Universidad de las Fuerzas ArmadasDispositivos y mediciones

Puentes AC y DC

Docente:Ing. Alberto Albuja

Alumno:Galo Candela

NRC:2293

4 de enero de 2016

Indice

1. Objetivos 21.1. Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1. Demostrar las ecuaciones de puentes AC y DC . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Objetivos especificos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1. Determinar las condiciones necesarias para que se produzca el balance encada uno de los puentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.2. Demostrar las ecuaciones de equilibrio aplicando las condiciones . . . . . 21.2.3. Detallar el procedimiento para obtener las ecuaciones de equilibrio de

cada puente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2. Marco teorico 2

3. Conclusiones: 193.1. Primera conclusion:

193.2. Segunda conclusion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3. Tercera conclusion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4. Bibliografıa: 19

1

1. Objetivos

1.1. Objetivo general

1.1.1. Demostrar las ecuaciones de puentes AC y DC

1.2. Objetivos especificos

1.2.1. Determinar las condiciones necesarias para que se produzca el balance encada uno de los puentes

1.2.2. Demostrar las ecuaciones de equilibrio aplicando las condiciones

1.2.3. Detallar el procedimiento para obtener las ecuaciones de equilibrio de cadapuente

2. Marco teorico

Puentes DCLos puentes de DC tienen el objetivo de medir valores desconocidos de resistencias utilizando

patrones que sirven para ajustar el puente a 0 (equilibrio de puente). La configuracion puenteconsiste en tres mallas. Se disponen de cuatro resistencias, entre ellas la desconocida, de unafuente de corriente continua y su resistencia interna, y un galvanometro (detector de cero).

Puente de WheatstoneEs utilizado principalmente para la medicion de precision de resistencias en el rango de Ω

hasta MΩ mediante el equilibrio de los brazos del puente y esta constituido por 4 resistenciasque forman un circuito cerrado, siendo una de ellas la resistencia bajo medida.Esta constituido por cuatro ramas conectadas a una fuente de fuerza electromotriz F.E.M y undetector de cero, es decir, un galvanometro sensible a la corriente.

2

Condicion para el equilibrio1. Para que el puente este balanceado la diferencia de potencial a traves del galvanometro

debe ser cero voltios, de tal forma que no haya paso de corriente.

VCD = 0 (1)

Demostracion:

Vac = Vad (2)

I1R1 = I2R2 (3)

Debido a que la corriente del galvanometro es cero, se genera la siguiente condicion:

I1 = I3 =Vc − VbR3

(4)

I2 = I4 =Vd − VbR4

(5)

Reemplazando (4) y (5) en (3)

R1Vc − VbR3

= R2Vd − VbR4

(6)

R1

R3

=R2

R4

(7)

Si definimos a R4 como una resistencia a medir ahora la llamamos Rx, tendriamos la siguienteformula que relacionan las resistencias patron de un puente Wheatstone

Rx =R2R3

R1

(8)

R3 −→ Rama patronR1 y R2 −→ Ramas de relacion

Errores en el puente de Wheatstone1. Errores limites de la resistencia patron y las resistencias de relacion.

2. El detector de cero no tenga suficiente sensibilidad.3. El efecto de calentamiento I2R puede producir danos en las resistencias del puente, el cambiode estas resistencias pueden producir errores en la medicion.

3

Puente de KelvinEs una modificacion del puente de Wheatstone, con la diferencia de que su uso es exclusiva-

mente dedicado a la medicion de valores de resistencias muy bajos, es decir tiene un incrementoen la exactitud cuando se mide valores de resistencias menores a 1Ω

En el siguiente diagrama Ry representa la resistencia del cable conectado desde R3 a Rx

Demostracion:Si el galvanometro se conecta en el punto p, entre myn de tal forma que la relacion de la

resistencia n a p y m a p iguale la razon de los resistores R1 y R2

Rnp

Rmp

=R1

R2

(9)

Al conectar el Galvanometro al punto m este se sumara a Rx y se obtendra (Rx +Rnp)Al conectar el Galvanometro al punto n este se sumara a R3 y se obtendra (R3 +Rmp)La razon de equilibrio para el puente se da con la siguiente expresion:

(Rx +Rnp) =R1

R2

(Rx +Rmp) (10)

De esta se puede obtener dos expresiones diferentes:

Rmp =R2

R1

Rnp (11)

Rnp =R1

R2

Rmp (12)

Tambien se tiene a la vez una 3ra ecuacion:

Rmp +Rnp = Ry (13)

Al reemplazar (11) en (13):

4

R2

R1

Rnp = Ry −Rnp

Rnp(R2

R1

+ 1) = Ry

Rnp = (R1

R1 +R2

)Ry (14)

Y al reemplazar (12) en (13)

R1

R2

Rmp = Ry −Rmp

Rmp(R1

R2

+ 1) = Ry

Rmp = (R2

R1 +R2

)Ry (15)

Ahora reemplazando (14) y (15) en (10) se obtiene:

Rx + (R1

R1 +R2

)Ry =R1

R2

[Rx + (

R2

R1 +R2

)Ry

](16)

Al simplificar se obtiene la siguiente relacion con la cualquier se tiene el valor de Rx

Rx =R1

R2

R3 (17)

Puentes ACLos puentes de AC son mucho mas versatiles que los puentes de DC. Son usados para medir

valores desconocidos de resistencias AC como inductancias, capacitancias e inductancias mutuasen funcion de patrones y relaciones conocidas de elementos. Estos consisten de 4 ramas patron,una fuente de excitacion alterna y un detector de cero (Galvanometro. Para bajas frecuenciasse puede utilizar la lınea de potencia como fuente de excitacion; y a altas frecuencias se puedeutilizar un oscilador.El detector de cero debe responderr a las corrientes de desequilibrio de corriente alterna.

5

Condicion para el equilibrio:Se cumple cuando:

1. La corriente que pasa por el galvanometro es 0, este se convierte en un circuito abierto.2. La diferencia de potencial entre el nodo B y el nodo A debe ser igual a la diferencia depotencial entre el nodo B y el nodo C.

VBA = VBC (18)

Puente de MaxwellOriginalmente Maxwell desarrollo el puente Maxwell-Wien con propositos balısticos el cual

fue adaptado por M.Wien para realizar mediciones en corriente alterna.Es utilizado para medir el valor de una inductancia desconocida en terminos de una capacitanciaconocida.El puente de maxwell se limita solamente a la medicion de bobinas con factor de calidad:

1 < Q < 10

Demostracion:Definimos primeramente las ecuaciones de cada rama:

Rama 1:

Y =1

R1

+ jωC1 (19)

Rama 2:

Z2 = R2 (20)

Rama 3:

Z3 = R3 (21)

Rama 4:

Zx = Rx + jωLx (22)

Reajustando la condicion de equilibrio del puente se obtiene:

6

Zx =1

Z1

Z2Z3

Zx = Y Z2Z3 (23)

Ahora sustituimos (19) en (23):

Zx = R2R3

[1

R 1+ jωC1

](24)

Ahora separamos terminos reales y terminos imaginarios:

Rx =R2R3

R1

(25)

ωLx = ωC1R2R3 ⇒ Lx = C1R2R3 (26)

Ya hallamos las 2 ecuaciones formulas para encontrar los valores de una resistencia y unainductancia desconocida, ahora esto lo reemplazamos en la formula del factor de calidad paraobtener una nueva condicion:

Qx =ωLx

Rx

(27)

Reemplazando (25) y (26) en (27) se obtiene:

Qx = ωC1R1 (28)

Condiciones para el equilibrio:Para que se llegue a cumplir el equilibrio se deben cumplir las siguientes condiciones:

1. El equilibrio del puente solo se puede lograr si las resistencia son resistencias variables en elcaso de este puente se usa R1 como variable y su marcador estara calibrado en valores de Q.2. El angulo de fase entre dos ramas opuestas debe ser igual al angulo del otro par de ramas,en el caso del puente de Maxwell el angulo entre la rama 2 y 3 es 0o y el angulo entre la rama1 y 4 es 0o por lo tanto si cumple la condicion.El angulo de fase de la bobina con Q alto sera cerca de 90o por lo tanto R1 debera ser muygrande.

Puente de HayEl uso de este puente permite medir valores de inductancias en terminos de capacitancia,

resistencia y frecuencia. Su diferencia con el puente de Maxwell es su condesador, ya que estese encuentra en serie con la resistencia.Para angulos de fase grandes R1 debe tener un valor muy bajo de resistencia, por lo tanto, elpuente de Hay es mas conveniente para la medicion de bobinias de Q alto.

7

Definimos primero las ecuaciones de cada rama: Rama 1:

Z1 = R1 +1

jωC1

(29)

Rama 2:Z2 = R2 (30)

Rama 3;Z3 = R3 (31)

Rama 4:Zx = Rx + jωLx (32)

Utilizando la condicion de equilibrio y reemplazando se tiene la siguiente expresion:[R1 +

1

jωC1

][Rx + jωLx] = R2R3 (33)

R1Rx +R1jωLx +Rx

jωC1

− Lx

C1

= R2R3

Ahora separamos terminos reales y terminos imaginarios, despejamos en funcion de Lx e igua-lamos ambas ecuaciones:Parte real:

R1Rx −Lx

C1

= R2R3 (34)

Parte imaginaria:

R1jωLx +Rx

jωC1

= 0 (35)

Despejamos ambas ecuaciones para tener dos terminos de Lx y las unimos: Ecuacion 1:

Lx = (R2R3 −R1Rx)C1 (36)

Ecuacion 2:

Lx =Rx

ω2R1C1

(37)

Igualando las ecuaciones (36) y (37) obtenemos la siguiente relacion para Rx

Rx =R1R2R3C1

2ω2

1 +R12ω2C1

2 (38)

8

De igual forma, de las ecuaciones (34) y (35) despejamos en funcion de Rx. igualamos y obte-nemos una solucion para la inductanciaLx:

Lx =R2R3C1

2

1 +R12ω2C1

2 (39)

En estas ecuaciones se nota la presencia de la velocidad angular por lo tanto es necesario quese requiera la frecuencia de la fuente, y que esta se deba conocer con exactitud. Dando usodel angulo de fase capacitivo lo reemplazamos en la ecuacion (39) y obtenemos la siguienteexpresion:

Lx =R2R3C1

1 +(

1Q

)2 (40)

Para valores de Q > 10 tendra valores de 1/100 por lo tanto este valor es despreciable y laecuacion quedarıa expresada de la siguiente forma:

Lx = R2R3C1 (41)

Puente de ScheringSe utiliza para medir condensadores en terminos de una capacidad pura en serie con una

resistencia y se utiliza para condensadores con factores de disipacion muy bajos

Condicion de equilibrio:La suma de los angulos de fase de las ramas 1 y 4 debe ser igual al angulo de fase de las

ramas 2 y 3.

Z1Zx = Z2Z3 (42)

9

Z1 =1

Y1

Zx = Z2Z3Y1 (43)

Reemplazamos los respectivos valores de cada impedancia.

Rx −j

ωCx

= R2

(− j

ωC3

)(1

R1

+ jωC1

)(44)

Ordenamos:

Rx −j

ωCx

=R2C1

C3

− j R2

ωC3R1

(45)

Separamos terminos reales y terminos imaginarios: Parte real:

Rx =R2C1

C3

(46)

Parte imaginaria:

− j

ωCx

= −j R2

ωC3R1

Cx =C3R1

R2

(47)

Puente de WienSirve para medir valores de frecuencia, pero a la vez sirve para diversas aplicaciones, como

por ejemplo:1. Analizador de distorsion armonica.2. Osciladores de audio y alta frecuencia.

Definimos primeramente las ecuaciones de rama:Rama 1:

Z1 = R1

(− j

ωC1

)(48)

Rama 2:Z2 = R2 (49)

10

Rama 3:

Y3 =1

R3

+ jωC3 (50)

Rama 4:Z4 = R4 (51)

Ahora aplicamos la ecuacion para el balance:

R2 = R4

(R1 −

j

ωC1

)(1

R3

+ jωC3

)(52)

Ahora realizamos operaciones matematicas para tener mas terminos:

R2 =R1R4

R3

+ jωC3R1R4 −jR4

ωC1R3

+R4C3

C1

(53)

Ahora separamos parte imaginaria y parte real

R2

R4

=R1

R3

+C3

C1

(54)

ωC3R1R4 =R4

ωC1R3

(55)

Sabiendo que ω = 2πf Reemplazamos en la ecuacion (55) y obtenemos una ecuacion para hallarel valor de la frecuencia:

f =1

2π√C1R3C3R1

(56)

Si se satisface la ecuacion que hallamos, y se excita el puente con la frecuencia descrita por laecuacion el puente queda en equilibrio.

Puente de OwenEl equilibrio del valor resistivo e inductivo de la impedancia desconocida es independiente

entre sı si los valores de R3 y C3 son variables.Por otro lado, el equilibrio del puente tambien se puede obtener modificando los valores de R1

y R3 si las capacidades del circuito C2 y C3 son fijas.El puente de Owen permite determinar el incremento de inductancias en bobinas con nucleode hierro.

11

Aplicamos la condicion de balance:Z1Z3 = ZxZ2 (57)

Sustituimos los valores de cada una de las ramas y obtenemos la siguiente ecuacion:

jωC2R1 =Zx

R3 + 1jωC3

(58)

Despejamos Zx

Zx =R1C2

C3

+ jωR1R3C2 (59)

Separamos parte real e imaginaria e igualamos, de esta forma obtenemos las dos ecuaciones delpuente:

Rx =R1C2

C3

(60)

Lx = R1R3C2 (61)

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Resistencias patron:El National Reference Standard de resistencias, consiste en un grupo de diez resistencias de

1Ω de construccion especial y selladas en recipiente de doble envolvente para evitar el contactocon el aire, las cuales se conservan en el National Bureau of Standards.Los patrones de resistencia utilizados en las medidas de precision estan construidas con metalde elevada resistividad, en forma de hilo o de cinta. Generalmente, se utiliza la manganina, seda uso de esta aleacion debido a que si se trata adecuadamente y se protege del aire y de lahumedad, posee una serie de caracterısticas adecuadas, como valor estable bajo coeficiente detemperatura alta.Existen dos tipos de patron de uso general:1. Reichsastalt

13

2. NBSSe utilizan sus terminales sumergidos en mercurio y estan sumergidos en un bano de aceite paradisipar el calor y para mantener la temperatura a un valor constante durante las mediciones.Para mayor precision la disipacion de potencia debe mantenerse por debajo de 0.1W aunquepuede alcanzar 1W.

Normas que se deben cumplir en las resistencias patron:1. Una resistencia patron se contruye por medio de una aleacion de alambre resistente como

la manganina.2. El informe de calibracion que acompana la resistencia especifica su trazabilidad de acuerdocon los patrones de la NBS e incluye os coeficiente de temperatura α y βPor ejemplo si un alambre dado para una resistencia proporciona un valor casi constante,tomando en cuenta que se cuenta con varias temperaturas, el valor exacto de esta resistencia acualquier valor de temperatura se puede calcular a partir de la siguiente expresion, de las cualasumiremos una temperatura de 25oC:

Rt = R25oC + α (t− 25)) + β(t− 25)2

Inductancia:La inductancia es una medida de la oposicion a un cambio de corriente de un inductor o

bobina que almacena energıa en presencia de un campo magnetico y se define como la variaciondel flujo magnetico (Φ) y la corriente (I) que circula por la bobina y el numero de vueltas (N)del devanado.

La inductancia depende de las caracterısticas fısicas del conductor y la longitud del mismo,si un conductor es enrrollado aparecera una inductancia, y se realizan mas vueltas sobre elmismo conductor abra mucha mas inductancia, si le llegamos a anadir un nucleo de ferrita estetambien aumentara su inductancia.Si se tiene un solenoide, cuyo conductor esta enrrollado N veces y se conoce el area y la longituddel conductor se puede deducir indirectamente el valor de la inductancia con la siguiente formulay tomando en cuenta que este se encuentra en el vacio sin someterse al efecto de ningun otrodielectrico:

L =µoN

2A

l(62)

Si este no esta en el vacio y se encuentra sometido por un dielectrico la ecuacion se escribe dela siguiente forma:

L =µN2A

l(63)

14

Donde:L→ Inductancia [H]µ→ Permeabilidad del medioN → Numero de vueltas del devanadoA→ Area del conductorl→ Longitud del conductorAcontinuacion se listan algunos valores de Permeabilidad:

Factor de calidad de una bobinaEl factor de calidad es un parametro tambien conocido como factor de selectividad y mide

la relacion entre la energıa reactiva que almacena y la energıa que disipa un ciclo completo deun senal.Un factor de calidad alto indica una tasa baja de perdida de energıa.Representa una medida de lo aguda que es la resonancia en un circuito oscilador, es decir co-nectado a una fuente de fem AC.Para calcular el factor de calidad se utiliza la siguiente formula:

Qx =ωLx

Rx

(64)

Bobina ideal:Una bobina ideal tiene solamente caracter inductivo sea cualquiera la forma en la que este

enrrollado el cable:Esquema de una bobina ideal:

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Forma toroidal:

Forma solenoidal:

Bobina real:A diferencia de la bobina ideal presenta una resistencia electrica propia del alambre conductor

y un efecto capacitivo por el movimiento de corriente entre las espiras, debido a los materialesutilizados.Esquema de una bobina real:

Inductancia patron:Los valores absolutos de las resistencias patron se controlan mediante la inductancia Camp-

bell, la cual tiene una inductancia mutua que se puede determinar mediante medidas geometri-cas de las bobinas de la inductancia. Se puede utilizar un puente para determinar el valor dela resistencia patron en funcion de la induccion mutua.

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Estos patrones inductivos son precisos, muy estables como autoinductancia para uso como re-ferencia de baja frecuencia, para trabajos normales en laboratorio.

Capacidad electrica:Tambien se denomina capacitancia, es la propiedad que tienen los cuerpos para mantener

una carga electrica. La capacidad es una medida de la cantidad de energıa electrica almacenadapor una diferencial de potencial electrico dado.La corriente que logra atravesar una placa hacia la otra es debido a la tension aplicada alcondensador que rompe con la oposicion del dielectrico.

Ası la corriente del condensador viene dada por la siguiente expresion:

ic(t) = Cdv

dt[A] (65)

dv

dt→ Variacion de la tension con respecto al tiempo.

C → Capacitancia del condensador

Capacitancia:La capacidad de un condensador para almacenar carga electrica en la superficie de las pla-

cas la otorga la capacitancia, la cual es la relacion de carga sobre tension aplicada en sus bornes.

C =q(t)

v(t)[F ] (66)

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El valor de una capacitancia de un condensador depende de su diseno geometrico y del materialdielectrico, esto viene dado por la siguiente relacion:

C = εA

d[F ] (67)

Donde:C → Capacitancia del condensadorA→ Area de las placasd→ Distancia de separacion entre las placasε→ Permitividad electrica del material, en el caso de ser al vacio quedarıa εoEl valor de la permitividad relativa varıa segun el tipo de material que se va a utilizar:

Condensador ideal:Solamente tiene su caracter capacitivo:

Condensador real:Representa una resistencia electrica propia de los terminales de conexion y las placas y un

efecto inductivo parasito asociado tambien a los terminales de conexion y las placas y unaresistencia electrica propia del dielectrico, si se someten a bajas frecuencias estos valores sonomitidos.

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3. Conclusiones:

3.1. Primera conclusion:

Es importante establecer la razon por la cual se genera el equilibrio del puente, ya que pormedio de esto podemos deducir facilmente las formulas que nos permitiran mantener el puenteen equilibrio.

3.2. Segunda conclusion:

Las ecuaciones de equilibrio seran siempre las misma en cuanto no se llegue a cambiarningun elemento perteneciente al circuito puente.

3.3. Tercera conclusion:

La resolucion paso a paso de las ecuaciones es facil si es que se tiene conocimiento de loscasos que intervienen en cada puente para que se puede cumplir con el equilibrio.

4. Bibliografıa:

[1]Instrumentacion electronica moderna y tecnicas de medicion - Cooper-Helfrick-Capitulo 5

[2]Analisis de circuitos electricos - Hayt - Ed. 7ma

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