Подорож сторінками математики

Виконала:

учениця 11-Б класу

Гадяцької гімназії

імені Олени Пчілки

Гришуніна Марина

Запрошую

сторінками

математики!

до подорожі

Числа

Відомі математики світу

Аналітична геометрія

Лінійна алгебра

Індо-арабська система числення

Числа

Число - одне з найголовніших понять математики, яке в багатьох випадках може виступати як міра кількості чогось.

У давнину у слов'янських мовах, слово "число" означало "знак", "символ", "поняття", "ідея". Під словом "числити" розуміли в ті часи "значити", "думати", а також "записувати щось за допомогою знаків", "робити певні дії зі знаками".

Типи чисел

Математики поступово розширювали набір усіх відомих чисел. Поява нових видів чисел і числення тісно пов'язана з розвитком людського суспільства. Разом з тим, на кожне розширення числової системи можна дивитися з математичної точки зору, обґрунтовуючи таке розширення, як правило, розширенням можливостей виконувати деяку математичну операцію.

Натуральні числа (N)Дослівно - "природні" числа (лат. "natura" - природа). Існує вислів, що

натуральні числа створені Богом, а інші числа - витвір людської уяви. Натуральні числа - найдавніші числа, які стали використовувати люди, в першу чергу при лічбі:

1, 2, ..., 10, 11, ...

Цілі числа (Z)Назва "цілі числа" виникла на противагу числам, які позначають "нецілі"

кількості, - дробам. Цілі числа утворюються на основі натуральних за допомогою введення нових понять і позначень: нуля (0, лат. nullus - ніщо, відсутність будь-якої кількості) та від'ємних чисел, тобто таких кількостей, додаючи до яких додатні кількості (які позначаються натуральними числами) ми отримуємо нуль. Від'ємні числа позначаються за допомогою знака "-" (мінус) перед тим натуральним числом, у сумі з яким дане від'ємне число дає 0.

У множині цілих чисел (на відміну від натуральних) завжди здійсненне віднімання.

Раціональні числа (Q)Назва цих чисел походить від латинського "ratio" - "відношення", у зв'язку з

тим, що ці числа з часу своєї появи позначаються за допомогою відношення двох цілих чисел наприклад, 2:5 або 2/5. Інша назва - "дроби", тобто числа, якими можна позначити нецілу кількість предметів - півтора, третину стакана, чверть години і тощо. Під дробовими числами, як правило, розуміють ті раціональні числа, які не відносяться до цілих.

У множині раціональних чисел (на відміну від цілих) завжди здійснене ділення, крім ділення на 0.

Цікаво, що історично проблему щодо ділення було вирішено значно раніше, ніж проблему щодо віднімання, так що спочатку множину натуральних чисел (разом з нулем) було розширено до множини невід'ємних раціональних чисел, і

лише потім з'явилися від'ємні числа. Справді, дроби набагато "реальніші", ніж від'ємні числа, перші простіше безпосередньо відчути на життєвих прикладах.

Однак, з точки зору математики виглядає дещо природнішим спочатку сконструювати цілі від'ємні числа, а вже потім - дробові.

Дійсні числа (R)Назва чисел відображає думку про те, що вони дають змогу описувати

дійсність (реальність). Після появи раціональних чисел стало зрозумілим, що вони не дають змогу вирішити всі задачі, які постали перед людством. Серед них такі задачі, як вимірювання відстаней, пошук коренів квадратних рівнянь та ін. Було введено поняття ірраціонального (нераціонального) числа - числа, яке не може бути виражене за допомогою відношення цілих чисел. Сукупність раціональних та ірраціональних чисел утворює множину дійсних чисел.

Найпоширеніше позначення дійсних чисел - у вигляді десяткових (можливо нескінченних) дробів. Ірраціональні числа в цьому випадку - неперіодичні, нескінченні десяткові дроби.

Комплексні числа (C)Дослівний переклад назви цих чисел - "складені" ("складні") числа, від лат.

"complex". Кожне комплексне число можна трактувати як пару дійсних чисел; якщо другий елемент цієї пари рівний 0, то таке комплексне число ототожнюють з дійсним (унаслідок чого маємо справді розширення множини дійсних чисел). Ті комплексні числа, які не ототожнені з жодним дійсним числом, називаються уявними числами.

У множині комплексних чисел завжди здійсненна дія добування кореня довільного натурального степеня з довільного комплексного числа (в той час як, залишаючись у межах дійсних чисел, корінь парного степеня можна добути лише з невід'ємного числа). Як наслідок, стає можливим розв'язати довільне квадратне рівняння (тобто навіть з від'ємним дискримінантом).

Комплексні числа плідно використовуються також для розв'язування кубічних рівнянь (за формулами Кардано). Цікаво, що при цьому часто навіть для отримання дійсних розв'язків кубічного рівняння доводиться мати справу з уявними числами на деяких етапах розв'язування.

Індо-арабська система числення

Індо-арабська або індійська система числення є позиційною десятковою системою числення, розроблена у 1-4 століттях індійськими математиками. Цифри виникли в Індії і в 10-13 ст. були занесені в Європу арабами, через що часто згадуються як «арабські». Уперше поза межами Гіндустану їх використали у 9 столітті - перський мусульманський математик Аль-Хорезмі у своїй книзі 825 року «Про лічбу з цифрами гінді» та арабський математик Аль-Кінді у праці 830 року «Про використання індійського рахунку». У Європу систему числення було занесено арабами у 10-13 ст., через що цифри часто згадуються як «арабські».

Аль-Хорезмі

Аль-Кінді

Походження

Індо-арабські цифри було винайдено у Індії, в рамцях абетки Брахмі, від якої походять усі сучасні абетки Гіндустану, та пізніше запозичено мусульманськими науковцями, які, зокрема, перський математик Аль-Хорезмі, називали їх «Індійськими». Знаки та спосіб їх використання західна наука запозичила у східних математиків (рівень математики арабських країн на той час був вищим, ніж у Європі). Система поширилася усією Європою у часи пізнього Високого Середньовіччя. Індійські математики користувалися дещо іншими знаками - ті символи, якими користуємось ми утворилися внаслідок тривалих перетворень їхнього первісного вигляду. Цифри, які називають індо-арабськими, відрізняються від тих, якими нині користуються в арабських та індійських країнах.

Особливості

Особливістю арабської системи цифр є позиційною десятковою системою числення - вага кожної цифри визначається положенням у числі. Наприклад, у числі 38235 є дві цифри 3, однак вони відрізняються за значенням - цифра 38235 означає три десятки, а цифра 38235 - тридцять тисяч.

До запозичення арабських цифр європейці користувались римською системою, де десятки, сотні і тисячі позначались окремими знаками, а також не було знаку на позначення нуля.

Нуль - друга особливість арабської системи цифр.

Є дані, які вказують, що шумери використовували у своїй шістдесятковій системі числення знак, що мав зміст нуля. Однак знайдено лише кілька записів,

що містять цей знак. У арабській системі нуль є важливим елементом, оскільки при позиційній системі числення недопустимим є пропуск розряду.

Порівняння зображень європейського, арабо-індійського, східного арабо-

індійського, деванагарі та тамільського написання цифр

Відомі математики світу

Евклід (365-300 до. н. е.)Перш за все, Евклід є для нас автором "Начал", по яких

учились математики всього світу. Ця надзвичайна книга пережила більше двох тисячоліть, але й до цього часу не втратила свого значення не тільки в історії науки, але й у самій математиці. Зміст "Начал" далеко не вичерпується елементарною геометрією - це основи всієї античної математики. Тут підводиться підсумок більш ніж 300-річному її розвитку і разом з тим створюється база для її подальшого розвитку. На геометрії Евкліда базується класична механіка, її апофеозом була поява в 1687 р. "Математичних начал натуральної філософії" Ньютона, де закони земної і небесної механіки і фізики встановлюються в абсолютному евклідовому просторі.

Архімед

Архімед (близько 287 до н.е. - 212 до н.е., Сіракузи)Архімед - давньогрецький математик, фізик та інженер,

один з найвидатніших вчених античності. Він винайшов загальні методи обчислення площі криволінійних плоских фігур і об'ємів тіл, обмежених кривими поверхнями, і застосував ці методи до багатьох частинних випадків: до кола, сфери, довільного сегменту параболи, фігури, що розташована поміж двома радіусами і двома послідовними витками спіралі, до сегментів сфер, сегментів фігур, утворених обертанням прямокутників (циліндри), трикутників (конуси), парабол (параболоїди), гіпербол (гіперболоїди) і еліпсів (еліпсоїди) відносно їх головних осей. Він дав метод обчислення числа пі і встановив, що це число знаходиться між 3 1/7 і 3 10/71.

Мухаммад ібн Муса Ал-Хорезмі

Мухаммад ібн Муса Ал-Хорезмі (прибл. 783-850)Батьківщиною вченого був Хорезм (нині це частина

території Узбекистану та Туркменистану). Світове визнання ал-Хорезмі принесли його два знамениті математичні трактати - арифметичний і алгебраїчний: "Книга про індійський рахунок" і "Коротка книга про числення алгебри і алмукабали". "Книга про індійський рахунок" стала основним джерелом розповсюдження десяткової позиційної системи числення та запису чисел. Ця система витіснила менш досконалі, що існували до того - алфавітну систему числення греків, громіздку римську нумерацію та інші.

Ще більший успіх випав на долю алгебраїчного трактату " Коротка книга про числення алгебри і алмукабали". Трактат поклав початок самостійному розвитку алгебри.

Рене Декарт

Рене Декарт (1596 - 1650)Рене Декарт більше відомий, як великий філософ,

ніж математик. Але саме він був піонером сучасної математики, його досягнення в цій галузі настільки видатні, що він по праву входить до числа великих математиків. Декарта разом з його співвітчизником П.Ферма вважають основоположником аналітичної геометрії. Він ввів метод прямолінійних координат, зручну алгебраїчну символіку, що збереглася до наших днів, дав поняття змінної величини і функції. Висловив закон збереження кількості руху, ввів поняття імпульсу сили. Праці Декарта рішуче вплинули на розвиток математики.

П'єр Ферма

П'єр Ферма (1601-1665)Видатний французький математик, один із

основоположників аналітичної геометрії і теорії чисел, автор робіт в області теорії ймовірностей, оптики, численні нескінченно-малих величин. У 1637 році він сформулював так звану Велику теорему Ферма, яка була доведена американським математиком Ендрю Уайлсом лише у 1995 році. Теорем а стверджує, що для будь-якого натурального n>2 i xyz<>0 рівняння хn+уn=zn не можна розв’язати в цілих (і раціональних) числах.

Аналітична геометрія

Аналітична геометрія, розділ геометрії, у якому властивості геометричних об'єктів (точок, ліній, поверхонь) установлюються засобами алгебри за допомогою методу координат, тобто шляхом дослідження властивостей рівнянь, які і визначають ці об'єкти. Основні положення аналітичної геометрії вперше сформулював філософ і математик Рене Декарт в 1637 році. Лейбніц, Ісаак Ньютон і Леонард Ейлер надали аналітичній геометрії сучасної структури.

Історія

Створення аналітичної геометрії зазвичай приписують Рене Декарту, який виклав її основи в La Geometrie (Геометрія) , одного з трьох додатків, опублікованих в 1637 році разом зі своїм трактатом Міркування про метод. Спочатку робота не була добре прийнята, але після переведення латинською та додавання коментарів ван Схотена в 1649, трактат Декарта отримав належне визнання.

Основи

Характерною особливістю аналітичної геометрії є визначення геометричних фігур рівняннями. Нехай на площині з осями координат OX і OY (прямокутна декартова система координат) маємо лінію l. Якщо вздовж l пересувати точку M, то координати x, y цієї точки будуть змінюватись, але між ними існуватиме певна залежність, яку можна записати у вигляді рівняння:

f(x, y) = 0,

де f(x, y) є математичний вираз, що містить змінні x і y або одну з них.

Наприклад, з прямокутного трикутника OMP виводимо, що рівняння кола K радіуса r з центром в початку координат 0 є

x^2 + y^2 - r^2 = 0 .

Розглянемо ще пряму АВ. Якщо М є довільна її точка і OA = a, OB = b, то PA = a - x. З подібності прямокутних трикутників MPA і BOA маємо:

y/(a - x) =b/ a .

Звідси дістаємо рівняння прямої АВ:

bx + ay - ab = 0.

В аналітичній геометрії приймають, що рівняння визначає геометричну фігуру як множину точок, координати х та у яких справджують це рівняння. Інакше кажучи, рівняння розглядають як засіб для поділу точок площини на 2 класи: до 1-го належать точки, координати яких справджують дане рівняння (ці точки утворюють визначену рівнянням фігуру), до 2-го — всі інші точки площини.

Якщо рівняння алгебраїчне, то воно визначає лінію — дійсну чи уявну (див. нижче), яку називають алгебраїчною, а степінь рівняння — порядком цієї лінії. Порядок алгебраїчної лінії не залежить від того, як розміщені відносно неї осі координат. Прямі і тільки прямі є лініями 1-го порядку; конічні перерізи (тобто лінії, що утворюються при перетині конусу площиною) і тільки вони є лініями 2-го порядку. Аналогічно рівняння f(x, y, z) = 0 , де x, y, z — декартові координати точки у просторі, визначає просторову фігуру, зокрема алгебраїчну поверхню n-го порядку, якщо воно є алгебраїчним рівнянням n-го степеня. В сучасних курсах аналітичної геометрії вивчаються тільки лінії і поверхні 1-го та 2-го порядків.

Застосування в аналітичній геометрії алгебраїчних методів привело до поняття уявної фігури. Сукупність двох чисел x, y, з яких принаймні одне уявне, можна розглядати як уявну точку. Якщо рівняння

(наприклад , x^2 + y^2 + 1 = 0 ) справджують лише координати уявних точок, то вважають, що воно визначає

уявну фігуру. Хоч поняттям нескінченно віддалених і уявних точок не відповідають жодні реальні образи, проте запровадження їх дозволило глибше досліджувати властивості фігур.

В сучасних курсах аналітичної геометрії широко використовується апарат векторного числення.

Лінійна алгебра

Лінійна алгебра — важлива частина алгебри, що вивчає вектори, векторні простори, лінійні відображення та системи лінійних рівнянь. Векторні простори зустрічаються в математиці та її прикладних застосуваннях. Лінійна алгебра широко використовується в абстрактній алгебрі та функціональному аналізі і застосовується у природничих науках.

До лінійної алгебри відносять: теорію лінійних рівнянь, теорію визначників, теорію матриць, теорію векторних просторів та лінійних перетворень у них, теорію форм (наприклад, квадратичних), теорію інваріант (частково), тензорне числення (частково).

Система лінійних рівнянь від трьох

змінних визначає набір площин. Точка перетину

є розв'язком.

Історія

Історично першим питанням лінійної алгебри було знаходження розв'язків лінійних рівнянь.

Лінійні рівняння як рівняння прямих і площин стали природним предметом вивчення після винаходу Декартом і Ферма методу координат (близько 1636). Гамільтон у своїй роботі 1833 представляв комплексні числа у вигляді, як ми б зараз сказали, двовимірного дійсного векторного простору, йому належить відкриття кватерніонів, а також авторство терміну «вектор». Теорія матриць була розроблена у працях Келі (1850-ті). Системи лінійних рівнянь у векторному для матриці вигляді вперше з'явилися, мабуть, у роботах Лагерра (1867). Грассман у роботах 1844 та 1862 року вивчає те, що ми тепер назвали б алгеброю, і його формальний виклад по суті є першою аксіоматичною теорією систем алгебри. У явному вигляді аксіоми лінійного простору сформульовані в роботі Пеано (1888).

Основні поняття

ВекторВектор у лінійній алгебрі є узагальненням геометричного тривимірного

вектора, що використовується в геометрії та механіці. У розумінні лінійної алгебри вектор — це індексована сукупність чисел або інших математичних об'єктів (x1, x2, ... , xn) , яка має ту властивість, що її можна множити на число, наприклад λ, і результатом цього добутку буде новий вектор (λx1, λx2, ... , λxn) . Вектори можна також додавати, і сумою двох векторів буде вектор, в якому кожному індексу відповідатиме сума відповідних компонент векторів-доданків:

Компонентами векторів xi є зазвичай дійсні числа, хоча вони можуть бути іншими математичними об'єктами, наприклад, комплексними числами, векторами або матрицями. Важливо тільки, щоб для них була визначена операція додавання. Аналогічно, число, на яке можна помножити вектор, зазвичай є дійсним числом, але може бути й комплексним, головне, щоб для вектора була визначена операція множення на нього.

Вище вектори записані у вигляді рядка, однак, у лінійній алгебрі їх частіше записують у вигляді стовбчика:

Векторний простір

Векторним або лінійним простором називають множину векторів, до якої належать вектори з будь-яким можливим значенням компонент, тобто це множина всіх векторів заданої природи. Окрім того, що у векторному просторі визначені операції додавання векторів та множення на скаляр (число), для того щоб множина векторів складала векторний простір на ній повинен діяти ряд аксіом: комутативності, асоціативності, дистрибутивності додавання і множення на скаляр, існування нульового і протилежного елемента.

Число n, яке визначає кількість елементів вектора називається розмірністю векторного простору. Лінійна алгебра вивчає векторні простори скінченної розмірності. Вектори з нескінченним числом компонент вивчаються іншими розділами математики, зокрема функціональним аналізом.

Лінійне відображення

Між двома векторними просторами можна задати відображення. Лінійна алгебра вивчає відображення, які називаються лінійними. Лінійне відображення пов'язує між собою два векторні простори, побудовані над одним і тим же полем, тобто числа, на які множаться вектори мають мати однакову природу. Воно є гомоморфізмом, тобто кожному елементу однієї множини лінійне відображення ставить у відповідність елемент іншої множини, крім того, воно має ту властивість, що сумі елементів однієї множини відповідає сума відповідних елементів іншої множини, і елементу, помноженому на число, відповідає елемент іншої множини, помножений на те ж число.

Лінійне відображення простору у себе називається лінійним перетворенням.

Матриця

Найважливішим способом задання лінійного відображення є матриця — таблиця чисел або інших математичних об'єктів з двома індексами, наприклад aij . За допомогою матриці лінійне відображення X Y задається у вигляді

тобто кожна компонента вектора y з векторного простору Y є лінійною комбінацією компонент вектора x з векторного простору X з коефіцієнтами, які визнаються елементами матриці A.

У випадку лінійного перетворення матриця перетворення квадратна.

Система лінійних алгебраїчних рівнянь

Задача знаходження елемента векторного простору, який при лінійному перетворенні переходить у визначений елемент іншого векторного простору приводить до поняття системи лінійних алгебраїчних рівняннь.

Система m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими — це система рівнянь виду