‘).

F= A’BD1+AB’CD+0= A’ B D 1 A B’ C D 0

PROPIEDADES DE LAS EXPRESIONES BOOLENASe. Es posible obtener el valor de una expresión booleana sustituyendo en

cada una de las literales el valor de 0 o 1, teniendo en cuenta el comportamiento de los operadores lógicos. En las siguientes tablas se muestra

f) Además de las operaciones básicas, también es posible aplicar la Ley de Morgan de forma semejante a como se aplica en teoría de conjuntos. El siguiente ejemplo muestra la aplicación de esta propiedad.

(ABCD)’ = A’ + B’ + C’ + D’(A + B + C + D)’= A’ B’ C’ D’

Algebra de Boole: Leyes1) Conmutatividad: X + Y = Y + X X · Y = Y · X

2) Asociatividad: X + (Y + Z ) = (X + Y ) + Z X · (Y · Z ) = (X · Y ) · Z

3) Distributividad: X + (Y · Z ) = (X + Y ) · (X + Z ) X · (Y + Z ) = (X · Y ) + (X · Z )

4) Elementos Neutros (Identidad): X + 0 = X X · 1 = X

5) Complemento:

X + X = 1

X · X = 0

6) Dominación: X + 1 = 1 X · 0 = 0

7) Idempotencia: X + X = X X · X = X

8) Doble complemento:

X = X

9) Absorción: X + X · Y = X X · (Y + X ) = X

10) DeMorgan:

A · B = A + B

A + B = A · B