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MECÂNICA - DINÂMICA
Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido:
Força e Aceleração
Cap. 17
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 2
Objetivos
Introduzir os métodos utilizados para calcular o
momento de inércia de massa de um corpo
Desenvolver as equações dinâmicas do movimento
plano para um corpo rígido simétrico
Discutir aplicações destas equações para corpos em
movimento de translação, rotação em torno de um eixo
fixo e movimento plano geral
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 3
17.1 Momento de Inércia
Movimento de translação:
F = m a
Movimento de rotação:
M = I a
onde I é o momento de inércia.
O momento de inércia é uma resistência do corpo à
aceleração angular enquanto que a massa mede a
resistência do corpo à aceleração
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 4
17.1 Momento de Inércia
O momento de inércia é obtido pelo cálculo do segundo
momento de massa em relação a um eixo:
2
m
I r dm r é o braço de momento ou a distância
perpendicular do eixo considerado até o
elemento de massa dm.
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17.1 Momento de Inércia
Para um corpo de densidade variável r, dm = rdV e:
2
V
I r dVr
E para r constante:
2
V
I r dVr
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Exemplo 17.1
Determine o momento de inércia do cilindro mostrado
em relação ao eixo z. Considere a densidade do material
constante.
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Exemplo 17.1 - Solução
Usando o elemento de casca cilíndrica:
hRdrrhI
drhrrdmrI
drhrdmdVdm
drhrdV
R
z
R
m
z
4
0
3
0
22
22
))(2(
))(2(
))(2(
rr
r
rr
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Exemplo 17.1 - Solução
2
0
2
Como a massa do cilindro
1
2
é:
(2 )( )
Assim:
z
R
m
m dm r h dr R h
I mR
r r
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17.1 Momento de Inércia
Teorema dos Eixos Paralelos
2
z GI I md
onde:
IG = momento de inércia em
torno do eixo z’ passando pelo
centro de massa G
m = massa do corpo
d = distância perpendicular
entre os dois eixos
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17.1 Momento de Inércia
Raio de Giração
2 ou I mkI
km
Observe-se a semelhança com a equação do
diferencial do momento de inércia:
dmrdI 2
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17.1 Momento de Inércia
Corpos compostos
Usa-se o Teorema dos Eixos Paralelos
2
z GI I md
Portanto para uma somatória
de corpos:
2
z GI I md
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Exemplo 17.3
Determine o momento de inércia da placa em relação ao
eixo z perpendicular a placa passando pelo ponto O. A
placa possui densidade constante de 8000 kg/m3 e
espessura 10 mm.
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Exemplo 17.3 - Solução
A placa consiste de duas partes, um disco sólido e um
furo:
Portanto para uma somatória de corpos:
2
2
d d dO
f f fO
O d fO O
I I m d
I I m
I I
d
I
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Exemplo 17.3 - Solução
Disco:
2
2 2
2
2
2
8000 (0.25) (0.01) 15.708 kg
0 25 m
1 1(15.71)(0.25) 0.49087
2 2
0.49087 15.708(0.25
1.4726 kg.
)
m
d d d
d
d d d
d
O
d
d O
O
d
m V
d .
I m r
I
I I m
I
d
r
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Exemplo 17.3 - Solução
Furo:
2
2
2
2
2
2
8000 (0.125) (0.01) 3.9270 kg
0 25 m
1 1(3.9270)(0.125) 0.030680
2 2
0.030
0.27612
680 3.9270(0.
k m
2
.
5)
g
f f
f
d
f f
d d d
d O
O
fO
m V
d .
I m
I I d
r
I
m
I
r
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Exemplo 17.3 - Solução
Placa:
2
1.4726 0.27612
1.20 kg.m
O d f O
O
O
O
I
I I I
I
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Objetivos
Introduzir os métodos utilizados para calcular o
momento de inércia de massa de um corpo
Desenvolver as equações dinâmicas do movimento
plano para um corpo rígido simétrico
Discutir aplicações destas equações para corpos em
movimento de translação, rotação em torno de um eixo
fixo e movimento plano geral
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17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano
Nosso estudo será restrito para
corpos rígidos que possuem
simetria em relação a um plano
de referência. Assim todas as
forças (e momentos) atuantes no
corpo poderão ser projetadas
neste plano e o movimento a ser
estudado será planar.
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17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano
Equação do Movimento de Translação:
GmF a
Esta equação define que a soma de todas as forças
atuantes no corpo é igual a massa do corpo vezes a
aceleração do seu centro de massa G.
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17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano
Equação Planar do Movimento de Translação:
x G x
y G y
F m a
F m a
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17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano
Equação do Movimento de Rotação:
iiii m arfrFr
Diagrama cinético da partículaDiagrama de corpo livre da partícula
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16.3 Rotação em Torno de um Eixo Fixo
Movimento do Ponto P
2
2
t
n
P
P P
v ωr
a r
a ω r
ω
a
v ω r v ω r
a α r ω ω r a α r r
Resumo:
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17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano
Equação do Movimento de Rotação:
)( 2rrαarM
arM
ωm
m
PiiP
iiiP
Desenvolvendo o produto vetorial, usando os
componentes cartesianos do momento e aceleração:
2αraxaymMyPxPiiP
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17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano
Equação do Movimento de Rotação
Integrando sobre toda a massa do corpo:
m
yP
m
xP
m
P dmrαaxdmaydmM 2
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17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano
Equação do Movimento de Rotação:
SMP representa somente momentos externos desde que os
momentos internos se anulam.
m
yP
m
xP
m
P dmrαaxdmaydmM 2
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17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano
Equação do Movimento de Rotação:
A primeira integral é a ordenada do centro de massa vezes a
massa
m
yP
m
xP
m
P dmrαaxdmaydmM 2
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 27
17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano
Equação do Movimento de Rotação:
segunda integral é a coordenada do centro de massa vezes a
massa
m
yP
m
xP
m
P dmrαaxdmaydmM 2
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17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano
Equação do Movimento de Rotação:
A terceira integral é o momento de inércia de massa do corpo.
m
yP
m
xP
m
P dmrαaxdmaydmM 2
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17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano
Equação do Movimento de Rotação:
P P P Px yM ym a xm a αI
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17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano
Equação do Movimento de Rotação:
Se o ponto P coincide com o centro de massa G:
G GM αI
ou seja: a soma de todos os momentos
externos atuantes no corpo, calculados
em relação ao centro de massa G é igual
ao produto da aceleração angular do
corpo pelo momento de inércia em
relação a um eixo que passa por G.
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17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano
Equação do Movimento de Rotação escrita em
função do momento de inércia em relação ao centro
de massa G:
P G G Gx yM ym a xm a αI
Diagrama cinéticoDiagrama de corpo livre
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17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano
Equação do Movimento de Rotação escrita de uma
forma geral em função do momento cinético:
P k PM M
P P P Px yM ym a xm a αI
P G G Gx yM ym a xm a αI
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17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano
Resumo:
P k PM M
x G x
y G y
F m a
F m a
G GM αI
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Problema 17.A
2
Uma empilhadeira é constituída de uma estrutura com uma massa
de 800 kg e centro de massa em , conforme mostrado na figura.
Se a aceleração vertical da estrutura é de 4 m/s , determine as
reações horizo
G
ntal e vertical nos pinos e quando a carga de
elevação é de 1250 kg.
A B
0.25 1.00 2.00
1.20
0.30
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Problema 17.A - Solução
0.25 1.00 2.00
1.20
0.30
Diagrama de Corpo Livre
BX
AX
AY
PCPE
g=9.81 m/s2
a=4 m/s2
CG
xCG
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Problema 17.A - Solução
1250 800
1250 1250 9.81
800 8
2050.0 kg
12263 N
7800 9.81
7848.0 12263 2 0
2050 0
7848 12262.50 2050 4
1.5
28.3 kN
48.
0
0
0 N
1.2195 m
28310 N
CG C
C
G
x x x x
y
x y
G
y
G
x
y
y
x
y
m
PC g
PE g
x x
A B A B
A
M
m
PC
PE
x
A
A
F ma
m
A
F
A
a
1.00 1.2195 0
1.50 28310 1.00 1.2195 0 41.9 kNxx xA BA