Estructuras Algebraicas

estudiantes de ingeniería de sistemas.

integrantes:Milton bolívarKeiler marical Felix charris

Estructuras AlgebraicasFrecuentemente la primera dificultad que encuentra el alumno en el

estudio de las Estructuras Algebraicas es asimilar la existencia de operadores como * que expresan operaciones que no tienen porqué ser las clásicas conocidas de adición, diferencia, producto, cociente,

etc. Sino que pueden expresar otras formas de composición (operaciones definidas por una ley de variación que puede o no expresarse

en fórmulas)

* a b

a a b

b b a

* 0 1

0 0 1

1 1 0

Tabla 1

Tabla 2

Según la tabla 2, el operador * genera los siguientes resultados:

0 * 0 = 0 Si G = { 0, 1 }Notemos que todos los resultados de

operar algún elemento de G con otro elemento del mismo conjunto (incluso

consigo mismo) . . .Son elementos del mismo conjunto G ( 0 ó 1 )entonces

* Es una Ley de Composición interna en G* Es una Ley de Composición interna en G

1 * 0 = 1

0 * 1 = 11 * 1 = 0

* se lee “asterisco”

Si una operación * respecto de los elementos de un conjunto G

que se escribe: (G, *), verifica que:

1) G2 G * es una Ley de composición interna en G

2) a, b, c : a, b, c G (a * b) * c = a * (b * c) Asociativa

Definida una operación * si el resultado de operar dos elementos cualesquiera de G con * es otro elemento de G, hay L.C.I.

Definida una operación * si con tres elementos cualesquiera de G la operación * responde a la propiedad asociativa

(G, *) tiene estructura de semi-grupo si además

3) e G / a : a G a * e = e * a = a Existe Elemento Neutro

Definida una operación * si en el conjunto G existe al menos un elemento “e”, que al operarlo con cualquier otro elemento “a” de G, resulta el mismo elemento “a”

4) a : a G, a´ G / a * a´ = a´ * a = e Existe Elemento Inverso

Definida una operación * si para cada elemento de G existe al menos un elemento a´ que al operar con a dá como resultado el neutro e

(G, *) tiene estructura de grupo

1a1a 1b1b 1c1c

Si además de cumplirse las cuatro condiciones anteriores - lo que hace a (G,*) Grupo -

5) a, b : a, b G a * b = b * a Conmutativa

(G, *) tiene estructura de grupo abeliano ó grupo conmutativo

Sea una estructura algebraica definida en un conjunto G con dos leyes de composición * y

(G, * ) es Anillosi . . .

1) (G, *) es Grupo abeliano

2) (G, ) es semi Grupo

3) es distributivo a izquierda y derecha respecto de *

a, b, c G : a (b * c) = (a b) * (a c)

(b * c) a = (b a) * (c a)

Si la segunda ley de composición es conmutativa,

(G, * ) es AnilloConmutativo

Si (G * ) es Anillo

Y además posee elemento neutro respecto de (G * ) es Anillo con

Unidad

Un Anillo con unidad cuyos elementos no nulos son inversibles se llama Anillo Anillo con divisióncon división

Si un Anillo con división es conmutativo, se llama CuerpoCuerpo

1) (G, *) es Grupo abeliano

2) (G , ) es Grupo abeliano, salvo que el 0 no es inversible

3) es distributivo respecto de *

Ejemplo: (Z, * (Z, * )) donde * es la adición (suma) y es el producto ordinario

No es cuerpoNo es cuerpo, pues los únicos elementos no nulos que admiten inverso multiplicativo son 1 y - 1

(R, * (R, * )) donde * es la adición (suma) y es el producto ordinario

Es CuerpoEs Cuerpo

  1) a) Si G1 = { x / x = 2k, k Z } ; * es el producto ordinario

Sean k, t Z

2k · 2t = 2(k + t) Si k, t Z (k + t) Z Luego 2(k + t)

G1

2k · (2t · 2s) = 2k · 2(t + s) = 2k + ( t + s) = 2( k + t ) + s = 2( k + t ) · 2s = (2 k · 2 t ) ·

2s

Asociatividad

2 k · e = 2 k · 2 t = 2 ( k + t ) = 2 k

Existencia de Elemento Neutro Para cada 2k debe existir 2t = e con t Z

Entonces 2t = 2 0 es un elemento del conjunto G1

Existencia de Elemento InversoSi e = 20 (ya demostrado)

2k · x = 20 = 1 2k 2t = 20 k + t = 0

Entonces t = -k lo que es claro que t Z y 2t G1

Conmutativa

2k 2t = 2 (k + t) = 2 ( t + k) = 2 t 2 k

valiéndonos de la conmutatividad de la suma

en Z

(G, * ) es Grupo Abeliano(G, * ) es Grupo Abeliano

k + t = k entonces t = 0 0 Z

1 c1 c1 b1 b

Entonces * es L.C.I. En G1

1) b) Si G2 = { x / x = 3 k , k N } ; * es la adición (+)

G2 es un conjunto conformado por todos los naturales múltiplos de 3 ;

. . . entre otros : si k = 1 , x = 3 ; si k = 2 , x = 6 ; k = 3 , x = 9 . . . .

Para k, t N

3k + 3t = 3 (k + t)

Pero (k + t) N LCI ok

Asociatividad Debe verificarse que 3 k + ( 3 t + 3 s ) = ( 3 k + 3 t) + 3 s

3 k + ( 3 t + 3 s ) = 3 k + 3 (t + s) = 3 [k + (t + s)] =

3 [(k + t) + s)] = 3 (k + t) + 3 s = (3 k + 3 t) + 3 s

Se acepta la asociatividad de la adición para los números

naturales

Existencia de Elemento Neutro en G para *

Si existe e (neutro) en G, tendrá la forma e = 2t donde t N

3 k + 3 t = 3 k si 3 t = e

Entonces 3 k + 3 t = 3 (k + t) = 3 k

Luego ( k+ t ) = k t = 0

Pero 0 N entonces . . .

NO Existe Elemento Neutro en G para *

( G( G22, * ) No es Grupo, * ) No es Grupo1 c1 c

1) c) Si G3 = { 1; -1 } ; * es el producto ordinario

Por tratarse de un conjunto finito y con pocos elementos, algunas condiciones pueden ser analizadas para cada situación . . . 1 · 1 = 1 G3

-1 · 1 = -1 G3

-1 · -1 = 1 G3

1 · -1 = -1 G3Se verifica que * es L.C.I. en G3

Podemos admitir que la Asociatividad “se hereda” de la asociatividad del producto entre elementos del conjunto de los

números enterosSabemos que para el producto existe neutro en Z, pero debemos verificar que ese neutro G3

-1 · e = -1 e = 1

1 · e = 1 e = 1

1 G3

Existe neutro

Analizamos si cada elemento de G3 admite inverso en G3

1 · x = e = 1 x = 1

-1 · x = e = 1 x = -1

Los elementos de G3 admiten

inversoPodemos admitir que la Conmutatividad “se hereda” de la

conmutatividad del producto entre elementos del conjunto de los números enteros

( G( G33, * ) es Grupo Abeliano, * ) es Grupo Abeliano

2) Sea A = { x R /   ; a Z b Z }. Comprobar que A es un anillo conmutativo y con unidad con la suma y el producto ordinario de números reales.

Supongamos dos elementos cualquiera que pertenecen al conjunto A; ellos son :

2ba

2dc

2bax

Analizamos (A, *); en este caso * es la suma, analizamos entonces (A, +)

)dc()ba( 22 2)db()ca( conZca

Zdb

* es L.C.I. * es L.C.I. en Aen A

La AsociatividadAsociatividad se “hereda” de la asociatividad de la suma para los números reales, porque es evidente que si a, b, c y d son números enteros; R R

Supongamos que existe nulo y es 2dc entonces + = es nulo

)ba()dc()ba( 222 esto es posible para c = 0 y d = 0

c c Z Z d d Z Z A ALo que prueba la existencia de Lo que prueba la existencia de

neutro en A para la sumaneutro en A para la suma

Si existe elemento inverso para cada elemento de A

+ = 0 es inverso de

),()dc()ba( 20022 ),()db()ca( 20022

),()db()ca( 2002 Debe ser a + c = 0

c = - a Z

b + d = 0

d = - b Z

A)ba()dc( 22Prueba la existencia de Prueba la existencia de inversoinverso

La ConmutatividadConmutatividad se “hereda” de la conmutatividad de la suma para los números reales, porque es evidente que si a, b, c y d son números enteros; R R

(A, *) es Grupo Abeliano(A, *) es Grupo AbelianoAnalizamos ahora ( A, )

donde es el producto ordinario

)dc()ba( 22 2222 )(bdbcadacaplicando distributiva

22 )bcad()bdac( A

es LCI en A es LCI en A

porque . . .

ac + 2bd Z ad + bc Z

La AsociatividadAsociatividad se “hereda” de la asociatividad del producto para los números reales, porque es evidente que si a, b, c y d

son números enteros; R R (de la misma manera se verifica también la conmutativaconmutativa

(A, (A, ) es Semi Grupo ) es Semi Grupo

es doblemente distributivo respecto de es doblemente distributivo respecto de * *

, , A : ( * ) = ( ) * ( )

( * ) = ( ) * ( )

, , son números reales y sabemos que en el conjunto de los números reales el producto es distributivo respecto de la

suma

( A, *, ( A, *, ) Es Anillo ) Es Anillo ConmutativoConmutativo

3) Sea K = { 0, 1 } y la suma y el producto definidos en K, según las siguientes tablas :

* 0 1

0 0 1

1 1 0

0 1

0 0 0

1 0 1

Probar que estas operaciones definen

sobre K una estructura de cuerpo.

Analizamos ( K, * )

De observar la tabla del operador * resulta que todos los resultados posibles son elementos del conjunto K0 * 0 = 0 0 * 1 = 1 1 * 0 = 1 1 * 1 = 0

* Es L.C.I. en K

Asociativa ; verificamos . . . por ejemplo

( 0 * 1 ) * 0 = 1 * 0 = 1 0 * ( 1 * 0 ) = 0 * 1 = 1

El 0 es neutro; 0 * 0 = 0 y 0 * 1 = 1

0 * 0 = 0 El inverso para 0 es 0 1 * 1 = 0 El inverso para 1 es 1

De analizar la tabla, comprobará también que * es conmutativo

( K, * ) Es Grupo Abeliano( K, * ) Es Grupo Abeliano

sabiendo que * y son asociativasy es doblemente distributiva respecto de *

Analizamos ( K – {0}, ) 0 1

0 0 0

1 0 1

De observar la tabla del operador resulta que todos los resultados posibles son elementos del conjunto K

Asociativa ; verificamos . . . por ejemplo

( 0 1 ) 0 = 0 0 = 0 0 ( 1 0 ) = 0 0 = 0

Existe neutro en K para pues 1 0 = 0 y 1 1 = 1 el neutro es el 1El inverso para 1 es 1 1 1 = 1

( K, ( K, ) Es Grupo Abeliano, ) Es Grupo Abeliano, salvo que el 0 no es inversiblesalvo que el 0 no es inversible

0 0 = 0 0 1 = 0 1 0 = 0 1 1 = 1 L.C.I. de en K

De analizar la tabla, comprobará también que es conmutativo

y sabemos que es doblemente distributivo respecto de *

por ejemplo . . .

( K, *, ( K, *, ) Es Cuerpo ) Es Cuerpo

( 0 * 1 ) 0 = 1 0 = 0 ( 0 0 ) * ( 1 0 ) = 0 * 0 = 00 ( 0 * 1 ) = 0 0 = 0 ( 0 0 ) * ( 0 1 ) = 0 * 0 = 0

3) Ejemplo