Controllability and observability on complex networks

Teorıa de ControlControlabilidad de Redes ComplejasObservabilidad de Redes Complejas

Algoritmos de controlabilidad/observabilidadValidacion de los resultados

Controlabilidad y observabilidad en redes

Luis Ubeda, Iker Barriales y Pedro J. Zufiria

Mundo interconectado

Ubeda - Barriales - Zufiria Clase de doctorado



Contenido de la presentacion

1 Teorıa de Control

2 Controlabilidad de Redes ComplejasControlabilidad estructuralJustificacion matematica del matchingAlgunos resultados de controlabilidad

3 Observabilidad de Redes ComplejasDualidad observabilidad-controlabilidadJustificacion matematica

4 Algoritmos de controlabilidad/observabilidadNumero de controladores/observadoresControladores/observadores dedicados

5 Validacion de los resultadosSimulaciones sobre la red de Twitter












Sistema dinamico

u(t)Sistemadinamico

y(t)

x = f (t, x , u)

y = g(t, x , u)

Dada u(t)Ta ecuaciones diferenciales

=⇒ y(t)




Sistema dinamico

u(t)Sistemadinamico

y(t)

x = f (t, x , u)

y = g(t, x , u)


=⇒ y(t)




Sistema dinamico

u(t)Sistemadinamico

y(t)

x = f (t, x , u)

y = g(t, x , u)


=⇒ y(t)




El problema de control

Determinar u(t) para que el sistema satisfaga ciertas condiciones:

y(t) dada

funcional asociado a x(t) y u(t)

criterios ingenieriles (errores y perturbaciones en modelo)

etc.

Matematicamente es un problema inversoProblema de la existencia de solucion u(t)(Vinculado al concepto de controlabilidad)




El problema de control

Determinar u(t) para que el sistema satisfaga ciertas condiciones:

y(t) dada

funcional asociado a x(t) y u(t)

criterios ingenieriles (errores y perturbaciones en modelo)

etc.

Matematicamente es un problema inversoProblema de la existencia de solucion u(t)(Vinculado al concepto de controlabilidad)




Ejemplo

Problema de control optimo:

minu(t)∈U

Φ(x(t0), t0, x(tf ), tf ) +

∫ tf

t0

L(x(t), u(t), t)dt

sujeto a

x = f (t, x , u)

x(t0) = x0




Control en ingenierıa

Incertidumbre y perturbaciones en modelo

Problemas habituales

Problema de regulacion

Diseno de control robusto: realimentacion

(relacionado con estabilidad del sistema)




Control en ingenierıa

Incertidumbre y perturbaciones en modelo

Problemas habituales

Problema de regulacion

Diseno de control robusto: realimentacion

(relacionado con estabilidad del sistema)




Sistema dinamico

u(t)Sistemadinamico

y(t)




Sistema dinamico bajo control

u(t)Sistemadinamico

y(t)Controlador

yr (t)

x = f (t, x , u)

y = g(t, x , u)

Diseno

u = c(y , yr )




Sistema dinamico bajo control

u(t)Sistemadinamico

y(t)Controlador

yr (t)

x = f (t, x , u)

y = g(t, x , u)

Diseno

u = c(y , yr )




Controlabilidad y observabilidad: sensores y actuadores

Habitualmente, actuadores y sensores predefinidos determinanf (t, x , u) y g(t, x , u)

Problema de controlabilidad: modificar x(t) (mediante u(t))Problema de observabilidad: estimar x(t) (midiendo y(t))

Dependen de interrelacion entre componentes de x(t), u(t),y(t) ⇒ aspectos estructurales: modelo de red (dualidad)

Problemas mas abiertos: podemos elegir numero y ubicacion desensores y actuadoresEjemplo de diseno: mınimo numero de sensores/actuadoresnecesario para garantizar controlabilidad/observabilidad






Problema de controlabilidad: modificar x(t) (mediante u(t))

Problema de observabilidad: estimar x(t) (midiendo y(t))






























Controlabilidad estructuralJustificacion matematica del matchingAlgunos resultados de controlabilidad










Controlabilidad en sentido clasico

Definicion

Un sistema se dice controlable si podemos llevarlo a cualquierestado desde cualquier estado en tiempo finito.

Sistemas LTI:

dx

dt= Ax + Bu , x ∈ RN , u ∈ RM

Matriz de controlabilidad (Criterio de Kalman)

C(A,B) =(

B | AB |A2B ... | AN−1B)

El sistema es controlable si y solo si

rango (C) = N





Controlabilidad estructural

No siempre es realista conocer con precision los coeficientesde las matrices.

En ocasiones, una perturbacion de algunos coeficientescambia el rango de la matriz de Controlabilidad.

Nuevo concepto: Controlabilidad EstructuralDiagnostico de controlabilidad basado en la estructura delsistema.Abstraccion respecto a los valores concretos de los parametros.Introduccion de las matrices estructuradas.





Ejemplo I: Sistema Controlable

1

2 3

u

β1

α21 α31

α33

dx

dt=

0 0 0α21 0 0α31 0 α33

x +

β1

00

u1

C =(B AB A2B

)= β1

1 0 00 α21 00 α31 α33α31

El sistema es controlable

Para cualquier combinacion posible de parametros, el rango C = 3





Ejemplo II: Sistema No Controlable

1

2 3

u

β1

α21 α31

dx

dt=

0 0 0α21 0 0α31 0 0

x +

β1

00

u1

C =(B AB A2B

)= β1

1 0 00 α21 00 α31 0

El sistema NO es controlable

Para cualquier combinacion posible de parametros, elrango C = 2 < 3





Ejemplo III: Sistema Estructuralmente Controlable

1

2 3

u

β1

α21 α31

α23

α32

dx

dt=

0 0 0α21 0 α23

α31 α32 0

x +

β1

00

u1

C =(B AB A2B

)= β1

1 0 00 α21 α23α31

0 α31 α32α21

El sistema es estructuralmente controlable

rango C = 3 excepto para el caso α221α32 = α2

31α23.





Condiciones de controlabilidad estructural

Una red es estructuralmente controlable si y solo si:

No presenta vertices inaccesibles desde las entradas.

No presenta dilataciones.

1

2 3

u 1

2 3

u

Accesibilidad.

∃v ∈ V tq ∀u ∈ U, d(u, v) =∞

Dilatacion.

∃S ⊆ V tq |T (S)| ≤ |S |





Estructura controlable: el cactus

1

2

3

4

5

6

7

u

Estructura compuesta por tallos y yemas.

Garantiza que no hay vertices inaccesiblesni dilataciones.

Toda red que extiende un cactus esestructuralmente controlable.





Numero mınimo de controladores

Dada la matrix A (red), determinar B con el menor numero decolumnas para que el sistema sea controlable.

Teorema de entradas mınimas

ND = max {N − |M∗| , 1}

Metodologıa propuesta:

Encontrar M, el matching maximo de la red.

Identificar los vertices no apuntados por las aristas de M.





Numero mınimo de controladores.

1

2 3

u1

u2

1

2 3

u1

El numero de controladores esdos.

Es controlable con una solaentrada.





Matching ≡ ausencia de dilatacion

Teorema de Hall

Un grafo bipartito G := G (X ,Y ) tiene un matching que cubretodos los vertices de X si y solo si |N(S)| ≥ |S |, ∀S ⊆ X .

Corolario

Un grafo bipartito G := G (X ,Y ) tiene un matching perfecto si ysolo si |X | = |Y | y |N(S)| ≥ |S |, ∀S ⊆ X .

Podemos reescribir un grafo dirigido como un grafo bipartito conX = Y = V . El matching perfecto garantiza la ausencia dedilataciones.





El matching no garantiza accesibilidad

1

2

3

4

5

6

7

u

Los vertices del ciclo estan cubiertos por el matching perfecto perono son accesibles desde la entrada.





El matching no garantiza accesibilidad

1

2

3

4

5

6

7

u1 u2

Es necesario recablear para garantizar la accesibilidad, aunque ND

continua inalterado.

Propuesta de validacion de accesibilidad en el algoritmo debusqueda de matching.





Caso patologico.

Solucion deseada

1

2

3

4

u

Solucion proporcionada

1

2

3

4

u

Maximizar el numero de aristas no necesariamente conduce a lasolucion mas simple.





Importancia en control frente al grado

Sistematicamente en las simulaciones, los vertices identificadoscomo controladores tienen grado medio o bajo.





La distribucion de centralidad de control

Si aleatorizamos los enlaces de la red manteniendo la distribucionde grado, la distribucion de centralidad de control no varıa.





La distribucion de grado determina ND

Al aleatorizar los enlaces, se conserva ND si respetamos ladistribucion de grado de la red. No importan los enlaces concretos.





Modelo analıtico

En redes libres de escala:

nD =ND

N= e

− 12

(1− 1

γ−1

)k

En redes Erdos Renyi:

nD =ND

N= e−

k2

Observacion: Cuantas mas aristas haya en la red (mayor k),menor numero de controladores necesarios. Eliminando aristas, laestructural controlable minimal es el cactus.





La distribucion de grado determina ND

Al aleatorizar los enlaces, se conserva ND si respetamos ladistribucion de grado de la red. No importan los enlaces concretos.




Dualidad observabilidad-controlabilidadJustificacion matematica










El problema dual: observabilidad

Definicion:

Un sistema se dice observable si podemos inferir su estado apartir de sus salidas en tiempo finito.

Dualidad

El problema de observabilidad es dual al de controlabilidad. Sepuede resolver estudiando la controlabilidad del problemarepresentado por AT .

A partir de las simulaciones, hemos observado que ND = NO .





Justificacion ND = NO

Ideas intuitivas:

La matriz AT tiene la misma estructura agregada que A.

La descomposicion de AT en subgrafos hamiltonianos es lamisma que la de A.

Nuestra aproximacion

El problema de completitud de rango C se reduce a la derangog(AB).

ND sera el numero mınimo de vectores columna de B que logaranticen.

Podemos anadir valores no nulos a cada vector de B paragarantizar accesibilidad, pero no afecta al rango.

ND = N − rangog A = N − rangog AT = NO ⇒ ND = NO




Numero de controladores/observadoresControladores/observadores dedicados










Matching maximo. (Liu, Slotine, Barabasi)

u1 u1

Ambas redes tienen un solo controlador






u1 u1







u1

u1







u1 u1






Algoritmo 1

WorldComp Las Vegas 2013

A combined algorithm for analyzing structural controllability andobservability of complex networks

La idea tras el algoritmo

Encontrar de manera eficiente una solucion de control estudiandoinaccesibilidades desde los controladores.

Calcular el Matching Maximo (M∗) y situar los controladoresen los nodos sin enlace entrante del matching.

Buscar los ciclos del matching (origen de inaccesibilidades).

Incluir entradas dedicadas adicionales a los ciclos del matchingque no sean accesibles desde los controladores.





Algoritmo 1

u1 u2





Algoritmo 1

u1 u2





Algoritmo 1

u1

u2





Algoritmo 1

u1

u2





Algoritmo 1

u1 u2





Division en componentes fuertemente conexas





Algoritmo 2.

Net Works. El Escorial 2013

Controllability and Observability in Complex Networks

La idea tras el algoritmo

Encontrar de manera eficiente una solucion que haga el sistemaestructuralmente controlable teniendo en cuenta desde el principiolos potenciales problemas de accesibilidad.

Encontrar las Sntcc

Calcular el Matching Maximo (M∗)

Incluir entradas dedicadas adicionales a aquellas Sntcc que no

hayan recibido una entrada con el calculo de M∗





0.- La red





1.- Encontrar las Sntcc

S1ntcc S2ntcc





2.- Encontrar un Matching Maximo M∗





3.- Incluir los controladores dados por M∗

u1

u2





(!) Hay vertices inaccesibles desde los controladores

u1

u2





4.- Incluir entradas dedicadas extra para accesibilidad

u1

u2

u3





Mejora de algoritmo 2

u1 u2 u3






u1 u2 u3






u1

u2 u3






u1

u2 u3






u1 u2 u3






u1 u2 u3






u1 u2 u3

u1 u2






u1 u2 u3

u1 u2






u1 u2 u3 u1

u2






u1 u2 u3 u1 u2





Algoritmo 3.

Mathematical Problems in Engineering. ∼2014

Mathematical Foundations for Efficient Structural Controllabilityand Observability Analysis of Complex Systems




Simulaciones sobre la red de Twitter










Presentacion de los resultados





Red dinamica de Madrid, Febrero 2012

Caracterısticas de la red

119.217 nodos.

933.737 enlaces.

Disponibilidad de metricas de influenciade usuarios.





Red dinamica. Distribucion de grado

Caracterısticas de la red

Distribuciones en ley de potencias.

Influencia del Numero de Dunbar.





Red dinamica. Numero de controladores y observadores

Controladores y observadores

Numero de controladores: 27.129.

Numero de controladores adicionales poraccesibilidad: ∼800.

Numero de observadores: 27.129.

Numero de observadores adicionales poraccesibilidad: ∼1600.





Red dinamica. Distribucion de controladores





Red dinamica. Distribucion de observadores





Red dinamica. Correlacion con metricas habituales




