Brněnský rodák Kurt Gödel: matematik, fyzik, filosofMichal Černý, KISK FF MUK historii průmyslu, techniky a sociálního vývoje na Moravě a ve Slezsku2015

Abstrakt

Brněnský rodák Kurt Gödel (1906–1978) patří k nejvýznamnějším osobnostem matematiky celého dvacátého století. Především jeho dvě věty o neúplnosti bezrozporných axiomatických systémů (klíčové práce vyšly v letech 1930 a 1931) znamenaly zásadní revoluci v celém budování vědeckých teorií a změnily zájmy a směřování matematiků. Tyto, ale také další práce z oblasti logiky, se pak uplatnily v oblasti nově se formující informatiky, ale také v teorie vědy. Příspěvek si klade za cíl nastínit základní aspekty díla a života Kurta Gödela. Zaměří se na jeho práce v matematice a ve filosofii, kde je významné také spojením aritmetiky a logiky do jednoho celku, věty o neúplnosti nebo role paradoxu. Samostatný exkurz by byl věnován Gödelově studiu rotačních vesmírů v obecné teorii relativity, které se, jako blízký Einsteinův přítel, se zájmem věnoval.

Kurt Gödel

Narodil se v Brně 28. dubna 1906.

Měl o čtyři roky staršího bratra Rudolfa, ze kterého se později stal lékař ve Vídni.

Jeho otec Rudolf byl zaměstnancem, později také ředitelem a podílníkem továrny textilní továrny.

Matka Marianne pocházela z kruhů bohaté německé moravské společnosti, byla velmi vzdělaná a kulturní.

Původně bydleli na Pekařské ulici, odsud se stěhují do vlastní vily na Pellicově.

V Brně bydlí až do svých osmnácti let, kdy odchází do Vídně na univerzitu.

Kurt Gödel

V Brně absolvoval povinnou školní docházku a později nastoupil na výběrové německé gymnasium.

Již od mládí projevoval přitom mimořádný zájem o matematiku.

Roku 1924 byl přijat na vídeňskou universitu, kde studuje jako řádný posluchač fyziku.

Navštěvuje ale také kurzy matematiky či filozofie (např. u Heinricha Gomperze)

Až díky setkání s mimořádnými osobnostmi matematiky (Rudolph Carnap a Hans Hahn), se přiklonil k této čistě teoretické disciplíně a konkrétně se věnoval logice.

Doktorát získal pod vedením Hanse Hana v roce 1929. Získává titul Dr.phil. za práci věnující se úplnosti logických systémů.

Kurt Gödel

S Adele Nimburskou, svou budoucí manželkou, se Gödel seznámil v roce 1929 a o devět let později si ji vzal. Když se seznámili pracovala jako masérka, v době sňatku ji bylo přes čtyřicet a byla rozvedená.

Od roku 1938 je soukromým docentem ve Vídni.

Od roku 1940 odchází na Institut pokročilých studií v Princetonu.

Cestuje po USA, ale do Evropy se již vracet nechce.

Umírá roku 1978 (ve věku 71 let) v Princetonu na podvýživu (vážil pouhých 36 kilogramů).

Obdržel mimo jiné Einsteinovu cenu, čestné doktoráty univerzit Yale a Harvard. Je držitelem také Gibbs Lecture Americké matematické asociace.

Matematika

Kurt Gödel: Über die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls. Dissertation 1929. In: Monatshefte für Mathematik und Physik Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig 36.1930, 2, S. 349–360.

Kurt Gödel: Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I. in: Monatshefte für Mathematik und Physik. Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig 38.1931, S. 173–198.

Kurt Gödel: Diskussion zur Grundlegung der Mathematik, Erkenntnis 2. in: Monatshefte für Mathematik und Physik. Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig 39.1931–32, S. 147–148.

Matematika

David Hilbert vyhlásil program na axiomatizaci matematiky ve 20. letech 20. století, ale již v roce 1931 ukazuje Gödel svojí disertací, že je nesplnitelný.

První Gödelova věta říká, že v žádný axiomatický systém nemůže být současně úplný a bezrozporný. Jinými slovy – existují v něm věty, které není možné ani dokázat, ani vyvrátit.

Druhá Gödelova věta dává konkrétní příklad takového nedokazatelného tvrzení pro Peanovu aritmetiku (tedy teorii množin).

Propojuje logiku a aritmetiku, tak jako Descartes propojil geometrii a aritmetiku.

Paradox se stává integrální součástí všech axiomatických systémů a představuje současně jeden ze základních prvků lidského poznání.

Gödel a Einstein

Kosmologie

Jestliže má vesmír zápornou křivost k=-1 a rotuje, lze v něm uvažovat časové smyčky.

Tyto časové smyčky jsou důsledkem řešení rovnic pro obecnou teorii relativity.

Lze tedy uvažovat o vesmíru, ve kterém lze cestovat časem.

Silná inspirace Immanuelem Kantem (ten jako první přišel s myšlenkou rotačních vesmírů).

Současná pozorování takové vesmíry neumožňují (zdá se, že k=0 a vesmír nerotuje).

Modely vesmíru

Důkaz existence Boha

Zřejmě nejprecisnější apriorní důkaz existence Boha.

Nebyl určen k publikaci, zveřejněn až analýzou pozůstalosti Gödela.

Podobnost s Anselmovým důkazem (Anselm z Canterbury (1033-1109)).

Pochází z roku 1970, ale popularizována byla až díky práci J. H. Sobela o téměř deset let později

Axiomy bychom mohli shrnout do následujících pěti bodů:

Lze jej shrnout do pěti axiomů:

Jestliže je nějaká vlastnost pozitivní, potom její negace pozitivní není. Každá vlastnost, která zahrnuje nějakou pozitivní vlastnost, je pozitivní. „Být jsoucnem božské povahy“ je pozitivní vlastnost. Je-li nějaká vlastnost pozitivní, potom je nutně pozitivní. Nutná existence je jistě pozitivní vlastnost.

Důkaz existence Boha

První definice ukazuje, že esence je hlavní vlastností jsoucna, neboť všechny ostatní vlastnosti se vyskytnou všude tam, kde je právě esence bytí. Druhá definice říká, že Bůh je koncentrací všech pozitivních vlastností. Jinými slovy – je-li nějaká vlastnost pozitivní, Bůh ji jistě má.

Třetí definice rozlišuje jsoucna na nutná a nahodilá. Jsoucno má určitou vlastnost (nutnost), pakliže má esenci a jeho bytí je nutným důsledkem této esence.

Z tří definic a pěti vět lze vyvodit, že Bůh existuje jako jsoucno nutně.

Děkuji za pozornost