República Bolivariana de VenezuelaI. U. P. “Santiago Mariño”Optimización de Sistemas y FuncionesProfesor: Ing. Diógenes Rodríguez

Métodos de Optimización(Ejercicios)

Elaborado por:

María Virginia Martínez

Condiciones de Khun- Tucker

En programación matemática, las condiciones de Kuhn-Tucker (también conocidas como las condiciones KKT o Kuhn-Tucker), son condiciones necesarias y suficientes para que la solución de un problema de programación matemática sea óptima. Es una generalización del método de los Multiplicadores de LaGrange.

Ejemplo:

Maximizar la función de beneficio sujeto a una restricción de producción.

Maximizar: = 64x – 2x2 + 96y – 4y2 – 13 Sujeto a: x + y≤ 36

Solución:

Paso 1: Formar la función Langragiana

= 64x – 2x2 + 96y – 4y2 – 13 + (36 – x- y)

 

Paso 2: Por las condiciones de Kuhn- Tucker

= 64- 4x –λ ≤ 0 =96- 8y – λ ≤ 0 =36 – x -y≥ 0

x≥0 y≥0 λ≥0

x (64 -4x -λ) =0 y (96 -8y -λ)=0 λ (36 –x -y)=0

Paso 3: Se testean o revisan las condiciones de Kuhn- Tucker

(a) Si λ, x, y > 0 entonces las condiciones de Kuhn- Tucker llevan a:

64 – 4x – λ= 0

96 -8y –λ= 0

36 –x –y=0En forma de matriz, =

Usando la Regla de Cramer donde:

Se obtiene que: x= 21.33 y= 14.67 λ= -21.33

Lo cual no puede ser óptimo ya que λ < 0 y contradice de Kuhn- Tucker.

(b) Si λ =0 y x,y> 0 entonces

64 -4x=0 x=16

96 -8y= 0 y= 12

Esto da la solución correcta: x=16, y= 12 y λ= 0, lo cual es óptimo ya que no viola

ninguna condición de Kuhn- Tucker

Otro Ejemplo:

Sean X= {(x, y) ϵ R2 / x2 + y2 ≤ 2, x ≥ -y} yf (x, y)= (x -1)2+ y2

¿Cumplen (1/2, 1/2) y (1, 1) las condiciones de Kuhn- Tucker? Aplicando los teoremas de Kuhn- Tucker ¿Qué se puede concluir sobre ambos puntos?

Solución:

Se escribe el problema en su forma estándar:

Las condiciones de Kuhn Tucker para el problema se escriben

KT1:

KT2:

KT3:

KT4:

Ahora hay que saber si los puntos anteriores cumplen las condiciones de Kuhn – Tucker:

Primero con el punto (1/2, 1/2):

KT1:

KT2:

Sustituyendo en KT1

KT3:

KT4:

En conclusión, el punto cumple las condiciones de KT de mínimo.

Ahora el punto (1, 1)

KT1:

KT2:

Sustituyendo en KT1

KT3:

KT4:

En conclusión, el punto (1,1) no cumple las condiciones de KT.

Para aplicar los teoremas de KT hay que comprobar si se cumplen las condiciones de regularidad:

R1: f, g1, g2, g3 diferenciables en R2

R2: g2 y g3 son lineales luego convexas en R3

g1 ϵ C2 (R2) se escribe su matriz hessiana: Hg1 (x, y)=

Esta matriz es definida positiva, luego g1 es convexa en R2

R4: f ϵ C2 (R2), su matriz hessiana será: H f (x, y)=

Luego f es convexa en R2

Se cumplen R1, R2, R3 y R4, por lo tanto, las condiciones KT son necesarias y suficientes para mínimo. Se puede concluir que el punto es un mínimo y se tiene:

Además, al cumplirse las condiciones R1, R2 y R3, se tiene que, todo óptimo que cumplir

necesariamente las condiciones de KT. En conclusión, el punto (1, 1) no es óptimo puesto

que no cumple las condiciones de KT.

Matriz JacobianaSea f una función en un punto x0. Como ocurre con toda aplicación lineal se puede

calcular la matriz asociada a la diferencial df (x0) respecto de diversas bases.

Concretamente el interés por la matriz asociada a las bases canónicas

Propiedad: Si f=f1,……fm: Rn→Rm

Es una función diferenciable en un punto x0 entonces

dfx0: Rn→Rm

Es una aplicación lineal y tendría una matriz asociada respecto de las bases canónicas de

Rn y Rm. Esta matriz se llamara matriz jacobiana de f en x0. Se denota por:

Ejemplo:

Hallar la matriz jacobiana de la función dada por

Extremos no restrictos con dos variables

Para que una función como z= f (x, y) tenga un mínimo o máximo relativo, tres condiciones

deben ser satisfechas:

1. Las derivadas parciales de primer orden deben ser simultáneamente ser iguales a cero.

Ello indica que en un punto dado (a, b) llamado “punto crítico”, la función no está

creciendo ni decreciendo con respecto a los ejes principales sino a una superficie

relativa.

2. Las derivadas parciales de segundo orden deben ser negativas cuando ellas son

evaluadas en el punto crítico (a, b) para un máximo relativo y positivas para un mínimo

relativo. Ello asegura que la función es cóncava y moviéndose hacia abajo en relación a

los ejes principales en el caso de un de un máximo relativo y la función es convexo y

moviéndose hacia arriba en relación a los ejes principales en el caso de un mínimo

relativo.3. El producto de las derivadas parciales de segundo orden evaluadas en el punto

crítico deben exceder el producto de las derivadas parciales cruzadas también

evaluadas en dicho punto. Esta condición adicional es necesaria para evitar un

punto de inflexión o punto de silla. En resumen:

Condición necesaria Máximo Mínimo

Primer orden fx= fy= 0 fx= fy=0

Segundo orden fxx, fyy < 0 y fxx, fyy> (fxy)2 fxx, fyy > 0 y fxx, fyy< (fxy)2

Nota: las derivadas parciales de segundo orden son evaluadas en el punto crítico (a, b) o los puntos críticos que hubieren.

En la situación que fxx fyy<(fxy)2, cuando fxx y fyy tienen el mismo signo, la función

esta en punto de inflexión. Caso contrario, la función estará en punto de silla. Si fxx

fyy= (fxy)2 entonces se requeriría mayor información.

Ejemplo:

En la siguiente función encontrar los puntos críticos y determinar si estos son

máximos o mínimos relativos, puntos de inflexión o puntos de silla:

f (x, y)= 3x3 – 5y2 – 225x + 70y + 23

Solución:

Calculando la primera derivada e igualándola a cero.

fx= 9x2 – 225 =0 fy= -10y + 70=0

Resulta: x= ± 5, y=7. Entonces los puntos críticos serán: (5, 7) y (5, -7).

Las segundas derivadas (sin evaluarlas o testearlas)

fxx= 18x fyy= -10 fxx=fyx=0

Evaluando el punto crítico (5, 7):

fxx (5, 7)= 18(5)= 90 fyy (5, 7)= -10

¿Cumple fxx (5, 7). fyy (5, 7)> [fxy(5, 7)]2? 90.(-10)< [0]2 (no cumple)

Entonces este punto crítico no es ni máximo ni mínimo. Puesto que fxx y fyy (evaluadas en

este punto crítico) tienen signo diferente, se concluye que este punto es un punto de silla.

Evaluando el punto crítico (-5, 7)

fxx (-5, 7) = 18(-5)= 90 fyy(-5, 7)= -10

¿Cumple fxx (-5, 7). fyy (-5, 7)> [fxy (-5, 7)]2? -90. (-10) >0 (Si cumple)

Dado que se cumple fxx (-5, 7). fyy (-5, 7)> [fxy (-5, 7)]2 y además, fxx fyy < 0 entonces el

punto en análisis es un máximo.

Este es un método que permite encontrar valores extremos, máximos o mínimos

(maximizar o minimizar) de una función general f(x, y, z) sometida a alguna condición

o restricción de la forma g(x, y, z)= k.

Ejemplo:

Multiplicador de Lagrange

Max f(x,y,z)= 3x2+ 2y2+4z2 sujeto a: 2x-3y-4z=59

Solución:

Primero se sacan las derivadas parciales de la función con respecto a cada variable y la derivada parcial de la restricción con respecto a cada variable multiplicado por lambda

Derivada con respecto a x:

6x= 2λ

Derivada con respecto a y:

4y=- 3λ

Derivada con respecto a z:

8z=- 4λ

Esto debe cumplir la restricción que es 2x – 3y -4z= 59

Ahora hay que resolver el sistema de ecuación anterior y despejar lambda de cada una de ellas:

6x= 2λ λ= 3x

4y=- 3λ λ= -4/3 y

8z=- 4λ λ= -2z

Ahora se despejan las variables:

λ= 3x x= 1/3 λ

λ= -4/3 y y= -3/4 λ

λ= -2z z= -1/2 λ

Luego se sustituyen los valores en la restricción:

2(1/3 λ) -3(-3/4 λ)- 4(-1/2 λ)= 59

2/3 λ + 9/4 λ +2λ = 59

59/12 λ= 59

Ahora despejar lambda: λ= 12

Luego, se saca el valor de x, y, z:

X= 1/3(12)= 4

Y= -3/4 (12)= -9

Z= -1/2(12)= -6

Y por último evaluar la función en f(4, -9, -6)

f(4, -9, -6)= 3x2+ 2y2+ 4z2= 3(4)2 +2(-9)2 +4(-6)2= 354

Este es el máximo de la función. La superficie del nivel mas grande que se intersecta con la superficie dada por la restricción.