Modelado de ecuaciones diferenciales (ejemplos)

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE VICTORIAIngeniería en Mecatrónica

ECUACIONES DIFERENCIALESDr. René Osorio Sánchez

QUE PRESENTA:

Perla Estefanía Berrones Rivera

Luis Ángel Rojo Martínez

Yael Sanngenis Guzmán Orozco

Ciudad Victoria, Tamaulipas, 11 de noviembre de 2013

Modelado de Ecuaciones Diferenciales

Índice

1. Luxómetro 21.1. Proposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Formulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3. Solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Marcapasos 42.1. Proposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2. Formulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3. Solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3. Vigas 63.1. Proposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2. Formulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.3. Solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.4. Simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

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1. Luxómetro

1.1. Proposición

Se tomaron dos medidas con el uso de un Luxómetro. La primera de ellas, se registró con 8.55 kilolux, estoequivale al 100 % de luminosidad. La segunda medida se obtuvo a una distancia de 10 cm con respecto a lamedida Inicial, con un valor de 2.04 kilolux. Con ambas medidas y aplicando la regla de 3 simple, se obtiene quela segunda medida equivale a 23.85 % de luminosidad respecto a la medida inicial.

1.2. Formulación

Para obtener el porcentaje de luminosidad a distintas distancias se planteo la siguiente ecuación.

dI

dt= −kl (1)

La intensidad de luz disminuye con una rapidez proporcional a la intensidad del presente. Entonces:k > 0; Constante de proporcionalidad T: Distancia en del medio en cm.

De tal modo que:dI

I= −kdt (2)

Integrando en ambos lados obtenemos: ∫dI

I=

∫−kdt

ln I = −kt + c

Como valores iniciales obtenemos:

I0 = Io, Intesidad del rayo en t = 0.

Io = ce−(0)

Io = c

Entonces:I = Ioe

−kt (3)

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1.3. Solución

Sustituimos valores:

I = 23,85 %, t = 10

0,2358I = Ioe−10

k = ln 0,25− 10

k = 0,1433

Ahora la ecuación queda:

25 = Ioe−(0,1433)(25)

I = 2,78 %deIo

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2. Marcapasos

2.1. Proposición

Un marcapasos cardiaco se puede asemejar a la estructura de un circuito eléctrico, el cual en alegoría esta-ría formado por una batería, un capacitor y el corazón, que funciona a modo de resistor, ver figura 1. Cuando elconmutador S está en P, el condensador se carga; cuando está en Q, se descarga y manda un estímulo eléctricoal corazón.

Figura 1: Circuito Equivalente de un Marcapasos

2.2. Formulación

En este intervalo, el voltaje E que se aplica al corazón está determinado por:

dE

dt= − 1

RCE, t1 < t < t2 (4)

en donde R y C son constantes. Determine E(t), cuando E(t) = 0. Naturalmente, la abertura y cierre delinterruptor son periódicas, para estimular los latidos naturales.

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2.3. Solución

Por Separación de Variables

dE

dt= − 1

RCE

dE

E= − 1

RCdt

∫dE

E=

∫− 1

RCdt

∫dE

E= − 1

RC

∫dt

ln E = − 1RC

t + k

eln E = e−1

RC t+k

E = e−t

RC k1

Por Problema de Valor Inicial E(t)=0.

E(t1) = E0

E0 = e−t1

RC k1

E0 =k1

et1

RC

k1 = E0et1

RC

E(t) = e−t

RC (E0et1

RC )

E(t) = E0e− (t−t1

RC

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3. Vigas

3.1. Proposición

Supongamos que una viga de longitud L es homogénea y tiene sección transversal uniforme en toda sulongitud. Cuando no recibe carga, incluyendo su peso, la curva que une a los centroides de las secciones trans-versales es una recta a la cual le llamamos eje de simetría. Si a la viga se le aplica una carga que se encuentreen el eje de simetría, sufre una distorsión y la curva de los centroides se le llama curva de desviación o curvaelástica. Esta se aproxima a la forma de la viga.

Figura 2: Deflexión de una viga homogénea

3.2. Formulación

En teoría, la elasticidad demuestra que el momento flexionante M(x) en un punto x a lo largo de la viga, serelaciona con la carga por unidad de longitud w(x) mediante la ecuación:

d2M

dx2= w(x) (5)

Y el momento flexionantes es igual a la curva de elasticidad:

M(x) = EIk (6)

Donde:

E = Módulo de elasticidad del material de la viga.

I = Momento de inercia en la sección transversal.

M(x)= Momento flexionante.

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Cuando la desviación y(x) es pequeña, la pendiente es 0, y′ = 0. De modo que [1 + (y′)2]32 ≈ 1. Si k = y′′, la

ecuación 6 se transforma en M = EIy′′. La segunda derivada de esta ecuación es:

d2M

dx2= EIy′′

d2

dx2= EI

d4y

dx4(7)

Aplicamos el resultado de la ecuación 5 para reemplazar d2Mdx2 en la ecuación 7 y vemos que la desviación y(x)

satisface a la ecuación diferencial de cuarto orden.

EId4y

dx4= w(x) (8)

Una viga de longitud L está empotrada en ambos extremos. Determine la desviación de esa viga si sostiene unacarga constante, W0, uniformemente distribuida en su longitud; esto es:

W (x) = W0, 0 < x < L. (9)

3.3. Solución

Según lo que acabamos de plantear, la desviación y(x) satisface a:

EId4y

dx4= w0 (10)

Puesto que la viga está empotrada en su extremo izquierdo (X = 0) y en su extremo derecho (x = L), no haydesviación vertical y la elástica es horizontal en esos puntos. Así, las condiciones en la frontera son: Y (0) =0, y′(0) = 0, y(L) = 0, y′(L) = 0.

Podemos resolver la ecuación diferencial no homogénea, es decir, determinar yc teniendo en cuenta quem = 0 es una raíz cuarta, m4 = 0, para después hallar una solución particular yp, ya sea por el método de

coeficientes o integrando la ecuación cuatro veces d4ydx4 = w0

EI . Llegamos a la solución general, que es:

y(x) = c1 + c2x + c3x2 + c4x

3 +w0

24EIx4. (11)

Las condiciones iniciales de y(0) = 0 y y′(0) = 0, dan como resultado cl = 0 y c2 = 0. Mientras que las otrascondiciones otorgan, y(L) = 0 y y′(L) = 0, aplicadas a y(x) = c3x

2 + c4x3 + w0

24EI x4 originan las ecuaciones:

c3L2 + c4L

3 +w0

24EIL4 = 0

2c3L + 3c4L2 +

w0

6EIL3 = 0

Al resolver este sistema se obtiene c3 = w0L2

24EI y c4 = − w0L12EI . Entonces, la desviación es:

y(x) =w0L

2

24EIx2 − w0L

12EIx3 +

w0

24EIx4 =

w0

24EIx2(x− L)2. (12)

Si w0 = 24EI y L = 1, se obtiene la siguiente gráfica.

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Figura 3: Gráfica de Elasticidad

3.4. Simulación

Las simulaciones fueron realizadas en Solidworks, en el cual se diseñó una viga a la cual posteriormente sele aplicó una fuerza para comprobar la deformación de la viga. En la figura 4 se muestra una viga fija a amboslados (marcas verdes), con una fuerza distribuida aplicada en toda la viga (marcas rosas).

Figura 4: Fuerzas en viga

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Figura 5: Desplazamiento y deformación de la viga

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Engineering

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