Republica Bolivariana de Venezuela

Ministerio del poder popular para la educación universitaria.

Instituto universitario politécnico Santiago Mariño.

Ingeniería de Petróleo.

Ensayo de la Teoría de Probabilidad.

Contenido

1. Introducción.

2. Espacio muestral.

3. Eventos.

4. Relaciones entre eventos.

5. La probabilidad y los axiomas en que esta se basa.

6. Probabilidad condicional.

7. Eventos independientes.

8. Eventos dependientes.

9. Probabilidad condicional

10. Ley de probabilidad total.

11. Teorema de Bayes.

12. Población.

13. Muestra.

14. Permutaciones.

15. Combinaciones.

16. Conclusión.

17. Bibliografía.

Introducción.

El concepto de probabilidad nace con el deseo del hombre de conocer con certeza los eventos futuros. Es por ello que el estudio de probabilidades surge como una herramienta utilizada por los nobles para ganar en los juegos y pasatiempos de la época. El desarrollo de estas herramientas fue asignado a los matemáticos de la corte.Con el tiempo estas técnicas matemáticas se perfeccionaron y encontraron otros usos muy diferentes para la que fueron creadas. Actualmente se continúo con el estudio de nuevas metodologías que permitan maximizar el uso de la computación en el estudio de las probabilidades disminuyendo, de este modo, los márgenes de error en los cálculos

Desarrollo

1. Espacio muestral: En la teoría de probabilidades, el espacio muestral o espacio de muestreo (denotado E, S, Ω o U) consiste en el conjunto de todos los posibles resultados individuales de un experimento aleatorio. Existen tipos de espacios muestrales como lo son:

Espacios muestrales discretos: son espacios muestrales cuyos elementos resultan de hacer conteos, por lo general resultan ser subconjutos de los numeros enteros.

Espacios muestrales continuos: son espacios muestrales cuyos elementos resultan de hacer mediciones, por lo general son intervalos de la recta real.

2. Un Evento es un resultado particular de un experimento aleatorio. En términos de conjuntos, un evento es un subconjunto del espacio muestral. Por lo general se le representa por las primeras letras del alfabeto. Tipos de eventos:

Evento nulo: Es aquél que no tiene elementos. Se representa por φ.

Evento Seguro: Es el espacio muestral que puede ser considerado como un evento.

3. Relaciones entre eventos:

Unión de eventos: Dados dos eventos A y B de un mismo espacio muestral

su unión se representa por A∪B y es el evento que contiene los elementos

que están en A o en ambos. El evento ocurre si al menos uno de los dos eventos ocurre.

Intersección de eventos: Dados dos eventos A y B de un mismo espacio muestral su intersección se representa por A ∩ B y es el evento que contiene los elementos que están en A y B al mismo tiempo. El evento ocurre cuando los eventos ocurren simultáneamente.

Evento Complemento: El complemento de un evento A se representa por A y es el evento que contiene todos los elementos que no están en A. El evento A ocurre si A no ocurre.

Propiedades de relaciones entre eventos: Sean A, B y C elementos de un mismo espacio muestral S entonces:

A) Propiedad Conmutativa: A ∪ B = B ∪ A , A ∩ B = B ∩ A

B) Propiedad Asociativa: A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C , A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩

C

C) Propiedad Distributiva: A ∪ (B ∩ C) =(A ∪ B)∩(A ∪ C) , A ∩ (B ∪ C) = (A ∩

B) ∪ (A ∩ C)

D) Leyes de De Morgan: A ∪ B = A ∩ B , A ∩ B = A ∪ B

4. Probabilidad y sus axiomas

Probabilidad: Es el conjunto de posibilidades de que un evento ocurra o no en un momento y tiempo determinado. Dichos eventos pueden ser medibles a través de una escala de 0 a 1, donde el evento que no pueda ocurrir tiene una probabilidad de 0 (evento imposible) y un evento que ocurra con certeza es de 1 (evento cierto). La probabilidad de que ocurra un evento, siendo ésta una medida de la posibilidad de que un suceso ocurra favorablemente, se determina principalmente de dos formas: empíricamente (de manera experimental) o teóricamente (de forma matemática).

Probabilidad empírica: Si E es un evento que puede ocurrir cuando se realiza un experimento, entonces la probabilidad empírica del evento E, quea veces se le denomina definición de frecuencia relativa de la probabilidad, está dada por la siguiente fórmula:

Probabilidad teórica: Si todos los resultados en un espacio muestral S finito son igualmente probables, y E es un evento en ese espacio muestral, entonces la probabilidad teórica del evento E está dada por la siguiente fórmula, que a veces se le denomina la definición clásica de la probabilidad, expuesta por Pierre Laplace en su famosa Teoría analítica de la probabilidad publicada en 1812:

Los axiomas de probabilidad son las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función definida sobre un conjunto de sucesos determine consistentemente sus probabilidades. Fueron formulados por Kolmogórov en 1933.

-Axiomas de Kolmogórov: Primer axioma: La probabilidad de que ocurra un evento A cualquiera se

encuentra entre cero y uno.

0 £ p(A) ³ 1

Ejemplo: La probabilidad de sacar par en un dado equilibrado es 0,5. P(A)=0,5

Segundo Axioma: La probabilidad de que ocurra el espacio muestral d debe de ser:

o p(d) = 1

Ejemplo: La probabilidad de sacar un número del 1 al 6 en un dado equilibrado es "1

Tercer Axioma: Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces la,o p(AÈB) = p(A) + p(B)

Ejemplo: La probabilidad de sacar en un dado "as" o sacar "número par" es la sumade las probabilidades individuales de dichos sucesos.

Según este axioma se puede calcular la probabilidad de un suceso compuesto de varias alternativas mutuamente excluyentes sumando las probabilidades de sus componentes.

Generalizando: Si se tienen n eventos mutuamente excluyentes o exclusivos A1, A2, A3,.....An, entonces;

p(A1ÈA2È.........ÈAn) = p(A1) + p(A2) + .......+ p(An)

5. Eventos Independientes

Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrenciadel otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo.

6. Eventos dependientes.Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia deuno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro.

7. Probabilidad Condicional

Si A y B son dos eventos en S, la probabilidad de que ocurra A dado que ocurrió el evento B es la probabilidad condicional de A dado B, y se denota: A y B son dos eventos en S, la probabilidad de que ocurra A dado que ocurrió el evento B es la probabilidad condicional de A dado B, y se denota:P(AlB)

8. El Teorema de la probabilidad total nos permite calcular la probabilidad de un suceso a partir de probabilidades condicionadas:

Ejemplo: supongamos que si llueve la probabilidad de que ocurra un accidentes es x% y si hace buen tiempo dicha probabilidad es y%. Este teorema nos permite deducir cuál es la probabilidad de que ocurra un accidente si conocemos la probabilidad de que llueva y la probabilidad de que haga buen tiempo. La fórmula para calcular esta probabilidad es:

Es decir, la probabilidad de que ocurra el suceso B (en nuestro ejemplo, que ocurra un accidente) es igual a la suma de multiplicar cada una de las probabilidades condicionadas de este suceso con los diferentes sucesos A (probabilidad de un accidente cuando llueve y cuando hace buen tiempo) por laprobabilidad de cada suceso A. Para que este teorema se pueda aplicar hace falta cumplir un requisito:

Los sucesos A tienen que formar un sistema completo, es decir, que contemplentodas las posibilidades (la suma de sus probabilidades debe ser el 100%).

9. Teorema de Bayes: El teorema de Bayes se utiliza para revisar probabilidades previamente calculadas cuando se posee nueva información.Desarrollado por el reverendo Thomas Bayes en el siglo XVII, el teorema de Bayes es una extensión de lo que ha aprendido hasta ahora acerca de la probabilidad condicional. Comúnmente se inicia un análisis de probabilidades con una asignación inicial, probabilidad a priori. Cuando se tiene alguna información adicional se procede a calcular las probabilidades revisadas o a posteriori. El teorema de Bayes permite calcular las probabilidades a posteriori y es:

10. Población en estadística, también llamada universo o colectivo, es el conjunto de elementos de referencia sobre el que se realizan unas de las observaciones. Población (‘population’) es el conjunto sobre el que estamos interesados en obtener conclusiones (hacer inferencia). Normalmente es demasiado grande para poder abarcarlo.

11. En estadística, una muestra es un subconjunto de casos o individuos de una población estadística. Las muestras se obtienen con la intención de inferir propiedades de la totalidad de la población, para lo cual deben ser representativas de la misma.

12. Permutaciones: En muchos casos se necesita saber el número de formas en las que un subconjunto de un grupo completo de cosas puede arreglarse en orden. Cada posible arreglo es llamado permutación. Si un orden es suficiente para construir otro subconjunto, entonces se trata de permutaciones. El número de maneras para arreglar r objetos seleccionadosa la vez de n objetos en orden, es decir, el número de permutaciones de n elementos tomados r a la vez es:

13. Combinaciones: En muchos situaciones no interesa el orden de los resultados, sino sólo el número de maneras en las que r objetos pueden seleccionarse a partir de n cosas, sin consideración de orden. Si dos subconjuntos se consideran iguales debido a que simplemente se han reordenado los mismos elementos, entonces se trata de combinaciones.El número de maneras para arreglar r objetos seleccionados a la vez de n objetos, sin considerar el orden, es decir, el número de combinaciones de n elementos tomados r a la vez es:

Conclusión

De esta manera se puede concluir que la teoría de la probabilidad nace para responder las incógnitas de los hombres sobre el azar o eventos futuros. Esta teoría se basa a través de teoremas o principios aplicados a poblaciones o muestras para resolver interrogantes que se presenten o sean necesarios conocer. Este estudio se puede aplicar a diversas ramas y es utilizado por diversos especialistas.

Bibliografía

http://es.wikipedia.org/wiki/Poblaci%C3%B3n_estad%C3%ADstica

http://www.monografias.com/trabajos95/conceptos-basicos-probabilidades-y-estadistica-inferencial/conceptos-basicos-probabilidades-y-estadistica-inferencial.shtml

http://academic.uprm.edu/eacuna/miniman4sl.pdf

http://probabilidadestadistic.blogspot.com/2010/09/axiomas-y-teoremas-de-la-probabilidad.html