Aplicaciones de las ecuaciones de equilibrio de un cuerpo rígido en una antena de radio

Universidad Católica Ingeniería Civil “Santo Toribio de Mogrovejo” Ambiental

Estática 1

“APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE EQUILIBRIO DE UN CUERPO

RÍGIDO EN UNA ANTENA DE RADIO”

AUTORES:

Córdova Sánchez, Carlos Ernesto

Espejo Urbina, Joseline Del Rosario

Martínez Sáenz. Kevin Gerardo

Morales Galoc, Miguel Angel

Rojas Oblitas, Edú Jarthur

ASIGNATURA

Estática

DOCENTE:

Ing. Luis Alberto Ballena Rentería

2011 – II

CHICLAYO - PERÚ


Estática 2

APELLIDOS Y NOMBRES DE LAS AUTORES

Córdova Sánchez, Carlos Ernesto

Espejo Urbina, Joseline Del Rosario

Martínez Sáenz. Kevin Gerardo

Morales Galoc, Miguel Angel

Rojas Oblitas, Edú Jarthur

DOCENTE ASESOR:

Ing. Luis Alberto Ballena Rentería

TÍTULO

“Aplicaciones de las ecuaciones de equilibrio de un

cuerpo rígido en una antena de radio”

FECHA DE ENTREGA

01 de Diciembre del 2011


Estática 3

DEDICATORIA

A Dios por ser PADRE SUPREMO

de nuestra existencia, y principal

artífice de nuestros objetivos y fin

común.

A las futuras generaciones que con

espíritu investigador se motiven a seguir

nuestro ejemplo.


Estática 4

AGRADECIMIENTO

A la Universidad Católica Santo Toribio

de Mogrovejo por inculcarnos el amor al

estudio y por la oportunidad de

compartir el fruto de nuestro trabajo con

personas que valoran el esfuerzo que

requiere un trabajo de este tipo.

A nuestro asesor por apoyarnos y

guiarnos decididamente en el camino del

amor a la investigación, por ser

colaborador de nuestro aprendizaje.


Estática 5

ÍNDICE

Pag.

g.

PORTADA…………………………………………………………………………………….…... 1

CONTRAPORTADA………………………………………………………………………..……. 2

DEDICATORIA……………………………………………………………………………........... 3

AGRADEDICIMIENTO…………………………………………………………………..…….. 4

INDICE……………………………………………………………………………………………

…..

5

INTRODUCCIÓN………………………………………………………………………………

………….

6

RESUMEN………………………………………………………………………………………. 8

CAPÍTULO I: PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN…………………………………………..

9

CAPÍTULO II: DESARROLLO DEL TEMA………………………………………………….

11

2.1. EQUILIBRIO EN DOS DIMENSIONES…………………………………………..

12

2.1.1. DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE ……………………………………….

12

2.1.2. ECUACIONES ESCALARES DE EQUILIBRIO………………………….

18

2.2. EQUILIBRIO EN TRES DIMENSIONES………………………………….............

18

2.2.1. DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE………………………………………….

19

2.2.2. ECUACIONES DE EQUILIBRIO…………………………………………..

22

CAPITULO III: PROBLEMA DE APLICACIÓN: EQUILIBRIO ESTATICO EN UNA

ANTENA DE RADIO…………………………………………………………………………….

24

3.1. GENERALIDADES…………………………………………………………………...

25

3.2.1. Ubicación……………………………………………………………………...

25

3.2.2. Vista satelital…………………………………………………………...............

25

3.2. Fundamento y modelamiento físico de la estructura………………………………….

26

3.2.1. Identificación y descripción de los elementos estáticos que existen en la

infraestructura………………………………………………………………..

26

3.2.2. Idealización del sistema y de la distribución de fuerzas en el espacio................ 27

3.2.3. Diagrama de cuerpo libre de la estructura……………………………………

30

CONCLUSIONES…………………………………………………………………………………

41

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS…………………………………………………………….

42

ANEXOS…………………………………………………………………………………………..

43


Estática 6

INTRODUCCIÓN

El presente trabajo de investigación tiene por título: “Aplicaciones de las ecuaciones de

equilibrio de un cuerpo rígido en una antena de radio” y se pretende dar a conocer y explicar

cualquier problema de forma sencilla y lógica usando los principios básicos de la Mecánica

Vectorial. De esta manera se planteó la siguiente interrogante:

¿Cómo aplicar los conceptos de equilibrio de un cuerpo rígido en una antena de radio?

El siguiente informe de investigación se ha dividido en cinco capítulos que serán el sustento de

nuestra investigación guiados por los objetivos a desarrollar, estos capítulos son:

En el capítulo I, se refiere al problema de investigación el cual contiene aspectos referidos a

la formulación, planteamiento e importancia del problema a investigar.

En el capítulo II, tratará acerca de la teoría de cuerpos rígidos, soportes en dos

dimensiones y soportes tridimensionales, las ecuaciones de equilibrio, etc.

En el capítulo III, llamado “ejercicio de aplicación”, describe la ubicación de la antena

estudiada, y el desarrollo del problema planteado.

En el capítulo IV, describe las conclusiones a las cuales se ha llegado después de un

exhaustivo análisis de estudio.

Por último en el capítulo V, detalla todo el material bibliográfico empleado o consultado,

en este trabajo de investigación.

El siguiente trabajo de investigación tiene por objetivo general:

Analizar cualquier problema de forma sencilla y lógica usando los principios básicos de la

Mecánica Vectorial.

Asimismo se trabajará los siguientes objetivos específicos:

Analizar el efecto de las fuerzas aplicadas sobre un sólido rígido y aprender a sustituir un

sistema de fuerzas por un sistema equivalente más simple.

Utilizar diagramas de cuerpo libre para resolver problemas de equilibrio y expresar la

equivalencia entre los sistemas de fuerzas o entre los sistemas vectoriales.

Determinar las fuerzas desconocidas que están aplicadas sobre el cuerpo rígido o

reacciones desconocidas sobre éste por sus puntos de apoyo.

Este trabajo de investigación es una contribución a la ingeniería, porque nos será útil para

cursos posteriores y para la práctica.


Estática 7

RESUMEN

Para el equilibrio de un cuerpo rígido en una antena de radio, la mejor manera de empezar el

análisis es trazando el diagrama de cuerpo libre del cuerpo, que es un croquis del contorno del

cuerpo, teniendo en cuenta las fuerzas ejercidas (externas e internas) en dicho cuerpo, las

reacciones y momentos que generan cada tipo de soporte (bidimensionales y tridimensionales).

Para poder encontrar el valor de las fuerzas desconocidas se necesitarán aplicar estas

ecuaciones de equilibrio:

∑Fx=0 ∑Mx=0

∑Fy=0 ∑My=0

∑Fz=0 ∑Mz=0


Estática 8

CAPÍTULO I


Estática 9

I. PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN

1.1. FORMULACIÓN

¿Cómo aplicar los conceptos de equilibrio de un cuerpo rígido en una antena de radio?

1.2. JUSTIFICACIÓN E IMPORTANCIA

La Estática es un área fundamental en la Ingeniería; el curso de Estática se basa en los

conceptos mecánicos de la Física sus conceptos y métodos son útiles para cursos

posteriores y para la Ingeniería en la práctica. Es por eso, que con el desarrollo del

presente trabajo permitirá ampliar nuestros conocimientos en el campo de la Estática,

ya que comprobaremos la estabilidad que puede tener un cuerpo rígido en equilibrio y

su aplicación en la vida diaria: en este caso antenas. Analizando los conceptos previos

antes conocidos como: diagrama de cuerpo libre, fuerzas (tensiones en cables),

momento, reacciones, clases de soportes, etc.

1.3. OBJETIVOS

13.1. General: Analizar cualquier problema de forma sencilla y lógica

usando los principios básicos de la Mecánica Vectorial.

13.2. Específicos:

Analizar el efecto de las fuerzas aplicadas sobre un sólido rígido y aprender

a sustituir un sistema de fuerzas por un sistema equivalente más simple.

Utilizar diagramas de cuerpo libre para resolver problemas de equilibrio y

expresar la equivalencia entre los sistemas de fuerzas o entre los sistemas

vectoriales.

Determinar las fuerzas desconocidas que están aplicadas sobre el cuerpo

rígido o reacciones desconocidas sobre éste por sus puntos de apoyo.


Estática 10

CAPÍTULO II


Estática 11

II. DESARROLLO DEL TEMA

La estática es el análisis de cuerpos en equilibrio, incluidos los operadores robóticos, los

puentes, las presas y los edificios. Ahora que ya hemos aprendido a calcular momentos,

podemos enfrentarnos a problemas de equilibrio más interesantes.

En este tema a tratar estableceremos las ecuaciones de equilibrio y describiremos modelos

sencillos de los diversos tipos de soportes utilizados en ingeniería. Luego mostramos como

usar las ecuaciones de equilibrio para obtener información respecto a los sistemas de fuerzas

y momentos que actúan sobre los cuerpos

2.1. EQUILIBRIO EN DOS DIMENSIONES

2.1.1. DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

La mejor manera de tomar en cuenta las fuerzas es trazando el diagrama de cuerpo

libre del cuerpo. Este diagrama es un croquis del contorno del cuerpo que lo

representa aislado o “libre” de su entorno, eso es, un “cuerpo libre”. Sobre este

croquis, es necesario mostrar todas las fuerzas y los momentos de par que en el

entorno ejerce sobre el cuerpo de manera que estos efectos puedan ser considerados

cuando se apliquen la ecuación de equilibrio.

2.1.1.1. Reacciones en los puntos de apoyos y conexiones de una estructura

bidimensional (soporte)

Muchas aplicaciones en ingeniería implican sistemas de fuerzas y

momentos. Analizaremos soportes y las reacciones que existen en cada uno

de los tipos de estas conexiones bidimensionales.

Soportes:

Estando de pie o sentado en una silla, el piso nos soporta. Las fuerzas y

pares ejercidos sobre un cuerpo por sus soportes se denominan reacciones.

Algunos tipos muy comunes de soportes se representan con modelos

estilizados llamados convenciones de soporte

Soporte de pasador: Tenemos un soporte de pasador; un soporte al cual está

unido un cuerpo con un pasador liso que pasa por el soporte y el cuerpo.

Para entender que reacciones pueden generar un soporte de pasador;

imaginémonos sosteniendo una barra unida a un soporte de pasador. Si

tratamos de mover la barra sin hacerla girar (es decir, trasladar la barra), el

soporte ejerce una fuerza reactiva que lo impide. Sin embargo, si se puede


Estática 12

hacer girar la barra alrededor del eje del pasador. El soporte no puede

generar un par respecto al eje del pasador, pero si puede ejercer una fuerza

sobre un cuerpo en cualquier dirección, lo que comúnmente se expresa

representando la fuerza en términos de sus componentes.

Soporte de rodillo: el soporte de rodillo es un soporte de pasador montado

sobre ruedas. Como se puede mover con libertad paralela a la superficie

sobre la que rueda, no puede generar una fuerza paralela a la superficie sino

solo una fuerza normal (perpendicular).

Soporte de empotramiento: El Soporte de empotramiento, o soporte fijo,

presenta el objeto soportado literalmente empotrado en la pared. Un

empotramiento puede generar 2 componentes de fuerza y un par.

Las reacciones ejercidas sobre una estructura bidimensional pueden ser

divididas entre grupos que corresponden a tres tipos de apoyos o

conexiones:

- Reacciones equivalentes a una fuerza con una línea de acción conocida. Los

apoyos y las conexiones que originan reacciones de este tipo incluyen

rodillos, balancines, superficies sin fricción, eslabones y cables cortos,

collarines sobre barras sin fricción y pernos sin fricción en ranuras lisas.


Estática 13

Cada uno de estos apoyos y conexiones pueden impedir el movimiento solo

en una dirección.

- Reacciones equivalentes a una fuerza de magnitud y dirección

desconocida. Los apoyos y las conexiones que originan reacciones de este

tipo incluyen pernos sin fricción en orificios ajustados, articulaciones o

bisagras y superficies rugosas. Estos pueden impedir la traslación del

cuerpo rígido en todas las direcciones pero no pueden impedir la rotación

del mismo con respecto a la conexión. Las reacciones de este grupo

involucran dos incógnitas que usualmente se representan por sus

componentes x y y. En este caso de una superficie rugosa la componente

perpendicular a la superficie debe dirigirse alejándose de ella.

- Reacciones equivalentes a una fuerza y un par. Estas reacciones se

originan por apoyos fijos, los cuales se oponen a cualquier movimiento del

cuerpo y, por tanto, lo restringen por completo. Los soportes fijos producen

fuerzas sobre toda la superficie de contacto; sin embargo, estas fuerzas

forman un sistema que se puede reducir a una fuerza y un par. Las

reacciones de este grupo involucran tres incógnitas, las cuales consisten en

las dos componentes de la fuerza y el momento del par.


Estática 14

2.1.1.2. Fuerzas externas e internas

Como un cuerpo rígido es una composición de partículas, pueden actuar el

tanto cargas externas como internas. Sin embargo, es importante advertir

que si se traza el diagrama de cuerpo libre para el cuerpo, las fuerzas

internas no se representan sobre dicho diagrama (como se observa en los

gráficos anteriores), esas fuerzas siempre se presentan en parejas colineales

iguales, pero opuestas, y por lo tanto, sus efectos netos sobre el cuerpo son

cero.


Estática 15

En algunos problemas, un diagrama de cuerpo libre para un “sistema” de

cuerpos conectados puede usarse para el análisis, un ejemplo sería el

diagrama de cuerpo libre de un automóvil (sistema), el cual está compuesto

por muchas partes. Obviamente, las fuerzas de contacto entre sus partes

representan fuerzas internas que no se incluirían en el diagrama de cuerpo

libre del automóvil. Para resumir, las fuerzas internas actúan entre

partículas que están contenidas dentro de los límites del diagrama de cuerpo

libre. Partículas o cuerpos situados fuera de estos límites ejercen fuerzas

externas sobre el sistema y solo estas deben mostrarse el diagrama de

cuerpo libre.

2.1.1.3. Peso y centro de gravedad

Cuando un cuerpo está sometido a un campo gravitatorio, cada una de sus

partículas tiene un peso específico. Para todo el cuerpo, es apropiado

considerar esas fuerzas gravitatorias como representadas por un sistema de

fuerzas paralelas actuando sobre todas las partículas contenidas dentro de

los límites del cuerpo. Tal sistema puede ser reducido a una sola fuerza

resultante actuando a través de un punto específico. Nos referimos a esta

fuerza resultante como al peso W del cuerpo, y a la posición de su punto de

aplicación como al centro de gravedad.

El peso del cuerpo es importante para el análisis, esta fuerza resultante será

indicada en el enunciado del problema. También, cuando el cuerpo es

uniforme o está hecho de material homogéneo, el centro se localizará en el

centro geométrico o centroide del cuerpo; sin embargo, si el cuerpo no es

homogéneo o tiene una forma poco común, entonces la ubicación de su

centro de gravedad será dada.

2.1.1.4. Procedimiento para trazar un Diagrama de Cuerpo Libre.

Para construir un diagrama de cuerpo libre para un cuerpo rígido o grupos

considerados como un solo sistema, pueden llevarse a cado los siguientes

pasos:

- Trazar el contorno. Imagen del cuadro aislado o recortado “libre” de

sus restricciones y conexiones, y delinee (un croquis) su contorno.

- Muestre todas las fuerzas y los momentos de par. Identifique todas las

fuerzas externas y momentos de par que actúan sobre el cuerpo. Las

encontradas generalmente son debidas a:


Estática 16

Cargas aplicadas.

Reacciones que ocurren en los soportes o en puntos de contacto con

otros cuerpos

El peso del cuerpo.

- Identifique cada carga y dé las dimensiones. Las fuerzas y los

momentos de parque son conocidos deben rotularse con sus propias

magnitudes y direcciones. Se usan letras para representar las magnitudes y

los ángulos de dirección de fuerzas y momentos de par que sean

desconocidos. Establezca un sistema coordenado x, y de manera que estas

incógnitas Ax, By, etc., puedan ser identificadas. Indique las dimensiones

del cuerpo necesarias para calcular los momentos de las fuerzas.

Puntos importantes

- Ningún problema de equilibrio debe resolverse sin trazar primero el

diagrama de cuerpo libre.

- Si un soporte previene la traslación de un cuerpo en una dirección

particular, entonces el soporte ejerce un momento de par sobre el cuerpo.

- Las fuerzas internas nunca se muestran sobre el diagrama de cuerpo

libre ya que se presentan en pareja coloniales iguales, pero opuestas, y por

tanto, se cancelan.

- El peso de un cuerpo es una fuerza externa, y su efecto se muestra

como una sola fuerza resultante actuando a través del centro de gravedad G

del cuerpo.

- Los momentos de par pueden ser colocados en cualquier parte sobre el

diagrama de cuerpo libre ya que son vectores libres. Las fuerzas pueden

actuar en cualquier punto a lo largo de sus líneas de acción ya que son

vectores deslizantes.


Estática 17

2.1.2. ECUACIONES ESCALARES DE EQUILIBRIO

Cuando las cargas y reacciones sobre un objeto en equilibrio forman un

sistema bidimensional de fuerzas y momentos, éstos se relacionan

mediante dos ecuaciones de equilibrio escalares:

2.2. EQUILIBRIO EN TRES DIMENSIONES

En equilibrio en dos dimensiones no se puede obtener más de tres ecuaciones

independientes de equilibrio. En el caso de un sistema tridimensional de fuerzas y


Estática 18

momentos, se pueden obtener hasta seis ecuaciones independientes de equilibrio: las

tres componentes de la suma de las fuerzas deben ser nulas y las tres componentes

de la suma de los momentos respecto a cualquier punto deben también ser iguales a

cero. El procedimiento es el mismo que en dos dimensiones, dibujar el diagrama de

cuerpo libre y aplicar las ecuaciones de equilibrio. Solo se requiere familiarizarse

con las convenciones de soporte usadas mayormente en las aplicaciones

tridimensionales.

2.2.1. DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

Las reacciones de una estructura tridimensional abarcan desde una sola

fuerza de dirección conocida, ejercida por una superficie sin fricción, hasta

un sistema de fuerza-par ejercido por un apoyo fijo. Por tanto, en los

problemas que involucran el equilibrio de una estructura tridimensional

pueden existir entre una y seis incógnitas asociadas con la reacción

correspondiente a cada apoyo o conexión. Una forma sencilla de

determinar tanto el tipo de reacción correspondiente a un apoyo o

conexión dado, como el número de incógnitas involucradas, consiste en

establecer cuál de los seis movimientos fundamentales: (traslación en las

direcciones x, y, z y rotación con respecto a los ejes x, y, z) cuales de estos

movimientos están permitidos y cuales están restringidos.

REACCIONES EN LOS PUNTOS DE APOYO Y CONEXIONES DE UNA

ESTRUCTURA TRIDIMENSIONAL

Tipo de conexión Reacción Número de incógnitas

Cable

Una incógnita. La reacción es

una fuerza que actúa

alejándose del miembro en la

dirección conocida del cable.

Soporte superficial liso



perpendicularmente a la

superficie en el punto de

contacto.

Soporte superficial rugoso Tres incógnitas: Tres

reacciones que actúan en los

ejes


Estática 19

Rodillo sobre superficie

lisa

Es un soporte de bola y

cuenca que puede rodar sobre

una superficie de apoyo.



perpendicularmente a la

superficie del punto de

contacto.

Rodillo sobre superficie

rugosa

Dos incógnitas: dos

componentes de fuerza.

Rueda sobre riel

Dos incógnitas: dos

componentes de fuerza.

Soporte de Bola y cuenca

Rótula esférica

El cuerpo soportado esta

unido a una bola encerrada

dentro de una cuenca esférica.

La cuenca permite que la bola

gire libremente (se deprecia la

fricción), pero impide que se

traslade en cualquier

dirección.

Tres incógnitas. Las

reacciones son tres

componentes rectangulares de

fuerza.


Estática 20

Cojinete

(a)

(b)

(e)

El cojinete soporta un árbol

(o eje, o flecha) circular que

puede girar alrededor de su

eje. Puede ser variado de

acuerdo al problema:

a. Dos incógnitas: 2 reacciones cuando el cojinete no genera pares ni una fuerza paralela al eje del árbol. b. Tres incógnitas: 3 reacciones, cuando el cojinete no genera pares. c. Cuatro incógnitas: Las reacciones son dos fuerzas y dos componentes de momento de par que actúan perpendicularmente a la flecha. d. Cinco incógnitas: Las reacciones son dos fuerzas y tres componentes de momento par. e. Cinco incógnitas: Las reacciones son tres fuerzas y dos componentes de momento par.

Pasador simple liso

Cinco incógnitas. Las

reacciones son tres fuerzas y

dos componentes de momento

par.

Articulación simple o

bisagra

(a)

Permite que el cuerpo

soportado gire respecto a una

línea o un eje.

Puede ser variado de acuerdo

al problema:

a. Dos incógnitas. Dos reacciones cuando la bisagra no genera pares ni una fuerza


Estática 21

(b)

(c)

paralela al eje de ella b. Tres incógnitas. Tres reacciones, cuando la bisagra no genera pares. c. Cinco incógnitas. Las reacciones son tres fuerzas y dos componentes de momento par.

Soporte fijo

(empotramiento)

Seis incógnitas: Las

reacciones son tres fuerzas y

tres componentes de momento

par.

2.2.2. ECUACIONES DE EQUILIBRIO

Las condiciones para lograr el equilibrio de un cuerpo rígido sometido a un sistema

de fuerza requieren que la fuerza resultante y el momento de par resultante que

actúan sobre el cuerpo sean igual a cero.

ECUACIONES VECTORIALES DE EQUILIBRIO.

Las dos condiciones para lograr el equilibrio de un cuerpo rígido pueden ser

expresadas matemáticamente en forma vectorial como:

∑M=0 Suma vectorial de todas las fuerzas externas que actúan en el cuerpo

∑F=0 Suma de los momentos de par y los momentos de todas las fuerzas con

respecto a cualquier punto O localizado en o fuera del cuerpo

ECUACIONES ESCALARES DE EQUILIBRIO. Si todas las fuerzas externas y

los momentos de par aplicados son expresados en forma vectorial cartesiana y

sustituidos en las ecuaciones anteriores tenemos:


Estática 22

∑F=∑Fxi + ∑Fyj + ∑Fzk=0

∑M=∑Mxi + ∑Myj + ∑Mzk=0

Como las componentes i, j y k son independientes una de otra las ecuaciones

anteriores serán satisfechas siempre que:

∑Fx=0 ∑Mx=0

∑Fy=0 ∑My=0

∑Fz=0 ∑Mz=0

Estas ecuaciones se pueden resolver para un máximo de seis incógnitas, las cuales,

generalmente, representan reacciones en apoyos o en las conexiones.


Estática 23

CAPÍTULO II


Estática 24

III. EJEMPLO DE APLICACIÓN: EQUILIBRIO ESTÁTICO EN UNA ANTENA DE

RADIO

3.1. GENERALIDADES

3.1.1. Ubicación

Está ubicado en la calle Sargento Lores N° 94 Urbanización Satélite.

3.1.2. Vista satelital

Imagen N° 1

En esta imagen

logramos apreciar la

vista total de la

estructura: antena de

radio, ubicada en el

cuarto piso de la

vivienda familiar.


Estática 25

3.2. FUNDAMENTO Y MODELAMIENTO FÍSICO DE LA ESTRUCTURA

3.2.1. Identificación y descripción de los elementos estáticos que existen en la

infraestructura

Cinco estudiantes de Ingeniería observaron una antena de radio de 12 m. de altura y

peso de 500 kgf, con seis cables de peso despreciable (como se muestra en la figura), y se

preguntaron cómo aplicar las ecuaciones de equilibrio de un cuerpo rígido para poder

Imagen N° 2

Vista satelital de la

vivienda

Latitud:

6°46'15.10"S

Longitud:

79°51'58.19"O

Elevación: 27

m.s.n.m.


Estática 26

calcular las reacciones en la base y las tensiones de los cables (despreciando el momento

en el empotrado).

PRIMER CASO: si las tensiones que llegan al punto E tienen el mismo módulo = P, si

las tensiones que llegan al punto D tienen el mismo módulo = T

SEGUNDO CASO: si las tensiones que llegan al punto E son: TAE = P, TBE=2P,

TCE=3P, si las tensiones que llegan al punto D son: TAD = T, TBD=2T, TCP=3T

TERCER CASO: con las mismas tensiones del segundo caso, con una fuerza externa F

ubicada a 800cm de la base, F= -200 i + 50 j + 300 k


Estática 27

A

B

C

D

E (0,0,1160)

(0,0,560)

Imagen N° 3

Apreciamos una torre

sostenida por seis

cables, con un

empotrado en su

base.


Estática 28

3.2.2. Idealización del sistema y de la distribución de fuerzas en el espacio

PARA EL PRIMER CASO

A

P

T

Imagen N° 4

Fuerzas que actúan

en el punto A de la

estructura.


Estática 29

B

P

T

Imagen N° 5

Fuerzas que actúan

en el punto B de la

estructura.


Estática 30

C

P

T

Imagen N° 6

Fuerzas que actúan

en el punto C de la

estructura.


Estática 31

D

E

P

P

P

T

T

T

Imagen N° 7

Fuerzas que actúan

en los puntos D y E

de la estructura.


Estática 32

PARA EL SEGUNDO CASO

R R y

R z

Imagen N° 8

Reacciones en el

apoyo.


Estática 33

A

P

T

Imagen N° 9

Fuerzas que actúan

en el punto A de la

estructura.


Estática 34

B

2P

2T

Imagen N° 10

Fuerzas que actúan

en el punto B de la

estructura.


Estática 35

C

3P

3T

Imagen N° 11

Fuerzas que actúan

en los puntos D y E

de la estructura.


Estática 36

3.2.3. Diagrama de cuerpo libre de la estructura

R R y

R z

Imagen N° 12

Reacciones en el

apoyo.


Estática 37

PRIMER CASO


Estática 38


Estática 39

A

B

C

D

E (0,0,1160)

(0,0,560)

(296,0,0)

(-218.5, 378.45, 0)

(-218.5, -378.45, 0)

P

T

R y

R x

R z


Estática 40

Las coordenadas de los puntos son:

A (-218.5 , -378.45 , 0)

B (296 , 0 , 0)

C (-218.5 , 378.45 , 0)

D (0 , 0 , 560)

E (0 , 0 , 1160)

Hallando las tensiones en forma vectorial:

⟨

( ) ( ) ( )

√( ) ( ) ( )

⟩

⟨

( ) ( ) ( )

√( ) ( ) ( )

⟩

⟨

( ) ( ) ( )

√( ) ( ) ( )

⟩

⟨

( ) ( ) ( )

√( ) ( ) ( )

⟩

⟨

( ) ( ) ( )

√( ) ( ) ( )

⟩

⟨

( ) ( ) ( )

√( ) ( ) ( )

⟩

Aplicando las ecuaciones de equilibrio:

∑

(1)

∑


Estática 41

∑

(2)

∑

Estos vectores se aplican en el mismo punto, sabiendo que

Producto vectorial sería igual a:



∑


Estática 42

Reemplazando P en (1)

( )

Reemplazando P en (2)

( )

El resultado queda expresado en función de T.


Estática 43

SEGUNDO CASO


Estática 44

A

B

D

E (0,0,1160)

(0,0,560)

(296,0,0)

(-218.5, 378.45, 0)

(-218.5, -378.45, 0)

P

T

R y

R x

R z

3P

2P

3T

2T


Estática 45


A (-218.5 , -378.45 , 0)

B (296 , 0 , 0)

C (-218.5 , 378.45 , 0)

D (0 , 0 , 560)

E (0 , 0 , 1160)


⟨

( ) ( ) ( )

√( ) ( ) ( )

⟩

⟨

( ) ( ) ( )

√( ) ( ) ( )

⟩

⟨

( ) ( ) ( )

√( ) ( ) ( )

⟩

⟨

( ) ( ) ( )

√( ) ( ) ( )

⟩

⟨

( ) ( ) ( )

√( ) ( ) ( )

⟩

⟨

( ) ( ) ( )

√( ) ( ) ( )

⟩


∑

(1)


Estática 46

∑

(2)

∑

(3)

∑


Producto vectorial seria igual a:



∑


Estática 47

∑

(4)

∑

(5)

Reemplazando (4) en (5)

( )

Reemplazando P y T en (1)




Estática 48

TERCER CASO


A (-218.5 , -378.45 , 0)

B (296 , 0 , 0)

C (-218.5 , 378.45 , 0)

D (0 , 0 , 560)

E (0 , 0 , 1160)


⟨

( ) ( ) ( )

√( ) ( ) ( )

⟩

⟨

( ) ( ) ( )

√( ) ( ) ( )

⟩

⟨

( ) ( ) ( )

√( ) ( ) ( )

⟩

⟨

( ) ( ) ( )

√( ) ( ) ( )

⟩

⟨

( ) ( ) ( )

√( ) ( ) ( )

⟩

⟨

( ) ( ) ( )

√( ) ( ) ( )

⟩


∑


Estática 49

(1)

∑

(2)

∑

(3)

∑






Estática 50

Para F, sabiendo que

∑

∑

∑





Estática 51

IV. CONCLUSIONES

Después de planificado, ejecutado nuestro trabajo de investigación hemos llegado a las

siguientes conclusiones:

Podemos utilizar las ecuaciones de equilibrio, siempre y cuando, sea un cuerpo

estáticamente determinado, es decir, que el número de incógnitas no excede de seis.

Esta estructura es hiperestática, porque si consideramos todas las fuerzas sobrepasan

las ecuaciones de equilibrio, es por eso, que tomamos valores iguales para cada tensión

que llegan a un mismo punto, en el segundo caso en progresión aritmética, y en el

tercer caso con una fuerza externa.

En los dos primeros casos, las tensiones van a ser cero porque no hay una fuerza

externa que actué en la torre, como por ejemplo el viento, fuerzas naturales, etc. Las

tensiones máximas en los miembros y las reacciones de la estructura se deben

determinar considerando las direcciones de viento que provoquen las máximas fuerzas

de viento.

Y en el tercer caso, con una fuerza externa que actúa en la torre logramos obtener un

valor numérico distinto de cero para las tensiones y reacciones “x” y “y” en el soporte,

ya que la fuerza externa hace actuar a las tensiones.


Estática 52

V. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

- MECÁNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS: ESTÁTICA Ferdinand P. Beer,

E. Russell Johnston Jr, Elliot R. Eisenberg Ed. Mc Graw Hill, México, 2007,

Octava Edición

- MECÁNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS: ESTÁTICA Russel C. Hibbeler

PRENTICE–HALL INC, México, 2004, Décima Edición

- ESTÁTICA, MECÁNICA PARA INGENIERÍA Bedford, Anthony y Fowler,

Wallace L. Addison Wesley, edición en español, México.


Estática 53

VI. ANEXOS

¿Cómo aplicar los conceptos de equilibrio de un cuerpo rígido en una

antena de radio?OBJETIVO GENERAL•Analizar cualquier problema de forma sencilla y lógica usando los principios básicos de la Mecánica Vectorial.

OBJETIVOS ESPECIFICOS:

•Analizar el efecto de las fuerzas aplicadas sobre un sólido rígido y aprender a sustituir un sistema de fuerzas por un sistema equivalente más simple.

•Utilizar diagramas de cuerpo libre para resolver problemas de equilibrio y expresar la equivalencia entre los sistemas de fuerzas o entre los sistemas vectoriales.

•Determinar las fuerzas desconocidas que están aplicadas sobre el cuerpo rígido o reacciones desconocidas sobre éste por sus puntos de apoyo.

El soporte no puede generar un par respecto al eje del pasador

Es un soporte de pasador montado sobre ruedas, no puede generar una fuerza paralela a la superficie

El soporte de empotramiento genera 2 componentes de fuerza y un par.

BIDIMENSIONALES

La reacción actúa alejándose del miembro en la dirección conocida del cable.

Tres reacciones que actúan en los ejes

TRIDIMENSIONAL

∑Fx=0 ∑Mx=0

∑Fy=0 ∑My=0

∑Fz=0 ∑Mz=0

Estas ecuaciones se pueden resolver para un máximo de 6 incógnitas, las cuales, generalmente, representan reacciones en apoyos o en las

conexiones.

Equilibrio estático de una antena de radio

Vista satelital de la vivienda

Latitud: 6 46'15.10"S

Longitud: 79 51'58.19"O

Elevación: 27 m.

Fuerzas que actúan

en el punto A de la

estructura.

Fuerzas que actúan en

el punto B de la

estructura.


el punto C de la

estructura.

Idealización del sistema y de la distribución de fuerzas en el espacio


los puntos D y E de la

estructura.

Reacciones en el apoyo.


Estática 54

Cinco estudiantes de Ingeniería observaron una antena de radio de 12 m. de altura y pesode 500 kgf, con seis cables de peso despreciable (como se muestra en la figura), y sepreguntaron cómo aplicar las ecuaciones de equilibrio de un cuerpo rígido para podercalcular las reacciones en la base y las tensiones de los cables (despreciando el momento enel empotrado).

PRIMER CASO: si las tensiones que llegan al punto E tienen el mismo módulo = P, si lastensiones que llegan al punto D tienen el mismo módulo = T

SEGUNDO CASO: si las tensiones que llegan al punto E son: TAE = P, TBE=2P, TCE=3P, si lastensiones que llegan al punto D son: TAD = T, TBD=2T, TCP=3T

TERCER CASO: con las mismas tensiones del segundo caso, con una fuerza externa F ubicadaa 800cm de la base, F= -200 i + 50 j + 300 k









Para F, sabiendo que

Después de planificado, ejecutado nuestro trabajo de investigación hemos llegado a las siguientes conclusiones:

Podemos utilizar las ecuaciones de equilibrio, siempre y cuando, sea un cuerpo estáticamente determinado, es decir, que el número de incógnitas no excede de 6.

Esta estructura es hiperestática, porque si consideramos todas las fuerzas sobrepasan las ecuaciones de equilibrio, es por eso, que tomamos valores iguales para cada tensión que llegan a un mismo punto, en el segundo caso consideramos una de ellas la mitad de su modulo; y en el tercer caso, en progresión aritmética.

Las tensiones van a ser cero porque no hay una fuerza externa que actué en la torre, como por ejemplo el viento, fuerzas naturales, etc. Las tensiones máximas en los miembros y las reacciones de la estructura se deben determinar considerando las direcciones de viento que provoquen las máximas fuerzas de viento y momentos torsores.

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Aplicaciones de las ecuaciones de equilibrio de un cuerpo rígido en una antena de radio