Distribuciones de Probabilidad

Participantes:Betancourt Lennys CI:14.817.207Brito María CI:18.678.980Coa Belkis CI:21.176.225Guzmán Doris CI:21.041.715Martínez Holman CI:13.748.195Valdez Carlos CI:13.166.157

Facilitador:Carlena Astudillo

VARIABLE ALEATORIA

Es una función que adopta ciertos valores, no se sabe a ciencia cierta que valor va adoptar, la variable cuando se determine o se mida, pero si se puede conocer como se distribuyan las probabilidades vinculada a los valores posibles, desarrollada a la misma condición, pueden ofrecer resultados diferentes, como lo es el índice de azar

ING. BELKYS COA

CARACTERÍSTICASCARACTERÍSTICAS

ING. BELKYS COA

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA

ING. BELKYS COA

La distribución de probabilidad de una v.a. X, también llamada función de distribución de X es la función , que asigna a cada evento definido sobre una probabilidad dada por la siguiente expresión:

Y de manera que se cumplan las siguientes tres condiciones:

2.Es continua por la derecha. 3.Es monótona no decreciente.

La distribución de probabilidad de una v.a. describe teóricamente la forma en que varían los resultados de un experimento aleatorio. Intuitivamente se trataría de una lista de los resultados posibles de un experimento con las probabilidades que se esperarían ver asociadas con cada resultado

FUNCIÓN DE DENSIDAD DE UNA V.A. CONTINUA

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La función de densidad de probabilidad (FDP) o, simplemente, función de densidad, representada comúnmente como f(x), se utiliza con el propósito de conocer cómo se distribuyen las probabilidades de un suceso o evento, en relación al resultado del suceso.La FDP es la derivada (ordinaria o en el sentido de las distribuciones de la función de distribución de probabilidad F(x), o de manera inversa, la función de distribución es la integral de la función de densidad

La función de densidad de una v.a. determina la concentración de probabilidad alrededor de los valores de una variable aleatoria continua

EJEMPLO FUNCIÓN DE DENSIDAD DE UNA V.A. CONTINUA

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Se lanza una moneda

S= {C,S} Sea X = {Numero de caras}Esta función se asigna los siguientes valores a los elementos del espacio muestral :

-Si es cara, W = C, entonces, X (w) = 1.-Si es sello, W = S, entonces, X (w) = 0.

Por lo tanto la variable aleatoria X toma los valores {0,1}

LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

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Llamamos experiencia aleatoria dicotómica a aquella que sólo puede tener dos posibles resultados A y A'. Usualmente A recibe el nombre de éxito, además representaremos como

p = p(A) y q = 1-p=p(A')p = p(A) y q = 1-p=p(A')

A la función de probabilidad de una variable aleatoria x resultado de contar el número de éxitos al repetir n veces una experiencia aleatoria dicotómica con probabilidad de éxito p la llamamos distribución binomial y la representamos por b b (n,p)(n,p)

LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

ING. BELKYS COA

Para esta distribución se verifica que, la variable X puede tomar los valores:0, 1, 2, ... , ny que la variable toma cada uno de estos valores con probabilidad:

CARACTERÍSTICAS DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIALCARACTERÍSTICAS DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

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La distribución binomial puede considerarse como una generalización del modelo de Bernoulli, en donde el experimento se realiza n veces y se utiliza en experimentos o eventos que tienen las siguientes características:a)Sólo hay 2 posibles resultados.b) Los resultados son independientes.c)La probabilidad de éxito permanece constante en todas las veces que se realice el experimento.d) El experimento se realiza n veces bajo las mismas condiciones y estamos interesados en que hayan x éxitos.e) Cuando hay extracción de elementos, se debe realizar con reemplazo.

Una variable aleatoria que satisfaga los puntos anteriores, se dice que se distribuye en forma binomial.

EJEMPLOEJEMPLOCARACTERÍSTICAS DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIALCARACTERÍSTICAS DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

ING. BELKYS COA

La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leído. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:1¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leído la novela 2 personas?2¿Y cómo máximo 2?

1¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leído la novela 2 personas?

B(4, 0.2) p = 0.8 q = 0.2

2 Y como máximo 2?

                                                                       

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

Distribución discreta que modela el número de eventos en una muestra de tamaño fijo cuando se conoce el número total de elementos en la población de la cual proviene la muestra.

Parámetros

ING. MARIA BRITO

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

Características

Al realizar un experimento con este tipo de distribución, se esperan dos tipos de resultados.

Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes.

Cada ensayo o repetición del experimento no es independiente de los demás.

El número de repeticiones del experimento (n) es constante.

EJEMPLO DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

Se tienen 5 fabricantes que producen una determinada pieza (engranaje) cuya calidad varia de un fabricante a otro. Si se elige 3 fabricantes al azar, hallar la probabilidad de que la selección contenga 2 de las 3 mejores.

Es decir, la probabilidad de que la selección contenga 2 de los 3 es del 60%.

ING. MARIA BRITO

MEDIA Y VARIANZA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

Una Distribución de Probabilidad es una representación de todos los resultados obtenidos en un experimento, con la probabilidad de cada uno de ellos.

Variable que solo toma valores de números enteros.

Es una variable que puede tomar tanto valores enteros como fraccionarios o medidas.

ING. MARIA BRITO

La formulación de una Media en la Distribución de Probabilidad

La formulación de una Varianza en la Distribución de Probabilidad

MEDIA Y VARIANZA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

ING. MARIA BRITO

En una empresa de ingeniería trabajan 20 analistas, todas las mañanas se les encarga a cada analista que evalué de uno a cinco valores :1). Una analista desea elaborar una distribución de probabilidad para la variable aleatoria del numero de valores asignados a cada analista en la mañana.2). Otra analista determinara la media varianza de la distribución de probabilidad del numero de valores asignados a cada analista de ingeniería.

EJEMPLO DE MEDIA Y VARIANZA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

20 analistas: frecuencia (f) numero de valores de uno (1) a cinco (5) Xi

Xi f P ( X = Xi)

1 6 6/20=0,30

2 5 5/20=0,25

3 4 4/20=0,20

4 3 3/20=0,15

5 2 2/20=0,10

Σ 20 Σ 1

ING. MARIA BRITO

Al elegir un alista al azar , la probabilidad de que tenga que evaluar 5 valores es mayor que cual numero entero. Solo el 10% de los analistas tienen que analizar dos valores al finalizar el día.

A cada analista se le asigno 3,35 valores para que evalúen.

EJEMPLO MEDIA Y VARIANZA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

Aplicando la formula

µ= (1x(6/20))+ (2x(5/20))+(3x4/20))+(4x(3/20))+(5x(2/20))

µ= 3,35 valores

ING. MARIA BRITO

La varianza de 2,23 es una medida de dispersión alrededor de la media 3.35

EJEMPLO MEDIA Y VARIANZA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

Aplicando la formula

σ²= (1²x(6/20))+ (2²x(5/20))+(3²x4/20))+(4²x(3/20))+(5²x(2/20))

σ²= 2,23 valores

Las medidas de dispersión, también llamadas medidas de variabilidad, muestran la variabilidad de una distribución, indicando por medio de un número si las diferentes puntuaciones de una variable están muy alejadas de la media. Cuanto mayor sea ese valor, mayor será la variabilidad, y cuanto menor sea, más homogénea será a la media. Así se sabe si todos los casos son parecidos o varían mucho entre ellos.

DISTRIBUCION DE POISSON HASTA LA BINOMIAL

La distribución poisson se llama así en honor a su creador, el francés Simeon Dennis Poisson (1781-1840) esta distribución de probabilidades fue uno de los múltiples trabajos matemáticos que Dennis completo en su trayectoria.

En teoría es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad de que ocurra un determinado número de eventos durante cierto período de tiempo.

ING. DORIS GUZMAN

La distribución poisson se utiliza en situaciones donde los sucesos son impredecibles o de ocurrencia aleatoria. En otras palabras no se sabe el total de posibles resultados.

Permite calcular la probabilidad de ocurrencia de un posible suceso con resultado discreto

Es muy útil cuando la muestra o segmento n es grande y la probabilidad de éxitos p es pequeña.

Se utiliza cuando la probabilidad de los eventos que nos interesa se distribuye dentro de un segmento n

El numero medio (promedio) de eventos en el espacio temporal o región especifica de interés, por lo general esta media se representa por la lambda griega(ג)

El numero de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo o región específicos es independiente del numero que ocurre en cualquier otro intervalo de tiempo o región.

La probabilidad de que un resultado muy pequeño ocurra en un intervalo de tiempo muy corto o una región muy pequeña es proporcional a la longitud del intervalo de tiempo o al tamaño de la región.

La probabilidad de que mas de un resultado ocurra en un intervalo de tiempo tan corto o en esa región tan pequeña es inapreciable, que se pueda asignar el valor 0.

Un montacargas Montacargas Toyota Mod02-2fg520 12980 es utilizado cada 6 minutos por 20 personas. Se desea saber cual es la probabilidad: Que el montacargas sea utilizado por 5 personas en 20 minutos.Que el montacargas sea utilizados por 10 personas en 20 minutosQue el montacargas sea utilizados por 5 personas o menos en 20 minutos.

La probabilidad que un estudiante obtenga el titulo de ingeniería en mantenimiento es de 0.3 Hallar la probabilidad de que en un grupo de 7 estudiante matriculados:a)Ninguno de los 7 finalice la carrera.b)Al menos 2 de ellos acabe la carrera.

Es el proceso puntual mas importanteTiene un rol muy importante, equivalente al de la distribución normal dentro de las distribuciones estadísticas.Por el teorema del limite central, obtenemos una distribución normal cuando sumamos variables aleatorias.De manera similar, obtenemos la distribución exponencial cuando superponemos procesos puntuales.

P(X)= Probabilidad de que ocurra un éxito en el ensayo X por primera y única vez.P = probabilidad de éxitoq = probabilidad de fracasoX= n veces

La media, la varianza y la desviación estándar de la variable aletoria Geométrica son:

En un experimento cuyos ensayos son repetidos e independientes, produciendoun éxito con probabilidad p y un fracaso con probabilidad 1-p, la distribución deprobabilidad Geométrica de la variable X, la cual representa el número de ensayos en elcual se produce el primer (k=1) éxito, está dada por

* El proceso consta de un número no definido de pruebas o experimentos separados o separables. El proceso concluirá cuando se obtenga por primera vez el resultado deseado (éxito).

* Cada prueba puede dar dos resultados mutuamente excluyentes : A y no A.

* La probabilidad de obtener un resultado A en cada prueba es p, y la de obtener un resultado no A es q siendo p + q = 1

Las probabilidades p y q son constantes en todas las pruebas.

Los registros de una compañía de mantenimiento de pozos indican que la probabilidad de que uno de sus pozos nuevos requiera de reparaciones en el término de un año es de 0,20 ¿ Cuál es la probabilidad de que el quinto pozo construido por esta compañia en un año dado sea el primero en requerir reparaciones en un año?

Solución:X=5: Que el quinto pozo sea el primero que requiera reparaciones en un año.p= 0,20: Probabilidad de que un pozo requiera reparaciones en el término de un año.q= 0,80: Probabilidad de que un pozo no requiera reparaciones en el término de un año

ING. ALENNYS

Una máquina detecta fallas en los productos que elabora una fábrica. Si los productos tienen una probabilidad de falla del 5%, calcular la probabilidad de que la máquina encuentre su primer producto defectuoso en la octava ocasión que selecciona un producto para su inspeccion.

Se realizan N ensayos independientes que dan lugar a K resultados: con probabilidades respectivamente donde,

KXXX

KK XXX

NXXXF .......!!...!.

!, 21

21,...21

pinix .

2ii xx

Media

Varianza

Desviación estándar

* Al llevar a cabo un experimento con esta distribución se espera más de dos tipos de resultados.

* Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados son constantes.

* Cada uno de los ensayos o repeticiones son independientes.

* El número de repeticiones del experimento n es constante.

Una empresa recibe un lote de bombas BCP con la siguiente especificación:

-La probabilidad de tiempo operativo de 3 meses es 0.29-La probabilidad de tiempo operativo de 3 a 6 meses es 0.55-La probabilidad de tiempo operativo de más de 6 meses es 0.22

Calcule la probabilidad de que 7 bombas tengan tiempos operativos de 3 meses, 4 con tiempos operativos de 3 a 6 meses y 2 con tiempos operativos de más de 6 meses. Calcular el promedio, la varianza y la desviación estándar para bombas con tiempos operativos de 3 meses.

ING BETANCOURT

LENNYS.

Variable aleatoria - Wikipedia, la enciclopedia librehttps://es.wikipedia.org/wiki/Variable_aleatoria

Definición de variable aleatoria - Qué es, Significado y Conceptodefinicion.de/variable-aleatoria/

La distribución binomial - Vitutorwww.vitutor.com/pro/3/distribucion_binomial.html

Problemas y ejercicios resueltos de la distribución binomial - Vitutorwww.vitutor.com/pro/3/b_g.html

http://support.minitab.com/es-mx/minitab/17/topic-library/basic-statistics-and-graphs/probability-distributions-and-random-data/distributions/hypergeometric-distribution/

https://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_hipergeom%C3%A9trica

http://www.aulafacil.com/cursos/l11242/ciencia/estadisticas/estadisticas/distribuciones-discretas-hipergeometrica

http://es.slideshare.net/MyleidyLen/estadstica-en-la-aplicacin-de-recursos-humanos

http://www.itchihuahua.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/04Distribuciones%20de%20Probabilidad.htm

Walpone M (1997).probabilidad y estadística, cuarta edicion,Mexico,McGraw-Hill