ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

Algebra Lineal

Jonathan LópezJonathan Naranjo

SUMA DE SUBESPACIOS VECTORIALES

La suma de dos s.e.v con la siguiente notación:

sea (V, K, +, * )

W1 + W2= { u ∈ V / u=w1+w2, w1 ∈ W1 ∧ w2 ∈W2 }

CALCULO DE LA SUMA

W1 + W2 = < B1 +B2 >

B1: base de W1

B2: base de W2

SUMA DIRECTA DE S.E.V

W1 + W2 = W1 + W2 si y solo si :

W1 W2={ Ov}

TEOREMA DE LA DIMENSION

Dim (w1+w2)= dim w1 + dim w2 – dim w1 ∩ w2

Ejemplo:

3 = 2 + 1 - dim w1 ∩ w2

Dim (w1 ∩ w2)= 0

W1 ∩ W2 = {0,0,0}

+

EjemploW1={(x,y,z)R^3/x-y=0}

W2={(x,y,z)R^3/ 2x-z=0, 2x=2y}

(a)W1 ∩ W2

W1 int. W2 = {(x,y,z)R^3/ x-y=0, 2x-z=0,2x=2y}

base [x-y=0,2*x-z=0,2*x=2*y]

generado por el vector (1,1,2)

W1 ∩ W2 = W2

(b)Para calcular W1+W2

calculemos primero una base de W1 y W2

Nota: Se observa que no existe suma directa

W1 [x-y=0,z=z,0]

W1 = L{(1,1,0),(0,0,1)}

W2 [2*x-z=0,2*x=2*y,0]

W2=L{(1,1,2)}

Por tantoW1+W2= L{(1,1,0),(0,0,1),(1,1,2)}

Veamos si son L.I u:=[1,1,0] v:=[0,0,1] w:=[1,1,2] a*u+b*v+c*w=[0,0,0]

son L.D. por tanto veamos si eliminando w son L.I.a*u+b*v=[0,0,0}

se concluye que

W1+W2 = W1

c) No se puede obtener la suma directa pues la interseccion no es vacia.