4.2.2 Método de Simpson

Además de aplicar la regla trapezoidal con segmentos cada vez más fi nos, otra manera de obtener una estimación más exacta de una integral, es la de usar polinomios de orden superior para conectar los puntos. Por ejemplo, si hay un punto medio extra entre f (a) y f (b), entonces se pue den conectar los tres puntos con una parábola (Fig. 13.11a). Si hay dos puntos igualmente espaciados entre f (a) y f (b), entonces los cuatro pun tos se pueden conectar con un polinomio de tercer orden (Fig. 13.11b). A las fórmulas resultantes de calcular la integral bajo estos polinomios se les llama reglas de Simpson.

Regla de Simpson de 1/3 La regla de Simpson de 1/3 resulta cuando se sustituye un polinomio de segundo orden en la ecuación (13.1):

4.2.2 Métodos de Simpson

Si a y b se denomina como x0 y x2, y f2 (x) se representa mediante un polinomio de

Después de integrar y de reordenar términos, resulta la siguiente ecuación:

FIGURA 13.11 a) representación gráfica de la regla de Simpson de 1/3: consiste en tomar el área bajo una parábola que una los puntos, b) representación gráfica de la regla de Simpson de 3/8: consiste en tomar el área bajo una ecuación cúbica que conecta 4 puntos.

Lagrange de segundo orden [Ec. (11.22)], entonces la in tegral es:

[13.14]

donde, en este caso, h — (b — a)/2. Esta ecuación se conoce como re gía de Simpson de 1/3. Esta es la segunda fórmula de integración de Newton-Cotes. La etiqueta "1/3" viene de que h se divide por 3 en la ecuación (13.14). En el recuadro 13.3 se muestra una derivación alter nativa en donde se integra el polinomio de Newton-Gregory y se obtiene la misma fórmula.La regla de Simpson de 1/3 se puede expresar usando el formato de la ecuación (13.5):

[13.15]

en donde a = x0, b = x2, y x1 es el punto medio entre a y b, dado por (b + a)/2. Nótese que de acuerdo a la ecuación (13.15), el punto medio se pesa con dos tercios y los dos puntos extremos con 1 sexto.Se puede demostrar que una simple aplicación de la regla de Simp son de 1/3 tiene un error de truncamiento de (recuadro 13.3):

BECUADRO 13.3 Obtención y estimación del error de la regla de Simpson basado en el polinomio de Interpolación hacia adelante de Newton-Gregory.

o, ya que h = (b — a)/2:

[13.16]

en donde £ cae en algún lugar dentro del intervalo de a a b. Por lo tanto, la regla de Simpson de 1/3 es más exacta que la regla trapezoidal. Sin embargo, la comparación con la ecuación (13.6) indica que es mucho más exacta de lo que se esperaba. En vez de ser proporcional a la tercera derivada, el error es proporcional a la cuarta derivada. Esto se debe a que, como se mostró en el recuadro 13.3, los coeficientes del término de tercer orden se anulan durante la integración del polinomio de inter polación. En consecuencia, la regla de Simpson de 1/3 es exacta hasta tercer orden aunque esté basada únicamente en tres puntos.

Aplicación de la regla Simpson de 1/3 simple. Enunciado del problema: utilícese la ecuación (13.15) para integrar/(x) = 0.2 + 25x - 200x2 + 675x3 - 900x4 + 400x5

desde a = 0 hasta b = 0.8. Recuérdese que la integral exacta es 1.640 533 34.

Solución:/(O) = 0.2 /(0.4) = 2.456 /(0.8) = 0.232 Por lo tanto, la ecuación (13.15) se puede usar para calcular

que representa un error exacto de

que es aproximadamente cinco veces más exacto que el de una aplica ción de la regla trapezoidal (Ej. 13.1). El error estimado es [Ec. (13.16)]

en donde —2 400 es el promedio de la cuarta derivada en el intervalo obtenido usando la ecuación (V.3). Como fue el caso del ejemplo 13.1, el error es aproximado (Ea) porque el promedio de la cuarta derivada no es una estimación exacta de /4 (£). No obstante, ya que en este caso se trata con polinomios de quinto orden, la discrepancia no es mayor y los errores exacto y aproximado son casi idénticos.