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fisica 2012 Sssss Página 1 I. INTRODUCCIÓN MECANICA DE CUERPO RIGIDOS MECÁNICA DE CUERPO DEFORMABLE MECÁNICA DE FLUIDOS ESTATICA DINAMICA CINEMATICA CINETICA

Iintroducción

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I. INTRODUCCIÓN

MECANICA DE

CUERPO RIGIDOS

MECÁNICA DE

CUERPO

DEFORMABLE

MECÁNICA

DE FLUIDOS

ESTATICA DINAMICA

CINEMATICA CINETICA

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II.NOCION DE CINEMATICA

La cinemática (del griego κινεω, kineo, movimiento) es la rama de la mecánica

clásica que estudia las leyes del movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las

causas que lo producen, limitándose esencialmente, al estudio de la trayectoria en

función del tiempo.

También se dice que la cinemática estudia la geometría del movimiento.

En la cinemática se utiliza un sistema de coordenadas para describir las

trayectorias, denominado sistema de referencia. II.

III.ELEMENTOS BASICOS DE LA CINEMATICA

1. ESPACIO ABSOLUTO.

Es decir, un espacio anterior a todos los objetos materiales e independientes de la

existencia de estos.

Este espacio es el escenario donde ocurren todos los fenómenos físicos, y se

supone que todas las leyes de la física se cumplen rigurosamente en todas las

regiones de ese espacio.

El espacio físico se representa en la Mecánica Clásica mediante un espacio puntual

euclídeo.

2. TIEMPO ABSOLUTO

La Mecánica Clásica admite la existencia de un tiempo absoluto que transcurre del

mismo modo en todas las regiones del Universo y que es independiente de la

existencia de los objetos materiales y de la ocurrencia de los fenómenos físicos

3. MOVIL

El móvil más simple que podemos considerar es el punto material o partícula.

La partícula es una idealización de los cuerpos que existen en la Naturaleza, en el

mismo sentido en que lo es el concepto de punto geométrico.

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Entendemos por punto material o partícula a un cuerpo de dimensiones tan

pequeñas que pueda considerarse como puntiforme; de ese modo su posición en

el espacio quedará determinada al fijar las coordenadas de un punto geométrico.

Naturalmente la posibilidad de despreciar las dimensiones de un cuerpo estará en

relación con las condiciones específicas del problema considerado.

IV.RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO

Estudiar el movimiento de un cuerpo quiere decir determinar su posición en el espacio en función del tiempo, para ello se necesita un sistema de referencia.

En el espacio euclidiano un sistema de queda definido por los elementos siguientes.

a. Un origen O, que es un punto del espacio físico.

b..Una base vectorial del espacio vectorial asociado a dicho espacio físico.

Decimos que una partícula se encuentra en movimiento con respecto a un

referencial si su posición con respecto a él cambia en el transcurso del tiempo.

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En caso contrario, si la posición del cuerpo no cambia con respecto al referencial,

el cuerpo está en reposo en dicho referencial.

De las definiciones que acabamos de dar para el movimiento y el reposo de un

cuerpo, vemos que ambos conceptos son relativos

En la Figura hemos representado dos observadores, S y S′, y una partícula P.

Estos observadores utilizan los referenciales xyz y x′y′z′, respectivamente.

Si S y S′ se encuentran en reposo entre sí, describirán del mismo modo el

movimiento de la partícula P. Pero si S y S′ se encuentran en movimiento relativo,

sus observaciones acerca del movimiento de la partícula P serán diferentes.

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Para el observador en ubicado en la tierra la LUNA describirá una órbita casi

circular en torno a la TIERRA.

Para el observador ubicado en el sol la trayectoria de la luna es una línea

ondulante.

Naturalmente, si los observadores conocen sus movimientos relativos, podrán

reconciliar sus observaciones

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V. MOVIMIENTO RECTILÍNEO

Decimos que una partícula tiene un movimiento rectilíneo cuando su trayectoria medida

con respecto a un observador es una línea recta

1. POSICIÓN.

La posición de la partícula en cualquier instante queda definida por la coordenada

x medida a partir del origen O.

Si x es positiva la partícula se localiza hacia la derecha de O y si x es negativa se

localiza a la izquierda de O.

2. DESPLAZAMIENTO.

El desplazamiento se define como el cambio de posición.

Se representa por el símbolo Δx.

Si la posición final de la partícula P’ está la derecha de su posición inicial P, el

desplazamiento x es positivo cuando el desplazamiento es hacia la izquierda ΔS

es negativo

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3. VELOCIDAD MEDIA

Si la partícula se mueve de P a P’ experimentando un desplazamiento Δx positivo durante

un intervalo de tiempo Δt, entonces, la velocidad media será

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La velocidad media también puede interpretarse geométricamente para ello se

traza una línea recta que une los puntos P y Q como se muestra en la figura. Esta

línea forma un triángulo de altura x y base t.

La pendiente de la recta es x/t. Entonces la velocidad media es la pendiente

de la recta que une los puntos inicial y final de la gráfica posición-tiempo

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4. VELOCIDAD INSTANTÁNEA

Es la velocidad de la partícula en cualquier instante de tiempo se obtiene llevando

al límite la velocidad media es decir, se hace cada vez más pequeño el intervalo de

tiempo y por tanto valores más pequeños de x. Por tanto:

Si una partícula se mueve de P a Q. A medida que Q se aproxima más y más a P los

intervalos de tiempo se hacen cada vez menores. A medida que Q se aproxima a P

el intervalo de tiempo tiende a cero tendiendo de esta manera las pendientes a la

tangente. Por tanto, la velocidad instantánea en P es igual a la pendiente de la

recta tangente en el punto P. La velocidad instantánea puede ser positiva (punto

P), negativa (punto R) o nula (punto Q) según se trace la pendiente

correspondiente

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5. RAPIDEZ MEDIA.

La rapidez media se define como la distancia total de la trayectoria recorrida por una

partícula ST, dividida entre el tiempo transcurrido t, es decir,

6. ACELERACIÓN MEDIA .

Si la velocidad de la partícula al pasar por P es v y cuando pasa por P’ es v’ durante un

intervalo de tiempo Δt, entonces:

Ejemplo 01

La posición de una partícula que se mueve en línea recta está definida por la

relación Determine: (a) la posición, velocidad y aceleración en

t = 0; (b) la posición, velocidad y aceleración en t = 2 s; (c) la posición, velocidad y

aceleración en t = 4 s ; (d) el desplazamiento entre t = 0 y t = 6 s;

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Solución

La ecuaciones de movimiento son

Las cantidades solicitadas son

En t = 0, x = 0, v = 0, a = 12 m/s2

En t = 2 s, x = 16 m, v = vmax = 12 m/s, a = 0

En t = 4 s, x = xmax = 32 m, v = 0, a = -12 m/s2

En t = 6 s, x = 0, v = -36 m/s, a = 24 m/s2

VI. DETERMINACIÓN DEL MOVIMEINTO DE UNA PARTÍCULA

1. LA ACELERACIÓN COMO FUNCIÓN DEL TIEMPO a = f(t).

Se sabe que a = dv/dt, entonces podemos escribir

2312 ttdt

dxv

tdt

xd

dt

dva 612

2

2

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2. LA ACELERACIÓN COMO FUNCIÓN DE LA POSICIÓN a = f(x).

Se sabe que a = vdv/ds, entonces podemos escribir

3. LA ACELERACIÓN COMO FUNCIÓN DE LA VELOCIDAD a = f(v).

Se sabe que a = dv/dt o también a = vdv/ds, entonces podemos escribir

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4. LA ACELERACIÓN ES CONSTANTE a = constante

A este caso se le denomina movimiento rectilíneo uniforme y las ecuaciones

obtenidas son

Ejemplo 01

El auto mostrado en la figura se mueve en línea recta de tal manera que su velocidad para

un período corto de tiempo es definida por pies/s, donde

t es el tiempo el cual está en segundos. Determine su posición y aceleración cuando t =

3,00 s. Considere que cuando t = 0. S = 0

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Solución

POSICIÓN

Para el sistema de referencia

considerado y sabiendo que la

velocidad es función del tiempo v

= f(t). La posición es

Cuando t = 3 s, resulta

ACELERACIÓN. Sabiendo que v = f(t),

la aceleración se determina a partir

de a = dv/dt

Cuando t = 3 s

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Ejemplo 02

Un proyectil pequeño es disparado verticalmente hacia abajo dentro de un medio fluido

con una velocidad inicial de 60 m/s. Si resistencia del fluido produce una desaceleración

del proyectil que es igual a donde v se mide en m/s.

Determine la velocidad v y la posición S cuatro segundos después de que se disparó el

proyectil.

Solución

Velocidad: Usando el sistema de

referencia mostrado y sabiendo que a =

f(v) podemos utilizar la ecuación a =

dv/dt para determinar la velocidad como

función del tiempo esto es

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POSICIÓN: Sabiendo que v = f(t), la

posición se determina a partir de la

ecuación v = dS/dt

Ejemplo 03

Una partícula metálica está sujeta a la influencia de un campo magnético tal que se

mueve verticalmente a través de un fluido, desde la placa A hasta la placa B, Si la

partícula se suelta desde el reposo en C cuando S = 100 mm, y la aceleración se

mide como donde S está en metros. Determine; (a) la

velocidad de la partícula cuando llega a B (S = 200 mm) y (b) el tiempo requerido

para moverse de C a B

Solución

Debido a que a = f(S), puede

obtenerse la velocidad como

función de la posición usando vdv

= a dS. Consideramos además que

v = 0 cuando S = 100 mm

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La velocidad cuando S = 0,2 m es

El tiempo que demora en viajar la

partícula de C a B se determina en

la forma

Cuando S = 0,2 m el tiempo es

Ejemplo 04

Desde una ventana situada a 20 m

sobre el suelo se lanza una bola

verticalmente hacia arriba con una

velocidad de 10 m/s. Sabiendo que la

bola todo el tiempo se encuentra

sometida a un campo gravitacional que

le proporciona una aceleración g = 9,81

m/s2 hacia abajo. Determine: (a) la

velocidad y la altura en función del

tiempo, (b) el instante en que la bola

choca con el piso y la velocidad

correspondiente

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SOLUCION

tvtvdtdv

adt

dv

ttv

v

81.981.9

sm81.9

00

2

0

ttv

2s

m81.9

s

m10

0

210 2

0

10 9.81

10 9.81 10 9.81

y t t

y

dyv t

dt

dy t dt y t y t t

2

2s

m905.4

s

m10m20 ttty

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Cuando la bola alcanza su altura máxima su

velocidad es cero, entonces se tiene

Remplazando el valor del tiempo obtenido se tiene

Cuando la bola choca contra el suelo y = 0 Entonces

tenemos.

0s

m81.9

s

m10

2

ttv s019.1t

22

2

2

s019.1s

m905.4s019.1

s

m10m20

s

m905.4

s

m10m20

y

ttty

m1.25y

0s

m905.4

s

m10m20 2

2

ttty

s28.3

smeaningles s243.1

t

t

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VII. MOVIMIENTO DE VARIAS PARTICULAS:

1. Movimiento relativo

Sea A y B dos partículas que se mueven en línea recta como se ve en la figura. Sus

posiciones respecto a O serán xA y xB. La posición relativa de B con respecto a A

será.

La velocidad relativa de A con respecto a B será.

La aceleración relativa se expresa en la forma

Ejemplo 05

s28.3s

m81.9

s

m10s28.3

s

m81.9

s

m10

2

2

v

ttv

s

m2.22v

B A B Ax x x ABAB xxx

B A B Av v v ABAB vvv

B A B Aa a a ABAB aaa

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Desde una altura de 12 m, en el interior de un hueco de un

ascensor, se lanza una bola verticalmente hacia arriba con

una velocidad de 18 m/s. En ese mismo instante un

ascensor de plataforma abierta está a 5 m de altura

ascendiendo a una velocidad constante de 2 m/s.

Determine: (a) cuando y donde chocan la bola con el

ascensor, (b) La velocidad de la bola relativa al ascensor en

el momento del choque

SOLUCION:

Remplazando la posición, velocidad inicial y el valor de la

aceleración de la bola en las ecuaciones generales se tiene

La posición y la velocidad del ascensor serán

2

2

221

00

20

s

m905.4

s

m18m12

s

m81.9

s

m18

ttattvyy

tatvv

B

B

ttvyy

v

EE

E

s

m2m5

s

m2

0

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Escribiendo la ecuación para las posiciones relativas de la bola

con respecto al elevador y asumiendo que cuando chocan la

posición relativa es nula, se tiene.

• Remplazando el tiempo para el impacto en la ecuación de la posición del elevador

y en la velocidad relativa de la bola con respecto al ascensor se tiene

2. Movimiento dependiente

La posición de una partícula puede depender de la posición de otra u otras

partículas.

En la figura la posición de B depende de la posición de A.

Debido a que la longitud del cable ACDEFG que une ambos bloques es

constante se tiene

Debido a que sólo una de las coordenadas de

posición xA o xB puede elegirse arbitrariamente

el sistema posee un grado de libertad

025905.41812 2 ttty EB

0.39s

3.65s

t

t

65.381.916

281.918

tv EB

65.325Ey m3.12Ey

s

m81.19EBv

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Aquí la posición de una partícula depende de

dos posiciones más.

En la figura la posición de B depende de la

posición de A y de C

Debido a que la longitud del cable que une a

los bloques es constante se tiene

Como solo es posible elegir dos de las coordenadas, decimos que el sistema posee DOS

grados de libertad

Ejemplo 06

El collar A y el bloque B están enlazados como se muestra en la figura mediante

una cuerda que pasa a través de dos poleas C, D y E. Las poleas C y E son fijas

mientras que la polea D se mueve hacia abajo con una velocidad constante de 3

pul/s. Sabiendo que el collar inicia su movimiento desde el reposo cuando t = 0 y

alcanza la velocidad de 12 pulg/s cuando pasa por L, Determine la variación de

altura, la velocidad y la aceleración del bloque B cuando el collar pasa por L

2 2A B Cx x x ctte

022or022

022or022

CBACBA

CBACBA

aaadt

dv

dt

dv

dt

dv

vvvdt

dx

dt

dx

dt

dx

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Solución

Se analiza en primer lugar el

movimiento de A.

El collar A tiene un MRUV,

entonces se determina la aceleración y el

tiempo

Como la polea tiene un MRU se calcula el

cambio de posición en el tiempo t.

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El movimiento del bloque B depende del movimiento

de collar y la polea. El cambio de posición de B será

Derivando la relación entre las posiciones se obtiene

las ecuaciones para la velocidad y la aceleración

in. 4s333.1s

in.30

0

DD

DDD

xx

tvxx

0in.42in.8

02

22

0

000

000

BB

BBDDAA

BDABDA

xx

xxxxxx

xxxxxx

in.160 BB xx

2 constant

2 0

in. in.12 2 3 0

s s

18 lg/

A D B

A D B

B

B

x x x

v v v

v

v pu s

in.18

sBv

2

2 0

in.9 0

s

A D B

B

a a a

a

2

2

in.9

s

9 lg/

B

B

a

a pu s

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VIII. Resolución gráfica de problemas en el movimiento rectilíneo

Integrando la ecuación de la velocidad tenemos

El área bajo la gráfica v-t entre t1 y t2 es igual al desplazamiento neto durante este

intervalo de tiempo

El área bajo la gráfica a-t entre t1 y t2 es igual al cambio neto de velocidades

durante este intervalo de tiempo

Otros métodos gráficos

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El momento de área se puede utilizar

para determinar la posición de la

partícula en cualquier tiempo

directamente de la curva v-t:

Usando dv = a dt ,

Momento de primer

orden de area bajo la

curva a-t con repecto

a la línea t = t1

1

0

1 0

0 1 1

area bajo la curva

v

v

x x v t

v t t t dv

1

0

11001

v

v

dtatttvxx

1 0 0 1 1área bajo la curva

abscisa del centroide

x x v t a - t t t

t C

1

0

1

v

v

dtatt

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Método para determinar la

aceleración de una partícula de

la curva v-x

Ejemplo 12

La gráfica v-t, que describe el movimiento de un motociclista que se mueve en línea recta

es el mostrado en la figura. Construir el gráfico a-s del movimiento y determinar el tiempo

que requiere el motociclista para alcanzar la posición S = 120 m

Solución

Grafico a-s.

Debido a que las ecuaciones de los segmentos de la gráfica están dadas, la gráfica a-t

puede ser determinada usando la ecuación dv = a ds

tan

a BC

dva v

dx

AB

a BC subnormal

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Calculo del tiempo.

El tiempo se obtiene usando la gráfica v-t y la ecuación v = ds/dt. Para el primer

tramo de movimiento, s = 0, t = 0

Cuando s = 60 m, t = 8,05 s

Para el segundo tramo de movimiento

Cuando S = 120 m, t´= 12 s

Ejemplo 13

Una partícula parte del reposo y se mueve describiendo una línea recta, su aceleración de

5 m/s2 dirigida hacia la derecha permanece invariable durante 12 s. A continuación la

aceleración adquiere un valor constante diferente tal que el desplazamiento total es 180

0

;15;12060

6.004.0

32.0;600

ds

dvva

vmsm

sds

dvva

svms

05.415

15

15;15;12060

6005.8

s

t

dsdt

ds

v

dsdtvms

st

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m hacia la derecha y la distancia total recorrida es de 780 m. Determine: (a) la aceleración

durante el segundo intervalo de tiempo, (b) el intervalo total de tiempo.

Solución

En la figura se muestra el gráfico velocidad-tiempo, ya que a = constante.

Como la aceleración es la pendiente de la

curva v-t, tenemos

La distancia total es la suma de las áreas en valor absoluto

El desplazamiento viene expresado por

Sumando las ecuaciones (2) y (3), resulta

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La aceleración en el segundo intervalo

tiempo es

Se determina At3

Remplazando la ec. (4) y (6) en (3) se

tiene

El intervalo total de tiempo será

IX. MOVIMIENTO CURVILÍNEO

Se dice que una partícula tiene un movimiento curvilíneo cuando su trayectoria descrita

esta es una línea curva

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OBJETIVOS

1. Describir el movimiento de una

partícula que viaja a lo largo de

una trayectoria curva

2. Expresar las cantidades

cinemáticas en coordenadas

rectangulares, componentes

normal y tangencial, así como

radial y transversal

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1. Vector Posición: Es aquel vector dirigido desde el origen de un sistema

coordenado hacia el punto de ubicación instantánea P la partícula. Se representa

por r = r(t).

2. Vector Desplazamiento: Supongamos ahora que la partícula se mueve durante un

pequeño intervalo de tiempo Dt hasta el punto P’, entonces su posición será r’ (t +

∆D). El desplazamiento es vector dirigido desde P a P’ y se expresa

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3. Velocidad Media: Cuando la partícula se mueve de P a P’ experimenta un

desplazamiento ∆r en un intervalo de tiempo ∆t. la velocidad media se define

Como

La velocidad media es un vector

que tiene la misma dirección que

el desplazamiento es decir es

secante a la curva.

La velocidad media depende del

intervalo de tiempo.

4. Velocidad Instantánea:

Si el intervalo de tiempo se hace cada ves más pequeño (∆t®0), el desplazamiento

también tiende a cero. Llevando al límite la velocidad media se obtiene la

velocidad instantánea. Es decir

La velocidad instantánea es un

vector tangente a la trayectoria.

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Multiplicando y dividiendo la expresión anterior por la longitud del arco Ds = acrPQ,

obtenemos

A medida que Q se acerca a P la

magnitud de ∆r se aproxima a ∆s,

entonces se tiene

Además se tiene

5. Aceleración media: En la figura se observa las velocidades instantáneas de la

partícula en P y Q. El cambio de velocidades durante ∆t es ∆v. La aceleración media

es el cambio de velocidades en el intervalo de tiempo. Es decir

La aceleración media es un vector

paralelo a ∆v y también depende

de la duración del intervalo de

tiempo

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6. Aceleración instantánea: Se obtiene llevando al límite la aceleración media es

decir haciendo cada ves mas y mas pequeños los intervalos de tiempo

La aceleración instantánea es un

vector que tiene misma dirección

que el cambio instantáneo de la

velocidad es decir apunta hacia la

concavidad de la curva

7. COMPONENTES RECTANGULARES DE LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN

7.1 POSICIÓN. La posición instantánea de una partícula en componentes x, y, z es

Las coordenadas x, y, z son

funciones del tiempo: x = f(t),

y = f(t), z = f(t)

La magnitud del vector de

posición será

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7.2 Desplazamiento. Si una partícula se mueve de P a P en un intervalo de

tiempo ∆t. El desplazamiento está dado por

7.3 Velocidad media. Si una partícula se mueve de P a P’ experimenta un

desplazamiento ∆r en un intervalo de tiempo ∆t. La velocidad media será

Es un vector secante a

la trayectoria

7.4 Velocidad instantánea: Se obtiene llevando al límite cuando Dt ® 0, la

velocidad media es decir:

Es un vector tangente a

la curva y tiene una

magnitud definida por

fisica 2012

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7.5 Aceleración media: Cuando la partícula cambia de posición su velocidad

también cambia. Entonces la aceleración media será

Es un vector que se

encuentra dirigido a lo

largo del cambio de

velocidades

7.6 Aceleración instantánea: Se obtiene llevando al límite la aceleración media.

Es un vector que se

encuentra dirigido

hacia la concavidad de

la curva y su magnitud

es

Ejemplo

En cualquier instante la posición horizontal del globo meteorológico está

definida por x = (9t) m, donde t es el segundo. Si la ecuación de la trayectoria

es y = xª/30, donde a = 2: Determinar la distancia del globo a la estación A, la

magnitud y la dirección de la velocidad y de la aceleración cuando t = 2 s

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Solución

Cuando t = 2 s, la posición del

globo es

La distancia en línea recta será

Las componentes de la velocidad

son

La magnitud y dirección de la

velocidad para t = 2 s son

Las componentes de la aceleración serán

La magnitud y dirección de la

aceleración son

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8. MOVIMIENTO CURVILINEO PLANO

Es aquel movimiento que se realiza en un solo plano

9. MOVIMIENTO PARABÓLICO

Es caso mas simple del movimiento plano, en el cual ax = 0 y ay = - g = - 9,81

m/s2 =-32,2 pies/s2. En la figura se muestra este movimiento y su trayectoria

9.1 MOVIMIENTO PARABÓLICO: Hipótesis

Para analizar este movimiento se usa las siguientes hipótesis

(a) El alcance del proyectil es suficientemente pequeño como para poder

despreciar la curvatura de la superficie terrestre (la aceleración gravitatoria g

es normal a dicha superficie);

(b) La altura que alcanza el proyectil es suficientemente pequeña como para

poder despreciar la variación del campo gravitatorio (aceleración de la

gravedad) terrestre con la altura;

(c) La velocidad del proyectil es suficientemente pequeña como para poder

despreciar la resistencia que presenta el aire al movimiento del proyectil y

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Sssss Página 41

(d) No tendremos en cuenta el efecto de rotación de la Tierra que, como

veremos más adelante, tiende a desviar el proyectil hacia la derecha de su

trayectoria cuando el movimiento tiene lugar en el hemisferio Norte.

DIAGRAMA DEL MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL

9.2 MOVIMIENTO PARABÓLICO: ecuaciones

Movimiento horizontal. Debido a que ax = 0

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Movimiento vertical: Debido a que ay = - g = -9,81 m/s2

9.3 MOVIMIENTO PARABÓLICO: Altura máxima y alcance alcanzado por el proyectil

Cuando se estudia el movimiento de

proyectiles, dos características son de

especial interés.

1. El alcance R, es la máxima

distancia horizontal alcanzada

por el proyectil

2. La altura máxima h

alcanzada por el proyectil

fisica 2012

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9.4 MOVIMIENTO PARABÓLICO: alcance alcanzado por el proyectil

El máximo alcance es logrado cuando el ángulo de lanzamiento es 45°

10. COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL

10.1.OBJETIVOS

Determinar las componentes normales y tangencial de la velocidad y la aceleración

de una partícula que se encuentra moviéndose en un trayectoria curva

10.2. APLICACIONES

Cuando un auto se mueve en una curva experimenta una aceleración, debido al

cambio en la magnitud o en la dirección de la velocidad.

¿Podría Ud. preocuparse por la aceleración del auto?.

Si el motociclista inicia su movimiento desde el reposo e incrementa su velocidad a

razón constante. ¿Cómo podría determinar su velocidad y aceleración en la parte

más alta de su trayectoria.

10.3. POSICIÓN

Cuando la trayectoria de una partícula es conocida, a veces es conveniente utilizar

las coordenadas normal (n) y tangencial (t) las cuales actúan en las direcciones

normal y tangencial a la trayectoria.

En un movimiento plano se utilizan las vectores unitarios ut y un

El origen se encuentra ubicado sobre la trayectoria de la partícula

fisica 2012

Sssss Página 44

El eje t es tangente a la trayectoria y positivo en la dirección del movimiento y el

eje n es perpendicular al eje t y esta dirigido hacia el centro de curvatura

10.4 VELCOIDAD

Debido a que la partícula se esta moviendo, la posición S está cambiando con el

tiempo.

La velocidad v es un vector que siempre es tangente a la trayectoria y su magnitud

se determina derivando respecto del tiempo la posición S = f(t). Por lo tanto se

tiene

10.5. ACELERACIÓN

Consideremos el movimiento de una partícula en una trayectoria curva plana

En el tiempo t se encuentra en P con una velocidad v en dirección tangente y una

aceleración a dirigida hacia la concavidad de la curva. La aceleración puede

fisica 2012

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descomponerse en una componente tangencial at (aceleración tangencial)

paralela a la tangente y otra paralela a la normal an (aceleración normal)

La aceleración tangencial es la responsable del cambio en el modulo de la

velocidad

La aceleración normal es la responsable del cambio en la dirección de la

velocidad

Tracemos en A un vector unitario . La aceleración será

Si la trayectoria es una recta, el vector sería constante en magnitud y dirección,

por tanto

Pero cuando la trayectoria es curva la dirección de cambia por lo tanto

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Introduzcamos el vector unitario normal a la curva y dirigido hacia el lado

cóncavo de la curva. Sea β el ángulo que forma la tangente en A con el eje x.

Entonces se tiene

La derivada del vector unitario tangente será

Por otro lado se tiene que

Donde dS es el pequeño arco a lo largo del movimiento en un dt.

Las normales a la curva en A y A´ se intersecan en C. Entonces

La razón de cambio del vector unitario tangencial es

Remplazando esta ecuación en la aceleración se tiene

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Es decir las aceleraciones tangencial y normal se escriben

La magnitud de la aceleración total será

CASOS ESPECIALES

1. La partícula se mueve a lo largo de una línea recta

r => an = v2/r = 0 => a = at = v

La componente tangencial representa la razón de cambio de la magnitud de la

velocidad

2. La partícula se mueve en la curva a velocidad constante

at = v = 0 => a = an = v2/r

La componente normal representa la razón de cambio de la dirección de la

velocidad

3. La componente tangencial de la aceleración es constante, at = (at)c.

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So and vo son la posición y la velocidad de la partícula en t = 0

4. La partícula se mueve a lo largo de la trayectoria dada por y = f(x). Entonces el

radio de curvatura es

Ejemplo 02

Un carro de carreras C viaja alrededor de una pista horizontal circular que tiene un

radio de 90 m. Si el carro incrementa su rapidez a razón constante de 2,1 m/s2

partiendo desde el reposo, determine el tiempo necesario para alcanzar una

aceleración de 2,4 m/s2. ¿Cuál es su velocidad en ese instante.

Solución

Se sabe que la aceleración

tangencial es constante e igual a

La aceleración normal será

La aceleración total será

La velocidad en este instante será

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ANALISIS DEL MOVIMIENTO RELATIVO DE DOS PARTICULAS USANDO EJES EN

TRASLACIÓN

Hasta ahora se ha estudiado el movimiento absoluto de una partícula usando un

marco de referencia fijo.

Sin embargo, existen ejemplos en el que la trayectoria del movimiento de una

partícula es complicada, de modo que es más factible analizar el movimiento en

partes usando dos o más marcos de referencia.

Por ejemplo, el movimiento de una partícula localizada en la hélice de un avión ,

mientras éste está en vuelo , es más fácil describirlo si observamos primero el

movimiento del avión a partir de un sistema de referencia fijo y después se

superpone vectorialmente el movimiento circular de la partícula medida a partir de

un marco de referencia móvil unido al aeroplano

En esta sección nos ocuparemos del estudio del movimiento solo a marcos de

referencia en traslación. El análisis del movimiento relativo de partículas usando

marcos de referencia en rotación se tratará en el curso de Dinámica

MOVIMIENTO RELATICO: POSICIÓN

Consideremos dos partículas A y B moviéndose en las trayectorias mostradas

Las posiciones absolutas de A y B con respecto al observador fijo en el marco de

referencia OXYZ serán

El observador B sólo experimenta traslación y se encuentra unidos al sistema de

referencia móvil Oxyz

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La posición relativa de A con respecto al observador B , es

Movimiento relativo: Velocidad

Derivando la ecuación de la posición relativa se tiene

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Movimiento relativo: Aceleración

Derivando la ecuación de la velocidad relativa se tiene

Ejemplo 01

Un tren T, viajando a una velocidad constante de 90 km/ h, cruza una carretera,

como se muestra en la figura. Si el automóvil A está viajando por la carretera con

una velocidad de 67,5 km/h. Determine la magnitud y dirección de la velocidad

relativa del tren con respecto al auto.

SOLUCIÓN

La velocidad relativa es medida desde el observador ubicado en el auto al cual se le

asocial el sistema de referencia OX’Y’,

Como las velocidades de T y A son conocidas, entonces la velocidad relativa se

obtiene de

La magnitud de la velocidad relativa será

La dirección de la velocidad relativa es

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