Iterasi jacobi

Angga Debby Frayudha / Educational Technology 1 (2) (2016)

ITERASI JACOBI

Angga Debby Frayudha �

Program Pascasarjana, Universitas Negeri Semarang, Indonesia

Info Artikel

Sejarah Artikel:

Diterima April 2016

Disetujui April 2016

Dipublikasikan Mei 2016

Keywords:Leaders

hip, compensation,

motivation,

employee

performance.

Abstrak

Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai

disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi, atau pada

persoalan rekayasa. Seringkali model matematika tersebut muncul dalam bentuk yang

rumit yang terkadang tidak dapat diselesaikan dengan rumus-rumus aljabar yang

sudah baku. Solusi SPL secara numeris umumnya selalu (harus) lebih efisien dan

cepat dibandingkan dengan metode-metode analitis, seperti metode Cramer. Namun

demikian, solusi numerik ini secara teknis adakalanya juga berkendala, karena: (1)

ada beberapa persamaan yang mendekati kombinasi linier, akibat adanya “round off

error” dari mesin penghitung pada, (2) suatu tahap perhitungan adanya akumulasi

“round off error” pada proses komputasi akan berakibat domain bilangan nyata (fixed

point) dalam perhitungan akan terlampaui (overflow), biasanya akibat dari jumlah

persamaan yang terlalu besar.

Abstract

Issues involving mathematical models have appeared in a variety of disciplines, such as in the

fields of physics, chemistry, economics, or engineering issues. The mathematical models often appear in intricate shapes that sometimes can not be solved by algebraic formulas is standard.

SPL solutions numerically generally always (have to) be more efficient and faster than analytical methods, such as method of Cramer. However, the numerical solution is technically sometimes also berkendala, because: (1) there are some similarities approaching a linear combination, due

to "round off error" of mechanical calculating machines, (2) a stage of calculation of the accumulation of "round off error" the computing process will result in domain real numbers

(fixed point) in the calculation will be exceeded (overflow), usually as a result of a number of equations that are too large.

© 2016 Universitas Negeri Semarang

� Alamat korespondensi:

Kampus Unnes Bendan Ngisor, Semarang, 50233

Email : [email protected] Angga Debby

Frayudha

ISSN 2252-7001

Educational Technology 1 (2) (2016)

Educational Technology

http://journal.unnes.ac.id/sju/index.php/eduman


PENDAHULUAN

Persoalan yang melibatkan model

matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin

ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia,

ekonomi, atau pada persoalan rekayasa. Seringkali

model matematika tersebut muncul dalam bentuk yang

rumit yang terkadang tidak dapat diselesaikan dengan

rumus-rumus aljabar yang sudah baku.

Solusi SPL secara numeris umumnya selalu

(harus) lebih efisien dan cepat dibandingkan dengan

metode-metode analitis, seperti metode Cramer.

Namun demikian, solusi numerik ini secara teknis

adakalanya juga berkendala, karena:

(1) ada beberapa persamaan yang mendekati

kombinasi linier, akibat adanya “round off error” dari

mesin penghitung pada, (2) suatu tahap perhitungan

adanya akumulasi “round off error” pada proses

komputasi akan berakibat domain bilangan nyata

(fixed point) dalam perhitungan akan terlampaui

(overflow), biasanya akibat dari jumlah persamaan

yang terlalu besar.

METODE PENELITIAN

Metode-metode solusi numerik yang banyak

dipakai, dapat diklasifikasikan sebagai:

1. Metode Langsung

a. Metode Langsung Eliminasi Gauss

(EGAUSS), prinsipnya: merupakan operasi eliminasi

dan substitusi variabel-variabelnya sedemikian rupa

sehingga dapat terbentuk matriks segitiga atas, dan

akhirnya solusinya diselesaikan menggunakan teknik

substitusi balik (backsubstitution),

b. Metode Eliminasi Gauss ini. Eliminasi

Gauss-Jordan (EGJ), prinsipnya: mirip sekali dengan

metode EG, namun dalam metode ini jumlah operasi

numerik yang dilakukan jauh lebih besar, karena

matriks A mengalami inversi terlebih dahulu untuk

mendapatkan matriks identitas (I). Karena kendala

tersebut, maka metode ini sangat jarang dipakai,

namun sangat bermanfaat untuk menginversikan

matriks,

c. Dekomposisi LU (DECOLU), prinsipnya:

melakukan dekomposisi matriks A terlebih dahulu

sehingga dapat terbentuk matriks-matrik segitiga atas

dan bawah, kemudian secara mudah dapat melakukan

substitusi balik (backsubstitution) untuk berbagai

vektor VRK (vektor ruas kanan).

d. Solusi sistem TRIDIAGONAL (S3DIAG),

prinsipnya merupakan solusi SPL dengan bentuk matrik

pita (satu diagonal bawah, satu diagonal utama, dan satu

diagonal atas) pada matriks A.

2. Metode Tak-Langsung (Metode Iteratif)

a. Metode Jacobi, prinsipnya: merupakan metode

iteratif yang melakuakn perbaharuan nilai x yang

diperoleh tiap iterasi (mirip metode substitusi berurutan,

successive substitution),

b. Metode Gauss-Seidel, prinsipnya: mirip

metode Jacobi, namun melibatkan perhitungan implisit,

c. Metode Successive Over Relaxation (SOR),

prinsipnya: merupakan perbaikan secara langsung dari

Metode Gauss- Seidel dengan cara menggunakan faktor

relaksasi (faktor pembobot) pada setiap tahap/proses

iterasi.

Metode-metode tak-langsung seperti di atas pada

umunya sangat tidak efisien dan ‘time consuming’

(memerlukan CPU- time) yang jauh lebih besar dari

metode langsung.

Metode Eliminasi Gauss, metode Dekomposisi

LU dan Metode Iterasi Jacobi merupakan metode yang

dapat dijadikan sebagai alternatif untuk menyelesaikan

model matematika. Metode Eliminasi Gauss mereduksi

matriks koefisien A ke dalam bentuk matriks segitiga,

dan nilai-nilai variabel diperoleh dengan teknik

substitusi. Pada metode Dekomposisi LU, matriks A

difaktorkan menjadi matriks L dan matriks U, dimana

dimensi atau ukuran matriks L dan U harus sama

dengan dimensi matriks A.

Pada metode iterasi Jacobi, penyelesaian

dilakukan secara iterasi, dimana proses iterasi dilakukan

sampai dicapai suatu nilai yang konvergen dengan

toleransi yang diberikan. Dari hasil pengujian dapat

diketahui bahwa metode Iterasi Jacobi memiliki hasil

ketelitian yang lebih baik dan waktu komputasi yang

lebih cepat dari metode Eliminasi Gauss dan metode

Dekomposisi LU.

Penggunaan pendekatan dengan pemrograman

MATLAB, salah satu software komputer yang dapat

digunakan untuk memberikan solusi komputasi numerik.

Karena metode – metode numerik dengan bahasa

pemrograman yang sederhana, namun dapat

menyelesaikan permasalahan yang dihadapi oleh mereka

yang bergerak dalam bidang matematika maupun

aplikasi matematika.


HASIL PEMBAHASAN

A. Iterasi Jacobi Metode ini merupakan suatu teknik

penyelesaian SPL berukuran n x n, AX = b,

secara iteratif. Proses penyelesaian dimulai

dengan suatu hampiran awal terhadap penyelesaian, X0, kemudian membentuk suatu

serangkaian vector X1, X2, … yang konvergen

ke X.

Teknik iteratif jarang digunakan untuk

menyelesaikan SPL berukuran kecil karena metode-metode langsung seperti metode

eliminasi Gauss lebih efisien dari pada metode

iteratif. Akan tetapi, untuk SPL berukuran besar dengan persentase elemen nol pada

matriks koefisien besar, teknik iteratif lebih

efisien daripada metode langsung dalam hal penggunaan memori komputer maupun

waktu komputasi. Metode iterasi Jacobi,

prinsipnya: merupakan metode iteratif yang melakuakn perbaharuan nilai x yang

diperoleh tiap iterasi (mirip metode substitusi

berurutan, successive substitution).

B. Algoritma Iterasi Jacobi Untuk menyelesaikan system

persamaan linier AX = b dengan A adalah

matriks koefisien n x n, b vector konstan n x 1,

dan X vektor n x 1 yang perlu dicari.

INPUT : n, A, b, dan Himpunan awal Y = (y1

y2 y3…yn)T, batas toleransi T, dan maksimum iterasi N.

OUTPUT: X = (x1 x2 x3 ..xn)T, atau pesan “

gagal “.

LANGKAH – LANGKAH :

1. set penghitung iterasi ke =1 2. WHILE k ≤ n DO

(a) FOR i = 1, 2, 3, ..., n, hitung

ii

ij jiji

i a

yabx

∑ ≠−

=

(b) Set X = (x1 x2 x3 ..xn)T

(c) IF YX − < T THEN STOP

(d) Tambahan penghitung iterasi, k = k + 1

(e) FOR i = 1, 2, 3, ..., n, Set yi = xi

(f) set Y = (y1 y2 y3 ..yn)T 3. STOP

C. Flow Chart Iterasi Jacobi

D. Iterasi Jacobi dengan Menggunaan Matlab 7

Jika x(k)menyatakan hampiran ke k

penyelesaian SPL , AX = b, dengan x(0)adalah

hampiran awal, maka metode iterasi Jacobi

dapat dinyatakan sebagai berikut :

−= ∑

≠

−

ij

kjiji

ii

ki xab

ax )1()( 1

, i = 1,

2, 3, ..., n ; k = 1, 2, 3, ..

Dalam bentuk matriks, rumus iterasi dapat dinyatakan sebagai X(k) = D-1(b-(L+U)X(k-1)),

Dengan A = L + D + U ( L matriks segitiga bawah, D matriks diagonal, U Matriks segitiga atas).

Berikut adalah gambaran bagaimana

penggunaan metode iterasi Jacobi dengan sebuah contoh. Misalkan kita ingin

menyelesaikan SPL. 10x1 – x2 + x3 = 6

-x1 + 11x2 – x3 + 3x4 = 25 2x1 – x2 + 10x3 – x4 = - 11

3x2 – x3 + 8x4 = 15

Mula – mulakita nyatakan setiap variabel dalam ketiga variabel yang lainnya 1. Nyatakan x1 dari persamaan (P1) dalam

x2, x3, dan x4,

2. Nyatakan x2 dari persamaan (P2) dalam x1, x3, dan x4,

3. Nyatakan x3 dari persamaan (P3) dalam

x1, x3, dan x4, 4. Nyatakan x4 dari persamaan (P4) dalam

x1, x2, dan x3.

Hasilnya adalah SPL

5

3

51032

1 +−=xx

x

START

STOP

AX = b

ii

ij iji

i a

yabx

∑ ≠−

=

Input A, b, X0, T,

xi = ( x1 x2 x3 …xn)

[X, g, H]=

jacobi(A,b,X0,T,


11

25

11

3

1111431

2 +−+=xxx

x

10

11

10105421

3 −++−

=xxx

x

8

15

88

3 324 ++

−=

xxx

Misalkan kita pilih hapiran penyelesaian awal (0 0 0 0)T, maka hampiran pertama terhadap penyelesaian SPL tersebut adalah

6.05

31 ==x = 1

2727.211

252 ==x = 2

1.110

113 −==x = -1

8750.18

154 ==x = 2

Sekarang dengan menggunakan nilai –

nilai ini pada ruas kanan persamaan (P5) – (P8), kita dapat menghitung hampiran kedua. Proses ini dapat diulang-ulang sampai keakuratan hampiran yang diinginkan

tercapai. Berikut adalah hasil proses iterasi

dengan menggunakan komputer. No x1 x2 x3 x4

1 2 3 4 5 6 7 8

0.6 1.04727 0.932636 1.0152 0.988991 1.0032 0.998128 1.00063

2.27273 1.71591 2.05331 1.9537 2.01141 1.99224 2.00231 1.99867

-1.1 -0.805227 -1.04934 -0.968109 -1.01029 -0.994522 -1.00197 -0.999036

1.875 0.885227 1.13088 0.973843 1.02135 0.994434 1.00359 0.998888

Setelah iterasi ke-8 diperoleh hampiran penyelesaian

x = (1.00063 1.99867 -0.999036 0.998888)T bandingkan dengan penyelesaian eksaknya, yakni

x = (1 2 -1 1)T.

Menyelesaikan contoh SPL berikut ini

dengan menggunakan metode iterasi Jacobi. 2x1 – x2 + 10x3 = -11 3x2 – x3 + 8x4 = -11

10x1 – x2 + 2x3 =6 -x1 + 11x2 – x3+ 3x4 = 25

E. Penulisan Logaritma dalam Layar Editor

MATLAB 7 function [X,g,H]= jacobi(A,b,X0,T,N)

H = X0';

n = length(b); X1 = X0;

for k=1:N, for i = 1:n,

S = b(i)-A(i,[1:i-1,i+1:n])*X0([1:i-1,i+1:n]);

X1(i)=S/A(i,i); end g = abs(X1-X0);

err = norm(g); relerr = err/(norm(X1)+ eps);

X0 = X1; H = [H;X0'];

if (err<T)|(relerr<T),break,end end

Layar Editor MATLAB 7

F. Hasil Output fungsi MATLAB 7

Berikut adalah contoh pemakaian fungsi

MATLAB 7 jacobi dan hasil keluaran dari yang

diperoleh: >> A=[2 -1 10 0;0 3 -1 8;10 -1 2 0;-1 11 -1 3]

A = 2 -1 10 0

0 3 -1 8

10 -1 2 0 -1 11 -1 3

>> b=[-11;-11;6;25] b =

-11 -11

6

25 >> X0=[0;0;0;0] X0 = 0 0 0 0

>> T=.00001 T =

1.0000e-005 >> N=25

N = 25

>> [X,g,H]=jacobi(A,b,X0,T,N)

X = 1.0e+017*

-4.1950 0.5698

2.1380 0.0451

g =

1.0e+017* 3.7699

0.5442 1.2965

0.1535 H = 1.0e+017*

0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000

0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000


0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000

0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000

0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000

0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000

0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000

0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000

0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000

0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000

0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 -0 . 0007 0 . 0000 0 . 0013 -0 . 0002

-0 . 0066 0 . 0009 0 . 0036 0 . 0000

-0 . 0173 0 . 0011 0 . 0333 -0 . 0042 -0 . 1661 0 . 0224 0 . 0873 0 . 0013

-0 . 4251 0 . 0256 0 . 8415 -0 . 1085 -4 . 0000 0 . 5698 2 . 1380 0 . 0451

Dari hasil diatas, metode Jacobi belum konvergen setelah melakukan iterasi. Untuk mengetahui penyelesaian SPL kita,

selanjutnya gunakan metode langsung dengan menggunakan invers matriks A. MATLAB memberikan penyelesaian sebagai berikut. >> X=inv(A)*b

X =

1.1039 2.9965

-1.0211 -2.6263

Apakah metode jacobi tidak dapat

menghasilkan penyelesaian tersebut? Dengan

mengubah susunan SPL, yakni persamaan pertama dan kedua dipindah menjadi

persamaan ketiga dan keempat, metode Jacobi ternyata berhasil memberikan penyelesaian tersebut, sebagaimana terlihat pada hasil keluaran MATLAB berikut.

>> A=[10 -1 2 0;-1 11 -1 3;2 -1 10 0;0 3 -1 8] A =

10 -1 2 0 -1 11 -1 3

2 -1 10 0 0 3 -1 8 >> b=[6;25;-11;-11]

b = 6

25 -11

-11 >> X0=[-2;1;3;-1]

X0 =

-2 1

3 -1

>> [X,g,H]=jacobi(A,b,X0,T,N) X =

1.1039

2.9965 -1.0211

-2.6263 g =

0.0795 0.2004

0.0797

0.1511

H = -2 . 0000 1 . 0000 3 . 0000 -1 . 0000

1 . 1000 2 . 6364 -1 . 6000 -2 . 3750

1 . 9836 2 . 6023 -1 . 8564 -2 . 4386 1 . 0315 2 . 9494 -1 . 0365 -2 . 4579

1 . 1022 2 . 9426 -1 . 0114 -2 . 6106 1 . 1065 2 . 9930 -1 . 0262 -2 . 6049

1 . 1045 2 . 9895 -1 . 0200 -2 . 6256 1 . 1030 2 . 9965 -1 . 0220 -2 . 6236 1 . 1040 2 . 9856 -1 . 0209 -2 . 6264

1 . 1037 2 . 9966 -1 . 0212 -2 . 6260 1 . 1039 2 . 9964 -1 . 0211 -2 . 6264

1 . 1039 2 . 9965 -1 . 0211 -2 . 6263 1 . 1039 2 . 9965 -1 . 0211 -2 . 6263

1 . 1039 2 . 9965 -1 . 0211 -2 . 6263 Iterasi Jacobi konvergen (dengan

menggunakan batas toleransi 0.0001) setelah

iterasi ke-13. Penyelesaian yang diberikan persis sama dengan yang dihasilkan dengan

metode langsung. Hampiran penyelesaian SPL kita adalah X = (1.1039 2.9965 -1.0211 -

2.6263)T.

Layar MATLAB 7 (command window)

Dari contoh di atas bahwa urutan

persamaan di dalam suatu SPL sangat

berpengaruh terhadap penampilan metode

iterasi Jacobi. Kalau kita amati lebih lanjut

contoh di atas, kekonvergenan iterasi Jacobi

pada strategi kedua dikarenakan kita telah mengubah susunan SPL sedemikian hingga

elemen-elemen aii merupakan elemen-elemen

terbesar pada setiap baris. Dengan kata lain, apabila matriks koefisien A merupakan matriks dominan secara diagonal, maka metode iterasi

Jacobi akan konvergen. Suatu matrik A

berukuran n x n dikatakan dominan secara

diagonal apabila

||...||||...|||| ,1,1,1, niiiiiiii aaaaa +++++> +−

untuk i = 1, 2, 3, ..., n.


SIMPULAN

Dari pembahasan di atas kita dapat

mengambil kesimpulan bahwa.

1. Urutan persamaan di dalam suatu SPL

sangat berpengaruh terhadap penampilan metode

iterasi Jacobi.

2. Dengan menggunakan pemrograman

MATLAB 7 dapat membantu pemrograman dalam

dalam metode numeric khususnya metode iterasi

Jacobi.

SARAN

1. Dari hasil pembahasan disarankan untuk.

2. 1. Menggunakan metode iterasi Jacobi lebih

efektif untuk memecahkan masalah numerik

dalam SPL berukuran besar.

3. 2. Menggunakan program MATLAB 7 for

Windows dalam membantu pengolahan

metode iterasi Jacobi.

DAFTAR PUSTAKA

.


Engineering

Iterasi jacobi