Curso finitos algor

“Curso de Elemento Finito con el software ALGOR”

M. en I. Alejandro FarahInstituto de Astronomía, UNAMwww.astroscu.unam.mx/~farah

Facultad de Ingeniería, UNAM

www.algor.com



Contenido general:

- La teoría detrás del Método de los Elementos FinitosFenómenos físicosEcuaciones constitutivas

- Solución de problemas por el MEF utilizando ALGOR


Desarrollo histórico:

- Hrenikoff, 1941, solución a problemas elásticos por el Método del Trabajo.

- Courant, 1943, por medio de interpolación polinomial para modelarproblemas de torsión.

- Turner, 1956, obtuvo las matrices de rigidez (armaduras y vigas).

- Clough, 1960, primero en utilizar el término elementos finitos.

- Zienkiewicz y Chung, 1967, publican primer libro sobre EF.

- 1970, se crean las bases formales del método.

- … y se inició toda una revolución.


¿Cómo se hace?

iii) Elección de las funciones que describen el fenómeno físico con unacon un dominio definido y conocido (ecuaciones constitutivas).

vi) Ensamble de las ecuaciones de los elementos (discretización).

viii)Solución del sistema de ecuaciones matriciales.

x) Determinación de los valores aproximados (interpolación).

Fenómeno Físico:


Se denomina fenómeno físico a cualquier suceso naturalobservable y posible de ser medido (elasticidad, el agua hirviendo…)

modelos matemáticos – ecuaciones diferenciales

Método de las Diferencias finitas

Sustituye la ED original por una ecuación en diferencias

Alcanza buenos resultados en problemas bidimensionalescon fronteras paralelas a los ejes coordenados


http://www.mathgym.com.au/history/pythagoras/Activity4.htm

Método de las Diferencias finitasMétodos VariacionalesMétodo de los Residuos Pesados

Característica común: ED continuas y diferenciables infinitamente

Sustituye en la ED original una solución de prueba con ciertoscoeficientes constantes, el problema se resume a encontrarlos

Métodos Variacionales

Solo se puede aplicar a aquellas ecuaciones diferenciales que tienen unprincipio variacional, lo cual es difícil de demostrar.


2

1

´,...),(x

x

dxuuF

Sustituye en la ED original una solución aproximada h(x) yobtiene un error residual R(x)

Método de Colocación por PuntosMétodos de los SubdominiosMétodo de GalerkinMétodo de los Mínimos Cuadrados

Son los más usados (en especial del M. de Galerkin), también conocidoscomo formulación integral del MEF.

Método de los Residuos Pesados


0)()( 2

2

QdxxhdDxR

2

1

0)()(x

xi dxxRxw


Calculando el área de un círculo con triángulos…


A partir de simples vigas, resortes…

Ley de HookeF=K∆x

Definición:

“El MEF es un procedimiento matemáticopor interpolaciones para

resolver problemas físicos gobernadospor ecuaciones diferenciales”


…. Otra vez, cómo se hace:

• Elección de las funciones de aproximación

• Discretización del dominio:

“el dominio real se sustituye por elementos discretos eligiendolos puntos nodales y especificando sus coordenadas”

• Ensamble de las ecuaciones de los elementos

• Solución del sistema de ecuaciones

• Determinación de los valores aproximados


Se distingue porque:

Formulación integral y finalmente genera un sistemade ecuaciones algebraicas lineales

Interpolación de valores de las cantidades desconocidasen los puntos nodales


Independiente del problema físico (ED) que se quiera resolver

No proporciona la función aproximada sino los valores de la funciónen ciertos puntos del dominio (nodos)

Por interpolación matemática determina los valores de la función en losnodos restantes


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