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atsushi-hayakawa
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読書会の資料
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第11回「データ解析のための統計モデリング入門」読書会空間構造のある階層ベイズモデル
11.1~11.3
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@gepuro
自己紹介
• @gepuro
• 電通大 修士2年
• 専攻: 信頼性工学
2
• 10章では個体差をモデルに組み込んだ
3
11.1 例題:一次元空間上の個体数分布
4
• 全体が均質でない
• 近所どうしは似ている
というモデルを考える。
まずは、ポアソン分布に従うと仮定
11.2階層ベイズモデルに空間構造を組み込む
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過分散⇒単純なポアソン分布でない
ポアソン分布に従うと仮定
• ポアソン分布 𝑝 𝑦𝑗|𝜆 =𝜆𝑦𝑗exp(−𝜆)
𝑦𝑗!
–平均: 𝜆
–分散: 𝜆
• データでは、–平均: 10.9
–分散: 27.4
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過分散なモデルに対して
• 区画𝑗ごとに平均𝜆𝑗が異なる–と仮定する。
• log 𝜆𝑗 = 𝛽 + 𝑟𝑗–対数リンク関数を用いる
• 𝛽:切片, 大域的なパラメータ–無情報事前分布
• 𝑟𝑗 :場所差–階層事前分布
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なんらかの形で場所差を組み込んだ統計モデルが必要になる
「両隣と似ているかもしれない」
⇒「各𝑟𝑗は独立」と仮定しないほうが良い。
11.2.1空間構造のない階層事前分布
• 𝑝 𝑟𝑗|𝑠 =1
2𝜋𝑠2exp −
𝑟𝑗2
2𝑠2
–第10章で登場
–場所差𝑟𝑗はどれも独立に同じ事前分布
–平均0、標準偏差s の正規分布
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Intrinsic Gaussian CARと呼ばれる
11.2.2空間構造のある階層事前分布
• 𝑝 𝑟𝑗|𝜇𝑗 , 𝑠 =𝑛𝑗
2𝜋𝑠2exp −
𝑟𝑗−𝜇𝑗2
2𝑠2/𝑛𝑗
• 平均𝜇𝑗 =𝑟𝑗−1 +𝑟𝑗+1
2
• 標準偏差: 𝑠
𝑛𝑗, 𝑛𝑗は近傍数
• 左右の両端𝑗 = 1, 𝑗 = 50
– 𝜇1 = 𝑟2, 𝜇50 = 𝑟499
ある区画はそれと接している区画とだけ相互作用すると仮定
同時分布の立て方が分からなかったので、教えてください。↓一階差分を展開すれば、二階差分が出てきます。
場所差 𝒓𝒋 = {𝒓𝟏, 𝒓𝟐, … , 𝒓𝒋}全体の事前分布である同時分布
𝑝 𝑟𝑗 |𝑠 ∝ exp1
2𝑠2
𝑗~𝑗′
𝑟𝑗 − 𝑟𝑗′ 2
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ある区画jと別の近傍な区画𝑗′の組み合わせ
11.3空間統計モデルをデータにあてはめる
𝑝 𝛽, 𝑠, 𝑟𝑗 |𝑌 ∝ 𝑝 𝑟𝑗 |𝑠 𝑝 𝑠 𝑝 𝛽
𝑗
𝑝 𝑦𝑗|𝜆𝑗
𝑝 𝑦𝑗|𝜆 は平均𝜆𝑗 = exp(𝛽 + 𝑟𝑗)のポアソン分布
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事後分布
事前分布 尤度
空間相関のある場所差の階層ベイズモデルの概要
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stanを書いたことないので、
写経しました。 13
http://heartruptcy.blog.fc2.com/blog-entry-141.html
http://heartruptcy.blog.fc2.com/blog-entry-141.htmlより引用14
空間相関を導入することにより、
過分散の問題を解決することが
できた
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