2014 iii 10 ecuaciones

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Centro Preuniversitario de la UNS S-10 Ingreso Directo

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA

CEPUNS Ciclo 2014-III

ÁLGEBRA “ECUACIONES”

ECUACIONES

DEFINICIÓN.

Es una igualad condicional que se verifica para

valores particulares asignados a sus incógnitas.

Ejemplo:

1. Resolver la ecuación: 3x – 1 = x + 5

Resolución:

3x – 1 = x + 5

3x – x = 5 + 1

2x = 6

x = 3 , es la raíz o solución.

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES.

A. Según que sus Incógnitas estén Afectados o

No de Radicales.

1. Ecuaciones Racionales. Cuando sus

incógnitas no están afectadas de radicales.

Ejemplos:

31

;2

1

5

1

xx

xx

2. Ecuaciones Irracionales. Cuando al menos

una de sus incógnitas no está afectada de

radical.

Ejemplos:

2 xx

B. Según el número de raíces o Soluciones.

1. Ecuación Compatible. Cuando tiene

soluciones. Ésta a su vez podrá ser:

1.1. Determinada. Si presenta un número

limitado de de soluciones.

1.2. Indeterminada. Si presenta un número

ilimitado de de soluciones.

2. Ecuación Incompatible. Es aquella que no

admite solución (Ecuación Absurda).

C. Según el Tipo de Coeficientes.

1. Ecuaciones Numéricas. Cuando los

coeficientes son números.

Ejemplo: x2 + 5x + 6 = 0

2. Ecuaciones Literales. Cuando all menos

uno de los coeficientes es letra.

Ejemplo: ax + b = cx + d

I. ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER

GRADO.

Es aquella cuya forma general es:

ax + b = 0 ; a 0

Donde: x es la incógnita

a b los coeficientes

Raíz x = -b/a

Sx = {-b/a}

* Discusión de la Solución.

- Si b R a 0 Compatible

Determinada

- Si b = 0 a = 0 Compatible

Indeterminada

- Si b 0 a = 0 Incompatible

Semana Nº 10

Tablilla

Babilónica

Lic. José Azañero –Lic. Walter Torres-Lic. Saul Barron-Lic. Alex Ríos.- Lic.Rodolfo Carrillo- Lic Juan Miranda Álgebra.

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II. ECUACIÓN CUADRATICA O DE SEGUNDO

GRADO.

Es aquella cuya forma general es:

ax2 + bx + c = 0 ; a 0

Donde: x es la incógnita

a ; b c los coeficientes

METODOS DE RESOLUCION DE LA ECUACION Toda ecuación de 2do grado podrá resolverse por al

menos una de las siguientes formas:

A) Por Factorización Este método se aplica únicamente si el trinomio:

cbxax2

es factorizable, para lo cual se debe tener en cuenta la siguiente propiedad:

0n0m0n.m:Si

Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación:

012xx2

Según el criterio del aspa x2 – x–12=(x–4)(x+3) simple tendremos: x -4 x 3 luego la ecuación dada será: (x–4) (x+3) = 0 Finalmente de acuerdo a la propiedad señalada líneas arriba; se tendrá:

x – 4 = 0 x + 3 = 0 x = 4 x= -3 Es decir el conjunto solución de la ecuación:

x2 – x – 12= 0, es : C.S. = {4; -3}

B) Por la Fórmula de Carnot

Dada la ecuación : 0cbxax2

, sus raíces s obtienen utilizando la fórmula deducida por Sadi Carnot:

a2

ac4bbx

2

Donde las raíces son:

a2

ac4bbx;

a2

ac4bbx

2

2

2

1

Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación:

01x3x2

De la ecuación se deduce que:a = 1 b = 3 c =–1 Reemplazando en la fórmula tenemos:

)1(2

)1)(1(433x

2

Efectuando y reduciendo: 2

133x

Finalmente las raíces de la ecuación son:

2

133x1

;

2

133x2

En consecuencia el conjunto solución es:

2

133;

2

133.S.C

ANÁLISIS DE LA ECUACION:

Para la ecuación: 0cbxax2

, se tiene:

I) Si: Rcba ;0 , la ecuación es:

Compatible Determinada. II) Si: a = 0 b = 0 c = 0, la ecuación

es: Compatible Indeterminada

III) Si: a = 0 b = 0 c 0, la ecuación es: Incompatible.

NATURALEZA DE LAS RAICES A) DISCRIMINANTE )(

Llamamos discriminante a la expresión subradical contenida en la fórmula de Carnot:

ac4b2

De este modo la fórmula que da solución a una

ecuación de 2do grado queda así:


3


a2

bx

B) ANALISIS DEL DISCRIMINANTE Observando la relación anterior, resulta

previsible que el valor y/o signo del discriminante determinará la naturaleza de las raíces de una ecuación de 2do grado. Veamos los siguientes casos:

Primero: 0:Si

En este caso las raíces d la ecuación serán reales y diferentes.

Segundo: 0:Si

En este caso las raíces de la ecuación serán reales e iguales. Este caso se presenta cuando el

trinomio "cbxax"2

es un cuadrado perfecto.

Tercero: 0:Si

En este caso las raíces d la ecuación serán imaginarias y conjugadas. Desde notarse que las raíces imaginarias siempre se presentan en parejas, siendo una la conjugada de la otra.

PROPIEDADES DE LAS RAICES

Para la ecuación: 0a/0cbxax2

, raíces

21xx , tenemos:

I) Suma de Raíces: a

bxxs

21

II) Producto de Raíces: a

cx.xp

21

III) Diferencia de Raíces : a

xxd21

A) RAICES PARTICULARES En algunas ecuaciones las raíces se consolidan

de tal modo que efectuando alguna operación elemental entre ellas, se podrá deducir alguna propiedad particular como por ejemplo:

Raíces Simétricas: Si 21

xx son raíces

simétricas, se podrá establecer lo siguiente: 0xxmxmx

2121

Raíces Recíprocas: Si:

21xx son raíces

recíprocas, se podrá establecer lo siguiente:

1x.xm

1xmx

2121

B) RAICES ESPECIALES Llamamos así a las siguientes raíces: Raíz Nula: Dada la ecuación cuadrática

0a/0cbxax2

, si ésta presenta una

raíz nula ( x = 0), se cumplirá que: c = 0 Raíz Unidad: Dada la ecuación cuadrática

0a/0cbxax2

, si ésta presenta una

raíz unidad ( x = 1), se cumplirá que: a + b + c = 0

RECONSTRUCCION DE LA ECUACION CUADRATICA

Considerando a

21xx como raíces d la ecuación

tal que: S = Suma de raíces P = Producto de raíces Entonces la ecuación que se originó a dichas raíces

se determina así:

0PSxx2

PROPIEDADES IMPORTANTES A) De las Ecuaciones Equivalentes Sean:

)2(..........0cxbxa

)1..(..........0cxbxa

22

2

2

11

2

1

dos ecuaciones equivalentes , luego entre ellas se cumplirá la siguiente relación:

2

1

2

1

2

1

c

c

b

b

a

a


4


PROBLEMAS PROPUESTOS

BLOQUE I

01. Sea la ecuación de incógnita "x".

6 3m x

Si la solución es: x = 49. Hallar el valor de "m". a) 4 b) 8 c) 5 d) 13 e) 2 02. Resolver la ecuación si se reduce a primer

grado en "x".

2 22 5 3 4; ( )ax x a x ax a R

a) -1 b) -16 c) -15/17 d) -1/17 e) -1/9 03. Si la ecuación: 36x - 8 + 4ax + b = 13ax - b + 2 Tiene infinitas soluciones. Hallar: ab. a) 10 b) 24 c) 20 d) 32 e) 44

04. Resolver: 2 3 4 1

1 1 1

x x

x x x

Indicando, luego: 2 1x .

a) 0 b) 2 c) 1 d) 3 e) 5

05. Hallar "x" en: 1 1

;a a b b

a bx b a x x b

a) a b

x b

b)

a b

a x

c)

2

a b

d) 2

a b e)

a b

ab

06. Resolver: 2 1 3x x ; e indicar la

suma de cifras de : 3x + 8. a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 15 07. Resolver la ecuación:

1 1 3

1 1 1 1 xx x

a) 1 b) 1

2 c)

1

3

d) 1

4 e)

1

5

08. Al resolver la ecuación: 2 44

3x x a

x

Se obtuvo como una de sus soluciones el valor 5, hallar el valor de "a".

a) 3 b) 4 c) 9 d) 16 e) 11

09. Si la ecuación:

2 2(3 4) 2 2 2 18a x ax ax x

Se reduce a una de primer grado en x". Indicar el valor de "x".

a) 5

2 b)

4

3 c)

8

3

d) 2

5 e)

3

4

10. Calcular: "m.n", si la ecuación:

3 ( 1)2

nmx x

Es compatible indeterminada.

a) 12 b) 18 c) 72 d) 54 e) 45

11. Resolver: 2 22 ( 3)( 4) ( 9)( 4)x x x x x

E indicar lo correcto:

a) Tiene dos soluciones enteras. b) Tiene tres soluciones negativas. c) La mayor solución es 4. d) Tiene una solución fraccionaria. e) Tiene tres soluciones. 12. Al resolver la ecuación:

22 4 3

42 3 1

x x x

x x

, se obtiene:

a) x = 0 b) x = 2 c) x = -2 d) x = 1 e) Ecuación incompatible

13. Hallar "x", en: 2 2

2x m x n m n

m n mn

a) m + n b) m c) n - m

d) n e) ( )

2

n m

14. Resolver: 32 34 4 5 1 2x x x x


5


a) 13 b) 12 c) 14

d) 11 e) 15

15. Calcular "x", en:

1 1 1 1

x a x b x a x b

a) a + b b) a - b c) ab

d) a b e) ab

BLOQUE II

1. El valor de “q” para que las dos raíces de la

ecuación: 082 qxx , sean iguales,

es: a) 12 b) 16 c) -16 d) 10 e) -12

2. Si

mm

1; es el conjunto solución de la

ecuación ,053 2 kxx calcule el valor

de M. 21...4321 kM

a) 85 b) 96 c) 110 d) 100 e) 136

3. Si la ecuación cuadrática ,042 axax

tiene una única solución, entonces el valor de 4 a es:

a) 1/2 b) 1/4 c) 2 d) 1/8 e) 1/16

4. Calcule el mayor valor que tiene m para que la

ecuación 112 xmmx tenga raíces

iguales. a) 1 b) 5 c) 3 d) -1 e) -3

5. Si baCS ; es el conjunto solución de la

ecuación ,032 2 xx calcule el valor de

81212 ba

a) 10 b) 12 c) 17 d) 14 e) 15

6. Si 111 xx son las raíces de la ecuación

0362 pxx . Determinar p de modo

que: 12

511111

xx

a) 15 b) 14 c) 13 d) 11 e) 12

7. Si la ecuación:

04163 2 mxmmx tiene

raíces recíprocas. Señalar una de ellas. a) ½ b) 2/3 c) 3/4 d) 4/5 e) 5/6

BLOQUE III

III SUMATIVO 2013 - I

1. Determinar m para que la expresión

074122 mxmx tenga

raíces reales.

a) 4;2 Rm b) ,4m c) ,2m

d) 4,2 Rm e) 4,2m

III SUMATIVO 2013 - III

2. Hallar el tercer término en el desarrollo

de: 532 x .

a) 240x3 b) 520x3 c) 720x3

d) 810x3 e) 1080x3

III SUMATIVO 2013 - II

3. La ecuación de segundo grado con

coeficientes reales que admite como

raíz al número complejo ,32 i es:

a) 0742 xx b) 01442 xx

c) 0742 xx d) 01182 xx

e) 01182 xx


6


III SUMATIVO 2013 - II

4. Hallar el valor de “k” si las raíces de la

ecuación de segundo grado

09222 kxkx son iguales. Dar

como respuesta la suma de los valores

encontrados.

a) 4 b) 1 c) 2 d) 5 e) 0


5. Los valores Rk que hacen que la

ecuación 0112 xkx no tenga

soluciones reales, se encuentra en el

intervalo.

a) 1,3 b) 1,3 c) 3,2

d) 3,1 e) 2,3


6. El valor de m, que hace que la

ecuación 0112 xmmx no tenga

raíces reales, es:

a) 1 b) -1 c) 3 d) 2 e) 6


7. La ecuación 0104436 2 pxpx

admite por raíces a 21 xx ; si

,10

1911

21

xx

entonces el valor de p, es:

a) 7 b) 3 c) 6 d) 2 e) 5


8. Dada la ecuación:

0;0263 22 kkkxxk Si la suma

de sus raíces es igual al doble de su

producto, halla k.

a) 1 b) ½ c) -1/2 d) 2 e) -2


9. La suma de las raíces de una ecuación

cuadrática es 2 y su diferencia 4.

Luego, la ecuación es:

a) 0322 xx b) 0322 xx

c) 0322 xx d) 0222 xx

e) 0322 xx


10. Resolver:

4

3

55

1

55

1

xxxx. Dar

como respuesta la suma de sus raíces.

a) -16/9 b) 56/9 c) 16/9

d) 0 e) 80/9


11. Al resolver la ecuación:

16

8

4

1

4

12

aaa

Se obtiene que el

valor de “a” es:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) No hay solución

II SUMATIVO 2014 - II

12. Al resolver la ecuación:

,0852 ixix el cuadrado de

una de sus soluciones es:

a) 5-12i b) 5+12i c) 12-5i

d) 12+5i e) 5 - 6i


7


II SUMATIVO 2014 - I

13. La relación entre las edades de Ana y

Betty es de 3 a 5. Si hace 11 años el

promedio de sus edades era 9.

¿Cuántos años tendrá Ana dentro de 3

años?

a) 15 años b) 16 años c) 18 años

d) 20 años e) 21años

II SUMATIVO 2013 - III

14. Si las raíces de la ecuación:

0422 qpxqpxqp son

iguales, entonces el valor de: ,11

qp

es:

a) 0 b) 1 c) 4 d) 2 e) -3


15. El conjunto solución de la ecuación

exponencial: xx 310133 , es:

a) 2;2 b) 1;1 c) 2/1;2/1

d) 4;4 e) 3/1;3/1


16. Hallar el valor de n de tal manera que

las raíces de la ecuación:

;1

1

25

32

n

n

x

xx sean simétricas.

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7


17. La ecuación resultante que tiene

solución y que se obtiene a partir de:

022 xx ee .

a) 2xe b) 1xe c) 1xe

d) 3xe e) 2xe


18. Indique el cardinal del conjunto

solución de: xxx 31 ,

considerando solo las soluciones

enteras.

a) 2 b) 4 c) 0 d) 3 e) 1


19. El numero de soluciones que tiene la

ecuación: ,0321

2

x

xx es:

a) 3 b) 2 c) 1 d) 4 e) 0


20. Para que la ecuación cuadrática,

,0122 xkx tenga solución única,

los valores de k, deben ser:

a) 1;1 b) 2;2 c) 3;3

d) 2/1;2/1 e) 3/1;3/1


21. Resolver:

ba

bxax

bxbxaxax

y dar

el valor numérico de “x” para

154 ba .

a) 15 b) 5 c) 3 d) 0 e) 1


8



22. Formular una ecuación de segundo

grado sabiendo que sus raíces son 2 y

3; de esta manera la suma de los

coeficientes de sus términos, es:

a) 0 b) 5 c) 2 d) 2/3 e) 3/2


23. La diferencia de los cuadrados de las

raíces d la ecuación:

22,11 22 xx ; es:

a) 1,2 b) 1,1 c) 1,3 d) 1,4 e) 1,5

EXCELENCIA 2011

24. Si 21; xx son soluciones de la

ecuación 0222 bxbx y

además

,421

2

2

2

1 xxxx entonces el

menor valor de 2

2

1

2

21 xxxxM es:

a) -12 b) -14 c) -15 d) -16 e) -17

PREFERENTE 2007

25. La suma de las raíces de la ecuación:

esxx ,1323

a) 1 b) 6 c) 7 d) 5 e) 9

PREFERENTE 2007

26. Si ,Rx la ecuación:

24 xx tiene como solución:

a) 0 b) 5 c) 0;5 d) 2 e) NA

PREFERENTE 2009

27. Al resolver:

11

...

32

1

21

1

1

1

naxnax

axaxaxaxnax

El valor de “x” es igual a:

a) 11 b) n+1 c) n-1 d) n+1/a e) n-1/a

PREFERENTE 2010

28. Dada la ecuación: ,010023 xx

donde 1x es una raíz real y 32 ; xx

son raíces imaginarias. El valor de

32

1

.xx

xR

a) -1/5 b) -1/4 c) 1/5 d) 1/6 e) 1/4

CEPUNT 2010 - II

29. Si se cumple que:

223

85

85

232

2

2

2

nn

xx

xx

xx

xx el valor

de “x” es:

a) 0 b) 1/4 c) ½ d) ¾ e) 5/4

CEPUNT 2010 - I

30. Si ba son las raíces de la ecuación:

2222 210295 xxx entonces el

valor de "" ba es:

a) -5 b) -4 c) -3 d) -2 e) 1

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2014 iii 10 ecuaciones