Upload
smee-kam-chann
View
110
Download
5
Embed Size (px)
Citation preview
ររៀបររៀងសាររ ើងវញិ កែម ចន័្ទរស្ម៊ី រមួគ្នា គិត រ វ្ើ និ្ងទទលួខមសត្តូវ
1
របូមន្តខ្លះៗ
I. ឡាផ្លា ស 𝑂𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑒𝑢𝑟 𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒 a). និ្យមន្យ័
∇⃗⃗ =∂
∂xi +
∂
∂yj +
∂
∂zk⃗ =
(
∂
∂x∂
∂y∂
∂z)
ជាែរន្ោម ∇⃗⃗ ែាមងែូអររោរន្រេកាត ។
b). ការអន្មវតត រគអាចអន្មវតត ∇⃗⃗ បាន្ទាំងទាំហាំសាា កល និ្ង ទាំហាំវមចិទរ័ ។
សាា កលែៈ ∇⃗⃗ . f = grad ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ f រៅថាត្កាតយងន់ន្f , ជាទាំហាំវមចិទរ័ ។ វមចិទរ័ែៈ ∇⃗⃗ . ∇⃗⃗ = div ∇⃗⃗ រៅថា ឌ៊ីកហវែសងន់ន្ V⃗⃗ , ជាទាំហាំសាា កល។ ∇⃗⃗ ∧ V⃗⃗ = rot⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ V⃗⃗ រៅថា រងវិល (Rotationnel )នន្ v⃗ , ជាទាំហាំសាា កល ។
សម៊ីការ Laplace
ែូអររោរន្រេកាត ែូអររោរន្សម៊ីឡាាំង ែូអររោរន្កសវ៊ែ
∆𝑈
𝜕2𝑈
𝜕𝑥+𝜕2𝑈
𝜕𝑦+𝜕2𝑈
𝜕𝑧 𝜕2𝑈
𝜕𝜌2+1
𝜌
𝜕𝑈
𝜕𝜌
+1
𝜌2𝜕2𝑈
𝜕𝜃2+𝜕2𝑈
𝜕𝑧2
𝜕2𝑈
𝜕𝑟2+2
𝑟
𝜕𝑈
𝜕𝑟
+1
𝑟2 sin2 𝜑
𝜕2𝑈
𝜕𝜃2
+1
𝑟2 sin2 𝜑
𝜕
𝜕𝜑(𝑠𝑖𝑛𝜑𝜕𝑈
𝜕𝜑)
ររៀបររៀងសាររ ើងវញិ កែម ចន័្ទរស្ម៊ី រមួគ្នា គិត រ វ្ើ និ្ងទទលួខមសត្តូវ
2
II. ត្កាតយង ់(Gradient)
a). និ្យមន្យ័
ត្កាតយងជ់ាអន្មគមន្ម៍យួនន្ទាំហាំសាា កល។ របើ f ជាវមចិទរ័កេលភ្ជា បព់៊ីបកត្មបត្មួល df រៅធាតមនន្បាំលាស់ទ៊ី dl⃗⃗ ⃗ ។
df⃗⃗ ⃗ = grad⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗f. dl⃗⃗ ⃗ b). សញ្ញា ណរូបវទិា
បង្ហា ញព៊ីទិសរៅណាមយួនន្កេន្អគគិសន្៊ី f រែើតរ ើងរលឿន្បាំផមត។
c). ការបង្ហា ញ
ែូអររោរន្រេកាត ែូអររោរន្សម៊ីឡាាំង ែូអររោរន្កសវ៊ែ
�⃗� = −𝑔𝑟𝑎𝑑⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 𝑈
𝐸𝑋 =
𝜕𝑈
𝜕𝑥
𝐸𝑦 =𝜕𝑈
𝜕𝑦
𝐸𝑧 =𝜕𝑈
𝜕𝑧
𝐸𝜌 =𝜕𝑈
𝜕𝜌,
𝐸𝜃 =1
𝜌
𝜕𝑈
𝜕𝜃
𝐸𝑍 =𝜕𝑈
𝜕𝑧
𝐸𝑟 =𝜕𝑈
𝜕𝑟,
𝐸𝜃 =1
𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑
𝜕𝑈
𝜕𝜃,
𝐸𝜑 =1
𝑟
𝜕𝑈
𝜕𝜑
III. ឌ៊ីរវែសង ់(Divergence)
a). ផាមចែាមងកេន្វមចិទរ័
ផាមចែាមងកេន្វមចិទរ័ 𝑣 ឆ្ាងកាតន់ផទកែង 𝑆 គឺែាំណតរ់ោយ 𝜙𝑠(𝑣 ) = ∬𝑣 𝑠 . 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗ ជាវមចិទរ័ណ័រម៉ា ល់រលើនផទ 𝑆 ។
ររៀបររៀងសាររ ើងវញិ កែម ចន័្ទរស្ម៊ី រមួគ្នា គិត រ វ្ើ និ្ងទទលួខមសត្តូវ
3
b). និ្យម័ន្យ័
មន្ 𝑆 ជានផទបិទជមាំវញិចាំន្មច𝑀មយួ ។ 𝑆 ែាំណតប់ាន្មឌ𝑣។ 𝑑𝑖𝑣 �⃗� ត្តងច់ាំន្មច 𝑀គឺែាំណតរ់ោយ៖
𝑑𝑖𝑣 �⃗� = lim𝑣→0
∬𝑣 𝑠. 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗
𝑣= lim𝑣→0
𝜙𝑠(𝑣 )
𝑣
c). សញ្ញា ណរូបវទិា
អន្មគមន្ឌ៍៊ីរវែសង ់(Divergence)បង្ហា ញព៊ីវតតមន្ត្បភពកេលបាន្បរងាើតកេន្វមចិទរ័ ។
ឧទហរណ៍ែៈ បន្ទមែរអ ិចត្ឌិចគឺជាត្បភពនន្កេន្អគគិសន្៊ី �⃗� ។
d). ការបង្ហា ញ
ែូអររោរន្រេកាត ែូអររោរន្សម៊ីឡាាំង ែូអររោរន្កសវ៊ែ
𝑑𝑖𝑣⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ 𝐴
𝜕𝐴𝑥𝜕𝑥
+𝜕𝐴𝑦𝜕𝑥
+𝜕𝐴𝑧𝜕𝑥
1
𝜌
𝜕𝑈
𝜕𝜌(𝜌𝐴𝜌) +
1
𝜌
𝜕𝐴𝜃𝜕𝜃
+𝜕𝐴𝑧𝜕𝑧
1
𝑟2𝜕
𝜕𝑟(𝑟2𝐴𝑟) +
1
𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑
𝜕𝐴𝜃𝜕𝜃
+1
𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑
𝜕
𝜕𝜑(𝑠𝑖𝑛𝜑. 𝐴𝑧)
IV. រ ៉ាូសមិន្រណៀល (Rotationnel)
a). បាំលាស់ទ៊ីកេន្វមចិទរ័
មន្ 𝑣 កេន្វមចិទរ័ និ្ង (𝑐) កខែរកាងណាមយួ ។ បាំលាស់ទ៊ីនន្ 𝑣 តាម(𝑐)គឺ
𝒞𝑐 (�⃗� ) = ∫𝑣 . 𝑑𝑙⃗⃗ ⃗
𝑑𝑙⃗⃗ ⃗ ជាធាតមបាំលាស់ទ៊ីរលើ 𝐶
ររៀបររៀងសាររ ើងវញិ កែម ចន័្ទរស្ម៊ី រមួគ្នា គិត រ វ្ើ និ្ងទទលួខមសត្តូវ
4
b). និ្យមន្យ័
មន្កខែរកាង (𝑐)បិទជមាំវញិចាំន្មច 𝑀។ (𝐶) ែាំណតន់ផទ 𝑆 ។ ែាំប៉ាូសងណ័់រម៉ា ល់នន្ វមចិទរ័ 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . �⃗� រលើនផទ 𝑆 ត្តងច់ាំន្មច𝑀 គឺ ៖
(𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . �⃗� )𝑛= lim𝑆→0
∫𝑣 . 𝑑𝑙⃗⃗ ⃗
𝑆= lim𝑆→0
𝒞𝑐 (�⃗� )
𝑆
c). សញ្ញា ណរូបវទិា
អន្មគមន្ ៍Rotationnel បង្ហា ញព៊ីវតតមន្ចលនារាងរងវង(់ខយល់ ទឹែ វតថមរផែងៗ)កេលបរងាើតបាន្កេន្វមចិទរ័។
ឧទហរណ៍ែៈ ចរន្តរអ ិចត្ឌិចមន្ចលនារាងរងវង ់(Tourbillons) នន្កេន្ម៉ា រញ៉ាទិច �⃗� ។
d). ការបង្ហា ញ
ែូអររោរន្រេកាត ែូអររោរន្សម៊ីឡាាំង ែូអររោរន្កសវ៊ែ �⃗� = 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴
𝐸𝑋 =𝜕𝐴𝑧𝜕𝑦
−𝜕𝐴𝑦𝜕𝑧
𝐸𝑦 =𝜕𝐴𝑥𝜕𝑧
−𝜕𝐴𝑧𝜕𝑥
𝐸𝑧 =𝜕𝐴𝑦𝜕𝑥
−𝜕𝐴𝑥𝜕𝑦
𝐸𝜌 =1
𝜌
𝜕𝐴𝑧𝜕𝜃
−𝜕𝐴𝜃𝜕𝑧
, 𝐸𝜃 =𝜕𝐴𝜌
𝜕𝑧−𝜕𝐴𝑧𝜕𝜌
𝐸𝑍 =1
𝜌[𝜕(𝜌𝐴𝜃)
𝜕𝜌−𝜕𝐴𝜌
𝜕𝜃]
𝐸𝑟 =1
𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑[𝜕
𝜕𝜑(𝐴𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑)
−𝜕𝐴𝜌
𝜕𝜃]
𝐸𝜃 =1
𝑟[𝜕
𝜕𝑟(𝑟𝐴𝜑) −
𝜕𝐴𝑟𝜕𝜑]
𝐸𝜑 =1
𝑟[1
𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑
𝜕𝐴𝑟𝜕𝜃
−𝜕
𝜕𝑟(𝑟𝐴𝜃)]
ររៀបររៀងសាររ ើងវញិ កែម ចន័្ទរស្ម៊ី រមួគ្នា គិត រ វ្ើ និ្ងទទលួខមសត្តូវ
5
សម្គា ល ់៖
𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (grad⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ U) = 0 div(𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ A) = 0
𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈 𝐴 = 𝑔𝑟𝑎𝑑⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 𝑈 ∧ 𝐴 + 𝑈 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴 𝑑𝑖𝑣⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ 𝑈 𝐴 = 𝐴 𝑔𝑟𝑎𝑑⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 𝑈 + 𝑈 div 𝐴 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴 ) = 𝑔𝑟𝑎𝑑⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 𝑑𝑖𝑣𝐴 − ∆𝐴 𝑑𝑖𝑣(𝐴 ∧ �⃗� ) = �⃗� 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴 − 𝐴 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ �⃗�
សូមរែោសិទធកែកត្ប