Ciclo de Charlas de Prácticas ICMAT Sesión 1

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Ciclo de Charlas de Practicas ICMAT

Esteban CortesFrancisco Benavides

Universidad Tecnica Federico Santa Marıa

28 de abril 2015

E. Cortes, F. Benavides 28 de abril 2015 1 / 25

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Metodo de Reduccion de Variables parael Problema de Agendamiento deBloques en Minas a Rajo Abierto

Esteban Cortes

E. Cortes, F. Benavides Charla 1 28 de abril 2015 2 / 25

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Aspectos GeneralesPractica/Empresa

• Tipo de Practica: Profesional.

• Empresa: Laboratorio de Planificacion Minera DELPHOS.

• Labor de la Empresa: Desarrollo de modelos y herramientascomputacionales aplicados al area de la Planificacion Minera.

• Area Matematica: Optimizacion.

• Actividad Efectiva: Implementacion de algoritmo en python.


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IntroduccionContexto

La Planificacion Minera es un area de

la Ingenierıa en Minas que define las

estrategias de extraccion de mineral

con el fin de maximizar las ganancias.

Lo primero que se necesita es

contar con un modelo de blo-

ques, que es una discretizacion

del yacimiento.


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IntroduccionProblema

El Open Pit Block Scheduling Problem (OPBSP) busca determinar quebloques deben extraerse, cuando deben ser extraıdos y a que destino debenser enviados. Consideremos un total de B bloques, D destinos y T perıodosde tiempo.

Problema: La cantidad de variables que se deben determinar es igual aB ·D · T .

Consecuencias: Altos tiempo de resolucion y/o incapacidad de resolucionpor falta de capacidad computacional.

Objetivo de la Practica: Implementar un metodo que permita disminuir

la cantidad de variables del problema sin afectar la solucion.


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Modelo de Optimizacion OPBSPFuncion Objetivo y Restricciones

Se busca maximixar la ganancia de

los bloques extraıdos, sujeto a restric-

ciones de precedencia (restricciones

geoespaciales que aseguren estabil-

ida) y a restricciones de capacidad

(asociadas a los destinos).


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Modelo de Optimizacion OPBSPModelo

max∑b∈B

∑t∈T

2∑d=1

vbdt ∆xbdt

Sujeto A

xbDt ≤ xb′Dt ,∀ (b, b′) ∈ P, t ∈ T∆xbdt ≥ 0 , ∀ b ∈ B, d ∈ D, t ∈ T∑

b∈B

∑d∈δ

qba ∆xbdt ≤ Uaδt ,∀ a ∈ A, δ ⊂ D, t ∈ T∑b∈B

∑d∈δ

qba ∆xbdt ≥ Laδt ,∀ a ∈ A, δ ⊂ D, t ∈ T

xbdt ∈ {0, 1} , ∀ b ∈ B, d ∈ D, t ∈ T


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Metodo de Reduccion de Variables CestMetodo de Earliest Start Time

El Earliest Start Time de un bloque corresponde al primer perıodo de

tiempo en que puede ser extraıdo cumpliendo todas las restricciones del

problema.

• Bloques de 10 tonelada cadauno.

• Extraccion maxima por perıodoigual a 30 toneladas.

• est18 = 3, est14 = 2


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Metodo de Reduccion de Variables CestMetodo de Earliest Start Time

El Earliest Start Time de un bloque corresponde al primer perıodo de

tiempo en que puede ser extraıdo cumpliendo todas las restricciones del

problema.

Luego

∆x18d1 = ∆x18d2 = ∆x14d1 = 0


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Metodo de Reduccion de Variables CestMetodo de Cotas de Earliest Start Time

• Estudiamos bloques restringidosa su cono de precedencia.

• est en el modelo completo debeser mayor o igual al est del mod-elo restringido.

• Se genera una cota de est.


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Metodo de Reduccion de Variables CestMetodo de Cotas de Earliest Start Time

• Tenemos que B = 32, y si T = 6 y D = 2, hay que determinar 384variables.

• Como est18 = 3, se tiene que todas las variables ∆xbdt con b ∈{18, 25, 26, 27}, d ∈ {1, 2} y t ∈ {1, 2}, son iguales a cero.

• Se pueden eliminar 16 variables, aproximadamente 4%.


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Metodo de Reduccion de Variables CestPseudo-algoritmo de la herramienta de pre-procesamiento Cest

Input: Modelo de bloques, especificacion de las condiciones de agen-damiento.

Pasos:

i) Se carga el modelo de bloques y se especifica el problema de opti-mizacion.

ii) Se seleccionan los bloques a estudiar.

iii) Se determina el est de cada bloque seleccionado en el paso ii, re-stringido a su cono de precedencia.

iv) Se propagan las cotas de est de cada bloque estudiado a sus bloquessucesores.

v) Se eliminan las variables del modelo.

Output: Modelo OPBSP reducido.


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Analisis de Metodos de OptimizacionAplicados a un Problema de

Reconciliacion de Datos en MinerıaFrancisco Benavides


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Aspectos GeneralesPractica/Empresa

• Tipo de Practica: Profesional.

• Empresa: Amec Foster Wheeler.

• Labor de la Empresa: Transnacional dedicada a realizar con-sultorias a diferentes empresas dedicadas al rumbo de la minerıa.Presta servicios variados como administracion de proyectos, ser-vicio de operacion y construccion, ayudas en puestas en marcha,asesorıa en procesos, etc.

• Area Matematica: Optimizacion.

• Actividad Efectiva: Analisis metodos existentes y propuestas.


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Reconciliacion de Datos¿En que consiste la DR?

¿Que es la reconciliacion de datos?

En un proceso industrial y experimentacion es necesario realizarmediciones cuantitativas del fenomeno (temperatura, masa, presion,flujo, voltaje, etc). En la vida real es imposible obtener exacta-mente el valor por errores debido a la precision de la herramienta demedicion, fallas humanas, etc.

Lo anterior usualmente NO permite que las leyes fısicas que gobier-nan el proceso/experimento se cumplan, como por ejemplo la ley deconservacion de masa, energıa, momentum, etc.


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Reconciliacion de DatosDefinicion

Reconciliacion de datos

La reconciliacion de datos es un proceso matematico que permiteobtener un nuevo set de valores tales que sean lo mas parecidoposible a las mediciones y que ademas cumplan con las leyes deconservacion que afectan al proceso/experimento.


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Ejemplo de DRDiagrama

Ejemplo:


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Ejemplo de DRMediciones y errores de medicion

Mediciones:

Flujo Medicion (kt/h) Desviacion Estandar (kt/h)1 110,5 0,822 60,8 0,533 35,0 0,464 68,9 0,715 38,6 0,456 101,4 1,20


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Ejemplo de DREcuaciones de balance/conservacion

En este problema se deben cumplir las siguientes ecuaciones de con-servacion:

F1 − F2 − F3 = 0

F2 − F4 = 0

F3 − F5 = 0

F4 + F5 − F6 = 0

Donde Fi = Flujo medido en i.


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Ejemplo de DRProblema de minimizacion asociado

Lo anterior permite obtener el siguiente problema:

Problema de minimizacion de DR

minX

F (X) = (X −Xmed)Σ(X −Xmed)t

st: AX = B

Usando los multiplicadores de lagrange se obtiene:

λ = −(AΣ−1At)−1AXmed

X = Xmed − ΣAt(AΣAt)−1AXmed


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Problema AbordadoAplicacion a la minerıa

Problema particular:Proceso minero con cuatro materiales principales: Cobre (Cu), Fierro(Fe), Azufre (S) y Arsenico (As). Los 2 ultimos son contaminantes¿Como podemos determinar las emisiones de As y S?.

Todo el Fe y Cu se mantiene en el proceso, por lo que al obtenervalores que cumplan con las ecuaciones de conservacion para Fe yCu nos permitira obtener las emisiones de As y S.


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Problema AbordadoDescripcion de las ecuaciones de balance

En general uno tiene una piedra con diferentes porcentajes de min-eral (Leyes). Queremos que en el proceso se conserven las cantidadesefectivas de cada mineral (Finos), en donde se tiene la siguienterelacion:

MasaTotal ∗ Ley = Fino

Solo se tienen mediciones de las leyes y la Masa que se maneja, porlo que, las ecuaciones de conservacion son de la forma:

MasEn ∗ LeyEn+ δInventario = MasSa ∗ LeySa


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Complejidad del ProblemaNo convexidad

Complejidad

Lo anterior nos da restricciones no convexas, la cual es una propiedadimportante en optimizacion para obtener soluciones. Se deben bus-car alternativas.

Amec queria analizar el uso de dos metodos: Algoritmo GRG (Solverde Excel) y Metodo de Lagrange aplicado de forma Secuencial (im-plementado en Excel)


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Analisis de AlgoritmoSolver GRG (Solver de Excel)

Algoritmo del gradiente reducido generalizado

Consiste en reducir el numero de variables de decision escribiendoun set en funcion de las otras, en conjunto con las restriccionesasociadas. Si las restricciones asociadas son NO lineales, se consid-era la derivada (jacobiano) como la restriccion y se opera como unproblema sujeto a restricciones lineales mediante un algoritmo tipogradiente.

Presenta las siguientes limitantes:

1. Requiere de un punto inicial factible (que no se tiene).

2. Depende del numero de variables a estimar.

3. Depende del numero de restricciones activas del problema.


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Analisis del AlgoritmoMetodo de los 4 pasos: Lagrange Secuencial

Lagrange Secuencial

Este metodo opera de la siguiente forma:

1. Se realiza un Ajuste de Finos de Cu

2. Se realiza un Ajuste de Finos de Fe

3. Se realiza un Ajuste de los Pesos Totales

4. Con los Ajuste de los Pesos Totales y los finos, se calculan lasleyes ajustadas

Este metodo tambien depende del punto inicial, pero es menosmenos sensible a grandes cambios en los valores. Como se consid-eran ecuaciones lineales en cada paso, el problema se puede resolverfacilmente por el metodo de los multiplicadores de Lagrange


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Ciclo de Charlas de Prácticas ICMAT Sesión 1