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Institut de Technologie du CambodgeDépartement de Génie Civil
ANALYSEDES
STRUCTURESSTRUCTURESVONG SENG 2010 ‐ 2011VONG SENG 2010 ‐ 2011
Assistés par KHUYSIEN SOVEARY, LIM SONGLY et KY LENG p ,
1- Calcul des déplacements
Plan du Coursp
1.1- Méthode d’intégration1.2- Méthode de moment d’aire1.3- Méthode de la poutre conjuguée1 4 Méthode énergétique1.4- Méthode énergétique
1.4.1- Théorème de Clapeyron1.4.2- Théorème de Castigliano n 21.4.3- Intégrales de Mohr
2- Analyse des structures hyperstatiques2.1- Méthode des forces
2.1.1- Degré d’hyperstaticité2.1.1 Degré d hyperstaticité2.1.2- Équations de continuités (Muller Bresslau)2.1.3- Choix d’inconnues d’hyperstaticités2.1.4- Équations des trois moments2 1 5 É ti d i t2.1.5- Équations des cinq moments
2.2- Méthode des déplacements2.2.1- Degré de liberté2.2.2- Équations d’équilibres
2
q q2.2.3- Méthode de rotation2-2.4- Méthode de Cross
3- Calcul des structures par la méthode matricielle3.1- Structures à noeuds rigides
3.1.1- Raider élémentaire en axes locaux3.1.2- Raider élémentaire en axes globaux3.1.3- Assemblage3.1.4- Conditions aux limites3.1.5- Méthode de résolution du système linéaire3.1.5 Méthode de résolution du système linéaire3.1.6- Traitement des résultats
3.2- Structures à noeuds articulés 3.2.1- Raider élémentaire en axes locaux3 2 2 R id élé t i l b3.2.2- Raider élémentaire en axes globaux
4- Lignes d’influence(E. Winkler et O. Mohr)4 1- Définition4.1- Définition4.2- Utilisation des lignes d’influence4.3- Détermination des lignes d’influence
4.3.1- Méthode de calcul point par point4.3.2- Méthode de mise en équation4.3.3- Méthode de travaux virtuels
4.3.3.1- Structure isostatique(Poutre sans entretoise et avec entretoise)
3
(Poutre sans entretoise et avec entretoise)4.3.3.2- Structure hyperstatique
5- Théorie des plaques
1.Calcul1.Calcul des des déplacementsdéplacements
1.1 Méthode de la double d’intégration g
1.2 Méthode des moments d’aires
1.3 Méthode de la poutre conjuguée
1 4 Méthode énergétique1.4 Méthode énergétique
4
1.Calcul1.Calcul des des déplacementsdéplacementsIntroduction
-DéplacementVertical à l’élément étudie (flèche)
Introduction
-Vertical à l élément étudie (flèche)-Selon l’axe de l’élément étudie
(Raccourcissement allongement)(Raccourcissement, allongement) -Rotation
Important et utilité des calculs de déplacements-En vue de limiter les flèches et les rotations à
des valeurs qui soient admissibles pour le bonfonctionnement de la construction
5
-Il est nécessaires pour la résolution de problèmehyperstatiques
1.Calcul1.Calcul des des déplacementsdéplacements
-Nous nous intéresserons principalement auxdéplacement dus au moment de flexion Mz en flexiondéplacement dus au moment de flexion Mz en flexionplane et accessoirement aux déplacements dus àl’effort tranchant Ty dans le système isostatiques.l effort tranchant Ty dans le système isostatiques.
6
1.1 Méthode de la double d’intégration1.1 Méthode de la double d’intégration
zyy
xzz IREydy
REdydCC ∫∑ ∫ =Ω⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−=Ω−==
Ω
...σyy ⎠⎝Ω
zzz EI
MR
CM −=⇒−=
1
zy EIR
L’équation différentielle de la déformée est en réalité:
z
z
y EIM
yy
R−
=+
= 2/32 )'1(''1
déformée est en réalité:
0)'(: 22 ≅=⇒ θθ ypetit
M1
7z
z
y EIM
Ry −
==1''
Condition aux limites1.1 Méthode de la double d’intégration1.1 Méthode de la double d’intégration
Limites statiques
Condition aux limites
Limites cinématiques/géométriquesLimites cinématiques/géométriques
8
1.1 Méthode de la double d’intégration1.1 Méthode de la double d’intégration
Limites de passage
Condition aux limites Limites de passage
)()(
)()(dg
od
og
xyxy
xMxM =
)(')('
)()(
od
og
oog
xyxy
xyxy
=
=
PxTxT od
og =− )()(
9
M−1.1 Méthode de la double d’intégration1.1 Méthode de la double d’intégration
Exemple1: d’application de la méthode
:0 ax <<
EIMy =''
PbxM =:0 ax <<
2 Pbxyd
LM =
,2 LPbx
dxydEI −=
3Pb
b 2 bd
21
3
6CxC
LPbxEIy ++
−=
,)( axPL
PbxM −−=:Lxa << )(2
2
axPL
Pbxdx
ydEI −+−=
1043
33
6)(
6CxCaxP
LPbxEIy ++
−+
−= ( )steCCCCC :,,, 4321
1.1 Méthode de la double d’intégration1.1 Méthode de la double d’intégrationExemple1: d’application de la méthode
Condition aux limites
:0,0 ==• yx 02 =C:ax =• 0, 431 == CCC:ax
:0, ==• yLx
)( 22 bLPbCC
0, 431 CCC
:0 ax << )(6
222 xbLEIL
Pbxy −−== δ)(
631 bLL
CC −==
:Lxa << ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+−−==
6)()(
61 3
2223 axPxbL
LPbx
EIy δ
11:
2Lbax ===
EIPLy
48
3
== δ
1.1 Méthode de la double d’intégration1.1 Méthode de la double d’intégrationExemple 2: d’application de la méthode
xqLqxM2
+−=22
EIMy −
=''EI
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= xqLqx
EIy
221''
2
⎟⎞
⎜⎛ ++−= 21
341 CxCxqLxqy
⎟⎠
⎜⎝EI 22
( )steCCC :⎟⎠
⎜⎝
++ 211224CxCxx
EIy ( )CCC :, 21
Condition aux limites :0,0 ==• yx 02 =C3
12
, y:0, ==• yLx
2
24
3
1qLC =
1.1 Méthode de la double d’intégration1.1 Méthode de la double d’intégrationExemple 2: d’application de la méthode
Al
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
+−== xqLxqLxqy 1 334δ
Alors
⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
+ xxxEI
y241224
δ
⎞⎛1 3LL13
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−==
24461'
333 qLxqLxq
EIyθ
1.1 Méthode de la double d’intégration1.1 Méthode de la double d’intégrationExemple 3: d’application de la méthode
PLPxM −=
MEIMy −
=''
⎟⎞
⎜⎛ 21 x
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−= 12
1' CPLxxPEI
y
⎞⎛ 231⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++−= 21
23
261 CxCxPLxPEI
y ( )steCCC :, 21
Condition aux limites 0'00• yyxCondition aux limites 0',0,0 ===• yyx021 == CC
⎞⎛ 2Alors
⎞⎛ 23
14⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−== PLxxP
EIy
21'
2
θ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−==
261 23 xPLxPEI
y δ
1.1 Méthode de la double d’intégration1.1 Méthode de la double d’intégration
Remarques
Cette méthode donne la déformée y(x) de la poutre surCette méthode donne la déformée y(x) de la poutre surtoute sa longueur.
Cas de la flexion pure:+ M=cste => y’’=cste => y est une parabole+ 1/R=-M/EI =>y est un cercle+Valable uniquement si les déplacement sont petites
Grands déplacements+Le principe de superposition n’est plus valable
15
+Le principe de superposition n est plus valable+Les sollicitations dépendent de la configuration
déformée
1.2 Méthode des moments d’aires1.2 Méthode des moments d’airesThéorème1: Variation de PenteThéorème1: Variation de Pente Le changement de pente entre deux points sur la courbeélastique d'une poutre est égale à l’aire de la diagramme
−M'' Myd −)'(
q p g g(-M / EI) entre ces points.
⇒=EI
y ''EIdx
y=
)(
dMd −θ dxEIMd =θ
∫∫−DD x
dMdθ
θ ∫∫ =CC x
dxEI
dθ
θ
DxM ⎤⎡
16Cx
CD EIMaire ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−=−θθ
16
1.2 Méthode des moments d’aires1.2 Méthode des moments d’airesThéorème2: Flèche tangentielleThéorème2: Flèche tangentielleLa distance verticale Δ, d'un point D sur la courbe d’élastiqued'une poutre à une tangente de quelque point C, est égale aumoment de la diagramme(-M / EI) entre C et D
Dsur D.
xxdtgddD −Δ
=≅ θθ
θdxxd D )( −=Δ
∫∫ ⎥⎤
⎢⎡Δ
Dx
dMd )(∫∫ ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−−=Δ
CxD
DC
dxEI
xxd )(
CxM ⎤⎡
17Dx
DGDC EIMairex ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−×=Δ
1.2 Méthode des moments d’aires1.2 Méthode des moments d’aires
Remarques
di t t i t D t G t l G t l:distance entre point D et G tel que G est le
centre de gravité de la section sousDGx
CxM
⎥⎤
⎢⎡−
.
gDxEI ⎥⎦⎢⎣
CDDC Δ≠Δ.
.Cette méthode ne peuvent être utilisées pourdéterminer la pente ou la déformation en un pointdéterminer la pente ou la déformation en un pointprécis au le long du membre.
18
1.2 Méthode des moments d’aires1.2 Méthode des moments d’aires
Remarques: CentroïdeTriangle
bx31
=2
bhA =
g
Trapèze
)(3)2(
21
12
hhhhbx
++
=2
)( 21 hhbA +=
19
)( 21
1.2 Méthode des moments d’aires1.2 Méthode des moments d’aires
Remarques: CentroïdeDemi-segment d’une courbe de ne degré
)1( +=
nbx =bhnA
g g
)2(2 +nx
)1( +nA
Surface sous un arc de parabole
bx43
=3
bhA =
20
4 3
1.2 Méthode des moments d’aires1.2 Méthode des moments d’aires
Bx
ABMaire ⎥
⎤⎢⎡−=−θθ
Exemple1: d’application de la méthode
AxAB EI
aire ⎥⎦⎢⎣θθ
0=Aθ
⎞⎛EI
qLLEI
qLB 623
1 32
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=θ
AxMairex ⎥
⎤⎢⎡×Δ
BxBGBA EI
airex ⎥⎦⎢⎣−×=Δ
43 ⎞⎛21EI
qLEI
qLLBA 8643 43
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=Δ
1.3 Méthode de la poutre conjuguée1.3 Méthode de la poutre conjuguée
EIM
dxyd
−=2
2
M
qdd
−=2
2μ⇒ y est μ due à la charge
EIMq −=
(Poids élastique) sur la poutre fictivedx2 (Poids élastique) sur la poutre fictive« Poutre conjuguée »
Transformation de la poutre réelle à la poutre conjuguée:poutre conjuguée:
μ=y
22
τ='y
1.3 Méthode de la poutre conjuguée1.3 Méthode de la poutre conjuguée
Théorème1: La rotation en un point quelconque d’une poutre réellesollicitée par un moment fléchissant M est égale àl’effort tranchant en ce point de la poutre conjuguéesoumise à une charge M/EI.
Théorème2: La flèche en un point quelconque de la poutre réelleLa flèche en un point quelconque de la poutre réellesollicitée par un moment fléchissant M est égale aumoment fléchissant en ce point de la poutre conjuguée
23
moment fléchissant en ce point de la poutre conjuguéesoumise à une charge M/EI.
1.3 Méthode de la poutre conjuguée1.3 Méthode de la poutre conjuguéeCorrespondances entre poutre réelle et poutre conjuguée
Poutre réellePoutre réelle Poutre conjuguéePoutre conjuguéePoutre réellePoutre réelle Poutre conjuguéePoutre conjuguée
Appuis Pente & Moment& Effort AppuisAppuis déflection & Effort tranchant
Appuis
00'
=≠
yy
00
=≠
μτ
0'=y 0=τ
24
0=y 0=μ
1.3 Méthode de la poutre conjuguée1.3 Méthode de la poutre conjuguéeCorrespondances entre poutres réelles et poutres conjuguées
P t é llP t é ll P t j éP t j éPoutres réellesPoutres réelles Poutres conjuguéesPoutres conjuguées
A i Pente & Moment& Eff t A iAppuis déflection & Effort tranchant
Appuis
00'
≠≠
yy
00
≠≠
μτ
'= continuey =τ continu
25
0=yy
0=μ
1.3 Méthode de la poutre conjuguée1.3 Méthode de la poutre conjuguéeCorrespondances entre poutre réelle et poutre conjuguée
Poutre réellePoutre réelle Poutre conjuguéePoutre conjuguéePoutre réellePoutre réelle Poutre conjuguéePoutre conjuguée
Appuis Pente & Moment & Effort AppuisAppuis déflection Effort
tranchantAppuis
i' icontinueycontinuey
=≠'
continucontinu
=≠
μτ
26
1.3 Méthode de la poutre conjuguée1.3 Méthode de la poutre conjuguéeExemple1: d’application de la méthode
27
1.3 Méthode de la poutre conjuguée1.3 Méthode de la poutre conjuguéeE l 1 d’ li ti d l éth dExemple1: d’application de la méthode
PLaR AA ==τ ( )aLPaR CC 32 +==τ ( )aLPaC +=
2
μ
28
EIR AA 6
τ ( )aLEI
R CC 326
+τ ( )aLEIC +=
3μ
1.3 Méthode de la poutre conjuguée1.3 Méthode de la poutre conjuguéeE l 1 d’ li ti d l éth dExemple1: d’application de la méthode
PLay AA ' ==θ ( )aLPay CC 32' +==θ ( )aLPayC +=2
29
EIy AA 6
θ ( )aLEI
y CC 326
+θ ( )aLEI
yC +=3
1.3 Méthode de la poutre conjuguée1.3 Méthode de la poutre conjuguéeE l 2 d’ li ti d l éth dExemple2: d’application de la méthode
3030
1.3 Méthode de la poutre conjuguée1.3 Méthode de la poutre conjuguée
Exemple2: d’application de la méthode
EIqLyR CCC 48
7'2
===τEI
qLyCC 38441 4
==μ
31EIqLyBB 192
7 4
==μ
1.4 Méthode énergétique1.4 Méthode énergétique
A. Théorème de Clapeyron
B. Méthode de Castigliano
C I é l d M hC. Intégrale de Mohr
D. Théorème de réciprocité (Betti-Maxwell)D. Théorème de réciprocité (Betti Maxwell)
32
1.4 Méthode énergétique1.4 Méthode énergétique
Introduction
L ’ t t t h é ll- Lorsqu’une structure est chargée, elle sedéforme. Pendant le chargement, les points où lesf li é dé l t L tè d fforces appliqués se déplacent. Le système de forceset de moments appliquées produit un travail externet l t t déf é d it t il i tet la structure déformé se produit un travail interne.
- Nous limiterons ici notre études pour ledomaine élastiq edomaine élastique.
33
A. Théorème de Clapeyron A. Théorème de Clapeyron
Energie de déformation:f⎡ ⎤
ijτétat initial
f état finali
( )f
W u da dvij ijv i
τ⎡ ⎤⎢ ⎥= ∫ ∫⎢ ⎥⎣ ⎦
Cas élastique linéaire:f
aijdaiji ff
daij ijiτ =∫ densité d’energie de déformation
ij f
Loi de Hooke donne:
1f 11 ,2
fda aij ij ij ij
iτ τ=∫ 1( )
2 v
W u a dvij ijτ= ∫on a donc 34
A. Théorème de Clapeyron A. Théorème de Clapeyron
Energie complémentairede contrainte:
ijτétat initial
f état finali
de contrainte:
( )f
A a d dvij iji
τ τ⎡ ⎤⎢ ⎥= ∫ ∫⎢ ⎥⎣ ⎦
d ijτ
ff état final
Cas élastique linéaire:
j jv i⎢ ⎥⎣ ⎦
aij
ij
if
daij ijiτ =∫ densité d’energie
complémentaire de contrainte
iji
complémentaire de contrainteLoi de Hooke donne: f
on a donc 1A( )2 v
a dvij ijτ τ= ∫1 , 2
fa d aij ij ij ij
iτ τ=∫
35
A. Théorème de Clapeyron A. Théorème de Clapeyron
Alors on aτ
1W(u)=A( )2 v
a dvij ijτ τ= ∫ijτ
f
état initialf état finali
f
( )A τ
( )Waiji f
( )W u
Energie total E i lé t iEnergie deEnergie total Energie complémentaire de contrainte
Energie de déformation
=-36
A. Théorème de Clapeyron A. Théorème de Clapeyron
Théorème de ClapeyronLe travail réel des forces extérieurs est égale à
0N 1:Le travail réel des forces extérieurs est égale àl’énergie de déformation élastique
11 W( )2
P uj jΔ =∑
Théorème de ClapeyronLe travail réel des forces extérieurs est égale à
0 2N :Le travail réel des forces extérieurs est égale àl’énergie complémentaire de contrainte
11 A( )2
Pj j τΔ =∑37
A. Théorème de Clapeyron A. Théorème de Clapeyron
Calcul de en régime élastique linéaire( )A τ
• Contribution de :( )M xContribution de :( )zM x
, xx x
M My yI E EI
σσ ε= = =On a
[ ] 1( ) ( )( )2
M M MA y y dvI EIv
τ = ∫
[ ]2
22
1( ) ( )2
M MA y d dxEIl
τΩ
= Ω∫ ∫21 M ⎡ ⎤
2
EI est constant [ ]2
2 22
1( ) ( )2
M MA y d dx y d IEIl
τΩ Ω
⎡ ⎤→ = Ω Ω =∫ ⎢ ⎥
⎣ ⎦∫ ∫
[ ]21( )
2M MA dx
EIlτ = ∫On obtient donc:
38
A. Théorème de Clapeyron A. Théorème de Clapeyron
• Contribution de N:N NσOn a , x
x xN N
E Eσσ ε= = =
Ω Ω[ ] 1( ) ( )( )N N NA d∫[ ]
[ ]2
( ) ( )( )2
1( ) ( )
N
N
N NA dvEv
NA d d
τ = ∫Ω Ω
Ω∫ ∫[ ]
[ ]
2
2
( ) ( )2
1
N
N
NA d dxEl
N
τΩ
= Ω∫Ω
⎡ ⎤∫
∫
∫ ∫
O bti t d
[ ]2
1 ( ) ( )2
N NA d dx dEl
τΩ Ω
⎡ ⎤= Ω Ω = Ω∫ ⎢ ⎥Ω ⎣ ⎦
∫ ∫
[ ]21N N
∫On obtient donc: [ ] 1( )2
N NA dxEl
τ = ∫Ω
39
A. Théorème de Clapeyron A. Théorème de Clapeyron
• Contribution de T: On a , xyxy xy
TS TSIb G GIb
ττ γ= = =
[ ] 1 1( )TA a dv a a dvτ τ τ τ⎡ ⎤+∫ ∫ ⎢ ⎥[ ]
[ ]
( )2 2
1 1 1 1( )T
A a dv a a dvij ij xy xy yx yxv v
A dv dv
τ τ τ τ
τ τ γ τ γ τ γ
= = +∫ ∫ ⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + =∫ ∫⎢ ⎥ ⎢ ⎥[ ]
[ ]2 2
( )2 2 2 2
1 1( ) ( )( )T
A dv dvxy xy yx yx xy xyv v
TS TS T SA d d d d
τ τ γ τ γ τ γ= + =∫ ∫⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
⎡ ⎤Ω Ω∫ ∫ ⎢ ⎥∫ ∫[ ]
2 2( ) ( )( )2 2
A d dx d dxIb GIb GI bl l
τΩ Ω
= Ω = Ω∫ ∫ ⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫
On a 21 1 S dΩ∫
[ ]21T T
∫
On a' 2 2
1 1 S dI bΩ
= ΩΩ ∫
t l2
' SΩ Ω Ω∫[ ]
'
1 ( )2
T TA dxGl
τ→ = ∫Ω
telque '' 2 2; S d
I bκ
κ Ω
Ω Ω ΩΩ = = = Ω
Ω ∫40
A. Théorème de Clapeyron A. Théorème de Clapeyron
• Contribution Total:Contribution de :( )M x [ ]
21( )M MA d∫
, ,M N T
Contribution de :( )zM x [ ]( )2
MA dxEIl
τ = ∫
Contribution de N: [ ]21( )N NA dxτ = ∫Contribution de N: ( )
2A dx
Elτ = ∫
Ω
Contribution de T: [ ]2
'
1( )2
T TA dxG
τ = ∫Ω
( )2 Gl∫
Ω
On obtient donc Contribution Total:
( ) ( ) ( ) ( )M N TA A A Aτ τ τ τ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦= + +2 2 21 1 1( ) M N TA d d d∫ ∫ ∫ '
1 1 1( )2 2 2
M N TA dx dx dxEI E Gl l l
τ = + +∫ ∫ ∫Ω Ω
41
A. Théorème de Clapeyron A. Théorème de Clapeyron
Exemple d’application de théorème de Clapeyron:On a 1 = ( )P A τΔO a ( )
2P AB τΔ
2 21 1( ) ( 0)2 2
M NA dx dxEI E
τ = + =∫ ∫Ω
2
'
2 2
1 ( 0)2
EI El lT dx
G
Ω
+ ∫Ω
2 2 2 3
2
1 1 ( )( )
GlM Px P LA dx dxτ
∫Ω
−= = =∫ ∫( )
2 2 6
EI EI EIl l∫ ∫
3PLO bti t d3PL
B EIΔ =On obtient donc:
42
B. Théorème de B. Théorème de CastiglianoCastigliano No2 No2
Pour démontrer le théorème de Castigliano No2,nous considérons un corp élastique qui subit desnous considérons un corp élastique qui subit desforces extérieurs .Tout d’abord on applique les forces qui entraine
PjPTout d abord on applique les forces qui entraine
le déplacement , si on augment la valeur d’uneforce d’une quantité infinitésimale le
Pj
PδjΔ
Pforce d une quantité infinitésimale , ledéplacement augment . Comme, le travail réeldes forces extérieurs est égale à l’énergie
Pjδ
jδΔ
Pj
des forces extérieurs est égale à l énergiecomplémentaire de contrainte. On peut écrirecomme suivant:comme suivant:
43
B. Théorème de B. Théorème de CastiglianoCastigliano No2 No2
Démonstration du théorème: Pj j+ → Δ jP
j jP Pj j j jδ δ+ → Δ + Δ Pj jδ ×Δ
11( )2
P Pej j j j jδτ δ δ δ= ×Δ + × Δ
1
jPδ12
Pj jδ δ× Δ
jP12
Pj jδ δ× Δ est négligeable(différentiel secondre ordre)
jΔjδΔjΔPej j jδτ δ= ×Δ
jj Pe ej j jδτ δτ δ→ = = ×Δ∑ ∑
44
B. Théorème de B. Théorème de CastiglianoCastigliano No2 No2
jA
Démonstration du théorème:
jAA δ∂ j jAAtg
P Pj jA
δα
δ∂
+ = =∂
∂
jAδjA
jAA PjPj
δ δ∂→ =
∂ αj
A∂ Pδ jPjP
jAA A PjPj
δ δ δ∂→ = =
∂∑ ∑ jPδ j
45
B. Théorème de B. Théorème de CastiglianoCastigliano No2 No2
jA
On a pour quelque soitAA A Pδ δ δ∂⎧
⎪ ∑ ∑
A eδ δτ= Pjδ
Théorème de CastiglianojjA A PjPj
P
δ δ δ
δτ δτ δ
= =⎪ ∂⎪⎨⎪ = = ×Δ⎪⎩
∑ ∑
∑ ∑
Théorème de Castiglianopermet de déterminer ledéplacement linéaire, ouPe ej j jδτ δτ δ ×Δ⎪⎩ ∑ ∑
A∂Δ =On obtient donc:
angulaire, en un pointdonné d’une structure.
P Fj j=⎧⎪ Δ⎨
j PjΔ =
∂On obtient donc:
les déplacements des points d’applications des jj j
P Cj j
Δ⎨Δ = Δ⎪⎩=⎧
⎪
les déplacements des points d applications des forces Fj
j j
jj j
θθ
⎧⎪⎨Δ =⎪⎩
les déplacements des points d’applications des forces C j
46
B. Théorème de B. Théorème de CastiglianoCastigliano No2 No2 E l d’ li ti d Thé è dExemple d’application de Théorème deCastiglianoNo2:On aOn a
2 21 1( ) ( 0)2 2
M NA dx dxEI E
τ = + =∫ ∫Ω
2
'
2 2
1 ( 0)2
EI El lT dx
G
Ω
+ ∫Ω2 Gl Ω
10
40 4 (10 4 )
jM M MM P P
= +40 4 (10 4 )
40 10 (4 )j j
j
M P P x
M x x P
= − − + +
= − + − −2( 40 10 (4 ) )( 4)1 x x P xA +∂ 2( 40 10 (4 ) )( 4)1
2jx x P xA dxj P EIlj
− + − − −∂Δ = = ∫
∂ 47
B. Théorème de B. Théorème de CastiglianoCastigliano No2 No2
Exemple d’application de Théorème deCastiglianoNo2:
A∂Δ =
4 210( 4)0
j Pj
xP d
Δ∂
−Δ ∫
0
( )0P dxj j EI= → Δ = ∫
O bti t d 640ΔOn obtient donc: 3B EIΔ =
48
C. Intégrale de C. Intégrale de MohrMohr
On applique des forces extérieurs Q qui provoquedes sollicitations M N T sur un corp élastiquedes sollicitations M,N,T sur un corp élastique.Ensuite on supprime les forces réels extérieurs quiagissent sur le corp et on place une force virtuelleagissent sur le corp et on place une force virtuelleunitaire au point (qu’on veut chercher ledéplacement réel) suivant la direction cherchée Ladéplacement réel) suivant la direction cherchée. Laforce virtuelle unitaire provoque des sollicitationsM’ N’ T’M , N , T .
49
C. Intégrale de C. Intégrale de MohrMohr
C t ib ti d M N T
Démonstration d’intégrale de Mohr:
Contribution de M,N,T:
Q(force extérieur) M(x),N(x),T(x)→
= M'(x) N'(x) T'(x)P P P P P→
Q(force extérieur) M(x),N(x),T(x)→
Pj=1 unitaire M'(x),N'(x),T'(x)→= M (x), N (x), T (x)P P P P Pj j j j j→
Q(force extérieur)+ ( 0)P Pj j =
Q+ ( 0) M(x)+ M'(x),N(x)+ N'(x),T(x)+ T'(x)P P P P Pj j j j j= →j j
50
C. Intégrale de C. Intégrale de MohrMohr
2 2 2( M') ( N') ( T')M P N P T P+ + +
Démonstration d’intégrale de Mohr:( M ) ( N ) ( T )1 1 1
2 2 2 '
M P N P T Pj j jA dx dx dxEI E Gl l l
+ + += + +∫ ∫ ∫
Ω Ω
Aj Pj
∂Δ =
∂0
2M'( M') 2 '( N') 2 '( T')1 1 1
jPj
M P N N P T T Pj j jdx dx dx
=
+ + +Δ = + +∫ ∫ ∫
02 2 2 '
jP
dx dx dxj EI E Gl l l =
Δ + +∫ ∫ ∫Ω Ω
b i d M' N' T'M N TOn obtient donc: M N T'
M N Tdx dx dxj EI E Gl l lΔ = + +∫ ∫ ∫
Ω Ω51
C. Intégrale de C. Intégrale de MohrMohr
+ Déplacement du aux efforts thermiques:• Variation Température:p
t l ffi i t d dil ti, x
x x
tN N
E E
ε ασσ ε
= Δ
= = =Ω Ω
telque α= coefficient de dilation
N'E E
N dxEl
Ω Ω
Δ = ∫Ω
Analogie N:l
( ) N't T dxlαΔΔ = Δ∫ telque N’ même qu’avant
52
C. Intégrale de C. Intégrale de MohrMohr
+ Déplacement du aux efforts thermiques:• Gradient thermique:q
t l ffi i t d dil tiTΔ telque α= coefficient de dilation
x
T yh
M My y
ε α
σσ ε
Δ=
= = =,
M'
x xy yI E EIM dxEI
σ ε
Δ = ∫TΔ
Analogie M: telque M’ même qu’avantEIl ( )
M'Th T dx
hlα
Δ ΔΔ = ∫
53
C. Intégrale de C. Intégrale de MohrMohr
+ Remarque: Signe0TΔ⎧ f Allongement
12Tt TΔ⎧Δ − = Δ⎪⎪
⎨00
0
TTT
Δ⎧⎪Δ⎪⎪Δ⎨
f
p
f
AllongementRaccourcissementFib i fé i t d
22Tt T
T T
⎨ Δ⎪Δ + = Δ⎪⎩
Δ + Δ 0
0
hTh
⎨⎪⎪Δ⎪⎩
f
p
Fibre inférieur tendue
Fibre inférieur comprimée
1 2
2 1
2T Tt
T T T
Δ + ΔΔ =
Δ = Δ −Δh⎪
⎩ Fibre inférieur comprimée2 1T TT
h hΔ −ΔΔ
=
54
C. Intégrale de C. Intégrale de MohrMohr
Intégrale de Mohr en forme générale:
M' N' T'M N T TΔM' N' T' N' M''
M N T Tdx dx dx T dx dxj EI E G hl l l l lα α Δ
Δ = + + + Δ +∫ ∫ ∫ ∫ ∫Ω Ω
Étape de calcul:
Q(f té i ) M( ) N( ) T( )Q(force extérieur) M(x),N(x),T(x)→
Force unitaire → M'(x) N'(x) T'(x)→j: selon laForce unitaire → M (x),N (x),T (x)→j: selon la direction cherché
M' N' T'M N T TΔM' N' T' N' M''
M N T Tdx dx dx T dx dxj EI E G hl l l l lα α Δ
→ Δ = + + + Δ +∫ ∫ ∫ ∫ ∫Ω Ω
55
C. Intégrale de C. Intégrale de MohrMohr
Exemple d’application d’intégrale de Mohr:
56
C. Intégrale de C. Intégrale de MohrMohr
Exemple d’application d’intégrale de MohrOn a
M' N' T'( 0) ( 0)'
M N Tdx dx dxB EI E Gl l lΔ = + = +∫ ∫ ∫
Ω Ω'
2 2 3
,( 2 )
M PL Px M L xP L LX X PLdx
= − + = − +
− +Δ = =∫ 3
dxB EI EIlΔ = =∫
Ou par tableau des intégrales de Mohr, on obtient1 M' 1M 640
3B EIΔ =
3
1 M' 1 M'3
M dx ML EIl
=∫
3M' 1 1M'= (-PL)(-L)=3 3 3
M PLdx MB EI EIlΔ = =∫
57
D. Théorème de réciprocité D. Théorème de réciprocité (Betti(Betti Maxwell)Maxwell)(Betti(Betti‐‐Maxwell) Maxwell)
On considère une poutre droited ireposant sur deux appui
simples qui est montrée dansl fi ( ) (b) i è Sla figure(a) et (b) ci-après. Surla figure(a), on applique laf li é i i
figure(a)forces appliquée en i quiprovoque au point j undé l S l
i P
déplacement . Sur lafigure(b), on applique la forces
li é j i
jiΔ
appliquée en j qui provoqueau point i un déplacement .
j P
ijΔfigure(b)
58
D. Théorème de réciprocité D. Théorème de réciprocité (Betti(Betti Maxwell)Maxwell)(Betti(Betti‐‐Maxwell) Maxwell)
Démonstration du théorème:
j jm m(1)i i
i
M mdx P dxji EI EIl l
Δ = =∫ ∫59
D. Théorème de réciprocité D. Théorème de réciprocité (Betti(Betti Maxwell)Maxwell)(Betti(Betti‐‐Maxwell) Maxwell)
Démonstration du théorème:
i im m mj (2)j j ij j
M m mdx P dx P dxij EI EI EIl l lΔ = = =∫ ∫ ∫
60
D. Théorème de réciprocité D. Théorème de réciprocité (Betti(Betti Maxwell)Maxwell)(Betti(Betti‐‐Maxwell) Maxwell)
Démonstration du théorème:
(1)(2)
i
j
PjiPij
Δ= =Δ jij
Théorème de Bettij iP Pji ijΔ = Δ
Si la force unitaire1i jP P= =
Théorème de Maxwellji ijδ δ=
61
D. Théorème de réciprocité D. Théorème de réciprocité (Betti(Betti Maxwell)Maxwell)(Betti(Betti‐‐Maxwell) Maxwell)
Telque:
iP = forces appliquée en ijP = forces appliquée en j
ijΔ =Déplacement en point i dû à la force appliqué en point jjP
jiΔ =Déplacement en point j dû à la force appliqué en point iiPjimi = moment dû à la force unitaire au point im j =moment dû à la force unitaire au point jM P mi i i= moment dû à la force au point iiP
M P mj j j= moment dû à la force au point jjPj j j
62
D. Théorème de réciprocité D. Théorème de réciprocité (Betti(Betti Maxwell)Maxwell)(Betti(Betti‐‐Maxwell) Maxwell)
Exemple d’application du théorème de réciprocité(Betti Maxwell):(Betti-Maxwell):
?BQΔ Déplacement en point B dû àl f Q li é i C
Qla force Q appliqué en point C
On a P QBQ CPΔ = Δ335
48PL
CP EIΔ =
Déplacement en point C dû à
3
Déplacement en point C dû àla force P appliqué en point B
On obtient donc:35
48QL
BQ EIΔ =
63
CALCUL DES STRUCTURES CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUESHYPERSTATIQUESHYPERSTATIQUESHYPERSTATIQUES
1. INTRODUCTION
2. METHODE DES FORCES
3. METHODE DES DEPLACEMENTS
64
1. INTRODUCTION
1.1. TYPES DES STRUCTURES
1.2. AVANTAGES ET DESAVANTAGES
1 3 DEGRE D’HYPERSTATICITES (DH)1.3. DEGRE D HYPERSTATICITES (DH)
65
1.1. TYPES DES STRUCTURES
- Structures hypostatiques : NI < NEEL i blLa structure est instable
- Structures isostatiques : NI = NEELa str ct re est stableLa structure est stable
- Structures hyperstatiques : NI > NEELa structure est stableLa structure est stable
Nota : NI : Nombre d’inconnueNEE : Nombre d’équation d’équilibre
66
1.1. TYPES DES STRUCTURES
Exemple:StructureStructure
hypostatique
Structure isostatiqueisostatique
Structure hyperstatique
67
1.2. AVANTAGES ET DESAVANTAGES
• Pour une action extérieur donnée, le contrainte maximum et la déflexion d’une structure hyperstatique sont, en générale, plus petit que celle de la structure isostatique.
Exemple:
max 4PLM =max 8
PLM =
35 PLf =35 PLf =
68
48f
EI=
192f
EI=
L h i d d
1.2. AVANTAGES ET DESAVANTAGES• La structure hyperstatique a une tendance deredistribuer la charge aux supports dans le cas où il y asurcharge Dans ce cas la structure maintient sasurcharge. Dans ce cas la structure maintient sastabilité et effondrement(collapse) est prévu. Cetteavantage est particulièrement portant dans le cas où il yg p p ya du vent ou tremblement du terre.
• Bien qu’il y a des avantages mentionnés ci-dessus ilBien qu il y a des avantages mentionnés ci dessus, ily a quelques inconvénients à comparer. La prise dumatériaux est plus élevée et il est difficile à construirela structure hyperstatique par rapport à la structureisostatique. Il faut faire attention au manque de
d d l h i d69
concordance de la structure hyperstatique pendantl’exécution.
1.3. DEGRE D’HYPERSTATICITES (DH)
• En générale :DH = NI - NEE
• Treillis articulés :
DH = NI - NEEoùoùoùoù
NI = b (effort normaux) + R (réaction de liaison)NEE = 2n (nœud dans 2D) ou 3n (nœud dans 3D)NEE = 2n (nœud dans 2D) ou 3n (nœud dans 3D)
70
1.3. DEGRE D’HYPERSTATICITES (DH)
• Détermination de DH :1 Méth d d ( t t f é )1. Méthode de coupure : (coupure structure fermée)
Exemple:p
CCCoupuresCoupures
DH (12 3) (11 3) (6 3) 20DH (12 3) (11 3) (6 3) 2071
DH = (12-3)+(11-3)+(6-3) = 20DH = (12-3)+(11-3)+(6-3) = 20
1.3. DEGRE D’HYPERSTATICITES (DH)
• Détermination de DH :2 Méth d d é ilib d d t d élé t2. Méthode des équilibres des nœuds et des éléments
rigide : équation d’équilibre = 3 Nœuds :
g q q
articulé : équation d’équilibre = 2
Poutre : EE = 3Eléments :
Poutre : EE 3
Bar : EE = 1
72
1.3. DEGRE D’HYPERSTATICITES (DH)
Exemple:
NI = 3×34+3×2+2×2+1 = 113
Equation d’équilibre des nœuds :
Nœuds rigides : EEN = 14×3 = 42g
Equation d’équilibre des éléments :
Poutres : EEE = 17×3 = 51
73
DH = NI – NEE = 113-(42+51) = 20
2. METHODE DES FORCES
• Equation de continuitéFormule de Müller-Breslau
74
2. METHODE DES FORCES
Supposer les manques de concordant sont :1 1 2 2 , ........ n nc c cΔ = Δ = Δ =
On a alors :1 1 1i cΔ = Δ =∑ 11 1 12 2 1 1 1....... n n FR R R cδ δ δ+ + + + Δ =1 1 1
2 2 2
. . . . . . . . . . . . .
i
i cΔ = Δ =∑∑ ⇔ 21 1 22 2 2 2 2.......
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n n FR R R cδ δ δ
δ δ δ
+ + + + Δ =
ni n ncΔ = Δ =∑ 1 1 2 2 .......n n nn n nF nR R R cδ δ δ+ + + + Δ =
R R R cδ δ δ+ + + Δ
Si iF iFδΔ = ⇒
11 1 12 2 1 1 1
21 1 22 2 2 2 2
..............
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n n F
n n F
R R R cR R R c
δ δ δδ δ δ
+ + + = −Δ
+ + + = −Δ
75751 1 2 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......n n nn n n nFR R R cδ δ δ+ + + = −Δ
2. METHODE DES FORCES
Ou [ ] { } { } { }. FR cδ δ= −{ } { } { }
Avec
[ ] La matrice de flexibilité δ
{ } d i h i{ }R Le vecteur des inconnues hyperstatiques { }c Le vecteur des manques de concordance
{ }F Le vecteur des déplacements dus aux actions extérieuresδ
76
Résolution du problème ….. Structure concordanteRésolution du problème ….. Structure concordante
Exemples d’application de la méthode des forces
• On choisit RB comme inconnue hyperstatique
• Le déplacement vertical en B,dû à q et RB doit être nul
• On calcule le déplacement par la méthode des intégrales de Mohr g
77
Résolution du problème ….. Structure concordanteRésolution du problème ….. Structure concordante
• Le diagramme du moment fléchissant isostatique dû à q éc ssa sos a que dû à q
• Le diagramme du moment fléchissant isostatiquefléchissant isostatiquedû à 1 en B
78
Résolution du problème ….. Structure concordanteRésolution du problème ….. Structure concordante
• Le déplacement vertical en B,dû à q :
' 2 41 1MM L qL qLd Lδ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟∫ 4 2 8BF
L
q qdx LEI EI EI
δ = = × − = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
∫
• Le déplacement vertical en B,dû à RB :
' 3
11 13 3B B B B B
L
MM L LR R dx R L L REI EI EI
δ ⎛ ⎞= = × =⎜ ⎟⎝ ⎠∫
79
Résolution du problème ….. Structure concordanteRésolution du problème ….. Structure concordante
• Le déplacement vertical en B,dû à q et RB doit être nul
4 3
11 1 308 3 8BF B B B B
qL LR R R qLEI EI
δ δ+ = − + = ⇒ =
• On peut ensuite déterminer les éléments de réduction M, N, T
• Le système est 1×hyperstatique 1 équation de déplacement
• Le système est concordant et EI=cte, le résultat est donc
80
indépendant de EI
Résolution du problème ….. Structure concordanteRésolution du problème ….. Structure concordante
Exemples d’application de la méthode des forces
• Equation de Müller Breslau• Equation de Müller-Breslau
R R Rδ δ δ δ11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
F
F
R R RR R RR R R
δ δ δ δδ δ δ δδ δ δ δ
+ + = −+ + = −+ + = −31 1 32 2 33 3 3FR R Rδ δ δ δ+ + =
• On calcule le déplacement par laOn calcule le déplacement par la méthode des intégrales de Mohr
81
Résolution du problème ….. Structure concordanteRésolution du problème ….. Structure concordante
• Le diagramme du moment fléchissant isostatique dû à q
• Le diagramme du moment fléchissant isostatique dû à l f i i i lla force unitaire verticale
• Le diagramme du moment fléchissant isostatique dû aufléchissant isostatique dû au couple unitaire
• Le diagramme du moment
82
Le diagramme du moment fléchissant isostatique dû à la force unitaire horizontale
Résolution du problème ….. Structure concordanteRésolution du problème ….. Structure concordante
• Les déplacements3
211
1L LLδ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠
11
12 21 122 2
3 30 , 0
1
EI EI
L L LL
δ
δ δ δ
δ δ δ
⎜ ⎟⎝ ⎠
= = =
⎛ ⎞⎜ ⎟13 31 13
23 32 23
, 2 2 2
0 , 0
LEI EI EI
L L
δ δ δ
δ δ δ
⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎝ ⎠
= = =
33
2
1 1
1
L LEI EIL qLL
δ
δ
= × =
⎛ ⎞⎛ ⎞= × − =⎜ ⎟⎜ ⎟
4qL−1 4 2F L
EIδ = × =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
2
2 3
8
0
1F
EI
L L L
δ =
⎛ ⎞⎛ ⎞
83
2 3
31 .13 2 6F
L qL qLEI EI
δ⎛ ⎞⎛ ⎞
= × − = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
Résolution du problème ….. Structure concordanteRésolution du problème ….. Structure concordante
3 2 4 4
1 30 3 2 8 8L L qL qLR REI EI EI EI
⎛ ⎞+ + = − − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
22 2
2 3 3
0 0 0
0
R
L L qL qLR R
δ+ + =
⎛ ⎞+ + = − − =⎜ ⎟1 30
2 6 6R R
EI EI EI EI+ + = =⎜ ⎟
⎝ ⎠
• peut être calculé à partir de l’effort normal22δ peut être calculé à partir de l effort normal 22δ
2 0R =
3 2 4
1 3
2 3
3 2 8L L qLR R
L L
+ = 1
22
qLR
L
=
84
2 3
1 32 6L qLR LR+ =
2
3 12qLR = −
Résolution du problème ….. Structure concordanteRésolution du problème ….. Structure concordante
• On peut ensuite déterminer les éléments de réduction M, N, T
L tè t 3×h t ti• Le système est 3×hyperstatique 3 équations de déplacement
• Le système est concordant et EI=cte, le résultat est donc,indépendant de EI
85
Résolution du problème …Structure non concordanteRésolution du problème …Structure non concordante
Exemples d’application de la méthode des forces
• Poutre bi encastrée avec rotation d’encastrement• Poutre bi-encastrée avec rotation d encastrement• Equation de Müller-Breslau
11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
R R R cR R R cR R R
δ δ δδ δ δδ δ δ
+ + =+ + =+ +31 1 32 2 33 3 3R R R cδ δ δ+ + =
• Les manques de concordance c1 , c2 , c3 dépendent du choix des inconnues hyperstatique et sont compté :choix des inconnues hyperstatique et sont compté :• depuis la position libre vers la position forcée• selon la ligne d’action de chaque inconnue hyperstatique
86
• selon la ligne d action de chaque inconnue hyperstatique• positivement selon le sens positive de l’inconnue hyperstatique
Résolution du problème …Structure non concordanteRésolution du problème …Structure non concordante
• Les déplacements3
211
12 21 12
13 3
0 , 0
L LLEI EI
δ
δ δ δ
⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠
= = =12 21 122 2
13 31 13
0 , 0
1 , 2 2 2
0 0
L L LLEI EI EI
δ δ δ
δ δ δ
δ δ δ
⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎝ ⎠
23 32 23
33
0 , 0
1 1L LEI EI
δ δ δ
δ
= = =
= × =
• Les manques de concordance1 2 3c 0 , c 0 , c γ= = =
87
1 2 3
Résolution du problème …Structure non concordanteRésolution du problème …Structure non concordante
3 2
1 30 03 2L LR REI EI
+ + =
22 22
1 3
0 0 0
0
R
L LR R
δ
γ
+ + =
+ + =1 30 2
R REI EI
γ+ +
• peut être calculé à partir de l’effort normal22δ peut être calculé à partir de l effort normal
2 0R =
22δ
3 2
1 3
2
03 2L LR R+ = 1 2
6
4
EIRL
EI
γ= −
88
2
1 32L R LR EIγ+ = 3
4EIRL
γ=
Résolution du problème …Structure non concordanteRésolution du problème …Structure non concordante
• On peut ensuite déterminer les éléments de réduction M, N, T
• Le système est 3×hyperstatique 3 équations de déplacement
• Le système est non concordant , le résultat dépend de EI
89
Résolution du problème …Structure non concordanteRésolution du problème …Structure non concordante
• Remarque (valable uniquement pour ce type de situation) :
90
Résolution du problème …Structure non concordanteRésolution du problème …Structure non concordante
Exemples d’application de la méthode des forces
O h i i R i h i• On choisit RB comme inconnue hyperstatique
1B B FR cδ δ+ =
3
1 6BLEI
δ =
91
Résolution du problème …Structure non concordanteRésolution du problème …Structure non concordante
212Fδ δ= − 2
1
2F
c δ= −
33
2 11
6 21 3
BL REI
EI
δ δ− = −
⎛ ⎞1 2 3
1 32B
EIRL
δ δ⎛ ⎞⇒ = −⎜ ⎟⎝ ⎠
• On peut ensuite déterminer les éléments de réductionOn peut ensuite déterminer les éléments de réduction M, N, T
92
Résolution du problème …Structure non concordanteRésolution du problème …Structure non concordante
• Le déplacement de l’appui dûà l’effet de la manque duà l effet de la manque du concordance est inclue dansla partie du déplacement dû p pà la force extérieure
• Le système est 1×hyperstatique 1 équation de déplacement
• Le système est non concordant, l é lt t dé d d EI
93
le résultat dépend de EI
2. METHODE DES FORCES
Etapes générales de la méthode des forces
1 Dé i l d é d’h i i é d l1. Déterminer le degré d’hyperstaticité de la structure2. Effectuer un nombre de coupures égale au degré
d’hyperstaticité et définir le choix des inconnues hyperstatiques
l l l d d3. Calculer les manques de concordance4. Calculer les déplacements aux coupures dus aux
i h i i é iinconnues hyperstatiques et aux actions extérieures5. Résoudre les équations de déplacement
94
6. Terminer la résolution du problème : R, M, N, T ….
2. METHODE DES FORCESFormule de trois moments
2. METHODE DES FORCESFormule de trois moments
• Cas des poutres continues • Définition d’une poutre continue
• poutre rectiligne reposant sur une rangée d’appuis• soumise à des forces verticales (réparties ou
concentrées) et à des couples
95
Cas des poutres continues ……Cas des poutres continues ……
• Calculer ijδ
96
Cas des poutres continues ……Cas des poutres continues ……
• Diagramme de moment fléchissant dû aux couples unitaires à l’appui Ak-1 , Ak , Ak+1
• On observe que
0 sauf pour 1 ; ; 1i jm mds j i j i j iδ +∫
97
0 sauf pour 1 ; ; 1ij ds j i j i j iEI
δ = = = − = = +∫
Cas des poutres continues ……Cas des poutres continues ……
• Calculer 1 1 ; ; k k k k k kδ δ δ− +
1 1
k kk k
m m dsEI
δ −− = ∫
11
1kk
smL−
−
= −
s
1k
k
smL −
=
1
1 01 1
1kL
k kk k
s s dsL L EI
δ −
−− −
⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠∫
98
⎝ ⎠
Cas des poutres continues ……Cas des poutres continues ……
• Calculer 1 1 ; ; k k k k k kδ δ δ− +
k kk k
m m dsδ = ∫ k k dsEI
δ ∫
1
2 2
0 01
1k kL L
k kk k
s ds s dsL EI L EI
δ −
−
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫
99
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Cas des poutres continues ……Cas des poutres continues ……
• Calculer 1 1 ; ; k k k k k kδ δ δ− +
1 1
k kk k
m m dsEI
δ ++ = ∫
1kk
smL
= −
s1k
k
smL+ =
1 01kL
k kk k
s s dsL L EI
δ +
⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠∫
100
⎝ ⎠
Cas des poutres continues ……Cas des poutres continues ……
• Calculer kFδ
1 2k F k F k FkF
m m m m m mds dsEI EI EI
δ ⎛ ⎞= = +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫
go odkF k kδ θ θ= +
gk : la rotation en gauche et articulé à l'appui A , o
kθpositive dans le sens inverse des aiguilles d'une montre
k : la rotation en droit et articulé à l'appui A , odkθ
101
kpp ,positive dans le sens des aiguilles d'une montre
k
Formule des trois momentsFormule des trois moments
1 1 2 2 1 1 1 1 2 2..... .....k k k k k k k kk k k k k k k k kn n k kFM M M M M M M cδ δ δ δ δ δ δ δ− − − − + + + ++ + + + + + + + = −
1 1 1 1 k k k kk k k k k k kFM M M cδ δ δ δ− − + +⇔ + + = −
• Donc dans le cas générale la formule de trois moments• Donc dans le cas générale, la formule de trois momentss’écrit :
1 1
2 2
1 0 0 01 1 1
1 1k k kL L L
k kk k k k
s s ds s ds s dsM ML L EI L EI L EI
− −
−− − −
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥− + + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ ∫ ∫
( )g1 0
1kL o odk k k k
k k
s s dsM cL L EI
θ θ+
⎣ ⎦⎛ ⎞
+ − = − +⎜ ⎟⎝ ⎠
∫
102
⎝ ⎠
Formule des trois momentsFormule des trois moments
• Cas EI constant par travée :
( )g1 11 1
1 1
2 6 o odk k k kk k k k k k
k k k k
L L L LM M M E cI I I I
θ θ− −− +
− −
⎛ ⎞ ⎡ ⎤+ + + = − +⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠
• Manque de concordance ck
1 1k k k kc ζ ζ ζ ζα α − +− −= + = +1
1k k k
k k
cL L
α α +−
= + = +
103
Formule des trois momentsFormule des trois moments
• Elément de réduction • Sur la travée Ak 1Ak on a par superpositionSur la travée Ak-1Ak on a, par superposition
( )1 1F k k ksM m M M M= + + −( )1 1
1F k k k
k
M m M M ML− −
−
+ +
P dé i i à• Par dérivation par rapport à s, on a
( )1
1
k kF
k
M MT t
L−
−
−= +
104
1k
Formule des trois momentsFormule des trois moments
• Cas des poutres avec un encastrement
C l t ti t ll à l’ t t l t• Comme la rotation est nulle à l’encastrement, la poutre encastrée est identique à la moitié d’une poutre continue prolongée par symétrie au-delà de l’encastrementprolongée par symétrie au delà de l encastrement
105
• symétrie totale : forces, géométrie, rigidités, appuis…..
Formule des trois momentsFormule des trois moments
• on tient compt aussi des égalités de moments duesà la symétrie
' '2 2 3 3 ; M M M M= =
( )' '
' g1 1 1 12 6 o odL L L LM M M E c θ θ⎛ ⎞ ⎡ ⎤+ + + = − +⎜ ⎟ ⎣ ⎦( )2 1 2 1 1 1' '
1 1 1 1
2 6M M M E cI I I I
θ θ⎡ ⎤+ + + +⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠
1 1 1 12 6 2 odL L L LM M M E c θ⎛ ⎞
⎡ ⎤+ + +⎜ ⎟ ⎣ ⎦1 1 1 1
2 1 2 1 11 1 1 1
2 6 2M M M E cI I I I
θ⎡ ⎤+ + + = −⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠
3EI11 2 1 1
1
32 2 odEIM M cL
θ⎡ ⎤+ = −⎣ ⎦
106
Formule des trois momentsFormule des trois moments
• Cas des poutres avec porte-à-faux
( )1 1 2 21 2 3 2 2 2
1 1 2 2
2 6 og odL L L LM M M E cI I I I
θ θ⎛ ⎞ ⎡ ⎤+ + + = − +⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠1 1 2 2⎝ ⎠
1 est connuM
107
Formule des trois momentsFormule des trois moments
Exemples d’application
( )1 1 2 22 6 og odL L L LM M M E c θ θ⎛ ⎞ ⎡ ⎤+ + + = +⎜ ⎟ ⎣ ⎦( )1 2 3 2 2 2
1 1 2 2
2 6M M M E cI I I I
θ θ⎡ ⎤+ + + = − +⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠
1 3 20 , 0 , c 0M M= = =3 3
220 10 625
24 24 8 6og qL
EI E I EIθ ×
= = =×
3 3
220 4 160
24 24 3od qL
EI EI EIθ ×
= = =
108
2 90M⇒ = −
Formule des trois momentsFormule des trois moments
T
M
109
M
Formule des trois momentsFormule des trois moments
Exemples d’application
3 62 2 od odEI EIM M c θ θ⎡ ⎤+ = =⎣ ⎦1 2 1 1 11 1
2 2M M cL L
θ θ⎡ ⎤+ = − = −⎣ ⎦
( ) ( )1 1 2 21 2 3 2 2 2 2 22 6 6og od og odL L L LM M M E c E
I I I Iθ θ θ θ
⎛ ⎞ ⎡ ⎤+ + + = − + = − +⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠( ) ( )1 2 3 2 2 2 2 2
1 1 2 2I I I I⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠
3 20 2 1 40M = − × × = −
( )1 2 1
324
8 24 160 6
od
og od
EIM M
M M EI
θ
θ θ
+ = −
+ +
110
( )1 2 2 28 24 160 6 gM M EI θ θ+ = − +
Formule des trois momentsFormule des trois moments
3 160od qLθ = =2 24 3EI EIθ = =
37 560L3
1
3
7 560384 33 240
od
og
qLEI EI
qL
θ
θ
= =
2 128og q
EI EIθ = =
1 2
1 2
2 1403 200
M MM M
+ = −+ = −
1
2
4452
MM
= −= −
111
Formule des trois momentsFormule des trois moments
T
112
M
MMéthodeéthode des Déplacementsdes Déplacements
1. Introduction
2. Equations d’équilibre
3 Méthodes des rotations (Slope Deflection Method)3. Méthodes des rotations (Slope-Deflection Method)
4. Méthode de Cross
113
1.Introduction1.IntroductionTerminologieTerminologie
C l é iCouples extérieures
Couples d’encastrement parfait
Couples de blocageCB ΣCEP CextCB=-ΣCEP-Cext
C l d libé tiCouples de libérationCL=-CB 114
1.Introduction1.IntroductionLes cas plus fréquentsLes cas plus fréquents
115
1.Introduction1.IntroductionLes cas plus fréquentsLes cas plus fréquents
116
1.Introduction1.IntroductionLes cas plus fréquentsLes cas plus fréquents
20 pLM
100 pM AB −=
243 2
0 pLM AB −=
1630 pLM AB −=16
C8
0 CM AB =
117
1.Introduction1.IntroductionLes cas plus fréquentsLes cas plus fréquents
0 3EIM Δ2
0
LM AB =
LERo ΩΔ
=
2
3LEIRo θ
=
EIθ3L
EIM ABθ30 =
118
1.Introduction1.IntroductionPrincipe généralePrincipe générale
1 Dét i l b d d é d lib té1. Déterminer le nombre de degrés de liberté2. Introduire des liaisons de blocages supplémentaires pour
empêcher tout mouvement des nœudsempêcher tout mouvement des nœuds3. Calculer les forces d'encastrement parfait (Ro, Co), établir
les diagrammes Mo, No, To correspondantsg , , p4. Libérer ces blocages supplémentaires, appliquer les force
de libération, calculer les déplacements des degrés de liberté en résolvant les équations d’équilibre, établir les diagrammes M’, N’, T’ correspondants
5 Diagrammes (Mo No To)+ (M’ N’ T’)=(M N T)5. Diagrammes (Mo, No, To)+ (M , N , T )=(M, N, T)
119
1.Introduction1.Introduction
Remarque
- Les inconnues fondamentales sont donc des déplacements: les déplacements correspondant auxdéplacements: les déplacements correspondant aux degrés de liberté. Les équations à résoudre expriment l’équilibre des nœudsexpriment l équilibre des nœuds.
- Cette méthode est appliquée aux structuresCette méthode est appliquée aux structures isostatiques de manière à utiliser le même procédure de calcul pour tous les problèmesprocédure de calcul pour tous les problèmes.
120
2. 2. Equations d’équilibreEquations d’équilibreFormules générales
⎪⎧ =+++
⎪⎧ =++++ nn
onn FqkqkqkFqkqkqk ...0... 1121211111212111
Formules générales
⎪⎪
⎪⎪⎨
=+++⇒
⎪⎪
⎪⎪
⎨=++++ nn
onn FqkqkqkFqkqkqk
..................
..................0... 2222212122222121
⎪⎩ =+++⎪⎩ =++++ nnnnnn
onnnnnn
FqkqkqkFqkqkqk ...0... 22112211
q q q : n composantes de déplacementsq1, q2 ,… qn: n composantes de déplacements,bloquer (qj=0) sauf un (qi)
Appliquer les forces: k au degré de liberté jAppliquer les forces: kij au degré de liberté jkii au degré de liberté i
: Force/couple de blocageoF : Force/couple de blocage, Fn : Force/couple de libération,
nFn
on FF −=
121
2. 2. Equations d’équilibreEquations d’équilibreMatriciellement le système s’écrite:Matriciellement, le système s écrite:
Fqkkk n⎪⎫
⎪⎧
⎪⎫
⎪⎧⎥⎤
⎢⎡ ... 1111211
[ ]{ } { }FqKFqkkk n =⇔
⎪⎪
⎪⎪⎬
⎪⎪
⎪⎪⎨=
⎪⎪
⎪⎪⎬
⎪⎪
⎪⎪⎨⎥⎥⎥⎥
⎢⎢⎢⎢
..................... 2212221
Fqkkk nnnnnn⎪⎭⎪⎩⎪⎭⎪⎩
⎥⎦
⎢⎣ ...21
[K] : Matrice de rigidité[K] : Matrice de rigidité
{q} : Vecteur des déplacements des degrés{q} : Vecteur des déplacements des degrés de liberté
{F} : Vecteur des force/couple de libérations122
2. 2. Equations d’équilibreEquations d’équilibreExemple1: d’application
mkNp /20=mL
mkNp,4
/20
1 ==
mLmL
,5,8
3
2
==
mLm
3,5
4
3
=123
2. 2. Equations d’équilibreEquations d’équilibreExemple1: d’application
2ddilib édd é1 2noeuddurotation:libertédedegré1
124
2. 2. Equations d’équilibreEquations d’équilibreExemple1: d’application
22
812
22
21 pLpLF +−=
125
2. 2. Equations d’équilibreEquations d’équilibreExemple1: d’application
126
2. 2. Equations d’équilibreEquations d’équilibreExemple1: d’application
1148124
LEI
LEI
LEI
LEIK oooo +++=
4321 LLLL127
2. 2. Equations d’équilibreEquations d’équilibreExemple1: d’application
FqK =111q111
81248124 2
221
1pLpLq
LEI
LEI
LEI
LEI oooo +−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++
Application numérique8121
4321
qLLLL ⎟
⎠⎜⎝
o qEI3
40030
1631 =mL
mkNp,4
/20
1 ==
q 4000330
1 =⇒LmL
5,8,
2
1
=
oEIq
1631
mLmL
3,5
4
3
==
128
2. 2. Equations d’équilibreEquations d’équilibreExemple1: d’application
ooo TNMF ,,: 0
][kNmenMoment][
][kNenEffort
kNmenMoment129
2. 2. Equations d’équilibreEquations d’équilibreExemple1: d’application
',',': TNMKq
][kNmenMoment][
][kNenEffort
kNmenMoment130
2. 2. Equations d’équilibreEquations d’équilibreE l 1 d’ li tiExemple1: d’application
TNM ,,][kNmenMoment
][][
kNenEffortkNmenMoment
131
2. 2. Equations d’équilibreEquations d’équilibreExemple1: d’application
Diagramme Tag a e
][kNenEffort
132
2. 2. Equations d’équilibreEquations d’équilibreExemple1: d’application
Diagramme Mag a e
][kNmenMoment
133
3.Méthodes de rotation3.Méthodes de rotation3 1 Introduction
Utiliser pour structures hyperstatiques: poutrescontinues portiques cadres rigides à barres droites
3.1 Introduction
continues, portiques, cadres rigides à barres droites.On établit les équations(1) donnant la valeur des M auxextrémités d’une poutre. Ces équations sont obtenuesp qpar la superposition:1) M dû aux charges extérieures sur la poutre qu’on) g p q
suppose encastrée aux extrémités2) M dû aux déplacements réels des nœuds aux
extrémitésOn établit un système d’équation (2) où les inconnus
l dé l d d l (2) dsont les déplacements des nœuds. En remplaçant (2) dans(1), on obtient la valeur M aux extrémités des poutres.134
3.Méthodes de rotation3.Méthodes de rotation3 2 Équations de la méthode des rotationsHypothèses:
L déf i d f i l
3.2 Équations de la méthode des rotations
-Les déformation dues aux forces axiales et auxefforts tranchants sont négligeables
-La poutre est droite
-EI est constante dans chaque travée
-Le matériau est élastique et obéit à la loi deH k l i i d i i ’ liHooke, le principe de superposition s’applique
135
3.Méthodes de rotation3.Méthodes de rotation3 2 Équations de la méthode des rotations3.2 Équations de la méthode des rotationsTravée AB et sa déformée due aux charges et au déplacements ΔB.p B
BAAB MEPMEP &'' 6EI BΔ−
2
6LEIMM B
BAABΔ
==
LB
ABΔ
=ψL
ELLM
ELLM BAAB
A 63
''''
−=θ
136
63
ELLM
ELLM ABBA
B 63
''''
−=θ
3.Méthodes de rotation3.Méthodes de rotation3 2 Équations de la méthode des rotations3.2 Équations de la méthode des rotations
MAB & MBA sont donnés par la superposition des 3termes qui les composent:termes qui les composent:
'''
'''
BABABABA
ABABABAB
MMMEPM
MMMEPM
++=
++=
,6''
LEIMM AB
BAABψ−
==On a:BABABABA MMMEPM ++
L
Alors:)2(2,)2(2 ''''
ABBABAAB LEIM
LEIM θθθθ +=+=
Alors:
ABABBAAB MEPLEIM +−+= )32(2 ψθθ
BAABBABA MEPLEIM +−+= )32(2 ψθθ
137
3.Méthodes de rotation3.Méthodes de rotationExemple1: d’application
OOn a:
⎪⎪⎧
=×
−+= 012
818)2(8
2 2
BAABEIM θθ
⎪⎪⎪⎪
⎨
×++=
12818)2(
82 2
BABAEIM θθ
⎪⎪⎪⎨
×−+=
8660)2(
62
CBBCEIM θθ
138⎪⎪⎪
⎩×=
×++= 240
8660)2(
62
CBCBEIM θθ
3.Méthodes de rotation3.Méthodes de rotationExemple1: d’application
119141336258EIEIEI CBA
119,14.133,6.258=−==⇒ θθθ
kNMkNMM 94940Alors:
kNmMkNmMkNmMkNmMM
CDCB
BCBAAB
80,80,94,94,0
−==−===
139
4. Méthode de Cross 4. Méthode de Cross 4 1 Terminologie
Méthode de Cross = Méthode de relaxation = Méthode de di t ib ti d t
4.1 Terminologie
redistribution des moments.
Couple d’encastrement parfait : couple exercé0ABC
par la poutre AB sur le nœud A bloqué en rotation. Cecouple peut être produit par les action appliquées à lapoutre AB, par le déplacement relatif des extrémités de lapoutre, ou par des efforts initiaux intérieurs.
140
4. Méthode de Cross 4. Méthode de Cross 4 1 Terminologie4.1 Terminologie
Couple de blocage : couple qu’il faut appliquer au0AC
nœud A pour l’empêcher de tourner, c’est-à-dire pouréquilibrer la somme des couples d’encastrement parfait au
d A l i b i l lnœud A, pour les poutres qui y aboutissent et le coupleextérieur éventuellement appliqué à ce nœud.
⎤⎡ extA
poutre
oAiA CCC −⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−= ∑0
141
4. Méthode de Cross 4. Méthode de Cross 4 1 Terminologie4.1 TerminologieCouple de libération : couple qu’il faut appliquer
d A é ilib d t tiAC
au nœud A pour assurer son équilibre de rotationlorsqu’on supprime son encastrement provisoire.
⎤⎡ extA
poutre
oAiAAA CCCCC −⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=−= ∑00 ou
Couple de reprise : couple repris, au nœud A, par la poutre AB lorsqu’on applique le couple de libération
rABC
ACCoefficient de reprise:
A
ABμ
AABrAB CC μ−= ∑ −= A
rAi CC ∑ = AAAi CCμ
AABAB μ ∑poutres
AAi ∑poutres
AAAi
∑ =poutres
Ai 1μ142
4. Méthode de Cross 4. Méthode de Cross 4 1 Terminologie4.1 Terminologie
AθCouple transmis : la rotation du nœud A, sous l’ ff t d l’ li ti d l d libé ti
tBC
l’effet de l’application du couple de libération , transmet aux encastrements B des poutres AB aboutissant en A des couples (transmis) proportionnels aux couples
AC
tCen A des couples (transmis) proportionnels aux couples de reprise correspondants.Coefficient de reprise:
tBC
rABC
ρCoefficient de reprise: ABρrABAB
tB CC ρ=
Dans tous les cas, les couples considérés sont lescouples appliqués aux nœuds (par le monde extérieur,par les poutres,…). Il faudra donc se fixer un senspositif, le sens horlogique. 143
4. Méthode de Cross 4. Méthode de Cross 4 2 Détermination de μ et ρ4.2 Détermination de μABet ρAB
Considérons le nœud A où aboutissent les barres AB,AC Ai ( l d A B C i i id )AC,…Ai (on suppose les nœuds A, B, C,…i rigides).
∑=poutre
rAjA CC
poutre
Par définition: AAi
AArAi kC θ)(= AAB
rAB CC μ−=
A Aik
∑−−=−=
AAjAA
AAiAA
A
rAi
Ai kk
CC
θθμAlors: ∑
=
t
AjAA
AiAA
Ai kkμ
R poutre poutreRemarque:=Ai
AAk Le coefficient de rigidité liant le couple appliquéau nœud A par la poutre A-i suite à la rotationunitaire du nœud A 144
4. Méthode de Cross 4. Méthode de Cross 4 2 Détermination de μ et ρ4.2 Détermination de μABet ρAB
De même: AiA
AiiA
r
ti
AirAiAi
ti k
kCCCC
θθρρ )(
)(
==⇒=AAAAi kC θ
)(
)(
AiAA
AiiA
Ai kk
=ρAlors:AAk
Remarque:1 rigide:i21
=Aiρ
articulé:i0=Aiρ articulé:i0Aiρ
145
4. Méthode de Cross 4. Méthode de Cross 4 3 Principe général4.3 Principe général
-Méthode de Cross permet de trouver directementles couples qui en résultent, grâce aux coefficients dereprise et transmission.
-Dans le 1ère stade, cette méthode n’est appliquéeque pour des structures dont les nœuds ne subissentpas de d’placements de translation (pas de dérives).
-Une dérive est un d’placement de translation.
146
4. Méthode de Cross 4. Méthode de Cross 4 4 Système sans dérive: exemple4.4 Système sans dérive: exemple
147
4. Méthode de Cross 4. Méthode de Cross 4 4 Système sans dérive: exemple4.4 Système sans dérive: exempleDiagramme M en [Nm]
148
4. Méthode de Cross 4. Méthode de Cross 4 4 Système sans dérive: exemple4.4 Système sans dérive: exempleDiagramme M en [Nm]
149
4. Méthode de Cross 4. Méthode de Cross 4 4 Système sans dérive: exemple4.4 Système sans dérive: exempleDiagramme T en [N]
150
4. Méthode de Cross 4. Méthode de Cross 4 5 Système dont les nœuds subissent une dérive4.5 Système dont les nœuds subissent une dérive
connue
151
4. Méthode de Cross 4. Méthode de Cross 4 5 Système dont les nœuds subissent une dérive4.5 Système dont les nœuds subissent une dérive
connue Diagramme M en [Nm]g [ ]
152
4. Méthode de Cross 4. Méthode de Cross 4 5 Système dont les nœuds subissent une dérive4.5 Système dont les nœuds subissent une dérive
connue Diagramme M en [Nm]g [ ]
153
4. Méthode de Cross 4. Méthode de Cross 4 5 Système dont les nœuds subissent une dérive4.5 Système dont les nœuds subissent une dérive
connue Diagramme T en [N]g [ ]
154
4. Méthode de Cross 4. Méthode de Cross 4 6 Système à une d’rive inconnue4.6 Système à une d’rive inconnue
155
4. Méthode de Cross 4. Méthode de Cross 4 6 Système à une d’rive inconnue4.6 Système à une d’rive inconnue
Diagramme M en [Nm]g [ ]
156
4. Méthode de Cross 4. Méthode de Cross 4 6 Système à une d’rive inconnue4.6 Système à une d’rive inconnue
Diagramme M en [Nm]
157
4. Méthode de Cross 4. Méthode de Cross 4 6 Système à une d’rive inconnue4.6 Système à une d’rive inconnue
Diagramme T en [N]
158
4. Méthode de Cross 4. Méthode de Cross 4 7 Système à plusieurs dérives inconnues4.7 Système à plusieurs dérives inconnues
La 1ère chose à déterminer est l’ensemble de butée B1,B B nécessaires pour supprimer toute dérive desB2,…,Bn nécessaires pour supprimer toute dérive desnœuds.
1ère étape: Introduire les n butées et on applique1 étape: Introduire les n butées et on appliqueles charges extérieures. Après avoir effectué un Cross,on obtient les réactions des butées: R1, R2,…,Rnon obtient les réactions des butées: R1, R2,…,Rn
2ère étape: Donner aux nœuds qui ont étéprovisoirement fixés par une butée, n groupes de d’rivesp p , g pqui sont linéairement indépendants (ex: 0 pour toutes, saufune égale à 1). Après avoir effectué n Cross, on obtient lesréactions de butées )1()1(
2)1(
1 ,..., nRRR159
4. Méthode de Cross 4. Méthode de Cross 4 7 Système à plusieurs dérives inconnues4.7 Système à plusieurs dérives inconnues
3ère étape: La structure est en équilibre lorsquep q qtoutes les butées sont enlevées, on doit ajouter auxrésultats de la 1ère étape les effets des n groupes de dériveschoisis, multipliés par des coefficients de pondération
tel que:nααα ,..., 21
... 11)()2()1(
)(1
)2(1
)1(1
⎪⎪⎫
⎪⎪⎧
⎪⎪⎫
⎪⎪⎧
⎥⎥⎤
⎢⎢⎡
n
n
RR
RRRRRR
αα
0..................
... 22
)()2()1(
)(2
)(2
)(2 =
⎪⎪⎭
⎪⎬
⎪⎪⎩
⎪⎨+
⎪⎪⎭
⎪⎬
⎪⎪⎩
⎪⎨
⎥⎥⎥⎥
⎦⎢⎢⎢⎢
⎣n R
R
RRR
RRR α
... )()2()1( ⎪⎭⎪⎩⎪⎭⎪⎩⎥⎦⎢⎣ nnn
nnn RRRR α
160
4. Méthode de Cross 4. Méthode de Cross 4 7 Système à plusieurs dérives inconnues4.7 Système à plusieurs dérives inconnues
161
METHODE MATRICIELLEMETHODE MATRICIELLE
1. INTRODUCTION
2. RELATION DE RAIDEUR ELEMENTAIRE
EN AXES LOCAUXEN AXES LOCAUX
3. RELATION DE RAIDEUR ELEMENTAIRE
EN AXES GLOBAUX
4. ASSEMBLAGE DES RELATIONS DE
RAIDEUR ELEMENTAIRE
162
METHODE MATRICIELLEMETHODE MATRICIELLE
5. CONDITION AUX LIMITES5. CONDITION AUX LIMITES. METHODE DIRECTE
METHODE DE PENALITE. METHODE DE PENALITE
6. RESOLUTION DU SYSTEM LINEAIRE. ITERATION. DIRECT (GAUSSE ET CHOLESKI)( )
7. TRAITEMENT DE RESULTATS
163
1. INTRODUCTION1. INTRODUCTION
La méthode des forces est moins systématique que la
méthode des déplacements. La méthode des déplacement
est donc bien adaptée au calcul par ordinateur grâce àest donc bien adaptée au calcul par ordinateur grâce à
son caractère systématique. Le but de ce chapitre est
donc de monter comment une étude systématique d’une
structure peut être effectuée à partir de la relation destructure peut être effectuée à partir de la relation de
rigidité. On appellera relation de raideur élémentaire.
164
2. 2. Relation de raideur élémentaire Relation de raideur élémentaire en axes locauxen axes locaux
La relation de raideur (relation de rigidité) :
en axes locauxen axes locaux
( g )
[ ]{ } { }e e eK q F=
• Structure à nœuds articulés
165
2. 2. Relation de raideur élémentaire Relation de raideur élémentaire en axes locauxen axes locauxen axes locauxen axes locaux
11 12 13 14 xAAFk k k k u ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫
⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪21 22 23 24
31 32 33 34
yAA
B B
Fk k k k vk k k k u F
⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥31 32 33 34
41 42 43 44
B xB
B yB
k k k k u Fvk k k k F
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎩ ⎭Il nous reste à calculer les coefficients kij à partir de
la théorie des poutres La méthode la plus simplela théorie des poutres. La méthode la plus simple
consiste à bloquer totalement les deux nœuds A et B
166
q( )0A A B Bu v u v= = = =
2. 2. Relation de raideur élémentaire Relation de raideur élémentaire en axes locauxen axes locauxen axes locauxen axes locaux
On libère ensuite un déplacement auquel on p q
donne une valeur unitaire et on calcule la force
nécessaire pour imposer cette valeur.
a) 1u =a) 1Au =
et xAAxA A xB
Fu E E EF u Fl E E l l l
σε Ω Ω Ω= = = ⇒ = = = −
Ω
Ω Ω
167
11 21 31 41 , 0 , , 0E Ek k k kl lΩ Ω
= = = − =
2. 2. Relation de raideur élémentaire Relation de raideur élémentaire en axes locauxen axes locauxen axes locauxen axes locaux
b) 1Bu =b) Bu
0 0E Ek k k kΩ Ω13 23 33 43 , 0 , , 0E Ek k k k
l lΩ Ω
= − = = =
c) 1Av =c) 1Av
12 22 32 420 0 0 0k k k k= = = =
168
12 22 32 420 , 0 , 0 , 0k k k k
2. 2. Relation de raideur élémentaire Relation de raideur élémentaire en axes locauxen axes locauxen axes locauxen axes locaux
d) 1Bv =
0 0 0 0k k k k14 24 34 440 , 0 , 0 , 0k k k k= = = =
La relation de raideur s’écrit explicitement :
1 0 -1 00 0 0 0
xAAFuFvE
⎧ ⎫⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥Ω ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ 0 0 0 0
-1 0 1 0yAA
B xB
FvEu Fl
⎢ ⎥Ω ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪169
0 0 0 0 B yBv F⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
2. 2. Relation de raideur élémentaire Relation de raideur élémentaire en axes locauxen axes locauxen axes locauxen axes locaux
• Structure à nœuds rigides• Structure à nœuds rigides
170
2. 2. Relation de raideur élémentaire Relation de raideur élémentaire en axes locauxen axes locauxen axes locauxen axes locaux
La relation de raideur s’écrit explicitement :La relation de raideur s écrit explicitement :
11 12 13 14 15 16 xAAFk k k k k k u⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫
⎪ ⎪11 12 13 14 15 16
21 22 23 24 25 26 xAA
yAA
uFk k k k k k v
⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪
31 32 33 34 35 36
41 42 43 44 45 46
A
B
k k k k k k Ck k k k k k u
φ⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ =⎢ ⎥ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪
A
xBF
⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪41 42 43 44 45 46
51 52 53 54 55 56 B
Bvk k k k k k⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪
xB
yBF⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪
171
61 62 63 64 65 66 Bk k k k k k φ⎪ ⎪
⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎣ ⎦ BC⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
2. 2. Relation de raideur élémentaire Relation de raideur élémentaire en axes locauxen axes locauxen axes locauxen axes locaux
a) 1Bu =) B
0 0 0 0E Ek F k k k F k kΩ Ω14 24 34 44 54 64= , 0 , 0 , = , 0 , 0xA yBk F k k k F k k
l l= − = = = = =
b) 1Bv =b) 1Bv
15 25 35 45 55 653 2 3 2
12 6 12 60 , , , 0 , , EI EI EI EIk k k k k kl l l l
− − −= = = = = =
172
l l l l
2. 2. Relation de raideur élémentaire Relation de raideur élémentaire en axes locauxen axes locauxen axes locauxen axes locaux
c) 1Bφ =
6 2 6 40 0EI EI EI EIk k k k k k−= = = = = =16 26 36 46 56 662 20 , , , 0 , , k k k k k k
l l l l= = = = = =
d) 1Au =
11 21 31 41 51 61= , 0 , 0 , , 0 , 0E Ek k k k k kl lΩ Ω
= = = − = =
173
2. 2. Relation de raideur élémentaire Relation de raideur élémentaire en axes locauxen axes locauxen axes locauxen axes locaux
e) 1Av =
12 22 32 42 52 623 2 3 2
12 6 12 60 , , , 0 , , EI EI EI EIk k k k k kl l l l
−= = = = = =
f ) 1Aφ =
13 23 33 43 53 632 2
6 4 6 20 , , , 0 , , EI EI EI EIk k k k k kl l l l
−= = = = = =
174
13 23 33 43 53 632 2l l l l
2. 2. Relation de raideur élémentaire Relation de raideur élémentaire en axes locauxen axes locaux
On a alors :en axes locauxen axes locaux
E EΩ − Ω⎡ ⎤ 0 0 0 0
12 6 12 60 0
E El l
EI EI EI EI
Ω Ω
−F
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎧ ⎫⎧ ⎫⎢ ⎥3 2 3 2
2 2
0 0
6 4 6 2 0 0
l l l lEI EI EI EIl l l l
−
xAA
yAA
FuFvCφ
⎢ ⎥ ⎧ ⎫⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪2 2
0 0 0
l l l lE El l
− Ω Ω 0
A A
B xB
Cu Fv F
φ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥
⎪⎪
⎪⎪l l
3 2 3 2
12 6 12 6 0 0 B yB
B B
v FEI EI EI EI C
l l l lφ
⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− − − ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎪⎪⎪⎭
1752 2
6 2 6 4 0 0 EI EI EI EIl l l l
⎢ ⎥−⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
3. 3. Relation de raideur élémentaire Relation de raideur élémentaire en axes globauxen axes globauxen axes globauxen axes globaux
• Structure à nœuds articulés
176
3. 3. Relation de raideur élémentaire Relation de raideur élémentaire en axes globauxen axes globauxen axes globauxen axes globaux
{ } [ ]{ } { } [ ]{ }' ' et e e e eq R q F R F= ={ } { }où cos sin 0 0
i 0 0θ θθ θ
⎡ ⎤⎢ ⎥
[ ] sin cos 0 0 0 0 cos sin
Rθ θ
θ θ
⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥ 0 0 -sin cosθ θ⎢ ⎥⎣ ⎦
[ ]{ } { } [ ][ ]{ } [ ]{ }' '=K q F K R q R F= ⇒[ ]{ } { } [ ][ ]{ } [ ]{ }[ ] [ ][ ]{ } [ ] [ ]{ } { }' ' '
=
e e e e e e
t te e e e
K q F K R q R F
R K R q R R F F
⇒
=
177
[ ] [ ][ ]' te eK R K R⎡ ⎤⇒ =⎣ ⎦
3. 3. Relation de raideur élémentaire Relation de raideur élémentaire en axes globauxen axes globauxen axes globauxen axes globaux
• Structure à nœuds rigides
178
3. 3. Relation de raideur élémentaire Relation de raideur élémentaire en axes globauxen axes globauxen axes globauxen axes globaux
[ ] [ ][ ]' tK R K R⎡ ⎤ =⎣ ⎦ [ ] [ ][ ]e eK R K R⎡ ⎤ =⎣ ⎦où
cos sin 0 0 0 0θ θ⎡ ⎤cos sin 0 0 0 0 sin cos 0 0 0 00 0 1 0 0 0
θ θθ θ−
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
[ ] 0 0 1 0 0 0 0 0 0 cos sin 0
Rθ θ
=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ 0 0 0 -sin cos 0 0
θ θ 0 0 0 0 1
⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
179
⎣ ⎦
4. Assemblage des 4. Assemblage des relations de relations de raideur élémentaireraideur élémentaireraideur élémentaire raideur élémentaire
• Structure à nœuds articulés• Dans la relation élémentaire, les nœuds ont été
Désignés par A et B• Il faut spécifier les numéros effectivement
utilisés dans la structure
F F⎧ ⎫⎧ ⎫
• En axe global
{ } { }
77
77 ;
xA xA
yA yA
F Fu uF Fv v
q F
=⎧ ⎫=⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ==⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬
180
{ } { }44
4 4
; e exB xB
B yB y
q FF Fu u
v v F F
⎨ ⎬ ⎨ ⎬==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎩ ⎭ ⎩ ⎭
[ ]{ } { }e e eK q F=
4. Assemblage des 4. Assemblage des relations de relations de raideur élémentaireraideur élémentaireraideur élémentaire raideur élémentaire
• Structure à nœuds articulés• La relation de rigidité élémentaire en axe globale
7711 12 13 14 21 22 23 24
xFuF
⎧ ⎫⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪77
44
21 22 23 2431 32 33 34
y
x
FvFu
⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ [ ]{ } { }K F
181
4 441 42 43 44 yv F⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ [ ]{ } { }e e eK q F=
4. Assemblage des 4. Assemblage des relations de relations de raideur élémentaireraideur élémentaireraideur élémentaireraideur élémentaire
• Structure à nœuds articulés• Assemblage (opération de localisation)
⎡ 1x1u
FF
⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎪ ⎪⎤
• • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • •
⎡⎢⎢⎢⎢
1
1
2
2
3
y1
x2y2
x3
u
u
F
FF
F
v
v
⎧ ⎫ ⎪ ⎪⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪33 34 31 3243 44 41 42
• • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • •• • •
⎢⎢⎢
• • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • •
3
3
4
4
5
y3
x4y4
x5
u
u
F
FF
F
v
v
⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
[ ]{ } { }e e eK q F=
13 14 11 1223 24 21 22
• • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • •
5
5
6
6
7
x5y5
x6y6
u
u
F
FF
F
v
v
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥
182
23 24 21 22
• • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • •⎣
7
7
8
8
x7y7
x8y8
u
FF
FF
v
v
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎦ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭
{ } { }e eK Q F⎡ ⎤ =⎣ ⎦
4. Assemblage des 4. Assemblage des relations de relations de raideur élémentaireraideur élémentaireraideur élémentaire raideur élémentaire
• Structure à nœuds articulés• Considérons un nœud i et toutes les forces qui lui sont
appliquées• Les forces extérieures sont FXi , FYi
• Les forces exercées par les poutres , a , b , c sont
a aXi Yi
b b
F F− −
b bXi Yi
c cXi Yi
F F
F F
− −
− −
183
4. Assemblage des 4. Assemblage des relations de relations de raideur élémentaireraideur élémentaireraideur élémentaire raideur élémentaire
• Structure à nœuds articulés• Les équations d’équilibre s’écrivent
0a b cF F F F ... 0
... 0
a b cXi Xi Xi Xi
a b cYi Yi Yi Yi
F F F F
F F F F
− − − − =
− − − − =
ou...a b c
Xi Xi Xi XiF F F F= + + +
...a b cYi Yi Yi YiF F F F= + + +
184
4. Assemblage des 4. Assemblage des relations de relations de raideur élémentaireraideur élémentaireraideur élémentaireraideur élémentaire
• Structure à nœuds articulés• Equation d’équilibre des nœuds
{ }{ } { }epoutre
F F=
⎡ ⎤
∑
{ } { }e epoutre poutre
K Q F⎡ ⎤
⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦∑ ∑
ou
[ ]{ } { }K Q F=185
[ ]{ } { }K Q F=
4. Assemblage des 4. Assemblage des relations de relations de raideur élémentaireraideur élémentaireraideur élémentaire raideur élémentaire
• Structure à nœuds rigides• Dans la relation élémentaire, les nœuds ont été
Désignés par A et BIl f é ifi l é ff i• Il faut spécifier les numéros effectivement utilisés dans la structure
• En axe global22
22
xA xA
yA yA
F Fu uF Fv v
=⎧ ⎫=⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ == ⎪ ⎪⎪ ⎪
• En axe global
{ } { }
22
2 2
3 3
;
yA yA
A Ae e
B xB x
C Cq F
u u F Fφ φ
⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= =⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬= =⎪ ⎪ ⎪ ⎪
186
3 3
3 3
B yB y
B B
v v F F
C Cφ φ
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎪ ⎪ ⎪ ⎪
=⎪ ⎪ =⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭[ ]{ } { }e e eK q F=
4. Assemblage des 4. Assemblage des relations de relations de raideur élémentaireraideur élémentaireraideur élémentaire raideur élémentaire
• Structure à nœuds rigides• La relation de rigidité élémentaire en axe globale
⎧ ⎫22
22
11 12 13 14 15 1621 22 23 24 25 26
x
y
FuFv
⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪
2 2
3 3
31 32 33 34 35 3641 42 43 44 45 46 x
Cu Fφ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ =⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥
⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪3 3
3 351 52 53 54 55 5661 62 63 64 65 66
x
yv F
Cφ
⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭
⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭ [ ]{ } { }e e eK q F=
187
361 62 63 64 65 66 Cφ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ 3⎪ ⎪⎩ ⎭ [ ]{ } { }e e eq
4. Assemblage des 4. Assemblage des relations de relations de raideur élémentaireraideur élémentaireraideur élémentaireraideur élémentaire
• Structure à nœuds rigides• Assemblage (opération de localisation)
1x1u F
F⎧ ⎫
⎧ ⎫ ⎪ ⎪
• • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • •
1
1
1
2
y1
x21
u
u
F
F
Cvφ
⎧ ⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪11 12 13 14 15 16
21 22 23 24 25 2631 32 33 34 35 36
41 42 43 44 45 46
• • • • • •• • • • • •• • • • • •• • • • • •• • • • • •
2
2
2
3
y2
x32
u
F
F
Cvφ
⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪51 52 53 54 55 56
61 62 63
• • • • • •• • • 64 65 663
3
3
4
x3y3
3
u
F
F
Cvφ
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪• • •⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥• • • • • • • • • • • • ⎪ ⎪ ⎪ ⎪• • • • • • • • • • • •⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪• • • • • • • • • • • •⎣ ⎦
[ ]{ } { }e e eK q F=
188
4
4
4
x4y4
4
FF
C
vφ
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪• • • • • • • • • • • •⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎩ ⎭ { } { }e eK Q F⎡ ⎤ =⎣ ⎦
4. Assemblage des 4. Assemblage des relations de relations de raideur élémentaireraideur élémentaireraideur élémentaire raideur élémentaire
• Structure à nœuds rigides• Considérons un nœud i et toutes les forces qui lui sont
appliquées• Les forces extérieures sont FXi , FYi , Ci
• Les forces exercées par les poutres , a , b , c sont
a a aXi Yi i
b b b
F F C− − −
b b bXi Yi i
c c cXi Yi i
F F C
F F C
− − −
− − −
189
4. Assemblage des 4. Assemblage des relations de relations de raideur élémentaireraideur élémentaireraideur élémentaire raideur élémentaire
• Structure à nœuds rigides• Les équations d’équilibre s’écrivent
0a b cF F F F ... 0
... 0
a b cXi Xi Xi Xi
a b cYi Yi Yi Yi
F F F F
F F F F
− − − − =
− − − − =
... 0a b ci i i iC C C C− − − − =
ou...
...
a b cXi Xi Xi Xi
a b cYi Yi Yi Yi
F F F F
F F F F
= + + +
= + + +
190...
Yi Yi Yi Yi
a b ci i i iC C C C= + + +
4. Assemblage des 4. Assemblage des relations de relations de raideur élémentaireraideur élémentaireraideur élémentaireraideur élémentaire
• Structure à nœuds rigides• Equation d’équilibre des nœuds
{ }{ } { }epoutre
F F=
⎡ ⎤
∑
{ } { }e epoutre poutre
K Q F⎡ ⎤
⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦∑ ∑
ou
[ ]{ } { }K Q F=191
[ ]{ } { }K Q F=
5. Condition aux 5. Condition aux limiteslimites
• Méthode directe• Supposons qu’une des conditions aux limites porte• Supposons qu une des conditions aux limites porte
sur la composante i du vecteur et s’exprime par{ }Q
Q Q=i iQ Q=• La composante i du vecteur devient réaction de
liaison correspondante{ }F
liaison correspondante
11 1i 1n . . . K . . . K . . .K 1 1
. . .
Q F⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪
1 ii in
. . . . . . . . . K . . . KiK
. . .
iiQ R
⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
192
. . . . .
1 ni nn
. . . . . . . . . . . . . K . . . Kn nnK FQ
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭
5. Condition aux 5. Condition aux limiteslimites
• Méthode directe• Enlever l’équation no en tenant compte de la valeur de q p
Qi dans les autres équations
0 KK 1 11 i iF K QQ ⎧ ⎫−⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥11 1n . . . 0 . . . K . . . . . . . . . 0 1 0
K 1
. . . . . .
Q
Q Q
⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬0 . . . 1 . . . 0 . . . . . . .
. . . . . . . .
i iQ Q⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
1 nn . . . 0 . . . Kn n n ni iK Q F K Q⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
j n=⎡ ⎤
193
• Réaction de liaison1
j n
i ij jj
R K Q=
=
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦∑
5. Condition aux 5. Condition aux limiteslimites
• Méthode de pénalité • Cette méthode de pénalité consiste à résoudrep
11 1i 1n . . . K . . . KK 1 1Q F⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
1 ii in
. . . . . . . . . . . . K . . . KiK
. .. .. .
i iQ R
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ . . . . . . . . . . . . . . .
K KK Q F
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭1 ni nn . . . K . . . Kn n nK Q F⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
Avec la condition : ( ) ( ) ou /i i i ii iR Z Q Q Q Q R Z= − − =
194
Avec la condition : ( ) ( )ou /i i i ii iQ Q Q Q
5. Condition aux 5. Condition aux limiteslimites
• Méthode de pénalité • En substituant R le système devient• En substituant Ri , le système devient
11 1i 1n . . . K . . . KK 11FQ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫
⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪11 1i 1n . . . . . . . . .
K +Z KK
. . . . . .Q Q Z
⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ( )I1 ii in . . .K +Z. . . K
. . . . .
iK . . . . . . . . . .
i iQ Q Z⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥
( )I
1 ni nn . . . K . . . Kn n nK Q F⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
( )195
( )i iiR Z Q Q= −
5. Condition aux 5. Condition aux limiteslimites
• Méthode de pénalité• La méthode de pénalisation peut être interprétée
comme l’introduction d’un support élastique de rigiditéZ
11 1i 1n . . . K . . . K 0 . . . .K 1
.Q⎡ ⎤
⎢ ⎥⎢ ⎥
1
.F⎧ ⎫ ⎧ ⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪
1 ii in
. . . . . . . . . . K +Z . . K ZiK −
..
iQ
⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
..
iR
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪ . .
1 ni nn
. . . . . . . . . . . . . . . . K . . . K 0n n
K Q
⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
...
nF
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪
196
0 . . . Z . . . 0 +Z Q⎢ ⎥−⎣ ⎦ ii R
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎭⎩ ⎭
5. Condition aux 5. Condition aux limiteslimites
• Méthode de pénalité 1FQ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫
11 1i 1n . . . K . . . K . . . . . . . . .
K 11
. . . . . .
FQ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪
1 ii in . . .K +Z. . . K . . .
iK . .
i iQ Q Z⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥
( )II
. .
1 ni nn
. . . . . . . . . . . K . . . Kn n nK Q F
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
( )R Z Q Q
• est identique à( )II ( )I
Ré i d li i197
( )i iiR Z Q Q= −• Réaction de liaison :
6. 6. Résolution du système linéaireRésolution du système linéaire
• Méthode directe (Gausse)
[ ]{ } { }[ ]{ } { }
+
K Q F
k Q k Q k Q k Q F
=
+ + + =⎧ 11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
... + ... +
n n
n n
k Q k Q k Q k Q Fk Q k Q k Q k Q Fk Q k Q k Q k Q F
+ + + =
+ + + =⎧⎪⎪⎪⎪ 31 1 32 2 33 3 3 3... +. . . . .. .
n nk Q k Q k Q k Q F+ + + =
. . .
⎪⎪⎨⎪⎪. .
1 1 2 2 3 3
. . .. . . . . ... +n n n nn n nk Q k Q k Q k Q F
⎪⎪ + + + =⎪⎩
198
⎪⎩
6. 6. Résolution du système linéaireRésolution du système linéaire1⎧ ( )1 1 12 2 13 3 111
1 ... n nQ F k Q k Q k Qk
= − − − −⎧⎪⎪⎪ (1) (1) (1) (1)
22 2 23 3 2 2(1) (1) (1) (1)
32 2 33 3 3 3
... +
... +n n
n n
k Q k Q k Q F
k Q k Q k Q F
+ + =
+ + =
⎪⎪⎨⎪. . . . .. . . . .. . . . .⎪⎪⎪⎪ (1) (1) (1) (1)
2 2 3 3
( 1) ( 1)
... +n n nn n n
s s
k Q k Q k Q F
k k− −
⎪ + + =⎩
⎧ ( 1) ( 1)( ) ( 1)
( 1)
( )Avec
s sis sjs s
ij ij sss
k kk k
k−
−= −
( )
⎧⎪⎪⎨
199
( 1)( ) ( 1)
siss s
i i
FF F
−−= −
( 1)
( 1)
ssj
sss
FF
−
−
⎨⎪⎪⎩
6. 6. Résolution du système linéaireRésolution du système linéaire
• Méthode directe (Gausse)• Le système formé de ces équations est de la formeLe système formé de ces équations est de la forme
11 1 12 2 13 3 1 1 ... + n nk Q k Q k Q k Q F+ + + =⎧⎪ (1) (1) (1) (1)
22 2 23 3 2 2
(2) (2) (2)
... +
+n nk Q k Q k Q F
k Q k Q F
+ + =
+ =
⎪⎪⎪⎪ 33 3 3 3 ... +
n nk Q k Q F+ = . . . .. .
⎪⎨⎪⎪ . .
nk ( 1) ( 1)n nn n nQ F− −
⎪⎪ =⎪⎩
200
6. 6. Résolution du système linéaireRésolution du système linéaire
• Méthode directe (Cholesky)
[ ]{ } { }K Q F[ ]{ } { }K Q F=
[ ] [ ][ ] K L M=
[ ][ ]
où : triangulaire inférieure
: triangulaire supérieure
L
M[ ][ ] [ ] [ ]
: triangulaire supérieure
Comme est symétrique : t
M
K L M=
[ ] [ ] [ ][ ] [ ]{ } { }
t
t
K M M
M M Q F
=
201
[ ] [ ]{ } { }M M Q F=
6. 6. Résolution du système linéaireRésolution du système linéaireMéth d di t (Ch l k )• Méthode directe (Cholesky)
[ ]{ } { }Posons M Q Y=
[ ] { } { } tM Y F⇒ =• est triangulaire inférieure si les éléments de[ ]tM est triangulaire inférieure, si les éléments de
sont mij on a alors :[ ]M
[ ]M
F⎧ 11 1 1
12 1 22 2 2
m y Fm y m y F
=⎧⎪ + =⎪⎪ 13 1 23 2 33 3 3
..
m y m y m y F⎪ + + =⎪⎨⎪⎪
2021 1 2 2 3 3 4 4
.. ... + n n n n nn n nm y m y m y m y m y F
⎪⎪ + + + + =⎪⎩
6. 6. Résolution du système linéaireRésolution du système linéaire
• Méthode directe (Cholesky)
11 11
1 j
m kk
=
11
11
1
jj
s i
mm
= −
=
1
1
s i
ii ii si sis
m k m m= −
=
= − ∑1
1
1 s i
ij ij si sjsii
m k m mm
= −
=
⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦∑
203
7. 7. Traitement de résultatsTraitement de résultats
• Les déplacements en axe globale { }QLes déplacements en axe globale { }Q
• Les réactions de liaison { }n
R k Q=∑• Les réactions de liaison { }1
i ij jj
R k Q=
= ∑
• Les déplacements en a e locale { } [ ]{ }R Q• Les déplacements en axe locale { } [ ]{ }eq R Q=
{ } [ ]{ }• Les efforts normaux { } [ ]{ }e e ef K q=
204