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ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BESSELIntegrantes: Allaico, Arévalo, Asmal, Cabrera, Delgado, Gallegos, Jerves, Machado, Ordoñez, Sanchez, Solano, Zea.
Ecuaciones Diferenciales,
Grupo #2
INTRODUCCIÓN
Las funciones de Bessel fueron definida en primer lugar por el matemático Daniel Bernoulli y después generalizadas por el matemático Friedrich Bessel, son soluciones para la ecuación diferencial de Bessel.
La ecuación de Bessel tiene gran importancia al momento de determinar la distribución y el flujo del calor o la electricidad a través de un cilindro circular, y para la solución de problemas relacionados con el movimiento ondulatorio, la elasticidad y la hidrodinámica.
BIOGRAFÍA
Daniel Bernoulli ( 8 de febrero de 1700 -17 de marzo de 1782) fue un matemático, estadístico, físico y médico holandés –suizo, que hizo importantes contribuciones en hidrodinámica y elasticidad.
Friedrich Bessel (22 de julio, 1784 - 17 de marzo, 1846) fue un matemático alemán, astrónomo y sistematizador de las funciones de Bessel. Se hizo famoso por elaborar el método estelar PARALLAX, el primero método exacto para medir distancias estelares. También determinó el diámetro, el peso y la elipticidad de la Tierra.
PRERREQUISITOS
Método de Frobenius
En donde:
x = a es un punto singular regular
r es una raíz de la ecuación indicial
PRERREQUISITOS
Función Gamma
La función para n>0, se define como:
DEFINICIÓN
Una ecuación de Bessel tiene la forma:
Donde v≥0 es un parámetro real y x=0 es un punto singular regular
DESARROLLO POR MÉTODO DE FROBENIUS
Al derivar
DESARROLLO POR MÉTODO DE FROBENIUS
Sustituyendo queda SimplificandoPara n=0 (Frobenius)
DESARROLLO POR MÉTODO DE FROBENIUS
no puede ser cero, por tanto
Entonces, las raíces son:
Cuando la ecuación anteriormente mencionada se transforma en cuando :Para que el exponente de x empiece elevada a la misma potencia en ambas sumatorias se saca el primer contador de la primera sumatoria.Entonces:Para Se hace que entonces reemplazamos en la sumatoria.Para se hace reemplazamos.
=
Por lo tanto se debe cumplir que =0 y=0 para k=0,1,2,3,…Cuando =0 trae como consecuencia que =Así que cuando k=0,2,4,6,… , n=1,2,3,…
Entonces: ...
Se acostumbra a elegir un valor patrón especifico para que es: Sabemos que
Ejemplos:
Por lo que podemos expresar a en
Funcion de Bessel
LOS VALORES ENTEROS DE V SE DENOTAN POR N. ESTA ES LA NORMA. PARA V = N LA RELACIÓN ANTERIOR QUEDA COMO:
DONDE SIGUE SIENDO ARBITRARIA. ES NECESARIO HACER UNA ELECCIÓN , PERO MAS PRACTICO ES:
PORQUE ENTONCES , DE DONDE:
CON ESTOS COEFICIENTES Y SE OBTIENE UNA SOLUCIÓN PARTICULAR, DENOTADA POR , LLAMADA LA FUNCIÓN DE BESSEL DE PRIMERA CLASE DE ORDEN N:
Esta serie converge para toda x, con mucha rapidez debido a los factoriales del denominador.
EJEMPLO: Funciones de Bessel
Para n = 0 se obtiene la función de Bessel de orden 0
Que es similar al coseno. Para n = 1 se obtiene la función de Bessel de orden 1
Que es similar al seno.
𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠𝑑𝑒𝐵𝑒𝑠𝑠𝑒𝑙𝑝𝑎𝑎
Observando la función de Bessel con v = n entero se observa
El problema al plantear para cualquier es que no hay factorial de números racionales por esto recurrimos a la función
DEFINICION DE LA FUNCION GAMMA
PROPIEDADES DE LA FUNCION GAMMA
Propiedad 1
Propiedad 2 La segunda propiedad de Gamma generaliza la función factorial para cualquier
Se conoce que para entonces con tenemos
Reemplazando n por v se tiene
Luego
En el denominador se tiene que:
para m=1
,etc. Para m=2
De modo que para cualquier m
Entonces la expresión para se reduce a:
Finalmente con obtenemos
Denominada Función de Bessel de primera clase de orden v
SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE BESSEL(TEOREMA 1)
(Ecuación diferencial de Bessel)
(funciones de Bessel)
Solución de la ecuación de diferencial de Bessel
(Ecuación diferencial de Bessel)
(funciones de Bessel)
Solución de la ecuación de diferencial de Bessel
Ejemplo:
Donde,
DEPENDENCIA LINEAL DE LA FUNCIÓN DE BESSEL(TEOREMA 2)
Con v = n (entero):
Por definición:
DEPENDENCIA LINEAL DE LA FUNCIÓN DE BESSEL
DEPENDENCIA LINEAL DE LA FUNCIÓN DE BESSEL
por lo tanto son linealmente dependientes, y no es una solución a la ecuación diferencial
Pudo ser comprobada directamente con las propiedades, pero aquí se demostró dicha propiedad
PROPIEDADES ADICIONALES
DE
Las funciones de Bessel satisfacen un número alto de relaciones, estas son posibles descubrir por propiedades de las funciones especiales a partir de sus series.
A continuación se discuten cuatro de las más elementales:
Ejemplos
Ejemplo 1 Calcule J3(x):
Usando
Reemplazando 1 en 2:
Ejemplo 2 Evalúe:
Usando
Sabiendo lo que definimos anteriormente podemos obtener mediante tablas que:
Para explicar esto definiremos primero:
Sabemos que:
Luego definimos que:
Con estas dos definiciones llegamos a determinar que:
Esta serie que obtenemos se denomina como serie de Maclaurin de sen(x):
Teorema
Las funciones de Bessel Jv de órdenes v = son elementales; pueden expresarse por un número finito de cosenos y senos y potencias de x.
Ejemplos
Reducir la ecuación diferencial a la ecuación de Bessel
Cambio de variable
=
=
Expresar la siguiente integral en términos de funciones de Bessel
Integrando por partes
Integrando por partes nuevamente
FÓRMULAS DE RECURRENCIA
• (1)• (2)
Al derivar el lado izquierdo de (1) como un producto, se tiene
De donde al multiplicar por , resulta• (3)
Las fórmulas (1) y (2) también resultan útiles escritas en la forma • (4)• (5)
Primera Relación de Recurrencia: • (6)
Ejemplo 1. Hallar ] en términos de funciones de Bessel.Solución.] = 2x+
Nota: Al derivar la función de Bessel se multiplica por la derivada del argumento.
Al utilizar (3) con v=3 y 2x en lugar de x, tenemos como sigue
-
Al sustituir , se obtiene] =+ 2[- ]= 2-
Ejemplo 2. Hallar I = en términos de y Solución.
Integrando por partes:u = ; du = 2x.dxdv = v = = I = - 2
Al utilizar (4) nuevamente, se obtiene como sigueI = - + C
Al sustituir los resultados conocidos y en la ecuación anterior = ^ = = (-
Y aplicando (6), resulta finalmenteI = =
Nota: Se puede obtener y aplicando con v = 1 y v = 2 en la Primera Relación de Recurrencia (6).
