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DIMENSIONAMENTO E VERIFICA DELLE COLONNE
http://www.francobontempi.org
Prof. Franco Bontempi, Ing. Stefania Arangio
[email protected], [email protected]
Sapienza Università di Roma
Corso di Tecnica delle Costruzioni – Ingegneria Civile
A.A. 2015 – 2016
ESERCITAZIONE 7 (parte I)
20 Novembre 2015
2/32
Corso di Tecnica delle Costruzioni – Ingegneria Civile
Prof. Franco Bontempi – Ing. Stefania Arangio
ESERCITAZIONE 7
A.A. 2015 - 2016
Cenni sull’instabilità
Verifiche secondo la CNR10011 – metodo ω
• solo sforzo normale
• presso-flessione
Verifiche secondo le NTC 2008
• solo sforzo normale
• presso-flessione
Esempi: • Dimensionamento e verifica a sforzo normale secondo CNR10011
• Dimensionamento e verifica a sforzo normale secondo NTC 2008
Progetto di un telaio a traverso rigido
Outline
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Corso di Tecnica delle Costruzioni – Ingegneria Civile
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ESERCITAZIONE 7
A.A. 2015 - 2016
Cenni sull’instabilità
Verifiche secondo la CNR1011 – metodo ω
• solo sforzo normale
• presso-flessione
Verifiche secondo le NTC 2008
• solo sforzo normale
• presso-flessione
Esempi: • Dimensionamento e verifica a sforzo normale secondo CNR10011
• Dimensionamento e verifica a sforzo normale secondo NTC08
Progetto di un telaio a traverso rigido
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Corso di Tecnica delle Costruzioni – Ingegneria Civile
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ESERCITAZIONE 7
A.A. 2015 - 2016
Cenni sull’instabilitá
Un’asta snella soggetta a compressione collassa prima che il carico raggiunga
il valore massimo in base alla resistenza
Interviene il fenomeno dell’instabilità che fa diminuire il carico di rottura
Il carico che procura collasso per instabilità è il carico critico
l0 = lunghezza libera di inflessione:
distanza tra due punti di flesso
consecutivi della linea elastica
con l0=βl
β dipende dallo schema
statico adottato
Snellezza
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ESERCITAZIONE 7
A.A. 2015 - 2016
Lunghezza libera di inflessione
Valori di β a seconda dello schema
statico
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ESERCITAZIONE 7
A.A. 2015 - 2016
Cenni di instabilità
Verifiche secondo la CNR1011 – metodo ω
• solo sforzo normale
• presso-flessione
Verifiche secondo le NTC 2008
• solo sforzo normale
• presso-flessione
Esempi: • Dimensionamento e verifica a sforzo normale secondo CNR10011
• Dimensionamento e verifica a sforzo normale secondo NTC08
Progetto di un telaio a traverso rigido
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ESERCITAZIONE 7
A.A. 2015 - 2016
Dimensionamento e verifica a sforzo normale CNR 10011 – Metodo ω
METODO ω - § 7.2 CNR 10011/97
1) ANALISI DEI CARICHI
Per aree di influenza
Si considerano:
• Carichi verticali (permanenti – variabili)
• Carichi orizzontali (vento)
2) PREDIMENSIONAMENTO (scelta del profilo tramite l’area minima)
Deve essere soddisfatta:
quindi invertendo la relazione si ha
3)CALCOLO DELLA SNELLEZZA
λ≤ 200 membrature principali
λ≤ 250 membrature secondarie
4) VALUTAZIONE DI ω VERO (Prospetti 7.II, 7.III, 7.IV – CNR 10011/97)
5) VERIFICA DI STABILITA’
Nel predimensionamento
si pone 2≤ω≤3
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ESERCITAZIONE 7
A.A. 2015 - 2016
Dimensionamento e verifica a sforzo normale CNR 10011 – Metodo ω
Prospetto 7.II CNR 10011 per determinare ω a partire da λ
λ= 72 ω= 1,49
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ESERCITAZIONE 7
A.A. 2015 - 2016
Verifica a presso-flessione secondo CNR 10011 (1/2)
§ 7.4 CNR 10011/97
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ESERCITAZIONE 7
A.A. 2015 - 2016
VERIFICA A PRESSO-FLESSIONE DELLA COLONNA (§ 7.4 CNR 10011/97)
𝛹 = 1
𝜈 = 1
𝑁𝑐𝑟𝑖𝑡 = 𝜎𝑐𝑟𝑖𝑡 ∙ 𝐴 𝑐𝑜𝑛 𝜎𝑐𝑟𝑖𝑡 𝜆
fattore di forma
per verifiche agli stati limite
nel prospetto 7.VII CNR 10011
Meq = Momento
equivalente
Meq = M se M costante
Meq = 0,6MA – 0,4MB se M lineare
Meq = 1,3 Mm se M variabile
Sempre: Meq ≥ 0,75Mmax
Verifica a presso-flessione secondo CNR 10011 (2/2)
MA
MB
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ESERCITAZIONE 7
A.A. 2015 - 2016
Cenni di instabilità
Verifiche secondo la CNR1011 – metodo ω
• solo sforzo normale
• presso-flessione
Verifiche secondo le NTC 2008
• solo sforzo normale
• presso-flessione
Esempi: • Dimensionamento e verifica a sforzo normale secondo CNR10011
• Dimensionamento e verifica a sforzo normale secondo NTC08
Progetto di un telaio a traverso rigido
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ESERCITAZIONE 7
A.A. 2015 - 2016
Verifica di instabilità a compressione secondo NTC 2008
1) Calcolo della snellezza
2) Calcolo dell’azione di progetto Ned
3) Calcolo del carico critico elastico
4) Calcolo della snellezza adimensionale
5) Calcolo del coefficiente (Tab. 4.2.VI -NTC)
6) Calcolo del parametro
7) Calcolo del fattore di riduzione
8) Calcolo dell’azione assiale resistente
9) Verifica
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ESERCITAZIONE 7
A.A. 2015 - 2016
Verifica di instabilità a presso-flessione secondo NTC 2008
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ESERCITAZIONE 7
A.A. 2015 - 2016
Verifica di instabilità a presso-flessione secondo NTC 2008
Momento equivalente
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ESERCITAZIONE 7
A.A. 2015 - 2016
Cenni di instabilità
Verifiche secondo la CNR1011 – metodo ω
• solo sforzo normale
• presso-flessione
Verifiche secondo le NTC 2008
• solo sforzo normale
• presso-flessione
Esempi: • Dimensionamento e verifica a sforzo normale secondo NTC08
• Dimensionamento e verifica a sforzo normale secondo CNR10011
Progetto di un telaio a traverso rigido
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ESERCITAZIONE 7
A.A. 2015 - 2016
TRONCO SUPERIORE PERMANENTI CARICHI [kN]
solaio 3,82 kN/m2 x 30 m2 114,60
travi secondarie (IPE 240) 0,307 kN/m x 5 m x 4 (n°travi) 6,14
trave principale (IPE 500) 0,907 kN/m x (2+4) m x 1 (n°travi) 5,44
Totale permanenti 126,2
VARIABILI
Qk: vento (vedi Figura 143) 21,00
Qk: carichi antropici 0,5 kN/m2 x 30 m2 15,00
Qk: neve 0,48 kN/m2 x 30 m2 14,40
11
Area di influenza
5x6=30 m2
Schema statico
Analisi dei carichi Tronco superiore
Tronco inferiore
Analisi dei carichi del
tronco superiore per
area di influenza
Analisi dei carichi del
tronco superiore per
area di influenza
Tronco superiore
Tronco inferiore
Esempio: dimensionamento e verifica colonna n. 11 – Analisi dei carichi
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ESERCITAZIONE 7
A.A. 2015 - 2016
COMBINAZIONE DELLE AZIONI – TRONCO SUPERIORE
3303220211sup, kQkQkQGd QQQGF
KNFd 4,206155,104,145,15,00,215,12,1263,11sup, COMB1 Vento variabile di base
KNFd 3,216215,16,04,145,15,0155,12,1263,12sup, COMB2 Antropico variabile di base
KNFd 6,204155,10215,16,04,145,12,1263,13sup, COMB3 Neve variabile di base
NEd,sup = Fd,sup= 216,3 kN
Dimensionamento e verifica colonna n. 11 – Azioni di progetto
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ESERCITAZIONE 7
A.A. 2015 - 2016
TRONCO INFERIORE PERMANENTI CARICHI [kN]
solaio 3,77 kN/m2 x 30 m2 113,10
travi secondarie (IPE 240) 0,307 kN/m x 5 m x 4 (n°travi) 6,14
trave principale (IPE 500) 0,907 kN/m x (2+4) m x 1 (n°travi) 5,44
Totale permanenti 124,7
VARIABILI
Qk: vento (vedi Figura 143) 79,5
Qk: carichi antropici 2 kN/m2 x 30 m2 60,0
PIANO SUPERIORE Fd,sup 216,3
COMBINAZIONE DELLE AZIONI – TRONCO INFERIORE
Analisi dei carichi del
tronco inferiore per
area di influenza
sup,220211inf, dkQkQGd FQQGF
COMB1 Vento variabile di base
COMB2 Antropico variabile di base
KNFd 7,5603,216605,17,05,795,17,1243,11inf,
KNFd 5403,2165,795,16,0605,17,1243,12inf,
NEd,inf = Fd,inf= 560,7 KN
Dimensionamento e verifica colonna n. 11 – Azioni di progetto
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ESERCITAZIONE 7
A.A. 2015 - 2016
DIMENSIONAMENTO E VERIFICA DEL TRONCO INFERIORE
Si progetta la colonna del tronco inferiore (più caricato) e si utilizza per entrambi i piani
3,433
1021014,3
104107,56032
233
2
2
0min
E
lNI Ed
cm4
1) Calcolo dell’azione di progetto Ned
2) Calcolo del carico critico elastico
3) Calcolo della snellezza adimensionale
PREDIMENSIONAMENTO
Si inverte la relazione del carico critico
VERIFICA
A = 38,8 cm2
p.p. = 0,304 kN/m
Ix = 1673 cm4
Iy = 615,6 cm4
HEA 160
cr
y
N
fA 07,1
106,796
235108,383
2
NEd = 560,6 +(1,3·0,304·4·2)= 563,8 KN
Contributo del p.p.
6,796
104
106,6151021014,323
432
2
0
min
2
l
IENcr
Esempio NTC 2008: dimensionamento e verifica colonna n. 11
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ESERCITAZIONE 7
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4) Calcolo del coefficiente Dal Prospetto 4.2.VI delle NTC 2008 =0,49
5) Calcolo del parametro
6) Calcolo del fattore di riduzione
7) Calcolo dell’azione assiale resistente
8) Verifica
13,1
2,434
8,563
,
Rdb
Ed
N
N
])2,0(1[5,02
29,1]07,1)2,0,071(49,01[5,0 2
5,007,129,129,1
11
2222
KNfA
NM
y
Rdb 2,43405,1
235108,385,0 2
1
,
La verifica non è soddisfatta!
Esempio NTC 2008: dimensionamento e verifica colonna n. 11
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ESERCITAZIONE 7
A.A. 2015 - 2016
Si sceglie un profilo più grande - HEA 180 - e si applica la stessa procedura.
(I calcolo estesi sono riportati sul libro)
Alla fine:
196,0
4,587
8,563
,
Rdb
Ed
N
N
La verifica risulta soddisfatta
Ma ATT! Alle dimensioni geometriche dei profili che andranno collegati
(trave – colonna)
Trave: IPE 500 (b=200 mm)
Colonna HEA 180 (b = 180 mm)
E’ necessario utilizzare
almeno un profilo HEA 200
(b=200 mm)
Esempio NTC 2008: dimensionamento e verifica colonna n. 11
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ESERCITAZIONE 7
A.A. 2015 - 2016
Esempio metodo ω (CNR 10011): dimensionamento colonna n. 11
1) ANALISI DEI CARICHI
2) PREDIMENSIONAMENTO (scelta del profilo tramite l’area minima)
𝐴 ≥𝜔𝑁𝐸𝑑
𝑓𝑦𝑑=
2 ∙ 560,7 ∙ 103
223,8= 5011 c𝑚2
3) CALCOLO DELLA SNELLEZZA
𝜆 =𝑙0
𝑖𝑚𝑖𝑛=
1 ∙ 400
4,98= 80 < 200
4) VALUTAZIONE DI ω VERO (Prospetti 7.II, 7.III, 7.IV – CNR 10011/97)
5) VERIFICA DI STABILITA’
NEd,inf = Fd,inf= 560,7 KN
A = 53,8 cm2
p.p. = 0,423 kN/m
Jx = 3692 cm4
ix = 8,28 cm
iy = 4,98 cm
HEA 200
λ= 80 ω= 1,62
𝜎 =𝜔𝑁𝐸𝑑
𝐴=
1,62(560,7 + 1,3 ∙ 0,423 ∙ 4 ∙ 2) ∙ 103
5380=
565,1 ∙ 103
5380= 104,8
𝑁
𝑚𝑚2≤ 𝑓𝑦𝑑 = 223,8
𝑁
𝑚𝑚2
Contributo del p.p.
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ESERCITAZIONE 7
A.A. 2015 - 2016
Cenni di instabilità
Verifiche secondo la CNR1011 – metodo ω
• solo sforzo normale
• presso-flessione
Verifiche secondo le NTC 2008
• solo sforzo normale
• presso-flessione
Esempi: • Dimensionamento e verifica a sforzo normale secondo CNR10011
• Dimensionamento e verifica a sforzo normale secondo NTC08
Progetto di un telaio a traverso rigido
Outline
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ESERCITAZIONE 7
A.A. 2015 - 2016
Predimensionamento e verifica dei telai a traverso rigido (1/9)
GENERALITA’ Telaio a traverso infinitamente rigido
k → ∞
90°
h
l
I vincoli esterni possono essere incastri o
cerniere.
Sarà diversa la lunghezza libera di
inflessione della colonna
k → ∞ non è ottenibile per le costruzioni
reali.
Un telaio in acciaio si può considerare a
traverso rigido se k ≈ 3
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ESERCITAZIONE 7
A.A. 2015 - 2016
Predimensionamento e verifica dei telai a traverso rigido (2/9)
GENERALITA’
A cosa serve assegnare un valore a k?
Lo troviamo nelle formule del prontuario per il calcolo delle sollecitazioni (in fase di predimensionamento non conosciamo i profili di traverso e colonna per calcolarlo, quindi è
necessario fare delle ipotesi).
IMMAGINE PRONTUARIO
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ESERCITAZIONE 7
A.A. 2015 - 2016
Predimensionamento e verifica dei telai a traverso rigido (3/9)
GENERALITA’
Nello studio dei telai a traverso rigido si considera l’interazione tra i carichi
orizzontali e i carichi verticali anche per il calcolo delle sollecitazioni agenti sulla
trave
G
Qv
Qh
l = 5 m
h =
4 m
G Qv Qh
= + +
A
B C
D
KNmpl
k
kM Gl 6,48
832
12 2
2/
KNmk
plMM GCGB 7,16
)2(6
2
)()(
KNmk
plMM GAGA 4,8
)2(12
2
)()(
KNmpl
k
kM Qvl 1,12
832
12 2
)(2/
KNmk
plMM QvCQvB 2,4
)2(6
2
)()(
KNmk
plMM QvAQvA 1,2
)2(12
2
)()(
KNkl
phV QhD 5,3
)16(
2
)(
KNk
kphH QhD 3,6
2
23
8)(
KNm
k
k
k
kphM QhA 7,24
61
41
26
3
4
2
)(
KNm
k
k
k
kphM QhD 6,13
26
3
61
41
4
2
)(
KNmhHMM QhDQhDQhC 6,11)()()(
0)(2/ QhlM
ESERCITAZIONE 12: parte II 26/03/2009
PREDIMENSIONAMENTO E VERIFICA DI UNA STRUTTURA A TELAIO: SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI
G = 20 kN/m
Qv = 5 KN/m
Qh = 7 KN/m
k = 3
16,7
8,4
48,6
4,2
12,1
2,124,7
11,6
13,6
Nota
L’effetto dei diversi carichi viene studiato
singolarmente senza l’uso di coefficienti
moltiplicativi
La combinazione con i coefficienti
parziali verrà fatta sugli effetti
(M e spostamenti)
I carichi vengono applicati senza
coefficienti moltiplicativi.
La combinazione viene
effettuata sulle sollecitazioni di
progetto
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ESERCITAZIONE 7
A.A. 2015 - 2016
Predimensionamento e verifica dei telai a traverso rigido (4/9)
SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI
G
Qv
Qh
l = 5 m
h =
4 m
G Qv Qh
= + +
A
B C
D
KNmpl
k
kM Gl 6,48
832
12 2
2/
KNmk
plMM GCGB 7,16
)2(6
2
)()(
KNmk
plMM GAGA 4,8
)2(12
2
)()(
KNmpl
k
kM Qvl 1,12
832
12 2
)(2/
KNmk
plMM QvCQvB 2,4
)2(6
2
)()(
KNmk
plMM QvAQvA 1,2
)2(12
2
)()(
KNkl
phV QhD 5,3
)16(
2
)(
KNk
kphH QhD 3,6
2
23
8)(
KNm
k
k
k
kphM QhA 7,24
61
41
26
3
4
2
)(
KNm
k
k
k
kphM QhD 6,13
26
3
61
41
4
2
)(
KNmhHMM QhDQhDQhC 6,11)()()(
0)(2/ QhlM
ESERCITAZIONE 12: parte II 26/03/2009
PREDIMENSIONAMENTO E VERIFICA DI UNA STRUTTURA A TELAIO: SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI
G = 20 kN/m
Qv = 5 KN/m
Qh = 7 KN/m
k = 3
16,7
8,4
48,6
4,2
12,1
2,124,7
11,6
13,6
Nota
L’effetto dei diversi carichi viene studiato
singolarmente senza l’uso di coefficienti
moltiplicativi
La combinazione con i coefficienti
parziali verrà fatta sugli effetti
(M e spostamenti)
G = 20 KN/m
Qv = 5 KN/m
Qh = 7 KN/mv
G
Qv Qh
45,8
8,3
11,4
v
l=5m
h=
4m
28/32
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ESERCITAZIONE 7
A.A. 2015 - 2016
Predimensionamento e verifica dei telai a traverso rigido (5/9)
CALCOLO DEL MOMENTO DI PROGETTO del TRAVERSO MEd
COMB1 x=l/2
≈ 0
COMB2 x=l
Qv
Var. principale
COMB3 x=l
Qh
Var. principale
La combinazione viene fatta sulle sollecitazioni.
Le azioni sono state applicate senza coefficienti moltiplicativi
MEd = 76,6 KNm
c
c
29/32
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ESERCITAZIONE 7
A.A. 2015 - 2016
Predimensionamento e verifica dei telai a traverso rigido (6/9)
PREDIMENSIONAMENTO TRAVERSO
VERIFICA AGLI STATI LIMITE ULTIMI
IPE 240
Wpl = 366,6 cm3
Jx = 3891,6 cm4
p.p. = 0,307 KN/m
Momento sollecitante con
aggiunta del contributo
dovuto al peso proprio
Momento resistente plastico
(sezione classe 1 a flessione)
Verifica di sicurezza agli SLU
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ESERCITAZIONE 7
A.A. 2015 - 2016
Predimensionamento e verifica dei telai a traverso rigido (7/9)
VERIFICA AGLI STATI LIMITE DI ESERCIZIO
Spostamento verticale dovuto
ai carichi permanenti
Spostamento verticale dovuto
ai carichi variabili Qv
Spostamento verticale totale
CALCOLO DEGLI SPOSTAMENTI
VERIFICA
(Limiti calcolati con riferimento al caso «coperture in generale» della Tab. 4.2.X - NTC08)
𝛿1 =5
384
𝐺𝑙4
𝐸𝐽=
5
384
20,307∙54
2,1∙108∙3891,6∙10−8 =2 cm
𝛿2 =
5
384
𝑄𝑣𝑙4
𝐸𝐽=
5
384
5∙54
2,1∙108∙3891,6∙10−8 = 0,5 cm
𝛿𝑡𝑜𝑡 = 𝛿1 + 𝛿2 = 2,5 𝑐𝑚
𝛿2 = 0,5 𝑐𝑚 ≤𝐿
250=
500
250= 2 𝑐𝑚
𝛿𝑡𝑜𝑡 = 2,5 𝑐𝑚 ≤𝐿
200=
500
200= 2,5 𝑐𝑚
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Corso di Tecnica delle Costruzioni – Ingegneria Civile
Prof. Franco Bontempi – Ing. Stefania Arangio
ESERCITAZIONE 7
A.A. 2015 - 2016
Predimensionamento e verifica dei telai a traverso rigido (8/9)
PREDIMENSIONAMENTO DELLA COLONNA PRESSO-INFLESSA
Vengono scelti profili di tipo HEA e HEB per facilitare l’unione trave-colonna (l’ala della colonna deve essere almeno pari alla larghezza della trave IPE240 b=120mm)
HEB 140 Wx = 216 cm3
Jx = 1509 cm4
A = 43 cm2
ix= 5,93 cm ; iy = 3,58 cm
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Corso di Tecnica delle Costruzioni – Ingegneria Civile
Prof. Franco Bontempi – Ing. Stefania Arangio
ESERCITAZIONE 7
A.A. 2015 - 2016
Predimensionamento e verifica dei telai a traverso rigido (9/9)
Mmax(piede)=1,3·8,3+1,5·24,7+1,5·0,5·2,1=49,4 KNm
Mmin(testa)=1,3·16,7+1,5·4,2-1,5·0,6·11,6=38,45 KNm
Mm=(Mmax+Mmin)/2= 43,9 KNm
Meq = 1,3 Mm=1,3·43,9=57,1 KNm
Meq = 1,3 Mm per M variabile
Meq ≥ 0,75Mmax=37KNm
𝑁𝐸𝑑 ∙ 𝛾𝑀1
𝜒𝑚𝑖𝑛 ∙ 𝑓𝑦𝑘 ∙ 𝐴+
𝑀𝑦𝑒𝑞𝐸𝑑 ∙ 𝛾𝑀1
𝑓𝑦𝑘 ∙ 𝑊𝑦 1 −𝑁𝐸𝑑𝑁𝑐𝑟
VERIFICA A PRESSO-FLESSIONE DELLA COLONNA (Metodo A NTC08 §C4.2.4.1.3.3.1)